Voir la source de Espérance mathématique

{{Voir homonymes|Espérance}}
{{sources|date= août 2011}}
[[Fichier:Sixsided Dice inJapan.jpg|vignette|Avec un dé on peut obtenir chaque nombre entre 1 et 6 avec une probabilité de 1/6. Ainsi, l'espérance vaut <math>\frac{(1+2+3+4+5+6)}6 = 3.5</math>.]]
En [[théorie des probabilités]], l''''espérance mathématique''' (ou tout simplement '''espérance''', ou '''premier moment''') d'une [[variable aléatoire réelle]] est, intuitivement, la moyenne des valeurs obtenues si l'on répète un grand nombre de fois la même [[expérience aléatoire]]. Étant donné que c'est une moyenne, il se peut qu'elle ne soit pas dans les valeurs réalisables, et donc ce n'est pas forcément une valeur que l'on s'attend à trouver durant une expérience. Si <math> X</math> est une variable aléatoire, l'espérance de <math> X</math> se note <math>\mathbb E [X]</math> (ou <math>\mathbb E (X)</math><ref>Le <math>\mathbb E</math> peut par ailleurs être typographié <math>E</math> ou <math>\text{E}</math>.</ref>).

Elle correspond à une [[moyenne pondérée]] des valeurs que peut prendre cette variable. Dans le cas où celle-ci prend un nombre fini de valeurs, il s'agit d'une moyenne pondérée par les probabilités d'apparition de chaque valeur. Dans le cas où la variable aléatoire possède une [[Variable aléatoire à densité|densité de probabilité]], l'espérance est la moyenne des valeurs pondérées par cette densité. De manière mathématiquement plus précise et plus générale, l'espérance d'une variable aléatoire est l'intégrale de cette variable selon la mesure de probabilité de l'[[espace probabilisé]] de départ.

La présentation intuitive de l'espérance exposée ci-dessus est la conséquence de la [[loi des grands nombres]] : l'espérance, si elle existe<ref>Il n'existe pas toujours d'espérance pour une variable aléatoire. En particulier les lois de distribution à [[longue traîne]] , comme la [[Loi de Cauchy (probabilités)|distribution de Cauchy]], produisent des intégrales non convergentes. Ce ne sont donc pas des lois de probabilité, et elles n'ont pas d'espérances définies. </ref>, est la [[convergence presque sûre|limite presque-sûre]] de la moyenne des résultats au cours de plusieurs expériences, quand leur nombre augmente à l'infini.

L'espérance est une caractéristique importante d'une [[loi de probabilité]] : c'est un [[indicateur de position]]. Ainsi, une variable aléatoire est dite centrée si son espérance est nulle. Elle forme, avec la [[variance (statistiques et probabilités)|variance]], [[indicateur de dispersion]], l'ensemble des indicateurs qui sont presque systématiquement donnés quand est présentée une variable aléatoire.

L'espérance joue un rôle important dans un grand nombre de domaines, comme dans la [[théorie des jeux]], la [[Théorie de la décision dans l'incertain|théorie de la décision]], ou encore en [[théorie du signal (mathématiques)|théorie du signal]] et en [[statistique inférentielle]] où un [[estimateur (statistique)|estimateur]] est dit sans [[Biais (statistique)|biais]] si son espérance est égale à la valeur du paramètre à estimer.

La notion d'espérance est popularisée par [[Christian Huygens]] dans son ''Traité du hasard'' de 1656 sous le nom de {{Citation|valeur de la chance}}.

== Motivations historiques ==
La répartition des mises d'un [[jeu de hasard]] si la partie est interrompue avant sa fin, ou encore  l'estimation des sommes qu'on peut espérer gagner dans un tel jeu, ont suscité l'intérêt des mathématiciens dès le {{s-|15}} ([[Luca Pacioli]]), et de nombreuses contributions et controverses jusque vers le milieu du {{s-|17}}, notamment de la part de [[Niccolò Fontana Tartaglia|Tartaglia]], Forestani et  [[Jérôme Cardan|Cardan]]<ref>{{Ouvrage|langue=Français|auteur1=Ernest Coumet|titre=Le problème des partis avant Pascal|éditeur=Archives internationales d’histoire des sciences, juillet-décembre 1965, n° 72-73, p. 245-272|date=1965|lire en ligne=https://books.openedition.org/pufc/13768|consulté le=17 Novembre 2021}}</ref>. Cette question est celle examinée, et largement résolue, par  [[Blaise Pascal]] dans son [[problème des partis]]<ref>Lettre de Pascal à Fermat du 29 juillet 1654, citée et analysée dans ''[https://arxiv.org/pdf/1309.2824.pdf Pascal, Fermat et la géométrie du hasard]'' {{pdf}}, Nicolas Trotignon, {{1er}} juin 1998, {{Citation|La méthode pas à pas}}, {{p.|5-6}}.</ref> en 1654 et par [[Christian Huygens]] dans son ouvrage ''Du calcul dans les jeux de hasard''<ref name=":1">Christiaan Huygens, ''Œuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures, 1655-1666 (ed. D.J. Korteweg). Martinus Nijhoff, Den Haag 1920, [http://www.dbnl.org/tekst/huyg003oeuv14_01/huyg003oeuv14_01.pdf Van rekeningh in spelen van geluck/Du calcul dans les jeux de hasard, 1656-1657]. Voir en particulier {{p.|60-68}}.''</ref>en 1657.

