Voir la source de Ensemble négligeable

{{Confusion|texte=Ne pas confondre avec [[Fonction négligeable]] en [[analyse réelle]]}}
[[Fichier:Sierpinski triangle.svg|vignette|Le triangle de Sierpiński est un exemple d'ensemble nul de points dans <math>\mathbb{R}^{2}</math>.]]
En [[théorie de la mesure]], dans un [[espace mesuré]], un '''ensemble négligeable''' est un '''ensemble de mesure nulle''' ou une [[Inclusion (mathématiques)|partie]] d'un tel ensemble. La définition peut dépendre de la [[mesure (mathématiques)|mesure]] choisie : deux mesures sur un même [[espace mesurable]] qui ont les mêmes ensembles de mesure nulle sont dites ''équivalentes''.

À un niveau élémentaire, il est possible d'aborder la notion d'ensemble négligeable pour un certain nombre d'espaces (dont la droite réelle) sans avoir à introduire une mesure. {{refsou|date=17/10/2015|Historiquement, la notion d'ensemble négligeable est antérieure à celle de mesure.}}

== Ensemble négligeable dans un espace mesuré ==
{{Théorème|Définition|Soit <math>(X,\mathcal{A},\mu)</math> un [[espace mesuré]].
Une partie <math>N</math> de <math>X</math> est dite '''négligeable''' lorsqu'il existe un <math>Y\in\mathcal{A}</math> contenant <math>N</math> et de mesure nulle.|style=display:table}}

L'ensemble des parties négligeables d'un espace mesuré <math>(X,\mathcal{A},\mu)</math> a les propriétés suivantes :
# tout sous-ensemble ''mesurable'' d'une partie négligeable a une mesure nulle, conséquence de la monotonie des mesures ;
# tout sous-ensemble d'une partie négligeable est négligeable ;
# toute [[Union (mathématiques)|union]] [[ensemble dénombrable|dénombrable]] d'ensembles (mesurables) de mesure nulle est mesurable et de mesure nulle, conséquence de la [[sous-additivité]] des mesures ;
# toute union dénombrable d'ensembles négligeables est négligeable.

''A priori'', la notion de partie négligeable parait plus générale que celle d'ensemble de mesure nulle, car elle autorise des ensembles non mesurables. Toutefois, il est possible de ''[[complétion d'une mesure|compléter]]'' la tribu <math>\mathcal A</math> en une tribu <math>\overline{\mathcal {A}}_\mu</math> incluant les ensembles négligeables non mesurables, et de prolonger la mesure <math>\mu</math> en une mesure <math>\overline\mu</math> sur <math>(X, \overline{\mathcal {A}}_\mu)</math>. On parle alors de mesure complète ; pour une mesure complète, tout ensemble négligeable est mesurable, donc de mesure nulle.

=== Mesure de Lebesgue ===
Dans les espaces <math>\R^n</math>, la mesure généralement utilisée est la [[mesure de Lebesgue]], unique mesure à proportionnalité près invariante par les isométries.
==== Ensembles dénombrables ====
Pour cette mesure, tout singleton a une mesure nulle. Donc, en utilisant la troisième propriété énoncée ci-dessus, on voit sans difficulté que tout sous-ensemble fini ou [[ensemble dénombrable|dénombrable]] de <math>\R^n</math> est négligeable.

Ainsi, si l'on note <math>\lambda</math> la mesure de Lebesgue sur <math>\R</math> alors <math>\lambda (\Q)=0</math>.

==== Autres ensembles négligeables ====
Il existe dans <math>\R</math> des parties [[tribu borélienne|boréliennes]] — et même [[Compacité (mathématiques)|compactes]] — de mesure de Lebesgue nulle qui ont la [[puissance du continu]], c'est-à-dire qu'elles sont [[équipotence|équipotentes]] à <math>\R</math>. L'exemple le plus classique est l'[[ensemble de Cantor]]. D'autres sont les [[Ensemble de Besicovitch|ensembles de Besicovitch]].

Un ensemble négligeable de <math>\R^n</math> n'est pas nécessairement borélien (voir l'article « [[Complétion d'une mesure]] »), y compris pour <math>n=1</math> : il suffit de choisir une partie non borélienne de l'ensemble de Cantor : il en existe, par des arguments de [[Cardinalité (mathématiques)|cardinalité]].

La [[frontière (topologie)|frontière]] d'une [[Mesure de Jordan|partie cubable]] de <math>\R^n</math> est négligeable.

