Voir la source de Espace à quatre dimensions

{{voir homonymes| Espace| Quatre dimensions}}
{{En-tête label|AdQ|année=2020}}
[[Fichier:8-cell-simple.gif|frame|L'équivalent en quatre dimensions du [[cube]] est le [[tesseract]]. On le voit ici en [[Rotation en quatre dimensions#Rotations simples|rotation]], [[Projection affine|projeté]] dans l'espace usuel (les arêtes représentées comme des tubes bleus sur fond noir).|alt=Animation d'un tesseract (les arêtes représentées comme des tubes bleus sur fond noir).]]
En [[mathématiques]], et plus spécialement en [[géométrie]], l''''espace à quatre dimensions''' (souvent abrégé en '''4D''' ; on parlera par exemple de [[Rotation en quatre dimensions|rotations en 4D]]) est une extension abstraite du concept de l'espace usuel vu comme [[Trois dimensions|espace à trois dimensions]] : tandis que l'espace tridimensionnel nécessite la donnée de ''trois'' nombres, appelés ''dimensions'', pour décrire la taille ou la position des objets, l'espace à quatre dimensions en nécessite ''quatre''. Par exemple, une boîte rectangulaire est caractérisée par sa longueur, sa largeur et sa hauteur ; cela amène au système des [[coordonnées cartésiennes]], souvent notées par les lettres <math>x,y</math> et <math>z</math>. Dans l'espace à quatre dimensions, les points sont de même repérés par quatre coordonnées ; la quatrième, qui est le plus souvent notée <math>t</math> ou <math>w</math>, correspond à une nouvelle direction, perpendiculaire à toutes les directions de notre espace.

L'idée d'une quatrième dimension (alors identifiée au temps) apparaît au milieu du {{S-|XVIII}}, proposée par [[Jean Le Rond d'Alembert|d'Alembert]] et rendue rigoureuse par [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]], mais ce n'est qu'un siècle plus tard qu'une véritable géométrie de l'espace à quatre dimensions est développée par divers auteurs, avant d'être complètement formalisée par [[Bernhard Riemann]] en 1854. Les outils conceptuels ainsi créés permettent en particulier de classifier complètement les formes géométriques en quatre dimensions analogues aux formes traditionnelles de l'espace usuel, comme les [[polyèdre]]s ou les [[cylindre]]s.

L'utilisation de la quatrième dimension (et de dimensions supérieures) est devenue indispensable à la [[Histoire de la physique#s20|physique moderne]], de la [[théorie de la relativité]] (dont le cadre géométrique est l'[[espace de Minkowski]], un espace à quatre dimensions muni d'une [[géométrie non euclidienne]]) jusqu'à la [[physique quantique]].

== Historique ==
La question de la limitation du monde physique à trois dimensions a été souvent abordée par les philosophes<ref name=":0" />, d'[[Aristote]]<ref group=n>Dans le ''[[Du ciel|Traité du ciel]]'', [[Aristote]] affirme que {{citation|parmi les grandeurs [la ligne, la surface, le corps], la dernière est divisible en trois, c’est le corps. Il n’y a pas de grandeurs autres que celles-là, parce que trois est tout et que trois renferme toutes les dimensions possibles.}} (''Traité du ciel'', Livre I, chapitre premier, §2).</ref> à [[Emmanuel Kant|Kant]]{{Note|nom=kant|texte=[[Emmanuel Kant]] considère que l'espace et ses trois dimensions font partie des [[Esthétique transcendantale|formes ''a priori'' de la sensibilité]], autrement dit qu'une quatrième dimension est impensable<ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Emmanuel Kant]]|traducteur=Tremesaygues et Pacaud|préface=[[Charles Serrus]]|titre=[[Critique de la raison pure]]|éditeur=[[Presses universitaires de France|PUF]]|collection=Bibliothèque de Philosophie contemporaine|année=1975|numéro d'édition=8|passage=56|isbn=}}.</ref>.|groupe=n}} ; des spéculations sur ce que pourrait être une quatrième dimension se trouvent chez [[Nicole Oresme|Oresme]]{{Note|texte=[[Nicole Oresme]], ''Tractatus de figurationes potentiarum'', analysé par [[Pierre Duhem]] dans ''Études sur Léonard de Vinci, ceux qu'il a lus, ceux qui l'ont lu'', troisième série, p. 388 ([https://archive.org/stream/tudessurlona03duhe#page/388/mode/2up fac-similé sur le site de la BnF.]).}} et, de manière plus précise, chez [[Henry More]], lequel imagine une sorte d'« épaisseur spirituelle » à laquelle il donne le nom de ''spissitude''<ref name=":1">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Henry More]]|titre=The immortality of the Soul|traduction titre=L'immortalité de l'âme|éditeur=A. Jacob, Dordrecht, M. Nijhoff|année=1987|année première édition=1659|pages totales=594|isbn=978-90-247-3512-9|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=Dr6bCs3AUd4C&printsec=frontcover}}.</ref>, et qui s'étendrait dans une direction « hors de l'espace »<ref name=":0" />.

Cependant, l'idée de donner un sens géométrique concret à une quatrième dimension apparaît pour la première fois chez [[Jean Le Rond d'Alembert|d'Alembert]]<ref name=":0">{{article|langue=en|auteur=[[Florian Cajori]]|date=1926|titre=Origins of Fourth Dimension Concepts|traduction titre=Les origines des concepts de la quatrième dimension|journal=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=33|pages=397-406|lien titre=s:de:T A D (Cajori)|doi=10.1080/00029890.1926.11986607}}.</ref>, qui la mentionne en 1754 dans l'entrée ''Dimension'' de l'[[Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers|''Encyclopédie'']]<ref>Il y attribue à « un homme d'esprit de ma connaissance » l'idée d'ajouter le temps aux trois dimensions usuelles : voir [http://www.encyclopédie.eu/index.php/non-classifie/2073184913-science-mathematiques/physique-geometrie/965134029-DIMENSION le texte intégral de l'entrée].</ref>. [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]], dans sa ''Mécanique analytique'' (publiée en 1788, mais s'appuyant sur des travaux datant de 1755), montre que la [[Mécanique analytique|mécanique]] peut être étudiée en se plaçant dans un espace à quatre dimensions {{incise|trois dimensions pour l'espace et une pour le temps<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Eric Temple Bell]]|titre=Men of Mathematics|traduction titre=Les hommes des mathématiques|lieu=New York|éditeur=[[Simon & Schuster|Simon and Schuster]]|année=1965|numéro d'édition=1|pages totales=590|passage=154|isbn=978-0-671-62818-5|lire en ligne={{Google Livres|id=BLFL3coT5i4C}}}}.</ref>|stop}}.

En 1827, [[August Ferdinand Möbius|Möbius]] comprend qu'une quatrième dimension permettrait, par un simple déplacement, de transformer un objet à trois dimensions en son [[Orientation dans l'espace|reflet dans un miroir]]{{sfn|Coxeter|1973|p=141}} ; vers 1853, [[Ludwig Schläfli]] découvre tous les [[polytope]]s en dimensions supérieures, bien que son travail ne soit pas publié avant sa mort{{sfn|Coxeter|1973|p=142-143}}.

Après avoir longuement cherché un ensemble de [[Nombre#Extension progressive|nombres]] s'appliquant à la [[géométrie dans l'espace]], comme les [[Nombre complexe|nombres complexes]] s'appliquent à la géométrie du plan, [[William Rowan Hamilton]] découvre en 1843 les [[Quaternion|quaternions]], un système de nombres plus vaste que celui des nombres complexes, mais [[Algèbre à division|partageant la plupart de leurs propriétés]]{{Note|texte=Le [[théorème de Frobenius (algèbre)|théorème de Frobenius]] montre d'ailleurs qu’il n’existe pas d’autres systèmes de nombres que les quaternions ayant les propriétés souhaitées.|groupe=n}}{{,}}{{Note|texte=Peu après, d'autres [[Algèbre associative sur un corps|algèbres]] de dimension quatre sont construites par [[James Cockle]], les [[tessarine]]s (en 1848) et les [[coquaternion]]s (en 1849), mais elles ont de moins bonnes propriétés de calcul et resteront peu connues.|groupe=n}}. Bien que cet ensemble soit de dimension quatre (c'est-à-dire qu'on peut interpréter chaque quaternion comme un point de l'espace à quatre dimensions), il permet surtout un véritable [[Analyse multivectorielle|calcul géométrique]] en trois dimensions et va donner naissance aux outils de l'[[analyse vectorielle]]<ref>{{article|auteur1=W. Dobrovolskij|titre=Développement de la théorie des vecteurs et des quaternions dans les travaux des mathématiciens russes du XIXe siècle|journal=Revue d'histoire des sciences|date=1968|numéro=21-4|passage=345-349|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1968_num_21_4_2568}}.</ref>.