=== Pascal et le problème des partis ===
Dans une lettre à Fermat datée du 29 juillet 1654, Blaise Pascal mentionne un  problème qui lui a été posé par le [[Antoine Gombaud|chevalier de Méré]]<ref>{{Ouvrage|langue=Français|auteur1=Blaise PASCAL|titre=Oeuvres complètes Tome 4|passage=412-420|lieu=La Haye|éditeur=Detune|date=1779|pages totales=493|lire en ligne=https://archive.org/details/CHEPFL_LIPR_AXA93_04/page/n3/mode/2up?q=Fermat&view=theater|consulté le=5 Décembre 2021}}</ref>, auquel il  donne une esquisse de solution. Pascal reprend ce sujet et en approfondit les solutions dans son "''[[Traité du triangle arithmétique]]''", publié en 1655, dans la partie intitulée "''Usage du triangle arithmétique pour déterminer les partis qu'on doit faire entre deux Joueurs qui jouent plusieurs parties''"<ref>{{Ouvrage|langue=Français|auteur1=Blaise PASCAL|titre=Oeuvres complètes Tome 5|passage=32-54|lieu=La Haye|éditeur=Detune|date=1779|pages totales=462|isbn=|lire en ligne=https://archive.org/details/CHEPFL_LIPR_AXA93_05/mode/2up|consulté le=5 Décembre 2021}}</ref>.

Pascal imagine un jeu de pile ou face avec un pot commun de 64 pistoles, et  le premier joueur à voir apparaître trois fois la face qu'il a choisie remporte la mise. Si le jeu s'interrompt à un moment où chacun des deux joueurs a la même chance de gagner, il est équitable  de répartir les 64 pistoles à parts égales entre chaque joueur, mais si la partie s'interrompt alors qu'un des joueurs a pris un avantage, la répartition doit se faire autrement.
Pascal imagine ainsi que le jeu s'interrompt alors que les lancers de pièces ont été PPF (pile-pile-face). Il envisage alors ce qu'aurait été le coup suivant :
* si le coup suivant avait été P, le joueur ayant misé sur P aurait tout remporté et gagné 64 pistoles ;
* si le coup suivant avait été F, la partie aurait été équitable et l'interruption du jeu aurait conduit à distribuer 32 pistoles à chaque joueur.
Pour Pascal, le joueur ayant misé sur P doit obtenir 32 pistoles à coup sûr mais a une chance sur deux de gagner 32 pistoles supplémentaires. Il doit donc récupérer 48 pistoles.

Pascal ne parle pas de probabilité ni d'espérance de gain mais son idée intuitive reste d'associer un gain à une chance de l'obtenir<ref>Nicolas Trotignon, ''[https://arxiv.org/pdf/1309.2824.pdf Pascal, Fermat et la géométrie du hasard]'' {{pdf}}, {{1er}} juin 1998, {{p.|17}}.</ref>. Les 48 pistoles que Pascal propose de donner au joueur ayant misé sur P correspondent de fait à son espérance de gain :  si la partie s'arrête au quatrième coup, ce joueur a une chance sur deux de gagner 64 pistoles (si la pièce tombe sur P) et une chance sur deux de gagner seulement 32 pistoles (si la pièce tombe sur F et que le jeu s'interrompt). Son espérance de gain est alors de 
{{retrait|<math> S=64\times\frac 12 + 32\times\frac 12</math>}}
(on multiplie chaque gain par la probabilité de l'obtenir puis on fait la somme de tous ces produits).

=== Christian Huygens et la « valeur de la chance » ===
Christian Huygens publie en 1657 son ouvrage ''{{lang|la|De ratiociniis in Ludo Aleae}}'', petit traité en latin d'une vingtaine de pages<ref>{{Ouvrage|langue=Latin|auteur1=Christiaan Huygens|titre=De Ratiociniis in Ludo Aleae|lieu=La Haye|date=1657|lire en ligne=https://archive.org/details/DeRatiociniisInLudoAleae/mode/2up?view=theater|consulté le=18 Novembre 2021}}</ref>, qui sera traduit ensuite en néerlandais, puis en français et bien d'autres langues. Ce traité est considéré comme le premier livre sur le calcul des probabilités dans les jeux de hasard, et une des fondations de la théorie des probabilités. Il contient 14 "propositions". La proposition 4<ref name=":1" />reprend le problème des partis étudié peu de temps auparavant par Pascal. La proposition 3<ref name=":1" />s’intéresse à la somme à miser pour que le jeu soit équitable, c'est-à-dire que le joueur, sur un très grand nombre de parties, équilibre ses mises et ses gains{{Note|texte=En langage mathématique moderne, on dirait que l'espérance de gain net du joueur est nulle. Huygens définit un jeu équitable comme un jeu "qui ne vise au détriment de personne".}}. Huygens y  établit que, si dans un jeu, on a p chances de gagner la somme ''a'' pour q chances de gagner la somme ''b'', il faut miser :
{{retrait|<math>S=\frac{ap+bq}{p+q}</math>}}
pour que le jeu soit équitable. Il considère que cette mise est aussi le juste prix auquel un joueur devrait céder sa place à une personne désirant le remplacer pour la suite d'une partie en cours.

