Voir la source de Ensemble simplicial

{{Ébauche|mathématiques}}
En [[mathématiques]], un '''ensemble simplicial''' ''X'' est un objet de nature combinatoire intervenant en [[topologie]]. Il est la donnée :
* d'une famille (''X{{ind|n}}'') d'ensembles, indexée par les [[entiers naturels]], les éléments de ''X{{ind|n}} ''étant pensés comme des simplexes de dimension ''n ''et
* pour toute [[Relation d'ordre#Applications croissantes|application croissante]]{{Centrer|<math>f:\{0,\dots,m\}\rightarrow \{0,\dots,n\},</math>}}d'une application{{Centrer|<math>X(f):X_n\rightarrow X_m,</math>}}
le tout tel que{{Centrer|<math>X(f\circ g)=X(g)\circ X(f).</math>}}
Autrement dit : ''X'' est un [[foncteur]] contravariant, de la [[catégorie simpliciale]] Δ dans la [[Catégorie des ensembles|catégorie '''Set''' des ensembles]], ou encore un foncteur covariant de la [[Catégorie duale|catégorie opposée]] Δ{{exp|op}} dans '''Set'''.

== Exemple ==
À tout [[Complexe simplicial#Approche combinatoire|complexe simplicial abstrait]] (''V'', ''Σ'') est associé naturellement l'ensemble simplicial ''X ''dont les ''n''-simplexes sont les applications ''g ''de {0, … , ''n''} dans ''V ''dont l'image appartient à ''Σ'', avec {{nobr|''X''(''f'')(''g'') {{=}} ''g ''∘ ''f''.}}

== Homologie ==
Soit ''K'' un [[anneau commutatif]]. À tout ensemble ''E ''est associé un ''K''-[[module libre]] ''K''[''E''] de base ''E ''donc par [[fonctorialité]], à tout ensemble simplicial ''X ''est associé un [[Module sur un anneau|''K''-module]] [[Objet simplicial|simplicial]] ''M = K''[''X'']<ref name=Loday>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Jean-Louis|nom1=Loday|lien auteur1=Jean-Louis Loday|titre=Cyclic Homology|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|collection=[[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|Grund. math. Wiss.]]|numéro dans collection=301|année=1998|année première édition=1992|passage=457|isbn=}}.</ref> : pour tout entier ''n'', le module ''M{{ind|n}} ''est le ''K''-module libre ''K''[''X{{ind|n}}''] et (en notant<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Alain|nom1=Connes|lien auteur1=Alain Connes|titre=Noncommutative Geometry|éditeur=[[Academic Press]]|année=1994|pages totales=661|isbn=978-0-12-185860-5|lire en ligne=http://www.alainconnes.org/docs/book94bigpdf.pdf}}, Chap. 3, Appendix A.</ref> [''n''] l'ensemble [[Ordre total|totalement ordonné]] {0, 1, … , ''n''}) pour toute application croissante ''f '': [''m''] → [''n''], l'[[application linéaire]] {{nobr|''M''(''f'') : ''M{{ind|n}} ''→ ''M{{ind|m}}''}} est l'application {{nobr|''K''[''X''(''f'')] : ''K''[''X{{ind|n}}''] → ''K''[''X{{ind|m}}'']}} induite par {{nobr|''X''(''f'') : ''X{{ind|n}} ''→ ''X{{ind|m}}''.}}

Par ailleurs, à tout module simplicial ''M ''on associe naturellement un [[complexe de chaînes]] en posant, pour tout ''n'' :
{{retrait|<math>\partial_n=\sum_{i=0}^n(-1)^iM(\delta_i^n):M_n\rightarrow M_{n-1},</math>}}
où δ''{{ind|i}}{{exp|n}} '': [''n ''– 1] → [''n''] désigne la ''i''{{e}} [[Catégorie simpliciale#Faces et dégénérescences|coface]], c'est-à-dire l'[[Injection (mathématiques)|injection]] croissante de [''n ''– 1] dans [''n''] dont l'[[Image d'une application|image]] ne contient pas ''i''.

L'[[Homologie et cohomologie|homologie]] simpliciale (à coefficients dans ''K'') de l'ensemble simplicial ''X ''est par définition<ref name=Loday/> l'homologie du complexe de chaînes associé au module simplicial ''K''[''X''].

Elle ne dépend par construction que de la structure de module semi-simplicial déduite de ''K''[''X''], donc de celle d'{{Lien|langue=en|trad=Delta set|fr=ensemble semi-simplicial}} déduite de ''X'', par [[Foncteur d'oubli|oubli]] des [[Catégorie simpliciale#Faces et dégénérescences|dégénérescences]].

== Notes et références ==
* {{en}} S. I. Gelfand et [[Yuri Manin|Yu. I. Manin]], ''Methods of homological algebra'', chap. 1.
{{Références}}

== Articles connexes ==
* [[Lemme de Yoneda]]
* {{Lien|langue=en|trad=Simplicial group|fr=Groupe simplicial}}
* {{Lien|langue=en|trad=Dold–Kan correspondence|fr=Correspondance de Dold-Kan}}
* {{Lien|langue=en|trad=Simplicial presheaf|fr=Préfaisceau simplicial}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Théorie des catégories]]
[[Catégorie:Topologie algébrique]]