Voir la source de Epsilon d'une machine

{{Voir homonymes|eps}}

L''''epsilon d'un microprocesseur''' (abrégé en ''eps'') donne la limite supérieure de l'[[Erreur d'approximation|erreur d'approximation relative]] causé par [[Arrondi (mathématiques)|l'arrondi]] des calculs de ce microprocesseur en [[Virgule flottante|arithmétique à virgule flottante]]. Cette valeur est une caractéristique de [[Unité arithmétique et logique|l'arithmétique des ordinateurs]] dans le domaine de l'[[analyse numérique]], et par extension dans le sujet du [[calcul scientifique]]. {{Douteux|1=L'epsilon est aussi appelé '''''macheps''''' ou '''unité d'arrondi'''<ref>{{Ouvrage|langue=français|auteur1=Nicolas Louvet|titre=Algorithmes compensés en arithmétique flottante :
précision, validation, performances|date=2007|pages totales=195|lire en ligne=https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01315543/document}}</ref>. Il est parfois noté à l'aide du symbole grec [[epsilon]] ou gras Romain '''u'''.|2=La définition de '''u''' est relativement standard. Les sources semblent différer pour ε; c'est d'ailleurs ce qui est dit dans le tableau plus bas. Cet article semble faire une confusion entre les deux.|date=22 décembre 2021}}

== Valeur pour les unités matérielles standard d'arithmétique à virgule flottante ==

Les valeurs d'epsilon standards suivantes s'appliquent pour le matériel implémentant les normes IEEE de calcul en virgule flottante:
{| style="margin-bottom: 10px;" class="wikitable"
! IEEE 754 - 2008 
! Nom usuel
! type de donnée C++
! Base <math>b</math>
! Précision <math>p</math>
!  Epsilon<ref name="a" group="notes">selon le prof. Demmel, [[Linear Algebra Package|LAPACK]], [[Scilab]]</ref><math>b^{-(p-1)}/2</math>
!  Epsilon<ref name="b" group="notes">selon le prof. Higham; la norme C ISO; les constantes définies par les langages [[C (langage)|C]], [[C++]] et [[Python (langage)|Python]], [[Mathematica]], [[MATLAB]] et [[GNU Octave|Octave]]; divers manuels universitaires - voir ci-dessous pour la dernière définition</ref><math>b^{-(p-1)}</math>
|-
| align="center" |binary16
| align="right" |demi-précision
| align="center" |short
| align="center" |2
| align="center" |11 (un des bits est implicite)
| align="center" |2<sup>−11</sup> ≈ 4.88e-04
| align="center" |2<sup>−10</sup> ≈ 9.77e-04
|-
| align="center" |binary32
| align="right"  |simple précision
| align="center" |float
| align="center" |2
| align="center" |24 (un des bits est implicite)
| align="center" |2<sup>−24</sup> ≈ 5.96e-08
| align="center" |2<sup>−23</sup> ≈ 1.19e-07
|-
| align="center" |binary64
| align="right"  |double précision
| align="center" |double
| align="center" |2
| align="center" |53 (un des bits est implicite)
| align="center" |2<sup>−53</sup> ≈ 1.11e-16
| align="center" |2<sup>−52</sup> ≈ 2.22e-16
|-
| align="center" |?
| align="right"  |{{Lien|trad=Extended precision|précision étendue}}
| align="center" |_float80<ref name="xfloat">[https://gcc.gnu.org/onlinedocs/gcc/Floating-Types.html#Floating-Types Floating Types - Using the GNU Compiler Collection (GCC)]</ref>
| align="center" |2
| align="center" |64
| align="center" |2<sup>−64</sup> ≈ 5.42e-20
| align="center" |2<sup>−63</sup> ≈ 1.08e-19
|-
| align="center" |binary128
| align="right" |quadruple précision
| align="center" |_float128<ref name="xfloat" />
| align="center" |2
| align="center" |113 (un des bits est implicite)
| align="center" |2<sup>−113</sup> ≈ 9.63e-35
| align="center" |2<sup>−112</sup> ≈ 1.93e-34
|-
| align="center" |decimal32
| align="right" |simple précision décimale
| align="center" |_Decimal32<ref name="decfloat">[https://gcc.gnu.org/onlinedocs/gcc/Decimal-Float.html#Decimal-Float Decimal Float - Using the GNU Compiler Collection (GCC)]</ref>
| align="center" |10
| align="center" |7
| align="center" |5 × 10<sup>−7</sup>
| align="center" |10<sup>−6</sup>
|-
| align="center" |decimal64
| align="right" |double précision décimale
| align="center" |_Decimal64<ref name="decfloat" />
| align="center" |10
| align="center" |16
| align="center" |5 × 10<sup>−16</sup>
| align="center" |10<sup>−15</sup>
|-
| align="center" |decimal128
| align="right" |quadruple précision décimale
| align="center" |_Decimal128<ref name="decfloat" />
| align="center" |10
| align="center" |34
| align="center" |5 × 10<sup>−34</sup>
| align="center" |10<sup>−33</sup>
|}