Dans son traité, il formalise ainsi la notion d'espérance, qu'il nomme la {{cita|''valeur de ma chance''}}{{Note|texte=Huygens utilise le mot latin « ''{{lang|la|expectatio}}'' », soit en français « attente » ou « espoir ».}}, et l'étend à d'autres domaines que la théorie des jeux. En particulier, avec son frère, il s'intéresse à l'espérance de vie<ref>{{Article  |auteur1= Jean-Marc Rohrbasser|auteur2=Jacques Véron|titre=Les frères Huygens et le « calcul des aages » : l'argument du pari équitable |périodique=Population |volume=54 |numéro=6 |année=199 |pages=993-1011|lire en ligne=http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/pop_0032-4663_1999_num_54_6_7063 |consulté le=28 août 2014}}.</ref>.

=== Espérance, moyenne et loi des grands nombres ===
[[File:Largenumbers.svg|upright=1.2|Illustration de la convergence vers 3,5 de la suite des moyennes obtenues pour des lancers de dés quand le nombre de lancers augmente.|thumb|right]]
L'espérance est fortement liée à l'idée de moyenne<ref name=":0">{{Référence Harvard sans parenthèses|Grégory MIERMONT|2017|p=55}}</ref>. En effet, la notion de hasard empêche de prédire le résultat d'une seule expérience aléatoire mais  la [[loi des grands nombres]] permet de mieux maitriser le résultat si on exécute un grand nombre d'expériences aléatoires de même type. Ainsi, au cours d'un seul lancer de dé, chaque face a normalement une chance sur 6 d'apparaître et il est difficile de prédire le résultat moyen sur trois lancers de dé. Mais, en renouvelant mille fois ou dix mille fois le lancer, les résultats se répartissent presque équitablement entre les différents nombres de 1 à 6{{Note|texte=Si le dé n'est pas pipé bien sûr. Voir l'article [[dé]].}}. La moyenne des nombres obtenus au cours de ces nombreux lancers s'approche alors de 
{{retrait|<math> \mu = 1\cdot\frac16 + 2\cdot\frac16 + 3\cdot\frac16 + 4\cdot\frac16 + 5\cdot\frac16 + 6\cdot\frac16 = 3,5.</math>}}
qui correspond à l'espérance de cette expérience de lancer de dé. L'espérance sert donc à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois. Elle sert par exemple, en théorie des jeux, à  prévoir la somme moyenne que chaque joueur va remporter<ref name=":2">En théorie des jeux, un jeu sera dit équitable si l'espérance de gain des joueurs est nulle, défavorable si elle est négative, et favorable si elle est positive.</ref>. Elle sert aussi dans le domaine des assurances pour déterminer le coût moyen d'une assurance permettant de couvrir les frais consécutifs aux accidents.

L'espérance et la loi des grands nombres permettent aussi d'invalider une loi de probabilité. On raconte qu'[[Henri Poincaré]] s'en serait servi, avec d'autres indices, pour mettre en évidence la malhonnêteté de son boulanger<ref>Alex Bellos, ''Alex au pays des chiffres'', [https://books.google.fr/books?id=7tA7ymC6AzIC&pg=PT389&lpg=PT389#v=onepage&q&f=false {{p.|389}}].</ref>. En effet, le poids d'un pain est soumis à des fluctuations aléatoires mais son espérance est fixée par la loi. Le poids d'un pain annoncé à {{unité|1|kg}}, par exemple, peut fluctuer autour de cette valeur. Poincaré aurait pesé sur une grande période le pain acheté chez son boulanger et aurait trouvé que son poids moyen était largement inférieur à {{unité|1|kg}}. Cette moyenne était trop loin de l'espérance et indiquait une malversation du commerçant.

== Définition ==
L'espérance d'une variable aléatoire <math>X </math> est définie, si elle existe, de façon mathématiquement précise par rapport à un [[espace probabilisé]], généralement noté <math>\left(\Omega, \mathcal A, \mathbb{P}\right)</math>, où <math>\Omega</math> est l'[[Univers (probabilités)|univers]] des possibles, <math>\mathcal A</math> la [[Tribu (mathématiques)|tribu]] (l'ensemble) des [[Événement (probabilités)|évènements]] possibles et  <math>\mathbb{P}</math> une [[loi de probabilité]] telle que <math>\mathbb{P(\Omega)}</math>=1.

Selon la nature de <math>X\colon\Omega\to\mathbb R</math>, la définition et la preuve d'existence de l'espérance sont plus ou moins simples, et explicitées ci-dessous.