== Presque partout ==
=== Définition ===
Le concept d'ensemble négligeable permet notamment de définir le concept de « presque partout ». En effet, si <math>\mu</math> est une [[mesure (mathématiques)|mesure]] sur un [[espace mesurable]] <math>(X,\mathcal B)</math>, une proposition <math>P(x)</math> dépendant d'une variable <math>x \in X</math> est dite vraie <math>\mu(\mathrm dx)</math>-presque partout s'il existe un ensemble mesurable <math>A</math> appartenant à <math>\mathcal B</math> tel que : 
# <math>\{ x  \in X : \mathrm{non}( P(x) )\} \subset A </math>
# <math> \mu(A) = 0 </math>
Une propriété <math>P(x)</math> est dite vraie presque partout si l'ensemble des points où elle est fausse est négligeable.
Ainsi, une fonction <math>f</math> sera égale à une fonction <math>g</math>  <math>\mu</math>-presque partout si l'ensemble <math>\mu(\{x  \in X : f(x)\ne g(x)\})=0</math>.
En [[analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]], lorsque le cadre de travail est bien défini, on sous-entendra la mesure et l'on dira simplement <math>f=g</math> presque partout, ce qui sera encore noté de manière abrégée <math>f=g </math> p.p. Par exemple, [[Henri Lebesgue|Lebesgue]] a démontré que les [[Fonction réelle d'une variable réelle|fonctions réelles d'une variable réelle]] [[Fonction bornée|bornées]] sur un [[Intervalle réel|segment réel non trivial]] qui sont [[Intégrale de Riemann|Riemann-intégrables]] sur ce segment sont celles qui sont <math>\lambda</math>-p.p. continues sur ce segment.

Pour la mesure de Lebesgue sur <math>\R^d</math>, un ensemble dénombrable est de mesure nulle. C'est ce résultat qui permet d'affirmer que la [[Fonction caractéristique (théorie des ensembles)|fonction indicatrice]] des rationnels qui à un réel lui associe 1 si le réel est rationnel, 0 s'il est irrationnel, est nulle presque partout.

L'[[ensemble de Cantor|ensemble triadique de Cantor]] est un exemple de sous-ensemble indénombrable de <math>[0,1]</math> mais de mesure de Lebesgue nulle. Presque tous les réels entre 0 et 1 sont hors de l'ensemble de Cantor.

{{Exemple|Si <math>f:(X,\mathcal B,\mu) \rightarrow \R_{+}</math> est une fonction d'un espace mesuré <math>(X,\mathcal B,\mu)</math> à valeurs ''positives'' telle que <math>f</math> est [[intégrale de Lebesgue|intégrable au sens de Lebesgue]], alors :
<center><math>\int_{X} f\,\mathrm d\mu =0 </math> si et seulement si <math>f = 0</math> <math>\mu</math>-presque partout.</center>}}

=== Presque sûrement ===
{{article détaillé|Presque sûrement}}
En [[théorie des probabilités|probabilités]], on préfère en général parler d'une propriété '''presque sûrement vraie''', au lieu d'utiliser l'expression « vraie presque partout ». Une propriété est '' presque sûrement vraie'' lorsqu'elle est vérifiée dans un ensemble dont la probabilité est égale à 1. La probabilité étant une mesure et l'espace mesurable ayant une probabilité de 1, c'est bien un cas particulier de la situation précédente. De même, une propriété est dite '''presque sûrement fausse''' lorsqu'elle est vérifiée dans un ensemble dont la probabilité est égale à 0.

Dans l'[[espace probabilisé]] <math>\left(\Omega, \mathcal B, \mathbb P\right)</math> ([[ensemble]] <math>\Omega</math>, muni d'une [[tribu (mathématiques)|tribu]] <math>\mathcal B</math> (ou σ-algèbre ) sur <math>\Omega</math> et d'une [[mesure (mathématiques)|mesure]] <math>\mathbb P</math> sur cette tribu, telle que <math>\mathbb P(\Omega) = 1</math>), la propriété <math>R</math> est vraie presque sûrement s'il existe un ensemble mesurable <math>A</math> appartenant à <math>\mathcal B</math> tel que :
# <math>\{ x  \in X : \mathrm{non}( R(x) )\} \subset A </math>
# <math> \mathbb P(A) = 0 </math>
Ce qui est équivalent à dire que <math>\mathbb P(\Omega\backslash A)=1</math>, par propriété des probabilités.

De même, un événement (ensemble mesurable) <math>B\in\mathcal B\ </math> vérifiant <math>\mathbb P(B)=1\ </math> est dit '''presque sûr''', ou  '''presque certain''', ou encore '''quasi certain'''. L'événement contraire d'un tel événement ayant une probabilité nulle, on le qualifie de '''presque impossible''' ou de '''quasi impossible'''.

En conséquence  de la sous-additivité des mesures,

{{Théorème|Propriété|Toute intersection finie ou dénombrable d'ensembles ''presque sûrs'' est elle-même ''presque sûre''.|style=display:table}}

La ''convergence presque sûre'', qui est un type de [[convergence de variables aléatoires]], fournit un exemple de propriété vérifiée presque sûrement :
<math>(X_n)_{n\in\N}</math> ''converge presque sûrement'' vers <math>X</math> si et seulement si <center><math>\mathbb P(\{\omega/\lim_{n\rightarrow\infty} X_n(\omega)=X(\omega)\})=1.</math></center> La convergence presque sûre implique d'autres propriétés de convergences usuelles en théorie des probabilités (convergence en probabilité et convergence en loi) et apparaît en particulier dans l'énoncé de la [[loi forte des grands nombres]].

