Voir la source de Entier relatif

{{Voir homonymes|Entier}}

En [[mathématiques]], un '''entier relatif''', un '''entier rationnel''' ou simplement un '''nombre entier''' est un [[nombre]] qui se présente comme un [[entier naturel]] auquel on a adjoint un [[signe (arithmétique)|signe]] positif ou négatif indiquant sa position par rapport à [[zéro|0]] sur un axe orienté<ref>De cette position ''relative à zéro'' vient l'adjectif « relatif » appliqué à ces entiers. Lorsqu'il n'y pas de risque de confusion, le signe + signalant un relatif positif peut être omis.</ref>. Les entiers [[nombre positif|positifs]] (supérieurs à zéro) s'identifient aux [[entiers naturels]] : <math>0, 1, 2, 3 \ldots </math> tandis que les entiers [[nombre négatif|négatifs]] sont leurs [[opposé (mathématiques)|opposés]] : <math>0, -1, -2, -3 \ldots</math> L'entier <math>0</math> lui-même est donc le seul nombre à la fois positif et négatif<ref>Selon certaines conventions différentes, en vigueur notamment dans les pays anglo-saxons, l'entier zéro n'est ni positif ni négatif (''cf'' {{en}} [[:en:Zero|Zero]]).</ref>.

Un [[nombre réel]] est entier s'il peut s'écrire sans [[partie fractionnaire]] en écriture positionnelle de base entière, c'est-à-dire sans chiffre (autre que [[zéro]]) « après la virgule »<ref>Plus précisément, il suffit qu'il puisse s'écrire ainsi dans au moins un  système de notation positionnelle de base entière, par exemple en écriture décimale.</ref>.

Les entiers relatifs permettent d'exprimer la ''[[différence]]'' de deux entiers naturels quelconques. Entre autres significations de la différence, on peut citer la position sur un axe orienté par rapport à un point de référence (un axe à positions ''discrètes'', c'est-à-dire discontinues) ; le déplacement depuis une position d'origine, dans un sens ou dans l'autre ; ou encore la variation d'une valeur entière, donc comptée en unités (variation positive pour un gain, négative pour une perte).

L'[[ensemble]] des entiers relatifs est généralement noté  « <math>\mathbb Z</math> »<ref>De l'[[allemand]] ''{{Lang|de|Zahlen}}'', « nombres ».</ref>. La présence d'un [[astérisque]] en [[exposant (typographie)|exposant]] (« <math>\mathbb Z^*</math> ») désigne l'ensemble des entiers relatifs non nuls. La notation « <math>\mathbb Z^-</math> » désigne l'ensemble des entiers négatifs. Il est plus rare de trouver la notation « <math>\mathbb Z^+</math> » qui désigne les [[Entier naturel|entiers naturels]] dont l'ensemble est usuellement noté « <math>\mathbb N</math> ».

Cet ensemble est ([[ordre total|totalement]]) [[ensemble ordonné|ordonné]] pour la relation de comparaison usuelle héritée de celle des entiers naturels. Muni des opérations d'[[addition]] et de multiplication, il est constitue un [[anneau commutatif]].

Les entiers relatifs sont aussi appelés '''entiers rationnels'''<ref>{{HardyWrightFr}}, chapitre 12.</ref>{{,}}<ref>Mais le [http://agreg.org/ProgAgregMath2009.pdf programme officiel de l'agrégation de mathématiques], et les [http://agreg.org/sujets.html sujets] correspondants, utilisent l'appellation plus courante en France « entiers relatifs ».</ref>, appellation qui ne doit pas entraîner de confusion avec les [[nombres rationnels]] ou fractions. Cette dénomination vient de l'anglais {{anglais|rational integer}}, et désigne un cas particulier d'[[entier algébrique|entiers algébriques]], construit sur le [[corps de nombres]] des [[nombre rationnel|rationnels]]. On trouve cette appellation chez [[Nicolas Bourbaki]]{{Sfn|Bourbaki|1947|p=3}} et certains mathématiciens s'inscrivant dans le mouvement des [[mathématiques modernes]], parmi lesquels [[Georges Papy]].
[[Fichier:Number-line.svg|thumb|alt=La droite des nombres|La droite des nombres permet de représenter les entiers relatifs.|upright=3]]