=== Variable discrète prenant un nombre fini de valeurs ===
Si la variable {{mvar|X}} prend les valeurs {{math|''x''{{ind|1}}, ''x''{{ind|2}}, ... , ''x{{ind|n}}''}} avec les probabilités {{math|''p''{{ind|1}}, ''p''{{ind|2}}, ... , ''p{{ind|n}}''}}, l'espérance de {{mvar|X}} est définie comme :
{{retrait|<math>    \mathbb{E}[X] = x_1p_1 + x_2p_2 + \dotsb + x_np_n \;.</math>}}

Comme la somme des probabilités est égale à 1, l'espérance peut être considérée comme la moyenne  des {{mvar|x{{ind|i}}}} pondérée par les {{mvar|p{{ind|i}}}} 
{{retrait|<math> \mathbb{E}[X] = \frac{x_1p_1 + x_2p_2 + \dotsb + x_np_n}{p_1 + p_2 + \dotsb + p_n}\;.</math>}}

'''Exemple''' : Le jeu de la [[roulette (jeu de hasard)|roulette française]] consiste à lancer une petite bille sur une roulette contenant 37 cases. Un joueur mise une certaine somme ''M'' sur une des cases. Si la bille s'arrête dans sa case, on lui rembourse 36 fois sa mise (son gain est alors de {{nobr|35''M'' {{=}} 36''M'' – ''M''}}), sinon il perd sa mise (son gain est alors de {{nobr|– ''M'' {{=}} 0 – ''M''}}). Son espérance de gain est alors de :
{{retrait| <math>\mathbb{E}[\,\text{Gain}_M] = -M \times \frac{36}{37}\ +35M \times \frac{1}{37}\approx - 0,027 M.</math>}}
Ce résultat signifie qu'en moyenne, le joueur perd 2,7 % de sa mise à chaque jeu et inversement que le casino gagne en moyenne 2,7 % de la mise de chaque joueur. Le nombre de joueurs dans un casino est suffisamment important pour que cette espérance corresponde effectivement au gain moyen par joueur pour le casino. Ce jeu est donc défavorable aux joueurs, et favorable au casino<ref name=":2" />.

=== Variable discrète prenant un ensemble dénombrable de valeurs ===
Si la variable {{mvar|X}} prend une infinité [[ensemble dénombrable|dénombrable]] de valeurs {{math|''x''{{ind|1}}, ''x''{{ind|2}}, ...}} avec les probabilités {{math|''p''{{ind|1}}, ''p''{{ind|2}}, ...}}, l'espérance de {{mvar|X}} est définie comme 
{{retrait|<math>\mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^\infty x_i\, p_i,</math>}}
à condition que cette somme soit [[Convergence absolue|absolument convergente]]<ref>L'absolue convergence permet à la somme d'être commutativement convergente, propriété indispensable à la preuve d'existence de l'espérance (cf.{{lien web |auteur=Léonardo Gallardo |titre=Cours de probabilité - chapitre 3 |url=http://www.lmpt.univ-tours.fr/~gallardo/coursProba1-3.pdf |site=Université de Tours}}, {{p.|6}})</ref>. Ainsi la série qui prendrait les valeurs 1, -2, 3, -4... avec les probabilités {{sfrac|''c''|1<sup>2</sup>}}, {{sfrac|''c''|2<sup>2</sup>}}, {{sfrac|''c''|3<sup>2</sup>}}, {{sfrac|''c''|4<sup>2</sup>}}..., où {{formule|''c'' {{=}} {{frac|6|π<sup>2</sup>}} }} est choisi de telle sorte que la somme des probabilités donne 1<ref>Voir l'article "[[Problème de Bâle]]"</ref>, donnerait pour somme infinie :
{{retrait| <math>\sum_{i=1}^\infty x_i\,p_i = c\,\left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dotsb \right).</math>}}
Cette somme infinie vaut<ref>Car la série harmonique alternée  (1-1/2+1/3-1/4...) converge vers ln(2). Voir l'article [[série harmonique]].</ref> {{nobr|''c'' ln(2) {{=}} 0,421488....}} Cependant il serait incorrect d'en conclure que l'espérance de {{mvar|X}} est égale à ce nombre : en fait, l'espérance de {{mvar|X}} n'existe pas car la série n'est pas absolument convergente (voir [[série harmonique]]).

=== Variable continue à densité ===
Si la variable aléatoire continue réelle {{mvar|X}} admet une [[densité de probabilité]] {{mvar|f}}, son espérance est définie comme :
{{retrait|<math> \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, \mathrm{d}x ,  </math>}}
à condition que l'intégrale soit absolument convergente.

=== Définition générale ===
La définition permet de retrouver toutes les définitions précédentes.
Cette définition est basée sur la [[théorie de la mesure]] et l'[[intégrale de Lebesgue]].
Soit {{mvar|X}} une [[variable aléatoire]] de l'[[espace probabilisé]] <math>(\Omega, \, \mathcal E, \, \mathbb{P})\,</math> vers <math>(\mathbb R, \, \mathcal B(\mathbb R))</math>. Si {{mvar|X}} est intégrable selon la mesure <math> \mathbb{P} </math>, l'espérance de {{mvar|X}} est définie par<ref name=":0" /> : 
{{retrait|<math>\mathbb E[X] = \int_\Omega X(\omega) \mathrm d \mathbb{P}(\omega).</math>}}
D'après le [[théorème de transfert]], elle est alors égale à 
{{retrait|<math>\mathbb E[X] = \int_{\mathbb R} x \mathrm d \mathbb{P}_X(x).</math>}}
Il s’agit donc du [[centre de masse (mathématiques)|centre de masse]], ou en encore du [[Moment (probabilités)|moment]] d'ordre 1, du support de {{mvar|X}} muni de la mesure de probabilité associée.