== Définition formelle ==
Une procédure'' d'arrondi'' est une procédure de choix de la représentation d'un [[nombre réel]] dans un [[système de numération]] en [[virgule flottante]]. Étant donné ce système de numération et une procédure d'arrondi, l’epsilon est le maximum de [[Erreur d'approximation|l'erreur d’approximation relative]] de la procédure d'arrondi choisie.

D’autres définitions et informations permettent de calculer l’epsilon à partir de l'erreur relative. Un système de numération à virgule flottante est caractérisé par une [[Base (arithmétique)|base]] <math>b</math> et par une [[Précision arithmétique|précision]] <math>p</math>, qui donne le nombre de chiffres de composant la [[mantisse]] (y compris les éventuels bits implicites). Les nombres représentés avec un [[exposant (mathématiques)|exposant]] <math>e</math> sont espacés d'une valeur de <math>b^{e-(p-1)}</math>. L'espacement change aux nombres qui sont des puissances entières de <math>b</math>; l'espacement du côté de plus grande magnitude est <math>b</math> fois plus grand que l'espacement du côté de plus petite magnitude.

L'epsilon étant une borne pour l'erreur d'approximation relative, il ne dépend pas de l’exposant<ref name="what every">{{What every computer scientist should know about computer arithmetic}}_{{commentaire biblio|elle varie entre <math>b/2*b^{-p}*b^e/b^e</math> et <math>b/2*b^{-p}*b^e/b^{e+1}</math>}}</ref>. Pour le déterminer, il suffit donc de considérer le cas ou l’exposant est nul. Il suffit également de considérer les nombres positifs. Pour l'arrondi usuel, c’est-à-dire l’arrondi vers le nombre le plus proche, l'erreur d'approximation absolue est au plus la moitié de l'espacement, c'est-à-dire <math>b^{-(p-1)}/2</math>. Cette valeur est la plus grande valeur possible pour le numérateur de l'erreur relative. Le [[dénominateur]] de la formule est le nombre à arrondir, qui devrait être aussi petit que possible pour que l'erreur relative soit grande. La pire erreur relative se produit donc quand l'arrondi est appliqué à des nombres de la forme <math>1+a</math>, où <math>a</math> est compris entre <math>0</math> et <math>b^{-(p-1)}/2</math>. Tous ces nombres sont arrondis vers <math>1</math> avec l'erreur relative <math>a/(1+a)</math>. Le maximum est atteint pour <math>a</math> à l'extrémité haute de cet intervalle. Le dénominateur, de valeur <math>1+a</math>, est négligeable en comparaison du numérateur, on peut donc l’ignorer par commodité; l'epsilon est donc donné parla formule <math>b^{-(p-1)}/2</math>. L'erreur relative est la plus grande pour les nombres qui s'arrondissent vers <math>1</math>, ce qui permet de nommer l'epsilon aussi parfois ''unité d'arrondi'' pour dénoter de manière informelle « l’erreur relative maximale possible lors de l'arrondi vers l'unité ».