Une approche rigoureuse de toutes ces questions est proposée par [[Bernhard Riemann]] dans sa [[Habilitation universitaire|thèse]] de 1854, ''{{langue|de|Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen}}'' [« Sur les hypothèses qui sont à la base de la géométrie »], dans laquelle il considère un « point » d'un espace à <math>p</math> dimensions comme étant simplement une [[Uplet|suite]] de <math>p</math> nombres <math>(x_1,\ldots,x_p)</math>, ce qui permet une géométrie dans un espace à un nombre quelconque de dimensions{{Note|texte=Il s’agit en fait de sa thèse d’habilitation (''Habilitationsschrift''), sur un sujet choisi par [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], qui doit lui permettre d’enseigner à l’Université. Elle contient un ensemble d'idées révolutionnaires, dont la notion de [[variété riemannienne]], vaste généralisation à une dimension arbitraire des courbes et surfaces de la géométrie classique.|nom=riemann|groupe=n}}. Les idées de Riemann amènent également à considérer des coordonnées dites ''[[Système de coordonnées curvilignes|curvilignes]]'' (un exemple simple dans l'espace usuel étant les [[coordonnées sphériques]]) ; pour le mathématicien, il n'y a désormais plus de sens à parler d'une dimension individuelle (comme la quatrième dimension) ; il peut seulement définir la [[Variété (géométrie)#La dimension et la topologie|dimension d'un espace]] comme étant le nombre de coordonnées nécessaires pour le décrire{{Note|texte=[http://images.math.cnrs.fr/Varietes.html Description informelle de ces notions] sur le site de ''[[Images des mathématiques]]''.}}.

En 1886, [[Victor Schlegel]] décrit une méthode de visualisation de [[polytope]]s à l'aide de [[Diagramme de Schlegel|diagrammes qui portent à présent son nom]]<ref>{{de}} [[Victor Schlegel]], ''{{lang|de|Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-dimensionalen Körper}}'' [« Au sujet des modèles de projection de corps quadridimensionnels réguliers »], Waren, 1886.</ref>.

[[Fichier:ANewEraOf Thought2.JPG|vignette|upright|alt=Couverture en cuir brun, titre et nom de l'auteur en lettres dorées|Couverture de l'édition originale de ''[[A New Era of Thought]]''.]]
[[Charles Howard Hinton]] est l'un des premiers vulgarisateurs de la quatrième dimension, publiant en 1880 son essai ''{{lang|en|What is the Fourth Dimension?}}'' dans le magazine de l'[[université de Dublin]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Charles Howard Hinton]]|titre=Speculations on the Fourth Dimension|sous-titre=Selected writings of Charles H. Hinton|traduction titre=Spéculations sur la quatrième dimension : sélection d'écrits de Charles H. Hinton|lieu=New York|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|année=1980|pages totales=204|passage=vii|isbn=978-0-486-23916-3}}.</ref>. Il introduit un vocabulaire pour parler des objets de cet espace (comme le terme ''[[tesseract]]'', ou les deux noms de direction ''ana'' et ''kata'') dans son livre ''{{lang|en|[[A New Era of Thought]]}}'', et une méthode de visualisation à l'aide d'analogies avec les techniques de la [[Perspective (représentation)|perspective]] dans le livre ''{{lang|en|Fourth Dimension}}''<ref name="Hinton">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Charles Howard Hinton]]|titre=The Fourth Dimension|traduction titre=La quatrième dimension|lieu=Pomeroy, Washington|éditeur=Health Research|année=1993|année première édition=1904|pages totales=277|passage=14|isbn=978-0-7873-0410-2|lire en ligne={{Google Livres|id=_ZG3MA1wvjIC|passage=14}}|consulté le=17 février 2017}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Martin Gardner]]|titre=Mathematical Carnival : From Penny Puzzles. Card Shuffles and Tricks of Lightning Calculators to Roller Coaster Rides into the Fourth Dimension|traduction titre=Carnaval mathématique : des puzzles de pièces, mélanges de cartes et trucs de calculateurs prodiges à un voyage vertigineux dans la quatrième dimension|lieu=New York|éditeur=[[Alfred A. Knopf|Knopf]]|année=1975|numéro d'édition=1|pages totales=274|passage=42, 52-53|isbn=978-0-394-49406-7}}.</ref>. Dès le début du {{S-|XX}}, plusieurs auteurs rédigent des textes plus rigoureux à l'usage des étudiants, par exemple le ''Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions'' d'[[Esprit Jouffret]] en 1904{{Sfn|Jouffret|5=1904}}.

En 1909, [[Hermann Minkowski]] publie une construction géométrique de l'[[espace-temps]] de la [[relativité restreinte]]<ref>{{article|langue=de|auteur=Hermann Minkowski|année=1909|titre=[[s:de:Raum und Zeit (Minkowski)|Raum und Zeit]]|traduction titre=Espace et temps|journal=[[Physikalische Zeitschrift]]|volume=10|pages=75-88}}.</ref> à laquelle on donnera par la suite le nom d'[[espace de Minkowski]]<ref name="Møller">{{Ouvrage|langue=en|prénom1=C.|nom1=Møller|titre=The Theory of Relativity|traduction titre=La théorie de la relativité|lieu=Oxford|éditeur=[[Oxford University Press|Clarendon Press]]|année=1972|numéro d'édition=2|passage=[https://archive.org/details/theoryofrelativi0000mlle/page/93 93]|isbn=978-0-19-851256-1|lire en ligne=https://archive.org/details/theoryofrelativi0000mlle|accès url=inscription}}.</ref> ; cet espace, bien qu'à quatre dimensions, a une [[géométrie non euclidienne]], très différente de celle popularisée par Hinton. Cette différence n'est pas toujours bien perçue dans les textes de vulgarisation et moins encore dans les ouvrages de philosophie ou de fiction, ce qui amène à des confusions entre le temps physique et une véritable dimension spatiale ; en 1973 encore, [[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter]] se sent obligé d'écrire :
{{citation bloc|On ne gagne pas grand chose à représenter la quatrième dimension spatiale comme étant le temps. Cette idée, développée de manière si attirante par [[H. G. Wells]] dans ''[[La Machine à explorer le temps]]'', a amené des auteurs comme [[John William Dunne]] (''{{lang|en|An Experiment with Time}}'') à de graves incompréhensions de la théorie de la relativité. La géométrie de l'espace-temps de Minkowski ''n'est pas'' euclidienne et n'a donc pas de rapport avec la présente étude.
|[[Harold Scott MacDonald Coxeter|H. S. M. Coxeter]]|''Regular Polytopes''{{sfn|Coxeter|1973|p=119}}{{,}}<ref group=c>{{Citation étrangère|langue=en|Little, if anything, is gained by representing the fourth Euclidean dimension as ''time''. In fact, this idea, so attractively developed by H. G. Wells in ''The Time Machine'', has led such authors as John William Dunne (''An Experiment with Time'') into a serious misconception of the theory of Relativity. Minkowski's geometry of space-time is ''not'' Euclidean, and consequently has no connection with the present investigation.}}</ref>}}