{{Ancre|Uhl2023Bild1}}[[File:Roland Uhl 2023 Charakterisierung des Erwartungswertes Bild1.svg|upright=1.15|frameless|right|border|Espérance µ et médiane 𝑚.]]
Mais l'espérance de la variable aléatoire <math>X</math> peut aussi être définie au graphe de sa [[fonction de répartition]] <math>F</math> par une égalité des aires qui s'offre. En effet, <math>\mathbb{E}[X] = \mu</math> avec un nombre réel <math>\mu</math> si et seulement si les deux surfaces dans le plan <math>x</math>-<math>y</math> décrites par
:<math>
x\le\mu,\;\, 0\le y\le F(x) \quad</math> ou <math>\quad x\ge\mu,\;\, F(x)\le y\le 1,
</math>
respectivement, ont la même aire finie, c'est-à-dire si
:<math>
\int_{-\infty}^\mu F(x)\,\mathrm{d}x = \int_\mu^\infty \big(1 - F(x)\big)\,\mathrm{d}x
</math>
et les deux [[Intégrale impropre|intégrales de Riemann impropres]] convergent. Enfin, cela est équivalent à la représentation
:{{Ancre|EX comme difference d'intégrales}}<math>
\mathbb{E}[X] = \int_0^\infty \big(1 - F(x)\big)\,\mathrm{d}x - \int_{-\infty}^0 F(x)\,\mathrm{d}x,
</math>
également avec des intégrales convergentes<ref>{{Article |auteur1=Roland Uhl |titre=Charakterisierung des Erwartungswertes am Graphen der Verteilungsfunktion |traduction titre=Caractérisation de l'espérance au graphe de la fonction de répartition |périodique=Technische Hochschule Brandenburg |date=2023 |doi=10.25933/opus4-2986 |accès doi=libre |url=https://opus4.kobv.de/opus4-fhbrb/files/2986/Uhl2023.pdf |format=pdf |accès url=libre}}, p. 2–4.</ref>.

=== Généralisation : espérance d'une fonction d'une variable aléatoire ===

{{mvar|X}} étant une [[variable aléatoire]]  à valeur dans un [[espace mesurable]] <math>(F, \, \mathcal F)</math>, une fonction {{mvar|φ}} mesurable de <math>(F, \, \mathcal F)</math> dans  <math>(\mathbb R, \, \mathcal B(\mathbb R))</math> définit une nouvelle [[variable aléatoire réelle]] <math> \varphi \circ X</math> notée {{math|''φ''(''x'')}} dont l'espérance, lorsqu'elle existe, s'écrit en remplaçant {{mvar|x}} par {{math|''φ''(''x'')}} dans les formules précédentes ([[théorème de transfert]])<ref>{{Référence Harvard sans parenthèses|Grégory MIERMONT|2017|p=56}}</ref>.

Son espérance est définie par :

{{Retrait|<math>\mathbb E \left[ \varphi(X) \right] = \int_\Omega \varphi \left( X(\omega) \right) \mathrm d\mathbb{P}( \omega).</math>}}

D'après le [[théorème de transfert]], elle est alors égale à 
{{Retrait|<math>\mathbb E \left[ \varphi(X) \right]  = \int_F \varphi(x) \mathrm d\mathbb{P}_X(x).</math>}}

* Si {{mvar|X}} est une variable aléatoire absolument continue, de [[densité de probabilité]] {{mvar|f{{ind|X}}}} par rapport à une mesure {{mvar|σ}}-finie {{mvar|μ}} sur <math>(F, \, \mathcal F)</math>, alors :

{{Retrait|<math>\mathbb E \left[ \varphi(X) \right] = \int_F \varphi(x) f_X(x) \mathrm d\mu(x).</math>}}

* Si {{mvar|X}} est une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble [[Ensemble dénombrable|dénombrable]] <math> S \subset F</math>, alors :

{{Retrait|<math>\mathbb E \left[ \varphi(X) \right] = \sum_{x \in S} \varphi(x) \mathbb{P}_X(\{x\}).</math>}}

C'est notamment le cas quand {{mvar|S}} est fini. En notant ses valeurs {{math|''x''{{ind|1}}, ..., ''x{{ind|n}}''}} et {{math|''p''{{ind|1}}, ..., ''p{{ind|n}}''|§=''p''{{ind|1}}, ..., ''p{{ind|n}}''}} les probabilités correspondantes, l'espérance devient :

{{Retrait|<math>\mathbb E \left[ \varphi(X) \right] = \sum_{k = 1}^n \varphi(x_k) p_k.</math>}}

En particulier, il est intéressant de considérer la variable aléatoire à valeurs complexes {{math|''φ''(''X'') {{=}} e{{exp|i''θX''}}}} (où {{mvar|θ}} est un réel) dont l'espérance mathématique est la transformée de Fourier inverse de {{mvar|f{{ind|X}}}} (dans le cas où <math> F = \R</math>) :