== Motivation ==
La principale raison de l'introduction des [[Nombre négatif|nombres négatifs]] est la possibilité de résoudre toutes les équations de la forme : 
: <math>a+x=b</math>, où <math>x</math> est l'inconnue et <math>a</math> et <math>b</math> sont des paramètres.
Dans l'ensemble des entiers naturels, seules certaines de ces équations ont une solution.
: <math>5 + x = 8</math> si et seulement si <math>x = 3</math>
: <math>9 + x = 4</math> n'a pas de solution dans l'ensemble des entiers naturels. Elle possède une solution dans l'ensemble des entiers relatifs qui est <math>-5</math>.

== Fragments d'histoire ==
La première allusion à des nombres négatifs apparaît dans des textes indiens  comme  ''l'Arybhatiya'' du mathématicien indien [[Âryabhata]] (476-550) où sont définies les règles d'additions et de soustractions. Les nombres négatifs apparaissent alors comme représentant des dettes et les nombres positifs comme des recettes. Quelques siècles plus tard, dans les écrits du mathématicien perse [[Abu l-Wafa]] (940-998), on voit apparaître des produits de nombres négatifs par des nombres positifs. Cependant le nombre reste encore attaché à des quantités physiques et le nombre négatif n'a guère de statut ''légal''. [[Abou Jafar Muhammad Ibn Mūsa al-Khuwārizmī|Al Khuwarizmi]] (783-850) par exemple, dans son ouvrage ''la Transposition et la réduction'' préfère traiter 6 types d'équations du second degré au lieu d'envisager des soustractions.

En Europe les nombres relatifs apparaissent tardivement, on attribue en général à [[Simon Stevin]] (1548-1620) la fameuse [[#Multiplication|règle des signes]] pour le produit de deux entiers relatifs. [[Jean le Rond D'Alembert|D'Alembert]] (1717-1783) lui-même dans l'''[[Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers|Encyclopédie]]'' envisage le nombre relatif comme une idée dangereuse.
{{Citation bloc|Il faut avouer qu'il n'est pas facile de fixer l'idée des quantités négatives, & que quelques habiles gens ont même contribué à l'embrouiller par les notions peu exactes qu'ils en ont données. Dire que la quantité négative est au-dessous du rien, c'est avancer une chose qui ne se peut pas concevoir. Ceux qui prétendent que 1 n'est pas comparable à −1<ref>Paradoxe classique : si -1 < 1 alors les inverses de ces deux nombres seraient rangés dans l'ordre inverse : l'inverse de -1 est -1 et l'inverse de 1 est 1 donc -1 > 1. paradoxe qui provient de la phrase incomplète "les inverses de ces deux nombres seraient rangés dans l'ordre inverse", il faudrait préciser "les inverses de deux nombres '''de même signe''' sont rangés dans l'ordre inverse". Voir l'article [[fonction inverse]] pour plus d'informations.</ref>, & que le rapport entre 1 & −1 est différent du rapport entre −1 & 1, sont dans une double erreur […] Il n'y a donc point réellement & absolument de quantité négative isolée : −3 pris abstraitement ne présente à l'esprit aucune idée.|D'Alembert|Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, [[s:L’Encyclopédie/1re édition/NÉGATIF|vol. 11]]}}

Il faut attendre encore plus d'un siècle et l'avènement du formalisme pour voir apparaître une [[construction des entiers relatifs|construction formelle de l'ensemble des entiers relatifs]] à partir de classes d'équivalence de couples d'entiers naturels.

C'est à [[Richard Dedekind]] (1831-1916) que l'on doit cette construction. Lui-même utilisait la lettre <math>K</math> pour désigner l'ensemble des entiers relatifs. Plusieurs autres conventions ont eu cours, jusqu'à ce que [[Nicolas Bourbaki]] popularise l'usage de la lettre <math>\mathbb{Z}</math>, initiale de l'allemand ''Zahlen'' (nombres)<ref>{{en}} [http://jeff560.tripod.com/nth.html Earliest Uses of Symbols of Number Theory].</ref>.