== Approches par analogie ==
Une première approche de la quatrième dimension consiste à raisonner par analogie, en considérant que la relation entre les objets du plan et ceux de l'espace ordinaire doit donner une idée de la relation entre ces derniers et ceux de l'espace à quatre dimensions<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Michio Kaku]]|titre=Hyperspace : A Scientific Odyssey Through Parallel Universes, Time Warps, and the Tenth Dimension|traduction titre=Hyperespace : une odyssée scientifique parmi les univers parallèles, les distorsions temporelles et la dixième dimension|lieu=Oxford|éditeur=[[Oxford University Press]]|année=1995|numéro d'édition=ré-|pages totales=359|isbn=978-0-19-286189-4|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=kFLiAwAAQBAJ&printsec=frontcover|partie=I|numéro chapitre=3}}.</ref>. Cette approche fut utilisée par [[Edwin Abbott Abbott]] dans son livre ''[[Flatland]]'', l'histoire d'un carré vivant dans un monde à deux dimensions, comme la surface d'une feuille de papier<ref>{{Lien web |auteur=Michel Criton |titre=FLATLAND ET SES AVATARS |url=http://tangente-mag.com/probleme.php?id=4552 |site=tangente-mag.com |date= |consulté le=2020-11-14}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |langue=fr |prénom=Quentin |nom=Girard |titre=«Flatland», bienvenue en plat pays |url=https://www.liberation.fr/planete/2020/08/24/flatland-bienvenue-en-plat-pays_1797627 |site=Libération.fr |date=2020-08-24 |consulté le=2020-11-14}}</ref>. De son point de vue, un être à trois dimensions (une sphère, dans le roman) a des pouvoirs surnaturels, comme la capacité de sortir des objets d'un coffre sans l'ouvrir (en les soulevant et en les reposant un peu plus loin), ou de voir l'intérieur des êtres vivants{{Note|groupe=n|texte=Dans ''Flatland'', les personnages sont des figures géométriques simples ; l'idée a été modernisée par Alexander Dewdney dans son roman ''[[Le Planivers]]''<ref>{{Ouvrage |langue=fr |langue originale=en |prénom1=Alexander |nom1=Dewdney |traducteur=Nicolas Balbo |titre=Le Planivers |sous-titre=Contact informatique avec un monde à deux dimensions |titre original={{lang|en|The Planiverse : computer contact with a two-dimensional world }} |lieu=Paris |éditeur=Londreys |année=1985 |pages totales=287 |isbn=2-904184-20-1}}</ref>, détaillant de manière réaliste la physique et la biologie d'un monde à deux dimensions.}}. Par analogie dimensionnelle, un être à quatre dimensions serait capable de prouesses semblables par rapport à nous ; c'est ce que [[Rudy Rucker]] illustre dans son roman ''Spaceland''<ref>{{Article |langue=en |auteur1=Jody Trout |titre=Spaceland: A Novel of the Fourth Dimension |périodique=Notices of the American Mathematical Society |volume=volume 52 |date=2005 |lire en ligne=http://www.ams.org/notices/200507/rev-trout.pdf |pages=3}}.</ref>.

=== Vocabulaire ===
Se repérer dans un plan demande d'y définir deux axes, et passer du plan à l'espace revient de ce point de vue à ajouter un troisième axe sortant du plan. En partant des repères familiers de l'espace usuel (souvent matérialisés par les arêtes joignant deux murs et le plancher d'une pièce), l'idée d'un quatrième axe perpendiculaire aux trois premiers (impossible dans notre espace) permet d'imaginer {{Incise|par exemple en pensant à des représentations en perspective}} un système à quatre coordonnées, et des déplacements dans huit directions principales : avant et arrière, gauche et droite, haut et bas{{Note|groupe=n|texte=Cette liste de {{citation|directions principales}} est explicitée par [[Aristote]] dans sa ''[[Physique (Aristote)|Physique]]'' (IV,1)<ref name=":0" /> ; elle correspond aux descriptions traditionnelles en [[Système de référence en anatomie|anatomie humaine]].}}, et deux nouvelles directions pour lesquelles le vulgarisateur [[Charles Howard Hinton|Hinton]] a inventé les termes ''ana'' et ''kata'', à partir de préfixes grecs signifiant respectivement « vers le haut » et « vers le bas »; ces nouvelles directions sont perpendiculaires à toutes les directions de l'espace tridimensionnel familier. Les axes de cet espace étant généralement notés <math>x,y</math> et <math>z</math>, le nouvel axe est alors noté <math>w</math> (et non <math>t</math>, puisqu'on ne parle plus du temps, mais d'une nouvelle dimension spatiale), les [[Coordonnées cartésiennes|coordonnées]] (''longueur, largeur'' et ''hauteur'', ou plus techniquement ''abscisse'', ''ordonnée'' et ''cote'') se voyant adjoindre un nouveau terme, la ''spissitude'', reprenant une idée de [[Henry More]]<ref name=":1" />.

=== Sections ===
[[Fichier:24cell_section_anim.webm|vignette|130px|[[Dessin technique|Sections]] d'un objet quadridimensionnel (un [[Icositétrachore|24-cellules]]) traversant notre espace.|alt=Polyèdre rouge sur fond bleu, gonflant puis se dégonflant en se déformant.|droite]]
Quand un objet tridimensionnel traverse un plan, les habitants de ce plan le perçoivent sous forme de [[Dessin technique|sections]]. Par exemple, si une sphère traverse un plan, les observateurs bidimensionnels verront apparaître un point, puis un cercle grandissant jusqu'au diamètre de la sphère, et rétrécissant ensuite jusqu'à disparaître. Par analogie, une [[3-sphère|hypersphère]] traversant notre espace devrait apparaître comme une sphère gonflant, puis diminuant avant de disparaître<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Rudy Rucker]]|titre=The Fourth Dimension|sous-titre=A Guided Tour of the Higher Universe|traduction titre=La quatrième dimension : une visite guidée de l'univers supérieur|lieu=Boston|éditeur=Houghton Mifflin|année=1996|pages totales=228|passage=18|isbn=978-0-395-39388-8|lire en ligne={{Google Livres|id=8J0djs-FK_8C}}}}.</ref>. Cette méthode de visualisation d'objets à quatre dimensions est utilisée dans plusieurs ouvrages de [[Charles Howard Hinton]]<ref name="Hinton" />{{rp|11-14}}.

=== Projections ===
Une autre méthode de visualisation consiste à étudier des [[Projection affine|projections]]. Les représentations d'objets en trois dimensions sur une surface plane utilisent généralement des [[Transformation géométrique|transformations géométriques]], dont les plus élaborées (les [[Application projective|transformations projectives]]{{Note|texte=Celles-ci sont une modélisation des lois de la [[perspective linéaire]] ; des images plus proches encore de ce que perçoit l’œil ou de celles produites par un appareil photographique sont données par les techniques de la [[perspective curviligne]]<ref>[[André Barre]] & [[Albert Flocon]], ''La perspective curviligne'', Flammarion, 1968.</ref>.|groupe=n}}) proviennent à l'origine des travaux des peintres du [[Quattrocento]], inventant les [[Perspective (représentation)|lois de la perspective]]<ref>{{article |prénom=Pierre |nom=Francastel |lien auteur=Pierre Francastel |titre=Naissance d'un espace, mythes et géométrie au quattrocento |périodique=Revue d'Esthétique |numéro=4 |année=1951 }}, {{Ouvrage|prénom1=Daniel|nom1=Arasse|lien auteur1=Daniel Arasse|titre=Histoires de peintures|lieu=Paris|éditeur=[[Éditions Gallimard|Gallimard]]|collection=Folio essais|année=2004|passage=59 « L'invention de la perspective »|isbn=}}.</ref> ; la troisième dimension (la [[Perception de la profondeur|profondeur]]) est souvent, dans ce cas, donnée par des indices indirects, tels que les ombres, les reflets ou le flou de l'éloignement{{Note|texte=[[Richard Gregory]], ''L'œil et le cerveau : la psychologie de la vision'' [« Eye and Brain: The Psychology of Seeing »], De Boeck Université, 2000 (1re éd. 1966).}}. Ces projections déforment les objets, les faces carrées d'un cube devenant des parallélogrammes<ref>[http://serge.mehl.free.fr/anx/perspective.html Comparaison des déformations suivant la perspective], sur le site de Serge Mehl.</ref>.

De façon analogue, des objets de la quatrième dimension peuvent être projetés sur notre espace ; avec de l'entraînement, on peut attribuer les déformations correspondantes à la ''spissitude'' (la « profondeur » dans la quatrième dimension){{Note|nom=Launay|groupe=n|texte=Les différentes techniques de projection de cette section sont illustrées et commentées dans [https://www.youtube.com/watch?v=IbV0UoXXcOY cette vidéo], due à [[Mickaël Launay]].}}.

Les images ci-dessous illustrent ce principe, montrant trois projections d'un [[tesseract]] (l'analogue du cube à quatre dimensions), déterminées par analogie avec les projections correspondantes d'un cube ; le calcul rigoureux montre qu'il s'agit bien des véritables projections (au sens mathématique).