{{Retrait|<math>\phi_X(\theta) = \mathbb E \left[ {\rm e}^{{\rm i} \theta X} \right].</math>}}

Il s'agit de la [[fonction caractéristique d'une variable aléatoire]]. L'exponentielle se développe en [[série de Taylor]] :

{{Retrait|<math>\phi_X(\theta) = \mathbb E \left[\sum_{k = 0}^\infty \frac{({\rm i} \theta X)^k}{k!} \right] = \sum_{k = 0}^\infty \frac{({\rm i} \theta)^k}{k!} \mathbb E \left[ X^k \right].</math>}}

=== Unités ===

Si les probabilités sont toujours sans dimensions, les espérances  s'expriment toujours avec les mêmes unités physiques (mètres, kilogrammes, secondes, ampères), monétaires (euros) ou abstraites (points, jetons, buts) que les variables aléatoires correspondantes<ref>En effet l'espérance est une moyenne de ces variables aléatoires pondérées par des probabilités qui sont, elles, sans dimension.</ref>.

== Propriétés ==
Dans tout le reste de cet article, les variables aléatoires mentionnées sont supposées remplir les conditions d'existence d'une espérance.
=== Propriétés élémentaires ===
* L'espérance d'une variable aléatoire constante est égale à cette constante ; par exemple, si <math>b</math> est une constante, alors <math>\mathbb E[b]=b</math>.
* ''Monotonie'' : si <math> X</math> et <math> Y</math> sont des variables aléatoires telles que <math> X \le Y</math> [[presque sûrement]], alors <math>\mathbb E[X] \le \mathbb E[Y]</math>.
* ''Linéarité'' : l'espérance est un [[Opérateur (mathématiques)|opérateur]] [[Application linéaire|linéaire]]. Pour deux variables aléatoires quelconques <math> X</math> et <math> Y</math> (qui doivent être définies sur le même espace probabilisé) et pour deux nombres réels <math>a</math> et <math>b</math><ref name=":0" />:
{{Retrait|<math>\mathbb E[aX+bY]=a\mathbb E[X]+b\mathbb E[Y]</math>}}
* ''Produit'' : en général, l'opérateur espérance ne respecte pas le produit, c'est-à-dire qu'en général <math>\mathbb E[X Y] \ne \mathbb E[X] \mathbb E[Y]</math>. L'égalité est vraie si les variables <math>X</math> et <math>Y</math> sont  [[indépendance (probabilités)|indépendantes]]<ref>{{Référence Harvard sans parenthèses|Grégory MIERMONT|2017|p=74}}</ref> (la réciproque est fausse<ref>Prendre par exemple la variable X prenant les valeurs -1 , 0 et  1 de manière équiprobable. Les variables X et X² ne sont pas indépendantes et pourtant <math>\mathbb E[X\cdot X^2] = 0 = \mathbb E[X] \mathbb E[X^2]</math>. </ref>). L'absence de la multiplicativité amène à étudier les [[covariance]]s et [[Corrélation (statistiques)|corrélation]].

=== Cas d'une variable aléatoire réelle positive ===
Si ''X'' est une variable aléatoire positive ou nulle, alors
{{Retrait|<math>\mathbb E[X]=\int_0^{+\infty}\mathbb P(X\ge x)\,\mathrm dx=\int_0^{+\infty}\mathbb P(X> x)\,\mathrm dx</math>.}}
Plus généralement, si <math>\varphi</math> est positive, continument dérivable, croissante sur <math>\R_+</math>, et si <math>\varphi(0)=0</math>, on a
{{Retrait|<math>\mathbb E[\varphi(X)]=\int_0^{+\infty}\varphi^{\prime}\left(x\right)\mathbb P(X\ge x)\,\mathrm dx=\int_0^{+\infty}\varphi^{\prime}\left(x\right)\mathbb P(X>x)\,\mathrm dx</math>.}}
Un cas particulier important est celui des moments de ''X'' : pour <math>\alpha>0</math>,
{{Retrait|<math>\mathbb E[X^{\alpha}]=\int_0^{+\infty}\alpha x^{\alpha-1}\mathbb P(X\ge x)\,\mathrm dx</math>,}}
la première égalité étant l'instance <math>\alpha=1</math> de l'égalité précédente. Dans le cas d'une variable aléatoire à valeurs entières, ces formules se réécrivent, après un petit calcul intermédiaire, respectivement :
{{Retrait|<math>\mathbb E[X]=\sum_{k\ge 1}\mathbb P(X\ge k)\quad\textrm{et}\quad\mathbb E[X^{\alpha}]=\sum_{k\ge 1}\left(k^{\alpha}-(k-1)^{\alpha}\right)\mathbb P(X\ge k)</math>.}}
{{Démonstration|
<center><math>\begin{align}
\mathbb E\left[\varphi(X)\right]&=\int_0^{+\infty}\varphi(x)\,\mathbb P_X(\mathrm dx)
\\
&=\int_0^{+\infty}\left(\int_0^x\varphi^{\prime}(u)\,\mathrm du\right)\mathbb P_X(\mathrm dx)
\\
&=\int_0^{+\infty}\left(\int_0^{+\infty}\varphi^{\prime}\left(u\right)1_{u<x}\,\mathrm du\right)\mathbb P_X(\mathrm dx)
\\
&=\int_0^{+\infty}\left(\int_0^{+\infty}1_{u<x}\,\mathbb P_X(\mathrm dx)\right)\varphi^{\prime}(u)\,\mathrm du
\\
&=\int_0^{+\infty}\mathbb P\left(X> u\right)\varphi^{\prime}(u)\,\mathrm du,
\end{align}</math></center>
où l'avant-dernière égalité découle du [[théorème de Fubini]]. Dans l'expression intégrale de <math>\varphi</math> en fonction de <math>\varphi^{\prime}</math>, voir {{3e|égalité}}, il est indifférent d'utiliser <math>u<x</math> ou <math>u\le x</math>. Cette formule est un des avatars de la formule d'[[intégration par parties]], comme on le voit dans le cas particulier où la fonction de répartition de ''X'' est continument dérivable.}}