L'expression '''[[wikt:presque tout|presque tout]]''' intervient couramment dans différents domaines des [[mathématiques]]. Elle peut avoir un sens [[probabilités|probabiliste]], [[topologie|topologique]] ou [[théorie des ensembles|ensembliste]] ; en général, le contexte précise ce sens.

== Presque tout ==
=== En théorie des ensembles ===
{{Refsou|date=09/08/2016|Si <math>Y</math> est le sous-ensemble des points <math>x</math> d'un ensemble infini <math>X</math> ne vérifiant pas un [[Prédicat (logique mathématique)|prédicat]] <math>P(x)</math>, alors on dit parfois que <math>P</math> est vérifiée pour presque tout élément de <math>X</math> si le cardinal de <math>Y</math> est strictement inférieur au cardinal de <math>X</math>.}} Par exemple :
*presque tous les [[nombre réel|nombres réels]] sont [[Nombre transcendant|transcendants]]. En effet, l'ensemble des [[Nombre algébrique|nombres algébriques]] est dénombrable ;
*les parties négligeables d'un ensemble dénombrable sont ses [[ensemble fini|parties finies]].

{{Refsou|date=09/08/2016|Lorsque <math>Y</math> est non dénombrable, ses parties négligeables au sens ci-dessus sont ses parties <math>\mu</math>-négligeables pour une mesure ''ad hoc''`<math>\mu</math> sur l'[[Ensemble des parties d'un ensemble|ensemble des parties de <math>Y</math>]].}}

Lorsque <math>Y</math> est dénombrable, la définition ci-dessus de « presque tous » sort du cadre défini en introduction.

=== En arithmétique ===
{{article détaillé|Densité asymptotique}}
Il existe par ailleurs une autre notion : une partie <math>A</math> de <math>\N</math> est dite [[Densité asymptotique|asymptotiquement dense]] si : <center><math>\frac{|\{k\in A, k\leq n\}|}{n}\underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} 1</math>.</center>
Par exemple, presque tous les entiers naturels sont non [[nombre premier|premiers]]. En effet, la densité des nombres premiers inférieurs à un entier <math>n</math> est équivalente à <math>1/\ln(n)</math> quand <math>n</math> tend vers l'infini ([[théorème des nombres premiers]]).

=== En topologie : propriété vérifiée par presque tous les points ===
Dans un [[espace de Baire]], presque tous les points vérifient une propriété lorsque l'ensemble des points la vérifiant contient une intersection dénombrable d'[[Ouvert (topologie)|ouverts]] [[Partie dense|denses]]. Il résulte de la définition d'un tel espace que cette intersection est dense.

{{Refnec|Cette notion n'a aucun rapport avec celle de « presque tous » au sens de la théorie de la mesure.}}

Exemples de propriétés vérifiées par presque tous les éléments :
*presque tous les réels sont des [[Nombre irrationnel|irrationnels]] ;
*presque toutes les fonctions [[continue]]s <math>[0,1]\to\R</math> sont non [[dérivable]]s ;
*si <math>f</math> est une application de [[Classe de régularité|classe C{{exp|∞}}]] sur un ouvert de <math>\R^n</math> et à valeurs dans <math>\R^m</math>, presque tous les points de <math>\R^m</math> sont des [[Point critique (mathématiques)|valeurs régulières]] de <math>f</math>. L'ensemble des valeurs critiques est négligeable (pour un énoncé plus précis, voir « [[Théorème de Sard]] »).

== Notes et références ==
{{Crédit d'auteurs|interne|Presque tout|17309455}}
{{Références}}

== Bibliographie ==
* {{ouvrage |lang=en |titre=Groups of Rotations and Nonmeasurable Sets |auteur1=A.B. Kharazishvili |édition=North-Holland Mathematics Studies |volume=195 |année=2004 |pages=259-275 |ISSN=0304-0208 |ISBN=9780444516268 |doi=10.1016/S0304-0208(04)80025-2.}}.
* {{ouvrage |lang=en |auteur1=Eric Schechter |numéro chapitre=21  |chapitre=Positive Measure and Integration |titre=Handbook of Analysis and Its Foundations |éditeur=Academic Press |année=1997 |pages=547-571 |ISBN=9780126227604 |doi=10.1016/B978-012622760-4/50021-2.}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Théorie de la mesure]]
[[Catégorie:Zéro]]
[[Catégorie:Rien]]
[[Catégorie:Espace probabilisé]]