{| class="wikitable"
|+ 
|-
!scope="col" |Cube
!scope="col" |Tesseract
!scope="col" |Description
|-
|[[Fichier:Cube-face-first.png|160px|alt=Carré rouge.]]
|[[Fichier:Tesseract-perspective-cell-first.png|160px|alt=Cube rouge.]]
|Le cube vu de face (il s'agit d'une [[projection orthogonale]]). La projection analogue d'un tesseract est un cube, identifiable à la « face » avant du tesseract (plus rigoureusement, à sa 3-face, encore appelée cellule). Les sept autres cellules sont invisibles, cachées comme les cinq autres faces du cube.
|-
|[[Fichier:Cube-edge-first.png|160px|alt=Deux trapèzes accolés, rouge à gzuche, jaune à droite.]]
|[[Fichier:Tesseract-perspective-face-first.png|160px|alt=Deux troncs de pyramide accolés, rouge à gzuche, jaune à droite.]]
|La projection est faite perpendiculairement à une arête (dans le cas du cube) et donc à une face (un carré) dans le cas du tesseract. Pour donner un sens de la profondeur, la projection est à présent une perspective à [[point de fuite]] : les arêtes supérieures et inférieures des faces du cube, parallèles dans la réalité, se coupent à présent (sur l'horizon). On observe sur la projection du cube deux [[trapèze]]s accolés ; la projection du tesseract est donc formée de deux [[Tronc (géométrie)|troncs de pyramide]].
|-
|[[Fichier:Cube-vertex-first.png|160px|alt=Trois losanges déformés inscrits dans un hexagone (rouge, jaune et vert).]]
|[[Fichier:Tesseract-perspective-vertex-first.png|160px|alt=Quatre volumes hexaédriques translucides.]]
|Le cube vu par la pointe (l'axe de perspective est une grande diagonale du cube) : les faces carrées visibles deviennent trois losanges déformés autour du sommet. L'analogue pour le tesseract est formé de quatre volumes hexaédriques (des [[parallélépipède]]s déformés) entourant le sommet (situé au centre du volume image). Les quatre autres cellules restent cachées.
|}
[[Fichier:Schlegel wireframe 8-cell.png|vignette|130px|Ombre d'un tesseract.|alt= Deux cubes reliés par leurs sommets, l'un à l'intérieur de l'autre.|gauche]]
[[Fichier:Jouffret.gif|droite|vignette|130px|alt=quatre vues (en noir et blanc) du même octaèdre|Une illustration du traité de [[Esprit Jouffret|Jouffret]]{{Sfn|Jouffret|1904}}.]]
Une variante consiste à interpréter plus physiquement ces projections comme correspondant à l'[[ombre]] portée d'un objet : puisque l'ombre sur un plan d'un cube (matérialisé par ses arêtes) est formée de deux carrés dont les sommets sont reliés entre eux, l'analogie prédit que l'ombre d'un tesseract sera un cube suspendu à l'intérieur d'un autre cube, comme on le voit sur la figure de gauche{{Note|nom=Launay|groupe=n}}.

Les techniques de la [[géométrie descriptive]], représentant le même objet par trois projections orthogonales, peuvent là aussi permettre, par analogie, des représentations (par quatre projections) d'objets en 4D, comme sur l'illustration de droite, représentant une des cellules octaédriques du [[Icositétrachore|24-cellules]]{{Sfn|Jouffret|1904|p=153}}.

=== Patrons ===
[[Fichier:Cubo desarrollo.gif|thumb|150px|left|[[Patron (géométrie)|Patron]] d'un cube et son pliage.|alt=Image animée du pliage, sur fond blanc, passant du blanc (à plat) au rouge vif après pliage.]]
[[Fichier:Net of tesseract.gif|thumb|right|150px|[[Patron (géométrie)|Patron]] d'un tesseract et son pliage.|alt=Image animée d'une projection du pliage dans notre espace, en lignes bleues sur fond gris.]]
On peut (figure de gauche) tracer dans un plan le [[Patron (géométrie)|patron]] d'un cube et donner des indications de repliage (évidemment inutilisables pour un habitant du plan) permettant de construire le cube lui-même. La figure animée de droite tente de montrer de même comment replier le patron d'un tesseract{{Note|texte={{article|langue=en|auteur=J.C. Shephard|titre=Convex polytopes with convex nets|traduction titre= Polytopes convexes à patrons convexes|journal= [[Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society]] |date= novembre 1975|volume=78|passage=389-403}}.}}.

=== Cinématique ===
Bien que considérer le temps comme une quatrième dimension ne permette pas le plus souvent d'en percevoir les propriétés géométriques{{sfn|Coxeter|1973|p=119}}, certaines configurations simples peuvent être plus aisément visualisées en les interprétant de manière  [[cinématique]]. Par exemple, une droite de l'espace usuel se déplaçant dans un [[Mouvement rectiligne#Mouvement rectiligne uniforme|mouvement de translation uniforme]] décrit un plan de l'[[espace-temps]] ; on voit alors que l'intersection de deux plans correspond aux points de l'espace-temps où les deux droites se coupent, ce qui se produira en général en un lieu et un temps uniques, et donc que l'intersection de deux plans  en 4D est en général réduite à un point{{Note|nom=2d4d}}.

=== Limites des analogies ===
Ces différentes méthodes sont utiles en première approche, mais elles souffrent de plusieurs limites : elles ne permettent pas de soupçonner l'existence d'objets sans analogue tridimensionnel, comme le [[Icositétrachore|sixième polytope régulier]], ni de prédire la plupart des résultats quantitatifs, comme le volume de l'[[3-sphère|hypersphère]], lequel n'est pas  <math>6\pi r^3</math> (ou peut-être <math>8\pi r^3</math>), comme on pourrait le penser en prolongeant la série  <math>2\pi r</math> (pour le périmètre d'un cercle) et  <math>4\pi r^2</math> (pour l'aire d'une sphère), mais est donné par la formule inattendue <math>V_3 = 2\pi^2 r^3</math><ref group=n name=volume>Voir, pour une démonstration (par calcul d'intégrales) et des formules plus générales, l'article « [[Calcul du volume de l'hypersphère]] ».</ref>. Enfin, elles peuvent amener à des erreurs importantes : ainsi, les [[Rotation plane|rotations du plan]] se faisant autour d'un point fixe, et [[Rotation dans l'espace|celles de l'espace]] autour d'un axe fixe, on pourrait croire que les [[Rotation en quatre dimensions|rotations 4D]] se font autour d'un plan fixe, mais ce n'est le cas que pour des [[Rotation en quatre dimensions#Rotations simples|rotations très particulières]]<ref name=rotation>[[Gustave Juvet]], ''Les rotations de l'espace euclidien à quatre dimensions, leur expression au moyen des nombres de Clifford et leurs relations avec la théorie des spineurs'', [[Commentarii mathematici Helvetici]], 1935 ({{p.|264-304}}).</ref>.

== Géométrie de l'espace à quatre dimensions ==
La section précédente a montré les limites des approches non rigoureuses. Pour pouvoir étudier en détail les propriétés de l'espace à quatre dimensions, l'emploi du raisonnement mathématique s'appuyant sur des définitions précises est nécessaire ; l'approche géométrique pure (à la manière des Grecs) est séduisante, mais l'utilisation des outils algébriques (et même d'outils plus modernes, comme ceux de l'[[Analyse (mathématiques)|analyse]] ou de la [[topologie combinatoire]]) permet une analyse plus sûre et plus rapide, d'autant que l'intuition visuelle, sur laquelle les démonstrations géométriques reposent souvent, est beaucoup plus difficile à développer en 4D{{Note|nom=poincare|texte={{Citation|Quelqu'un qui y consacrerait son existence, pourrait peut-être arriver à se représenter la quatrième dimension.}} [[Henri Poincaré]], [http://henripoincarepapers.univ-lorraine.fr/framepdf.php?url=http://henripoincarepapers.univ-lorraine.fr/chp/hp-pdf/hp1891rga.pdf « Les géométries non euclidiennes », ''Revue générale des Sciences'', 1891, {{p.|769-774}}] ({{p.|774}}).}}.