== Règles opératoires ==
Dans un nombre relatif, on distingue le signe (<math>+</math> ou <math>-</math>) et la [[valeur absolue]] : <math>-3</math> a pour valeur absolue <math>3</math>.

=== [[Addition]] ===
La somme de deux entiers de même signe s'obtient en additionnant les deux valeurs absolues et en conservant le signe commun :
: <math>(-3) + (-5) = -8</math>, écriture que l'on abrège en <math>-3-5 = -8</math>, supprimant le signe opératoire <math>+</math>.
La somme de deux entiers relatifs de signes contraires s'obtient en calculant la différence entre les deux valeurs absolues et en lui affectant le signe de l'entier ayant la plus grande valeur absolue :
: <math>(+3) + (-5) = -2</math>, écriture que l'on abrège en <math>3 - 5 = -2</math>.

=== [[Multiplication]] ===
Le résultat d'une multiplication s'appelle un produit.
Le produit de deux nombres relatifs de même signe est toujours positif (<math>+</math>) et s'obtient en effectuant le produit des valeurs absolues : 
: <math>(+3) \times   (+4) = +12  </math>  que l'on abrège en <math>3 \times  4 = 12</math>
: <math>(-3) \times  (-7)= + 21 = 21</math>
(le <math>+</math> n'étant pas obligatoire si le produit n'est pas négatif)

Le produit de deux nombres relatifs de signes différents est toujours négatif (<math>-</math>) et s'obtient en effectuant le produit des valeurs absolues 
: <math>(+7) \times (-4) = -28</math>

'''Règle des signes'''
: '''plus''' multiplié par '''plus''', donne produit '''plus'''.
: '''moins''' multiplié par '''moins''', donne produit '''plus'''
: '''moins''' multiplié par '''plus''' ou '''plus''' multiplié par '''moins''' donne produit '''moins'''

== Ensemble des entiers relatifs ==
=== Construction ===
{{Article détaillé|Construction des entiers relatifs}}
En partant des entiers naturels, les mathématiciens ont pu formellement définir les entiers relatifs et construire leur [[Construction des entiers naturels|ensemble, communément appelé <math>\Z</math>]]. L'origine de cette construction serait la volonté de définir des nombres tels que, pour tous <math>a</math> et <math>c</math> donnés, on puisse trouver <math>b</math> tel que <math>a+b=c</math>, ce qui est impossible avec des entiers naturels si <math>a>c</math> . Les nombres négatifs ont été utilisés dès l'Antiquité en Asie<ref>L'utilisation de tels nombres négatifs n'était pas appuyée sur des définitions formelles, mais sur des considérations pratiques. Par exemple une dette pouvait être associée à un nombre négatif.</ref>, mais il leur a fallu longtemps pour être admis en Occident{{Sfn|Bourbaki|1960|p=30-31}} : introduits par la géométrie, leur définition formelle date du {{XIXe siècle}}{{Sfn|Bourbaki|1960|p=37}}. Les nombres relatifs sont alors définis à partir de couples d'entiers naturels et d'une [[relation d'équivalence]]. Quant à l'addition comme la multiplication, elles sont déduites de celles définies pour les entiers naturels. L'ensemble <math>\Z</math> peut être considéré comme constitué de la réunion de l'ensemble des entiers naturels<ref>Y compris 0.</ref>, <math>\N</math>, et de celui de leurs opposés <math>(-\N)</math>. L'ensemble <math>\mathbb Z</math> des entiers relatifs peut ainsi être vu comme le [[symétrisation|symétrisé]] du semi-anneau <math>\mathbb N</math> des entiers naturels.
[[Fichier:Construction_blackboard_integers.jpg|thumb|alt=Une représentation d'une construction des entiers relatifs.|
Une représentation d'une construction des entiers relatifs.
|upright=1.5]]

=== Structure ===
L'ensemble des entiers relatifs, muni de ses [[loi de composition|lois]] d'addition et de multiplication, est le prototype de la notion d'[[anneau unitaire|anneau]]. Il s'agit même d'un [[anneau euclidien]], en référence à la [[division euclidienne]]. Il est donc également [[Anneau principal|principal]] et ''a fortiori'' [[Anneau factoriel|factoriel]] et [[Anneau noethérien|noethérien]].