Ainsi, l'espacement maximal entre nombre à virgule flottante normalisé {{math|x}} et un nombre normalisé adjacent est <math>2\epsilon\times|x|</math><ref name="a">{{Harvsp|Higham|2002}}.</ref>.

== Modèle arithmétique ==
L'[[analyse numérique]] utilise l'epsilon de la machine pour étudier les effets de l'erreur d'arrondi. Les valeurs réelles des erreurs de l'arithmétique de la machine sont en général bien trop compliquées pour être étudiées directement ; un modèle simple est donc utilisé. La norme arithmétique de l'IEEE  définit que toutes les opérations en virgule flottante sont calculées en supposant qu'il est possible d'effectuer les opérations avec une précision infinie, puis en supposant que le résultat soit arrondi à un nombre à virgule flottante. Supposons que <math>x,y</math> sont des nombres à virgule flottante, que <math>\bullet</math> est une opération arithmétique sur des nombres à virgule flottante, telle que l'addition ou la multiplication, et que <math>\circ</math> est l'opération effectuée avec une précision infinie. Selon la norme, l'ordinateur calcule {{indente|<math>x \bullet y = \mbox {round} (x \circ y)</math>}} Par définition de l'epsilon, l'erreur relative de l'arrondi est au plus de sa magnitude, de sorte que {{indente|<math>x \bullet y = (x \circ y)(1 + z)</math>}}où <math>z</math>, en [[magnitude absolue]], est égal au plus à epsilon. Les ouvrages de Demmel et Higham dans les références peuvent être consultés pour voir comment ce modèle est utilisé pour l'analyse des erreurs d'algorithmes comme l'élimination de Gauss.

== Variantes de la définition ==
La norme IEEE ne définit pas les termes de'' machine epsilon'' (epsilon de la machine) ni d'''unit roundoff'' (unité d'arrondi). Il en résulte qu'il existe des variantes pour les définitions qui sont parfois utilisées en pratique, ce qui peut mener à une certaine confusion.

La définition donnée ici pour ''machine epsilon'' est celle du professeur [[James Demmel]] dans ses notes de cours<ref>{{Lien web|lang=en|url=http://www.cs.berkeley.edu/~demmel/cs267/lecture21/lecture21.html|titre=Basic Issues in Floating Point Arithmetic and Error Analysis|consulté le=21 Oct 1999}}</ref> et son logiciel d'algèbre linéaire ''[[LAPACK]]'' package<ref>{{Lien web|url=http://www.netlib.org/lapack/lug/node74.html|titre=LAPACK Users' Guide Third Edition|date=22 Aout 1999}}</ref>, et par des articles de recherche scientifique sur le calcul numérique<ref>{{Article|url=https://www.ualberta.ca/~kbeach/phys420_580_2010/docs/ACM-Goldberg.pdf|auteur=David Goldberg|titre=What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic|revue=ACM Computing Surveys|volume=23|numéro=1|mois=Mars|année=1991}}</ref> et de certains logiciels de calcul scientifique<ref>{{Lien web|url=http://help.scilab.org/docs/5.3.3/en_US/number_properties.html|titre=Scilab documentation - number_properties - determine floating-point parameters}}</ref>. La plupart des analystes numériques utilisent les termes (en anglais) ''machine epsilon'' et ''unit roundoff'' comme des termes synonymes, ayant la définition présentée ici.