=== Définitions à la manière d'Euclide ===
Une construction [[Axiome|axiomatique]] selon la méthode des ''[[Éléments (Euclide)|Éléments]]'' (ou d'une version plus moderne et plus rigoureuse, telle que [[Axiomes de Hilbert|celle de Hilbert]]) est possible et a été proposée par [[Hermann Günther Grassmann|Grassmann]] dès 1840, formalisée par [[Arthur Cayley|Cayley]] et [[James Joseph Sylvester|Sylvester]], et vulgarisée par exemple par [[Hermann Schubert|Schubert]] en 1905{{Note|texte={{Ouvrage
|langue=en
|auteur1=[[Hermann Schubert]]
|titre=The Fourth Dimension
|traduction titre=La quatrième dimension
|éditeur=
|année=1905
|pages totales=690
|lire en ligne=https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.chmm/1428680542
}}.}} ; outre les points, droites et plans familiers, on définit un nouvel objet primitif, l'[[hyperplan]]{{Note|texte=Les auteurs anciens utilisent le terme ''espace'', qui peut créer des confusions ; d'autre part, le terme d'hyperplan désigne plus généralement actuellement des [[Espace affine#Sous-espaces affines|sous-espaces affines]] de dimension {{nobr|''n'' – 1}}, ou encore des [[Sous-espace vectoriel|sous-espaces vectoriels]] dont un [[Sous-espace supplémentaire|supplémentaire]] est une droite.|groupe=n}}, et une série de nouveaux axiomes : la géométrie d'un hyperplan est la géométrie de l'espace usuel à trois dimensions, par quatre points non coplanaires passe un hyperplan et un seul{{Note|texte=Cet axiome garantit qu'il n'y a pas plus de quatre dimensions.|groupe=n}}, par tout point d'un hyperplan passe une droite perpendiculaire à toutes les droites de cet hyperplan passant par ce point{{Note|texte=Cet axiome formalise l'idée d'une quatrième direction orthogonale aux trois autres.|groupe=n}}{{etc. }}

Une approche plus moderne utilisant cependant le même vocabulaire, comme celle proposée par [[Esprit Jouffret|Jouffret]]{{Sfn|Jouffret|5=1904}}, définit l'espace à quatre dimensions comme étant simplement  <math>\mathbb R^4</math> (c’est-à-dire que chaque point est identifié à une [[Uplet|suite]] de quatre nombres, ses coordonnées), mais traduit ensuite les ensembles et les équations dans le langage de la géométrie classique, définissant par exemple un plan comme la donnée d'un système de deux équations à quatre inconnues, représentant les quatre coordonnées des points du plan{{Sfn|Jouffret|5=1904|p=2}}.

La géométrie ainsi construite est [[Géométrie euclidienne|euclidienne]] (au sens où, par exemple, la [[somme des angles d'un triangle]] reste égale à <math>180^\circ</math>) ; ce ne fut pas toujours bien compris par les contemporains, car l'apparition presque simultanée des [[Géométrie non euclidienne|géométries non euclidiennes]] avait amené à des confusions mettant dans le même ensemble de mathématiques exotiques, voire [[Fonction continue nulle part dérivable#Perception|pathologiques]], toutes ces idées incompatibles avec l'intuition géométrique usuelle{{Note|texte=Voir l'article [http://www.math.brown.edu/~banchoff/Beyond3d/chapter9/section05.html Higher-Dimensional Euclidean Geometry (''géométrie euclidienne en dimensions supérieures'')] {{en}}, sur le site math.brown.edu.}}.

=== Objets géométriques ===
Beaucoup d'objets d'étude de la géométrie dans l'espace (droites et plans, distances et angles, [[Polyèdre|polyèdres]], surfaces classiques comme les [[Sphère|sphères]] ou les [[Tore|tores]], [[Déplacement (géométrie)|déplacements]]{{etc.}}) se généralisent ou ont des analogues à quatre dimensions, mais certaines propriétés de ces nouveaux objets sont assez différentes ou plus complexes, en raison d'un nombre plus grand de [[Degré de liberté (physique)|degrés de liberté]].

==== Plans et hyperplans ====
[[Fichier:4d_roviny.png|vignette|Intersection de deux plans dans un espace à quatre dimensions. La quatrième dimension est représentée par la couleur, de <math>0</math> (blanc) à <math>1</math> (noir) ; ainsi <math>B</math> et <math>C</math> (respectivement dans les plans <math>\alpha</math> et <math>\beta</math>) sont distincts. L'intersection des plans est le point origine des coordonnées.|alt= Représentation des deux plans à l'intérieur de l'hypercube unité, avec les axes de coordonnées représentés, et le deuxième plan teinté de gris (du blanc au noir, en allant de gauche à droite).]]
La position relative de deux plans est une bonne illustration de la complexité apportée par la quatrième dimension : contrairement à ce qui se passe dans l'espace usuel (où deux plans distincts ne peuvent être que parallèles ou avoir une droite en commun), deux plans n'ont en général qu'un seul point en commun, mais ils peuvent (s'ils sont contenus dans le même hyperplan) avoir une droite en commun, et deux types de « parallélisme » (c'est-à-dire de non intersection) sont possibles : les deux plans peuvent être parallèles à une même droite (chaque plan définissant avec la droite un hyperplan, les deux hyperplans étant distincts), ou les deux plans peuvent être complètement parallèles, c'est-à-dire parallèles dans le même hyperplan{{Sfn|Jouffret|5=1904|p=13}}{{,}}{{Note|nom=2d4d|texte=Une analyse de cette question utilisant une interprétation [[cinématique]] figure sur le site de [[Stack Exchange Network|Math Stack Exchange]] : {{Lien web |langue=en |titre=Intersection of 2D planes in 4D space |url=https://math.stackexchange.com/questions/1768368/intersection-of-2d-planes-in-4d-space |site=math.stackexchange.com |date=2015 |consulté le=3 novembre 2020.}}.}}.

Bien que les méthodes classiques de la géométrie euclidienne suffisent pour démontrer ce genre de résultat, les démonstrations et les calculs sont bien plus aisés à l'aide des outils de l'[[algèbre linéaire]], et analyser tous les cas de figure possibles d'une situation plus complexe, telle que la configuration de quatre hyperplans, relèverait même plutôt des méthodes de la [[géométrie énumérative]].

==== Polytopes ====
{{Article détaillé|4-polytope}}
Les cinq [[Polyèdre régulier|polyèdres réguliers]] (connus sous le nom de [[Solide de Platon|solides de Platon]]) ont pour analogue des [[4-polytope régulier convexe|4-polytopes]] (appelés ''polychores réguliers''), dont les « faces » (ou plutôt les 3-faces, ou [[Cellule (géométrie)|cellules]]) sont des polyèdres réguliers ; il en existe six, représentés ci-dessous ; cinq ont des relations étroites avec les cinq solides de Platon, mais le sixième, l'[[icositétrachore]], ou 24-cellules, ne pourrait se deviner par simple analogie. En affaiblissant les conditions de régularité, on obtient dans l'espace usuel 13 [[Polyèdre semi-régulier|polyèdres semi-réguliers]], les [[Solide d'Archimède|solides d'Archimède]] ; en dimension 4, il existe de même une soixantaine de [[4-polytope uniforme|4-polytopes uniformes]], dont beaucoup n'ont aucun analogue tridimensionnel<ref>{{MathWorld|nom_url=UniformPolychoron|titre=Uniform polychoron}}.</ref>.