La [[Distance (mathématiques)|distance]] usuelle sur <math>\mathbb Z</math> est la valeur absolue de la différence. Elle fait de <math>\mathbb Z</math> un [[espace métrique]] dont la [[Espace topologique|topologie]]  est [[topologie discrète|discrète]], si bien que l'espace est [[espace complet|complet]].
Les seules autres distances compatibles avec la structure d'anneau sont les [[Nombre p-adique|distances ''p''-adiques]], où ''p'' est un [[nombre premier]].

Le [[groupe (mathématiques)|groupe]] additif <math>(\mathbb Z, +)</math> est ([[à quelque chose près|à isomorphisme près]]) l'unique [[groupe monogène]] sans [[torsion (algèbre)|torsion]], c'est-à-dire l'unique [[groupe abélien libre]] de rang 1. C'est donc un [[groupe infini]] [[ensemble dénombrable|dénombrable]].

Ce groupe est [[Groupe totalement ordonné|totalement ordonné]] par la relation d'ordre usuelle.

=== Extensions ===
L'ensemble <math>\mathbb Z</math> des entiers relatifs se plonge dans l'ensemble des [[nombres décimaux]], noté <math>\mathbb D</math>, qui lui-même est une partie de l'ensemble des [[nombre rationnel|nombres rationnels]] noté <math>\mathbb Q</math>.

La notion d'entier est étendue par la définition des [[entier algébrique|entiers algébriques]], qui sont aux divers [[corps de nombres]] ce que les entiers relatifs sont au corps des rationnels. Les entiers rationnels, c'est-à-dire les entiers algébriques du corps des rationnels, sont donc exactement les entiers relatifs.

Pour chacune des distances <math>p</math>-adiques, le complété de <math>\mathbb Z</math> est un anneau des entiers <math>p</math>-adiques noté <math>\mathbb Z_p</math>, dont le corps de fraction est le corps des nombres <math>p</math>-adiques, noté <math>\mathbb Q_p</math> et qui contient <math>\mathbb Q</math>.

== Utilisations courantes ==
[[Fichier:20050501 1315 2558-Bimetall-Zeigerthermometer.jpg|vignette|Thermomètre gradué , en degrés Celsius, de -50 (côté bleu) à +50 (côté rouge).]]
Les nombres relatifs sont des nombres qui sont devenus relativement familiers. On les trouve :

* dans les [[Ascenseur|ascenseurs]] où par exemple -2 désignera le deuxième sous-sol ;
* sur les [[Thermomètre|thermomètres]] pour indiquer les températures en dessous de {{nb|0 °C}} ;
* sur les relevés bancaires où par exemple -120 indiquera un découvert de {{nb|120 euros}} ;
* dans le [[calendrier grégorien]], où les années avant la naissance de Jésus Christ ("avant J-C") sont parfois notées par un entier négatif, comme par exemple dans la phrase : "[[Jules César]] est né en -100".

== Notes et références ==
{{Références}}

== Bibliographie ==
* {{Ouvrage|prénom1=Nicolas|nom1=Bourbaki|titre=Eléments de mathématique|sous-titre=Algèbre linéaire|lieu=Paris|éditeur=Hermann et Cie|année=1947|pages totales=152|lire en ligne=https://archive.org/details/algebre00bour/mode/1up?view=theater|consulté le=1 mars 2025|plume=oui}}
* {{Ouvrage|prénom1=Nicolas|nom1=Bourbaki|titre=Eléments d'histoire des mathématiques|lieu=Paris|éditeur=Hermann|collection=Histoire de la pensée|année=1960|pages totales=284|lire en ligne=https://archive.org/details/elementsdhistoir0004nico/mode/1up?view=theater|consulté le=24 février 2025|plume=oui}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
  | wikiversity = Nombre entier relatif
}}
[[Entier (informatique)]]

{{Palette|Notion de nombre}}
{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Type de nombres]]