Voir la source de Ensemble infini

{{ébauche|mathématiques}}

En [[mathématiques]], plus précisément en [[théorie des ensembles]], un '''ensemble infini''' est un ensemble qui n'est pas [[ensemble fini|fini]], c'est-à-dire qu'il n'y a aucun moyen de « compter » les éléments de cet ensemble à l'aide d'un ensemble borné d'entiers. Un ensemble en [[bijection]] avec un ensemble infini est donc infini.

Tout ensemble contenant un [[ensemble dénombrable]] est infini.

== Définitions ==
{{énoncé|Un ensemble ''E'' est dit '''infini''' (au sens usuel) si, pour aucun [[entier naturel]] ''n'', il n'existe de [[bijection]] de { 0, 1, … , ''n'' – 1 } (les entiers naturels strictement inférieurs à ''n'') dans cet ensemble ''E''.
}}

Dans la [[Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel#Théorie de Zermelo (Z)|théorie de Zermelo]] ('''Z'''), l'[[axiome de l'infini]] permet de construire l'ensemble ℕ des entiers naturels<ref>Il est possible de représenter les entiers en théorie des ensembles, par les [[Ordinal#Propriétés|ordinaux finis]] ; α est un ordinal fini si tout ordinal non nul inférieur ou égal à α possède un prédécesseur. L'entier ''n'' est alors l'ordinal fini { 0, 1, … , ''n'' - 1 }, de sorte qu'un ensemble est fini exactement s'il est [[équipotent]] à un entier. Ces définitions ne nécessitent pas l'axiome de l'infini, qui énonce essentiellement l'existence de l'ensemble des entiers naturels, cf. Jean-Louis Krivine, ''Théorie axiomatique des ensembles'', P.U.F., Paris, 1972, {{p.|38}}. Il est également possible de donner une définition équivalente d'ensemble fini qui ne fait pas référence aux entiers, comme celle de [[Bertrand Russell|Russell]] et [[Alfred North Whitehead|Whitehead]] ou celle de [[Alfred Tarski|Tarski]], voir [[Ensemble fini#Les définitions de Tarski et de Russell-Whitehead]] ou [[Roland Fraïssé]], ''Logique mathématique'', vol. I, [[Gauthier-Villars]], Paris, 1971, {{p.|12-14}}.</ref>, qui est alors un ensemble infini. Avec les seuls autres axiomes de '''[[ZFC]]''', on ne peut montrer l'existence d'ensembles infinis.

{{énoncé|Un ensemble est dit '''infini au sens de [[Richard Dedekind|Dedekind]]'''<ref>{{Ouvrage|lang=de|auteur=Richard Dedekind|url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN23569441X?&tify=%7b%22pages%22:%5b360%5d%7d|titre=Was sind und was sollen die Zahlen ?|traduction titre=Que sont et à quoi servent les nombres ?<!-- la trad. du titre par Weil, reprise par Dugac est "Que sont et que représentent les nombres ?" mais la trad du texte par [[Hourya Benis Sinaceur]] aux éditions Vrin est celle-ci -->|date=1888}}, § 5, définition 64.</ref> s'il est [[équipotent]] à une de ses [[sous-ensemble|parties propres]].

Un ensemble est infini au sens de Dedekind si et seulement s'il contient un ensemble dénombrable<ref name=Wikiversité>{{Note autre projet|Wikiversité|Introduction aux mathématiques/Exercices/Ensembles infinis#Exercice 1-3|cet exercice corrigé|début=Voir par exemple}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur={{Lien|Patrick Suppes}}|titre=Axiomatic Set Theory|éditeur=Van Nostrand|année=1972|année première édition=1960|pages=267|url={{Google Livres|sxr4LrgJGeAC|page=152}}|page=152-153}}.</ref>{{,}}<ref>Plus précisément : l'existence d'un ensemble ''E'' infini au sens de Dedekind implique simultanément l'axiome de l'infini et l'existence d'une injection de ℕ dans ''E''.</ref>.
}}

Dans la théorie '''Z''', tout ensemble infini au sens de Dedekind est infini (au sens usuel)<ref name=Wikiversité/>. Dans '''[[Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel|ZF]]''' (sans [[axiome du choix]]), la [[réciproque]] n'est pas [[démonstration (logique et mathématique)|démontrable]]. Elle le devient si on ajoute l'axiome du choix ([[ZFC]]), et l'[[Axiome du choix#Axiome du choix dénombrable|axiome du choix dénombrable]] suffit :

{{Démonstration|titre=Avec le choix dénombrable, « infini » ⇒ « infini au sens de Dedekind »<ref name="Herrlich48">{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Horst Herrlich]]|titre=Axiom of Choice|éditeur=Springer|année=2006|url={{Google Livres|JXIiGGmq4ZAC|page=48}}|numéro chapitre=4|page=48}}.</ref>.|contenu=
Soit ''X'' un ensemble infini. Pour tout entier naturel ''n'', l'ensemble ''X{{ind|n}}'' des [[n-uplet|''n''-uplets]] d'éléments de ''X'' distincts est donc non vide, si bien qu'il existe (par choix dénombrable) une [[Suite (mathématiques)|suite]] (''y{{ind|n}}'') telle que pour tout ''n'', ''y{{ind|n}}'' = (''y''{{ind|''n'',1}}, … , ''y''{{ind|''n'',''n''}}) ∈ ''X{{ind|n}}''. On peut alors [[Définition par récurrence|définir par récurrence]] une [[Injection (mathématiques)|injection]] ''f'' de ℕ dans ''X'' en posant, pour tout ''n'', ''f''(''n'') = ''y''{{ind|''p'',''q''}}, où (''p'', ''q'') est le plus petit [[Couple (mathématiques)|couple]] (pour l'[[ordre lexicographique]]) tel que ''y''{{ind|''p'',''q''}} ∉ {''f''(''k''){{!}}''k'' < ''n''}.
}}
On peut montrer que l'équivalence entre « infini » et « infini au sens de Dedekind » est plus faible que l'axiome du choix dénombrable, au sens où, en supposant que la théorie ZF est cohérente, il existe un modèle de la théorie des ensembles ZF où tout ensemble infini est infini au sens de Dedekind, mais qui ne satisfait pas l'axiome du choix dénombrable<ref name="Herrlich48"/>.