{| class="wikitable centre"
|+ Les 6 [[4-polytope régulier convexe|polychores réguliers]] et leurs [[Diagramme de Schlegel|diagrammes de Schlegel]].
|-
!scope="col" | Nom du polychore
|[[Pentachore]]<br/> (hypertétraèdre)
|[[Tesseract]] <br/>(hypercube)
|[[Hexadécachore]]<br/> (hyperoctaèdre)
|[[Icositétrachore]] <br/>(24-cellules)
|[[Hécatonicosachore]]<br/> (hyperdodécaèdre)
|[[Hexacosichore]] <br/>(hypericosaèdre)
|-
! scope="row" | Image
|[[Fichier:5-cell.gif|100px|alt=Image animé d'une projection en rotation, en bleu sur fond noir.]]
|[[Fichier:8-cell.gif|100px|alt=Image animé d'une projection en rotation, en bleu sur fond noir.]]
|[[Fichier:16-cell.gif|100px|alt=Image animé d'une projection en rotation, en bleu sur fond noir.]]
|[[Fichier:24-cell.gif|100px|alt=Image animé d'une projection en rotation, en bleu sur fond noir.]]
|[[Fichier:120-cell.gif|120-cell.gif|100px|alt=Image animé d'une projection en rotation, en bleu sur fond noir.]]
|[[Fichier:600-cell.gif|600-cell.gif|100px|alt=Image animé d'une projection en rotation, en bleu sur fond noir.]]
|-
! scope="row" | Projeté dans un
|Tétraèdre
|Cube
|Tétraèdre
|Octaèdre
|Dodécaèdre
|Icosaèdre
|-
! scope="row" | Diagramme correspondant
|[[Fichier:Schlegel wireframe 5-cell.png|100px|alt=Squelette tridimensionnel d'une projection, en noir sur fond blanc.]]
|[[Fichier:Schlegel wireframe 8-cell.png|100px|alt=Squelette tridimensionnel d'une projection, en noir sur fond blanc.]]
|[[Fichier:Schlegel wireframe 16-cell.png|100px|alt=Squelette tridimensionnel d'une projection, en noir sur fond blanc.]]
|[[Fichier:Schlegel wireframe 24-cell.png|100px|alt=Squelette tridimensionnel d'une projection, en noir sur fond blanc.]]
|[[Fichier:Schlegel wireframe 120-cell.png|100px|alt=Squelette tridimensionnel d'une projection, en noir sur fond blanc.]]
|[[Fichier:Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png|100px|alt=Squelette tridimensionnel d'une projection, en noir sur fond blanc.]]
|}
[[Fichier:Hypersphere.gif|vignette|300x300px|alt= Grillage en volume en forme de boule, tournant en changeant de couleur.|La [[3-sphère]] en [[Rotation en quatre dimensions|rotation]], [[Projection orthographique|projetée]] dans notre espace.|gauche]]

==== Courbes, surfaces et hypersurfaces ====
[[Fichier:Clifford-torus.webm|thumb|[[Projection stéréographique]] du [[tore de Clifford]] formé des points <math>\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos (a),\sin (a),\cos(b),\sin(b)) </math> sous-ensemble de la [[3-sphère]] unité.|alt=Image animé d'un tore (déformé) en rotation, lignes bleues sur fond noir.]]
Ces objets généralisent les objets correspondants de l'espace ; il s'agit d'ensembles [[Représentation paramétrique|paramétrés]] (de manière [[Classe de régularité|régulière]]) par un, deux ou trois paramètres (autrement dit, on peut s'y déplacer suivant un, deux ou trois [[Degré de liberté (physique)|degrés de liberté]]). La description la plus générale de ces ensembles a été construite par [[Bernhard Riemann]] (dans sa thèse de 1854{{Note|nom=riemann|groupe=n}}) sous le nom de [[Variété (géométrie)|variétés]], ici [[Plongement|plongées]] dans l'espace à quatre dimensions.

===== Hypersphère =====
{{Article détaillé|3-sphère}}
L’ensemble des points situés à la même distance <math>R</math> d’un point fixé <math>P_0</math> est une [[hypersurface]], la [[3-sphère]] (de centre <math>P_0</math> et de rayon <math>R</math>), souvent appelée [[N-sphère|hypersphère]] lorsque la dimension est claire d'après le contexte. On peut repérer les points de la 3-sphère à l'aide des [[3-sphère#Coordonnées hypersphériques|coordonnées hypersphériques]], définies de manière analogue aux [[coordonnées sphériques]]. Son volume est <math> V_3 = 2\pi^2 R^3</math> et le domaine qu'elle délimite a pour hypervolume <math> V_4 = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \pi^2 R^4</math>, mais ces formules ne peuvent en revanche pas être obtenues par analogie, et demandent les outils du [[Intégration (mathématiques)|calcul intégral]]<ref group=n name=volume/>. L'hypersphère est la plus simple des [[3-variété]]s de [[Courbure#Courbure d'une variété riemanienne|courbure]] non nulle et a servi de [[modèle cosmologique]] à l'univers décrit par la [[relativité générale]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Ray|nom1=D'Inverno|titre=Introducing Einstein's Relativity|traduction titre=Introduction à la relativité d'Einstein|lieu=Oxford|éditeur=[[Oxford University Press|Clarendon Press]]|année=1998|numéro d'édition=Reprint|passage=319|isbn=978-0-19-859653-0}}.</ref>.

===== Cylindres =====
[[Fichier:Cylindre_sphérique_construction.webm|gauche|vignette|Construction d'un [[cylindre sphérique]] par translation d'une sphère.|alt= Image animée montrant le déplacement de la sphère, couleurs allant du rouge au bleu.]]
[[Fichier:Cylindre cubique.webm|vignette|Construction d'un [[cylindre cubique]] par translation d'un cylindre.|alt= Image animée montrant le déplacement du cylindre, couleurs allant du rouge vif au pourpre.]]
Dans l'espace usuel, un [[cylindre]] peut être interprété comme le résultat du déplacement d'un cercle dans une direction hors de son plan, ou, plus abstraitement, comme le [[produit cartésien]] d'un cercle par une droite. En quatre dimensions, plusieurs objets distincts généralisent ces définitions : déplaçant une sphère hors de son hyperespace, on obtient une hypersurface, appelée [[cylindre sphérique]] ; déplaçant de même un cylindre (ou, ce qui revient au même, déplaçant un cercle dans deux directions), on obtient une autre hypersurface, le [[cylindre cubique]]. Enfin, le produit cartésien de deux cercles, dont le [[tore de Clifford]] est un plongement dans la 3-sphère, est une surface [[Homéomorphisme|topologiquement semblable]] à un [[tore]], mais qui n'a pas de courbure. Suivant les auteurs, ces différents termes désignent parfois non des surfaces ou des hypersurfaces, mais des sous-ensembles de l'espace bornés par elles ; par exemple, le cylindre sphérique désigne parfois le produit d'une [[Boule (solide)|boule]] par un segment de droite, et le [[double cylindre]] la région de la 3-sphère bornée par le tore de Clifford (une portion d'hypersurface), ou même le produit de deux disques{{Note|texte={{en}} Chris McMullen, ''{{lang|en|The Visual Guide To Extra Dimensions (vol. 1): Visualizing The Fourth Dimension, Higher-Dimensional Polytopes, And Curved Hypersurfaces}}'' [« Guide visuel vers des dimensions supplémentaires (vol.1) : visualiser la quatrième dimension, les polytopes et les hypersurfaces courbes »], CreateSpace Independent Publishing Platform, 2008, {{ISBN|978-1438298924}}.}}.

===== Propriétés topologiques =====
La [[Théorème d'uniformisation#La classification géométrique des surfaces|classification des surfaces]] fermées de l'espace usuel (au sens [[Topologie|topologique]], qui veut qu'une tasse de café soit indiscernable d'un beignet pour un mathématicien<ref>{{Note autre projet|Commons|File:Mug and Torus morph.gif|une illustration de cette boutade|début=Voir}}</ref>) a été achevée par [[Henri Poincaré|Poincaré]] en 1907 ; le résultat correspondant pour les hypersurfaces de l'espace à quatre dimensions (dont un cas particulier est la [[conjecture de Poincaré]]) est la [[Géométrisation des 3-variétés|conjecture de géométrisation de Thurston]], qui ne fut formulée par lui qu'en 1976 et démontrée par [[Grigori Perelman|Perelman]] en 2003 ; cette classification est complexe et pratiquement impossible à visualiser ou même à [[Vulgarisation mathématique|vulgariser]]{{Note|nom=ghys|texte={{article|nom=[[Étienne Ghys]]|titre=[http://images.math.cnrs.fr/Geometriser-l-espace-de-Gauss-a.html Géométriser l'espace : de Gauss à Perelman]|revue=[[Images des mathématiques]]|année=2007}}}}.

