Voir la source de Espace-temps (structure algébrique)

{{ébauche|physique}}

En [[physique mathématique]], l{{'}}'''espace-temps''' peut-être modélisé par une [[Algèbre géométrique (structure)|structure d'algèbre géométrique]] satisfaisant la géométrie décrite par la [[relativité restreinte]].  On parle alors d{{'}}''algèbre d'espace-temps'' ou ''algèbre spatio-temporelle'' (''{{lang|en|Space-time algebra}}'' en anglais).

L'espace-temps contient alors des vecteurs, bivecteurs et autres multivecteurs qui peuvent être combinés les uns aux autres ainsi que transformés selon les [[transformations de Lorentz]] ou autres transformations possibles dans une algèbre géométrique (notamment les réflexions). Cette structure algébrique permet à de nombreuses équations physiques d'êtres écrites de façon particulièrement simple, tout en offrant la possibilité d'une interprétation géométrique directe.

==Définition==

Dans le cadre de la relativité restreinte, la donnée d'un [[référentiel inertiel]] permet de définir quatre vecteurs <math>(\gamma_\mu)_{\mu=0\ldots 3}</math> tels que :
* <math>(\gamma_i)_{i=1\ldots 3}</math> forment une [[base orthonormée]] de l'[[espace euclidien]] modélisant l'espace physique de la [[relativité galiléenne]] ;
* <math>\gamma_0</math> sépare deux [[événement (espace-temps)|événement]]s ayant lieu au même endroit mais à différents instants.

Dans cet article et conformément à l'usage courant une lettre grecque désignera un indice variant de 0 à 3 tandis qu'une lettre romaine désignera un indice variant de 1 à 3. Par ailleurs, la [[convention de sommation d'Einstein]] sera utilisée.

L'espace vectoriel engendré par <math>\gamma_\mu</math> est alors doté de la loi de multiplication suivante :
{{bloc emphase|<math> \gamma_\mu \gamma_\nu + \gamma_\nu \gamma_\mu = 2 \eta_{\mu \nu} </math>}}

où <math>\eta_{\mu \nu} \,</math> est la [[métrique de Minkowski]] de signature (+ &minus; &minus; &minus;)<ref>La signature (-, +, +, +) est aussi parfois utilisée et aboutit aux mêmes résultats.</ref>.  On a en particulier : <math>-\gamma_0^2 = \gamma_1^2 = \gamma_2^2 = \gamma_3^2 = -1</math>

Les [[matrices de Dirac]] forment une [[Théorie des représentations|représentation]] de cette algèbre mais en algèbre géométrique il n'est en général pas fait usage d'une représentation matricielle.

Les différents multivecteurs de cette algèbre sont des combinaisons linéaires :

* du [[Scalaire (mathématiques)|scalaire]] unitaire <math>1</math> ;
* des quatre vecteurs introduits ci-dessus <math>\gamma_0, \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3</math> ;
* de six bivecteurs <math>
\gamma_0\gamma_1,\,
\gamma_1\gamma_2,\,
\gamma_2\gamma_3,\,
\gamma_3\gamma_0,\,
\gamma_0\gamma_2,\,
\gamma_1\gamma_3
</math> ;
* de quatre trivecteurs <math>\gamma_0\gamma_1\gamma_2,\,
\gamma_1\gamma_2\gamma_3,\,
\gamma_2\gamma_3\gamma_0,\,
\gamma_3\gamma_0\gamma_1</math>;
* du pseudo-scalaire <math>I = \gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3</math>

==Base duale==
La [[base duale]] de <math>(\gamma_\mu)_{\mu=0\ldots 3}</math> est <math>(\gamma^\mu)_{\mu=0\ldots 3}</math>. Il est facile de vérifier que :
{{bloc emphase|<math>\gamma^0 = \gamma_0,\quad  \gamma^k =-\gamma_k</math>}}

==Gradient==

Le [[gradient]], où [[analyse multivectorielle|opérateur de dérivation vectorielle]], est le [[Covariant et contravariant (algèbre linéaire)#Produit contracté|produit contracté]] <math>\nabla = \gamma^\mu\partial_\mu</math>.  Il s'agit là de l'expression sans dimension : pour écrire le gradient sous une forme dimensionnelle, il faut tenir compte du fait qu'un événement ''e'' est localisé par ses [[Coordonnées d'espace-temps|coordonnées spatio-temporelles]] <math>t, x^1, x^2, x^3</math> telles que :
:<math>e = ct\gamma_0 + x^k\gamma_k</math>

On a alors :
{{bloc emphase|<math>\partial_0 = \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\quad\partial_k = \frac{\partial}{\partial x^k}</math>}}

Lorsque les [[unités naturelles]] sont utilisées, il n'y a pas lieu de faire cette distinction puisqu'on a alors <math>c = 1</math>.

==Voir aussi==
===Liens externes===
* {{en}} [http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/publications/abstracts/imag_numbs.html Imaginary numbers are not real – the geometric algebra of spacetime], a tutorial introduction to the ideas of geometric algebra, by S. Gull, A. Lasenby, C. Doran
* {{en}} [http://geocalc.clas.asu.edu/pdf-preAdobe8/SpaceTimeCalc.pdf Spacetime calculus]{{Pdf}}, David Hestenes
* {{en}} [http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/ptIIIcourse/ Physical Applications of Geometric Algebra] course-notes, see especially part 2.
* {{en}} [http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/ Cambridge University Geometric Algebra group]
* {{en}} [http://modelingnts.la.asu.edu/ Geometric Calculus research and development]

===Bibliographie===

* {{en}} Chris Doran, ''Geometric Algebra for Physicists'', [[Cambridge University Press]], 2007, {{ISBN|0521715954}}

==Notes et références==
{{Traduction/Référence|en|Spacetime algebra|661997447}}
{{Références}}

{{Portail|physique|algèbre}}

[[Catégorie:Structure algébrique]]
[[Catégorie:Relativité restreinte]]