Pour plus de détails, voir l'article {{Lien|trad=Dedekind-infinite set|Ensemble infini au sens de Dedekind}}.

== Arithmétique cardinale et axiome du choix ==
En présence de l'[[axiome du choix]], l'[[Aleph (nombre)#Arithmétique cardinale|arithmétique des cardinaux infinis]] se simplifie notablement. En particulier :
* la [[réunion disjointe]] de deux ensembles dont l'un est infini est équipotente à celui d'entre eux de plus grand cardinal, c'est-à-dire que, si <math>\lambda</math> et <math>\mu</math> sont deux cardinaux dont l'un est infini :
:: <math>\lambda+\mu=\text{sup}(\lambda,\mu)</math> ;
* le [[produit cartésien]] de deux ensembles dont l'un est infini et l'autre non vide est équipotent à celui d'entre eux de plus grand cardinal, c'est-à-dire que, si λ et μ sont deux cardinaux dont l'un est non nul et l'autre infini :
:: λ • μ = sup(λ,μ) ;
: en particulier tout ensemble infini est équipotent à son carré cartésien, c'est-à-dire que si λ est infini :
:: λ<sup>2</sup> = λ.
Ce dernier résultat a pour conséquence les deux précédents par le [[théorème de Cantor-Bernstein]]. Il suffit de remarquer que, si λ ≥ μ, λ + μ (réunion disjointe) s'injecte dans λ•2, et λ • μ s'injecte dans λ • λ.

Pour le démontrer<ref>Pour des démonstrations analogues voir {{harvsp|Krivine|texte=Krivine 2007|p=38}}, ou {{harvsp|Cori-Lascar II|texte=Cori-Lascar 93|loc={{chap.|7}}}}. Pour une autre méthode, reposant sur le [[lemme de Zorn]], voir {{Lien web|format=pdf|auteur=J. L. Krivine|titre=Logique et théorie axiomatiques|url=http://www.pps.univ-paris-diderot.fr/~krivine/articles/LTA-ens.pdf|mois=12|année=2014}}.</ref>, on identifie le cardinal infini λ à un  [[aleph (nombre)|ordinal initial infini]]. En effet tout ensemble, [[Théorème de Zermelo|est bien ordonnable par l'axiome du choix]], donc équipotent à un ordinal. Un ordinal initial est un ordinal qui ne s'injecte dans aucun ordinal strictement inférieur. On peut parler du plus petit cardinal d'une classe non vide de cardinaux, puisque la classe des cardinaux devient une sous-classe de celle des ordinaux.

Clairement <math>\lambda</math> s'injecte dans <math>\lambda^2</math>. Supposons qu'il existe un cardinal infini <math>\lambda</math> tel que <math>\lambda\ne \lambda ^2</math>, et appelons dorénavant <math>\lambda</math> le plus petit d'entre eux. L'ordre <math>\leqslant _2</math> défini sur <math>\lambda\times \lambda</math> par
:<math>(\alpha,\beta)\leqslant _2 (\alpha',\beta')</math> ssi <math>\text{sup}(\alpha,\beta)<\text{sup}(\alpha',\beta')</math> ou <math>(\text{sup}(\alpha,\beta)=\text{sup}(\alpha',\beta')\wedge \alpha<\alpha')</math> ou <math>(\text{sup}(\alpha,\beta)=\text{sup}(\alpha',\beta')\wedge \alpha=\alpha'\wedge \beta \leqslant B')</math>
est un bon ordre. 

Ce bon ordre est isomorphe par <math>f</math> à un ordinal γ, avec γ ≥ card(γ) > λ par hypothèse sur λ. Comme λ < γ, λ possède un antécédent (α,β) par la bijection ''f''. Comme card(α) ≤ α < λ et card(β) ≤ β < λ, en posant δ = sup(α,β) on a δ <  λ, donc  card(δ) <  λ : cette dernière inégalité est bien une inégalité entre cardinaux, car λ est un ordinal initial. Par choix de l'ordre <math>\leqslant _2 \{(\zeta,\eta\mid (\zeta,\eta)< _2(\alpha,\beta)\}\subseteq(\alpha+1)\times (\beta+1)</math> donc <math>f^{-1}</math> restreinte à λ définit une injection de λ dans (δ+1)<sup>2</sup>. Comme  λ est infini, (δ+1)<sup>2</sup> aussi, donc δ + 1 et donc δ également. Donc card(δ + 1) = card(δ). 

Comme card(δ) <  λ, card(δ) ≠ card(δ)<sup>2</sup>,  ce qui contredit la minimalité de λ. On a bien λ = λ<sup>2</sup> pour tout cardinal infini λ. 

Il s'avère que l'équipotence de tout ensemble infini avec son carré cartésien est même équivalente à l'axiome du choix, comme l'a montré [[Alfred Tarski]] (voir [[Ordinal de Hartogs#Produit cardinal|Ordinal de Hartogs, paragraphe sur le produit cardinal]]).

== Notes et références ==
{{Références}}

== Bibliographie ==
* {{Cori-Lascar II}}
* {{Krivine98}}

{{Portail|logique|mathématiques}}

[[Catégorie:Infini]]
[[Catégorie:Théorie des ensembles]]