=== Loi de l'espérance itérée ===
* '''Pour une variable aléatoire discrète''' : Pour deux variables aléatoires <math>X,Y</math>, on peut définir l'[[espérance conditionnelle]]
{{Théorème|Définition|<math>\mathbb E[X|Y](y)\equiv\mathbb E[X|Y=y]\equiv \sum\limits_xx\cdot\mathbb{P}(X=x|Y=y).</math>}}
qui signifie que <math>\mathbb E[X|Y](y)</math> est une fonction de ''y'' (en fait une variable aléatoire). L'espérance itérée vérifie
{{Théorème|[[Théorème de l'espérance totale]]|<math>\mathbb E\left[\mathbb E[X|Y]\right]=\mathbb E[X]</math>}}
{{Démonstration|<math>
\begin{align}
\mathbb E\left[\mathbb E[X|Y]\right]
&= \sum\limits_y\mathbb E[X|Y=y]\cdot\mathbb P(Y=y)\\
&=\sum\limits_y\left(\sum\limits_xx\cdot\mathbb P(X=x|Y=y)\right)\cdot\mathbb P(Y=y)\\
&=\sum\limits_y\sum\limits_xx\cdot\mathbb P(X=x|Y=y)\cdot\mathbb P(Y=y)\\
&=\sum\limits_y\sum\limits_xx\cdot\mathbb P(Y=y|X=x)\cdot\mathbb P(X=x)\\
&=\sum\limits_xx\cdot\mathbb P(X=x)\cdot\left(\sum\limits_y\mathbb P(Y=y|X=x)\right)\\
&=\sum\limits_xx\cdot\mathbb P(X=x)\\
&=\mathbb E[X]
\end{align}</math>}}
* '''Pour une variable continue''' : dans le cas continu, les résultats sont analogues. Dans ce cas-ci, on utilise la densité de probabilité et les intégrales à la place de la distribution et des sommes. En tout cas, le résultat reste valable :
{{Retrait|<math>\mathbb E[X]=\mathbb E\left[\mathbb E[X|Y]\right].</math>}}

=== Espérance d'une fonctionnelle ===
En général, l'opérateur espérance ne respecte pas les fonctions de variable aléatoire, c'est-à-dire qu'en général :

{{Retrait|<math>\mathbb E[g(X)]=\int_\Omega g(X)\, \mathrm d\mathbb{P}\ne g(\mathbb E[X]).</math>}}

Une inégalité célèbre à ce propos est l'[[inégalité de Jensen]] pour des [[Fonction convexe|fonctions convexes]] (ou concaves).

=== Estimation ===
On utilise souvent comme [[Estimateur (statistique)|estimateur]] de l'espérance la [[moyenne empirique]], qui est un estimateur :
* Sans [[Biais (statistique)|biais]]
* [[Estimateur (statistique)#Convergence|Convergent]] selon la [[loi des grands nombres]] et même fortement convergent selon la [[loi forte des grands nombres]]
*Distribué [[Loi normale|normalement]] asymptotiquement selon le [[théorème central limite]]

=== Caractère central ===
On considère fréquemment l'espérance comme le ''centre'' de la variable aléatoire, c'est-à-dire la valeur autour de laquelle se dispersent les autres valeurs.

En particulier, si <math>X</math> et <math>2 a - X</math> ont même loi de probabilité, c'est-à-dire si la loi de probabilité est symétrique par rapport à <math>a</math>, et si <math>X</math> admet une espérance, alors <math>\mathbb E[X] = a</math>.

Mais ce point de vue n'est plus valable lorsque la loi est dissymétrique. Pour s'en persuader il suffit d'étudier le cas d'une [[loi géométrique]], une loi particulièrement dissymétrique. Si <math>X</math> représente le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le chiffre 1 avec un dé cubique, on démontre que <math>\mathbb E[X] = 6</math> ce qui veut dire qu'il faut en moyenne 6 lancers pour obtenir le chiffre 1. Pourtant, la probabilité que 5 essais ou moins suffisent vaut près de 0,6 et la probabilité que 7 lancers ou plus soient nécessaires est de 0,33. Les valeurs de X ne se répartissent donc pas équitablement de part et d'autre de l'espérance. La  qui possède cette propriété est la [[médiane (statistiques)|médiane]].