Dans l'espace usuel, une [[courbe fermée]] peut former un [[Nœud (mathématiques)|nœud]], mais une surface (semblable à une sphère) ne le peut pas{{Note|texte=Il est évidemment facile de nouer un tore ; d'autre part, si l'on autorise des surfaces non lisses, des possibilités exotiques telles que la [[sphère cornue d'Alexander]] existent même dans l'espace usuel.|groupe=n}}. En quatre dimensions, la situation s'inverse : une courbe qui semble nouée peut se ramener à un cercle en déplaçant les croisements apparents dans la quatrième direction, mais au contraire on peut fabriquer des surfaces nouées [[Homéomorphisme|homéomorphes]] à une sphère, par exemple en partant d'un nœud simple de l'espace usuel et en le faisant [[Rotation en quatre dimensions#Rotations simples|tourner autour d'un plan]] bien choisi. La théorie de ces nœuds est là aussi beaucoup plus complexe que la [[théorie des nœuds]] usuelle<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=J. Scott|nom1=Carter|prénom2=Masahico|nom2=Saito|titre=Knotted Surfaces and Their Diagrams|traduction titre=Surfaces nouées et leurs diagrammes|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|année=|pages totales=278|isbn=978-0-8218-7491-2|lire en ligne={{Google Livres|TIGVq4GeEM4C}}}}.</ref>.

Résoudre des questions de ce genre, et même simplement les formuler rigoureusement, demande l'utilisation d'outils plus abstraits que ceux de la géométrie classique : [[topologie combinatoire]], [[homotopie]], [[géométrie algébrique]]{{etc.}}

==== Déplacements ====
{{Article détaillé|Rotation en quatre dimensions}}
Comme [[Vissage|en dimension trois]], les [[Déplacement (géométrie)|déplacements]] 4D sont des [[Composition de fonctions|composées]] de [[translation]]s et de [[Rotation en quatre dimensions|rotations]] ; ces dernières (définies comme des [[isométrie]]s [[Orientation (mathématiques)|directes]] ayant un [[point fixe]]) n'ont en général qu'un seul point fixe et sont composées de rotations autour de deux plans orthogonaux [[invariant]]s. Lorsque ces deux rotations ont le même angle, il existe toute une famille de plans invariants et dans lesquels la rotation se fait selon le même angle ; on parle alors de ''[[Rotation en quatre dimensions#Rotations isoclines|rotation isocline]]''<ref name=rotation/>. L'étude de ces transformations relève plutôt de l'[[algèbre linéaire]] et du [[Matrice (mathématiques)|calcul matriciel]], plus précisément de la technique de [[Réduction d'endomorphisme|réduction des endomorphismes]] (utilisant en particulier les notions de [[vecteur propre]] et de [[sous-espace caractéristique]]).

=== Représentations algébriques ===
{{Article détaillé|Espace euclidien|Espace de Minkowski}}
Formellement, l’espace à quatre dimensions est défini comme un [[espace affine euclidien]] (de dimension 4)<ref name=monier>{{Ouvrage
 | langue=fr
 | prénom1=Jean-Marie
 | nom1=Monier
 | titre=Cours de mathématiques : MPSI, PCSI, PTSI et MP, PSI, PC, PT
 | sous-titre=Algèbre et géométrie MP
 | tome=8
 | lieu=Paris
 | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]]
 | année=2007
 | numéro d'édition=5
 | pages totales=331
 | passage=106-115
 | isbn=978-2-10-051038-2
 | lire en ligne={{Google Livres|id=RZkxAAAAQBAJ}}
}}.</ref>.

La représentation algébrique la plus simple de cet espace consiste à identifier chaque point au [[vecteur]] de ses quatre coordonnées dans un [[Repère affine|repère]] [[Base orthonormée|orthonormal]], l'espace vectoriel correspondant étant identifié à <math>\mathbb{R}^4 </math> ; le vecteur <math>\mathbf{a}   </math> s'écrit alors <math>\mathbf{a} = ( a_1 ,a_2 ,a_3, a_4).</math> Les quatre vecteurs de la [[base canonique]] <math>(\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3,\mathbf e_4)</math> sont donnés par <math>\mathbf{e}_1 = (1 ,0 , 0 , 0 )\ ; \mathbf{e}_2 = (0 , 1 , 0 , 0 )\ ; \mathbf{e}_3 = ( 0 , 0 ,1 , 0 )\ ; \mathbf{e}_4 = (0 ,0 ,0 , 1 ), </math> et le vecteur général s'écrit donc <math> \mathbf{a} = a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_2 + a_3\mathbf{e}_3 + a_4\mathbf{e}_4.</math>

Les calculs vectoriels se font comme dans l'espace usuel <math>\mathbb{R}^3 </math>, le [[produit scalaire]] se généralise de même à 
:<math>\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + a_4 b_4</math>
et permet de calculer la [[Norme (mathématiques)|norme]] (donc la distance entre deux points) par la formule (généralisant le [[théorème de Pythagore]])
:<math> \left| \mathbf{a} \right| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} } = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2},</math>
et de définir l'[[angle]] <math>\theta</math> entre deux vecteurs non nuls par <math> \theta = \arccos{\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\left|\mathbf{a}\right| \left|\mathbf{b}\right|}}</math><ref name=monier/>. Il n'existe en revanche pas de [[produit vectoriel]] en 4 dimensions{{Note|texte=Il n'existe d'opérations analogues au produit vectoriel que dans des espaces de dimension 3 et 7 ; voir également à ce sujet l'article [[produit vectoriel en dimension 7]]<ref>{{article |langue=en|titre=Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces|traduction titre= Produit vectoriel dans les espaces euclidiens de dimensions supérieures|auteur=WS Massey |journal=[[The American Mathematical Monthly]] |volume=90|année=1993 |pages=697–701 |éditeur=[[Mathematical Association of America]]|jstor=2323537 |numéro=10 |doi=10.2307/2323537}}.</ref>.|groupe=n}}.

Cette représentation permet d'utiliser les outils de la [[géométrie analytique]], en ramenant les objets à étudier à leurs [[Équation cartésienne|équations cartésiennes]]. Par exemple, un hyperplan est formé de tous les points de coordonnées <math>(x,y,z,w)</math> vérifiant une équation de la forme <math>ax + by + cz + dw=e</math> et il est orthogonal aux droites de [[vecteur directeur]] <math>(a,b,c,d)</math> ; l'hypersphère de centre <math>P_0=(x_0,y_0,z_0,w_0)</math> et de rayon <math>R</math> a pour équation <math>(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+ (z-z_0)^2+ (w-w_0)^2=R^2</math>.

D'autres systèmes de coordonnées, comme les [[3-sphère#Coordonnées hypersphériques|coordonnées hypersphériques]], ou les [[3-sphère#Coordonnées de Hopf|coordonnées de Hopf]], sont plus adaptés à l'étude des déplacements de l'espace à quatre dimensions, en particulier des [[Rotation en quatre dimensions|rotations]]<ref name=rotation/>.

L'[[espace de Minkowski]] utilise le même [[système de coordonnées]] cartésiennes (en remplaçant <math>w</math> par <math>t</math>, représentant le temps), mais remplace le produit scalaire précédent par un pseudo-produit scalaire défini par la formule <math>\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 - c^2a_4 b_4</math> (où <math>c</math> est la [[vitesse de la lumière]]) et associé à une [[forme quadratique]] de [[Loi d'inertie de Sylvester#Énoncé|signature]] <math>(+,+,+,-)</math> ; celle-ci modélise l'[[intervalle d'espace-temps]]. La géométrie de cet espace (si on interprète ce pseudo-produit scalaire comme un produit scalaire ordinaire) est [[Géométrie non euclidienne|non euclidienne]], et possède même des propriétés incompatibles avec les définitions usuelles, la distance entre deux points pouvant être [[Nombre imaginaire pur|imaginaire]], ou le cosinus d'un angle être supérieur à 1{{Note|groupe=n|texte=Pour plus de détails, par exemple sur ce que devient l'[[inégalité triangulaire]] et son application au [[paradoxe des jumeaux]], voir [[Espace de Minkowski#Géométrie]].}}.

== Applications ==
En mathématiques pures, l'espace à quatre dimensions est le cadre naturel de la représentation et de l'étude du [[Graphe d'une fonction|graphe]] des [[Fonction holomorphe|fonctions de variable complexe]]<ref>Voir ces [http://graphes-fonctions-holomorphes.toile-libre.org/FoncHol/menu.html balades mathématiques parmi les fonctions holomorphes], montrant différentes représentations de ces graphes.</ref>. La plus importante de ses applications vient cependant sans doute de l'idée, due à [[Bernhard Riemann]], d'interpréter les [[Courbe algébrique|courbes algébriques]] comme des [[Surface de Riemann|surfaces]] plongées dans le [[Plan projectif|plan projectif complexe]] (qui s'identifie à <math>\mathbb{R}^4 </math> prolongé par des [[Droite à l'infini|points à l'infini]]) ; cette approche est encore féconde actuellement<ref name="ghys" />.