La définition suivante est beaucoup plus répandue en-dehors du milieu universitaire : l'''epsilon est défini comme le plus petit nombre qui, ajouté à un, donne un résultat différent de un.'' Avec cette définition, l'epsilon est égal à la valeur de l'{{Lien|trad=Unit in the last place|unité à la dernière place}} par rapport à 1, c'est-à-dire<ref>notez qu'ici p est défini comme la précision, càd le nombre total de bits de la mantisse en incluant le bit de poids fort implicite. C'est le cas notamment dans la table ci-dessus</ref> pour la procédure d'arrondi au plus proche '''u'''. La prévalence de cette définition vient de son utilisation dans la norme ISO du langage C, en particulier la définition des constantes concernant les types à virgule flottante<ref>Jones, Derek M. (2009).</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|url=http://www.cplusplus.com/reference/cfloat/|titre="float.h reference at cplusplus.com"}}{{commentaire biblio|la documentation de référence de l’en-tête "float.h" exposant les fonctions de manipulation des nombres en virgule flottante en langage C}}</ref> et celles équivalentes d'autres langages de programmation<ref>{{Lien web|url=http://www.cplusplus.com/reference/limits/numeric_limits/|titre=std::numeric_limits reference at cplusplus.com}}{{commentaire biblio|une documentation de la bibliothèque standards du langage C++ concernant les valeurs extrêmes des types de données numériques que le langage utilise, qui sont calculés en fonction de la machine pour laquelle le programme est compilé}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|url=https://docs.python.org/3/library/sys.html|titre=Python documentation - System-specific parameters and functions}}{{Commentaire biblio|Documentation du langage python sur les fonctions de sa bibliothèque qui exposent des valeurs qui dépendent du système sur lequel le programme python est exécuté}}</ref>. Elle est également largement utilisée dans le monde des logiciels de calcul scientifique<ref>{{Lien web|url=http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/$MachineEpsilon.html|titre=Mathematica documentation: $MachineEpsilon}}{{commentaire biblio|la documentation d'une constante du logiciel de calcul mathématique [[Mathematica]] qui expose l’epsilon de la machine}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|url=http://www.mathworks.de/de/help/matlab/ref/eps.html|titre=Matlab documentation - eps - Floating-point relative accuracy}}{{commentaire biblio|la documentation du logiciel de calcul [[Matlab]] qui documente la précision des calculs}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|url=http://octave.sourceforge.net/octave/function/eps.html|titre=Octave documentation - eps function}}{{Commentaire biblio|Documentation du logiciel octave documentant la fonction permettant de récupérer la valeur de l’epsilon}}</ref>, dans la littérature sur les nombres et le calcul<ref name="a"/>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur1=Alfio Quarteroni|auteur2=Riccardo Sacco|auteur3=Fausto Saleri|titre=Méthodes numériques pour le calcul scientifique|année=2000}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur1=William H. Press|auteur2=Saul A. Teukolsky|auteur3=William T. Vetterling|auteur4=Brian P. Flannery|titre=Numerical Recipes|page=890}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Gisela Engeln-Müllges]]|auteur2=Fritz Reutter|année=1996|titre=Numerical Algorithms with C}}</ref> et dans d'autres ressources académiques<ref>{{Lien web|url=http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/corless/u/html/u.html|auteur=Robert M. Corless|titre=The Machine Epsilon|date=28 Jun 2005}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|url=http://homepages.math.uic.edu/~hanson/mcs471/cp1f04.html|titre=MCS 471 Computer Problem 1|date=2004}}</ref>.

== Comment déterminer l'epsilon ==
Le langage [[Fortran]] dispose, depuis la norme Fortran 90, de la fonction <code>epsilon(x)</code> qui renvoie l'epsilon correspond au type de réel de <code>x</code>.

Dans les cas où les bibliothèques standard ne fournissent pas de valeurs pré-calculées (comme <{{lien|float.h}}> le fait avec <code>FLT_EPSILON</code>, <code>DBL_EPSILON</code> et <code>LDBL_EPSILON</code> en C et <[[Bibliothèque standard du C++|limits]]> avec <code>std::numeric_limits<<var>T</var>>::epsilon()</code> en C++), la meilleure manière de déterminer l'epsilon d'une machine est de se référer à la table ci-dessus, et utiliser la formule de puissance appropriée. Le calcul est souvent donné comme un exercice dans les manuels d'apprentissage. Les exemples suivants utilisent la définition de la distance des nombres à virgule flottante à 1 plutôt que celle d'unité d'arrondi.

Notez que les résultats dépendent du type de nombre à virgule flottante (comme '''float''', '''double''', '''long double''', ou types équivalents dans d'autres langages de programmation), du compilateur et des bibliothèques utilisés, et finalement de la plateforme où sera exécuté le programme.