== Interprétation et applications ==
=== Espérance mathématique et choix rationnel ===

Dans certains cas, les indications de l'espérance mathématique ne coïncident pas avec un choix rationnel. Imaginons par exemple qu'on vous fasse la proposition suivante : si vous arrivez à faire un double six avec deux dés, vous gagnez un million d'euros, sinon vous perdez {{unité|10000|euros}}. Il est probable que vous refuserez de jouer. Pourtant l'espérance de ce jeu vous est très favorable : la probabilité de tirer un double 6 est de 1/36 ; on obtient donc :

{{Retrait|<math>\frac{1\,000\,000}{36} - \frac{10\,000 \times 35}{36} = 18\,055</math>}}

à chaque partie vous gagnez en moyenne {{unité|18000|euros}}.

Le problème tient justement sur ce {{Citation|en moyenne}} : si les gains sont extrêmement importants, ils n'interviennent que relativement rarement, et pour avoir une garantie raisonnable de ne pas finir ruiné, il faut donc avoir suffisamment d'argent pour participer à un grand nombre de parties. Si les mises sont trop importantes pour permettre un grand nombre de parties, le critère de l'espérance mathématique n'est donc pas approprié.

=== Incidence de la prime de risque ===

Ce sont ces considérations et de risque de ruine qui conduisirent, à partir de son {{Citation|[[paradoxe de Saint-Pétersbourg]]}}, le mathématicien [[Daniel Bernoulli]] à introduire en [[1738]] l'idée d''''[[aversion au risque]]''' qui conduit à assortir l'espérance mathématique d'une [[prime de risque]] pour son application dans les questions de choix.

=== Applications particulières (économie, assurance, finance, jeux) ===

* La notion de prime de risque appliquée à l'espérance mathématique fut en [[économie (discipline)|économie]] à l'origine du concept d'[[Utilité (économie)|utilité]] (et d'utilité dite {{Citation|marginale}}).
* les primes d'[[assurance]] sont d'un coût supérieur à l'espérance mathématique de perte du souscripteur du contrat. Mais c'est ce risque de forte perte en cas d'évènement rare qui l'incite à le souscrire.
* L'espérance mathématique, comme d'autres concepts probabilistes, est utilisée dans les calculs d'évaluation en [[finance]], par exemple pour l'[[évaluation d'entreprise]].
* La [[finance comportementale]] aborde, entre autres, les aspects émotionnels et cognitifs, qui vont au-delà de la simple prime de risque, et qui peuvent interférer avec le concept rationnel d'espérance mathématique à l'heure du choix.
* De même que l'on paye une prime pour ''éviter'' le risque avec les assurances, on paie au contraire un ''accès'' au risque dans les jeux de hasard (qui rapportent toujours moins que leur espérance mathématique, puisqu'ils doivent s'autofinancer).

=== Notion d'utilité probabiliste ===

Plutôt que de passer par une notion de prime, on peut directement établir une fonction d'[[utilité (économie)|utilité]], associant à tout couple {gain, probabilité} une valeur. L'espérance mathématique constitue alors la plus simple des fonctions d'utilité, appropriée dans le cas d'un joueur neutre au risque disposant de ressources au moins très grandes à défaut d'infinies.

[[Émile Borel]] adopta cette notion d'utilité pour expliquer qu'un joueur ayant peu de ressources choisisse ''rationnellement'' de prendre un billet de loterie chaque semaine : la perte correspondante n'est en effet pour lui que quantitative, tandis que le gain – si gain il y a – sera qualitatif, sa vie entière en étant changée. Une chance sur un million de gagner un million peut donc valoir dans ce cas précis bien davantage qu'un euro.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Annexes ==

=== Articles connexes ===
* [[Formule de Wald]]
* [[Inégalité de Bienaymé-Tchebychev]]
* [[Médiane (statistiques)#Médianes dans les distributions de probabilités|Médiane]] (indiquée par <math>m</math> dans un [[#Uhl2023Bild1|dessin ci-dessus]])
* [[Moment (mathématiques)|Moment]]
* [[Quasi-certitude]]
* [[Variance (mathématiques)]]

=== Liens externes et références ===
* [http://gestion-des-risques-conseil.fr/mathematiques-financieres-gestion-des-risques-financiers-probabilites-statistiques-financieres/cours-probabilitea-finance-gestion-des-risques#esperance Probabilités adaptées à la finance] : article sur l'espérance et exemple simple, sur le site gestion-des-risques-conseil.fr
*{{Ouvrage|langue=Français|auteur1=Grégory MIERMONT|titre=Intégration et probabilités|lieu=Lyon|éditeur=ENS Lyon|date=2017|pages totales=131|lire en ligne=http://perso.ens-lyon.fr/gregory.miermont/L3_integration-probabilites.pdf|format électronique=pdf|consulté le=5 Décembre 2021}}

{{Palette|Probabilités et statistiques}}
{{Portail|Probabilités et statistiques|Finance}}

{{DEFAULTSORT:Esperance mathematique}}
[[Catégorie:Moment (mathématiques)]]
[[Catégorie:Mathématiques financières]]