Certains formats pris en charge par le [[microprocesseur]] peuvent ne pas être pris en charge par le compilateur choisi ou par le système d'exploitation. D'autres types sont parfois émulés par la bibliothèque d'exécution, y compris l'[[Arithmétique multiprécision|arithmétique à précision arbitraire]], disponible dans certains langages et bibliothèques.

Au sens strict, le terme d'''epsilon'' désigne la précision '''1+eps''' directement prise en charge par le processeur (ou le coprocesseur), et non une précision '''1+eps''' prise en charge par un compilateur spécifique pour un système d'exploitation spécifique, sauf s'il est connu pour utiliser le meilleur format disponible.

Les types à virgule flottante de la norme [[IEEE 754]] ont la propriété, lorsqu'ils sont réinterprétés comme des entiers codés en complément à deux entier de la même taille, de croître de manière monotone sur les valeurs positives et de décroître de manière monotone sur les valeurs négatives (voir la {{Lien|trad=Single-precision floating-point format#IEEE 754 single-precision binary floating-point format: binary32|représentation binaire des floats 32 bits}}). De plus, si  ''f''(''x'') est l'interprétation de x en [[complément à 2]] susmentionnée, alors 0 < |''f''(''x'')| < ∞, et |''f''(''x''+1) − ''f''(''x'')| ≥ |''f''(''x'') − ''f''(''x''-1)|. Dans les langages qui permettent la {{Lien|trad=Type punning|réinterprétation de type}} tout en utilisant IEEE 754-1985, nous pouvons exploiter tout ceci pour calculer un epsilon en temps constant. Par exemple, en C:

<syntaxhighlight lang="c">
typedef union {
  long long i64;
  double d64;
} dbl_64;
double machine_eps (double value)
{
    dbl_64 s;
    s.d64 = value;
    s.i64++;
    return s.d64 - value;
}
</syntaxhighlight>

Le résultat est de même signe que <code>value</code>. Si l'on souhaite obtenir un résultat toujours positif, l'instruction de retour de cette routine peut être remplacée par :<syntaxhighlight lang="c">
    return (s.i64 < 0 ? value - s.d64 : s.d64 - value);
</syntaxhighlight>Pour les nombres à double précision en 64 bits, la valeur retournée par <code>machine_eps</code> avec en entrée 1.0 est <math>2^{-52}</math> soit approximativement 2.220446e-16.

=== Approximation ===
L'algorithme suivant, très simple, peut être utilisé pour trouver une approximation de l'epsilon d'une machine, un facteur deux (un [[ordre de grandeur]]) de sa valeur réelle, par une [[Recherche séquentielle|recherche linéaire]].

 epsilon = 1.0;
 
 tant que (1.0 + 0.5 * epsilon) ≠ 1.0:
    epsilon = 0.5 * epsilon

== Voir aussi ==
* [[Virgule flottante]], discussion générale sur les questions relatives à l'exactitude dans l'arithmétique à virgule flottante
* {{Lien|lang=en|trad=Unit in the last place|Unité du dernier emplacement}} (ULP)

== Notes et références ==
<references group="notes"/>
<references />
{{Traduction/Référence|en|Machine epsilon|737142193}}

== Liens externes ==
* [http://orion.math.iastate.edu/burkardt/c_src/machar/machar.html MACHAR], une routine (en C et Fortran) pour le "calcul dynamique des constantes d'une machine" (algorithme ACM 722)
* [http://www.zinnamturm.eu/downloadsAC.htm#CpcFloat Le diagnostic de précision des calculs en virgule flottante], la mise en Œuvre de MACHAR en {{Lien|langue=en|trad=Component Pascal|Component Pascal}} et [[Oberon (langage)|Oberon]] basé sur la version Fortran 77 de MACHAR publié dans [[Numerical Recipes]] (Press et al., 1992).

{{Portail|Informatique}}

[[Catégorie:Virgule flottante]]