Dès le cours de mécanique de [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] en 1788, l'utilisation de plus de trois coordonnées est fréquente ; le temps est le plus souvent utilisé comme quatrième variable, mais des systèmes de représentation mécanique à six coordonnées, ajoutant les [[angles d'Euler]] aux trois directions de déplacement, ont également été proposés{{Note|texte=Voir par exemple [https://sciences-indus-cpge.papanicola.info/IMG/pdf/sii-en-pcsi-cinematique.pdf ce cours de cinématique du solide] en [[Classe préparatoire physique, chimie et sciences de l'ingénieur|PCSI]] (section 6.2, p.6).}}. Cependant, il ne semble pas que cela ait été considéré comme autre chose qu'un artifice de calcul commode, sans signification géométrique.

Ce n'est qu'avec la [[relativité restreinte]] qu’apparaît une vision de l'[[espace-temps]] comme un véritable espace géométrique à quatre dimensions (où, en particulier, les repères en translation uniforme font « tourner » l'espace-temps, le temps n'étant donc plus vu comme une direction indépendante des trois autres) ; la [[relativité générale]] amène même à considérer cet espace-temps comme [[Courbure spatiale|courbe]], ce qui ne peut se visualiser aisément, mais correspond à des effets physiques bien réels, le plus spectaculaire étant la formation de [[Trou noir|trous noirs]]. La [[Physique statistique|mécanique statistique]] et la [[thermodynamique]], quant à elles, représentent parfois l'état d'un système (tel qu'un gaz) par un point d'un espace à un grand nombre de dimensions, l'[[espace des phases]], mais ne s'intéressent qu'assez peu à la géométrie de cet espace{{Note|texte=[https://www.futura-sciences.com/sciences/definitions/physique-espace-phases-4880/ L'espace des phases], sur le site de futura-sciences.}} ; enfin, la [[physique quantique]] utilise pour représenter les systèmes et les mesures qu'on peut faire sur eux (à l'aide en particulier des [[Représentation d'état|vecteurs d'état]]) un espace à un nombre infini de dimensions, l'[[espace de Hilbert]]{{Note|texte=[https://quantique.u-strasbg.fr/lib/exe/fetch.php?media=fr:pageperso:ef:cours_outils_mathematiques_e_fromager.pdf Les outils mathématiques de la mécanique quantique], sur le site de l'[[université de Strasbourg]].}}.

À la fin du {{S-|XX}}, des applications purement géométriques à la [[cristallographie]] ont été découvertes, interprétant les [[Quasi-cristal|quasi-cristaux]] comme des projections dans notre espace de réseaux réguliers d'un espace de dimension plus grande<ref>{{article |langue=en |nom1=Michel Duneau |nom2=André Katz |titre=Quasiperiodic patterns|traduction titre=Modèles quasipériodiques |journal=[[Physical Review Letters|Phys. Rev. Lett.]] |volume=54 |numéro=25 |année=1985 |doi=10.1103/PhysRevLett.54.2688 |pages=2688-2691}}.</ref>.

== Perception de la quatrième dimension ==
Il a longtemps été déclaré qu'une véritable perception de la quatrième dimension (au sens où, par exemple, on imaginerait ce que verrait un observateur quadridimensionnel, on se déplacerait dans cet espace en imagination{{etc.}}) était impossible{{Note|nom=kant|groupe=n}}, ou demanderait des efforts démesurés{{Note|nom=poincare}}. Cependant, avec la familiarisation des mathématiciens et des physiciens à ces idées, beaucoup ont tenté d'y parvenir, souvent avec succès{{Note|texte=Ainsi, [[Timothy Gowers]], après avoir expliqué ce que signifie « visualiser » dans ce cas, précise que {{citation|certains mathématiciens se sont spécialisés dans la géométrie de l'espace à quatre dimensions, et leurs pouvoirs de visualisation sont extrêmement développés.}}<ref group=c>{{Citation étrangère|langue=en|Some mathematicians specialize in four-dimensional geometry, and their powers of four-dimensional visualization are highly developed.}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Timothy Gowers]]|titre=Mathematics|sous-titre=A Very Short Introduction|traduction titre=Mathématiques : une très courte introduction|éditeur=[[Oxford University Press]]|année=2002|pages totales=143|passage=78|isbn=978-0-19-285361-5|lire en ligne={{Google Livres|id=DBxSM7TIq48C|page=78}}}}.</ref>.|groupe=n}}, comme le fit par exemple [[John Horton Conway]]{{Note|texte={{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Siobhan Roberts]]|titre=Genius at play|sous-titre=The curious mind of John Horton Conway|traduction titre=Les jeux du génie : l'esprit curieux de John Horton Conway|éditeur=Bloomsbury|année=2015|pages totales=480|isbn=978-1-62040-593-2}}.}}.

Des recherches récentes utilisant des techniques de [[réalité virtuelle]] ont montré que, sans entraînement préalable, des volontaires pouvaient en quelques heures apprendre à s'orienter dans des labyrinthes simples en 4D, répondant par exemple sans erreur (et sans calcul) à la question de déterminer la direction de leur point de départ après plusieurs déplacements dans des directions orthogonales de cet espace<ref name="Aflalo">{{article|langue=en|nom1=Aflalo|prénom1=T. N.|nom2=Graziano|prénom2=M. S. A.|titre=Four-dimensional spatial reasoning in humans|traduction titre= Raisonnement humain dans l'espace à quatre dimensions|journal=[[Journal of Experimental Psychology|Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance]]|date=2008|volume=34|numéro=5|pages=1066-1077|doi=10.1037/0096-1523.34.5.1066|pmid=18823195|url=https://grazianolab.princeton.edu/sites/default/files/graziano/files/aflalo_08.pdf|consulté le=20 août 2020|citeseerx=10.1.1.505.5736}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article |langue=en |prénom1=Michael S. |nom1=Ambinder |prénom2=Ranxiao Frances |nom2=Wang |prénom3=James A. |nom3=Crowell |prénom4=George K. |nom4=Francis |titre=Human four-dimensional spatial intuition in virtual reality |périodique=Psychonomic Bulletin & Review |volume=16 |numéro=5 |date=2009-10-01 |issn=1531-5320 |doi=10.3758/PBR.16.5.818 |lire en ligne=https://doi.org/10.3758/PBR.16.5.818 |consulté le=2020-11-14 |pages=818–823}}.</ref>.

== Dans la culture ==
{{Article détaillé|Quatrième dimension (art)}}
Dans le langage courant, l'expression « quatrième dimension » renvoie souvent simplement à des phénomènes inexplicables, comme dans la célèbre [[La Quatrième Dimension (série télévisée)|série télévisée portant ce nom]]<ref>{{Lien web |langue=fr |titre=La Quatrième Dimension, c'est pas un truc de vieux! |url=https://www.laliberte.ch/news/magazine/page-jeunes/la-quatrieme-dimension-c-est-pas-un-truc-de-vieux-564097 |site=www.laliberte.ch |consulté le=2020-11-14}}</ref>. Le [[marketing]] l'utilise pour insister sur l’ajout d’une qualité supplémentaire, comme pour le [[cinéma 4-D]] ou les [[montagnes russes quadridimensionnelles]]<ref>{{Lien web |langue=fr |prénom=Les |nom=Echos |titre=Brand content et numérique : la 4ème dimension de la Marque |url=http://archives.lesechos.fr/archives/cercle/2013/11/26/cercle_85288.htm |site=lesechos.fr |date=2013-11-26 |consulté le=2020-11-14}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |langue=fr-FR |titre=Cinéma 4DX : c'est quoi le principe ? |url=https://www.bibamagazine.fr/culture/cinema/cinema-4dx-cest-quoi-le-principe-42271.html |site=Biba Magazine |date=2017-03-24 |consulté le=2020-11-14}}</ref>. Mais de véritables références à sa signification mathématique sont apparues dès la fin du {{S-|XIX}}.

=== Ouvrages s'appuyant sur les mathématiques ou la physique ===
[[Fichier:Tesseract net Crooked House.svg|vignette|upright|alt=Croix formée de huit cubes violets.|Plan de la [[La Maison biscornue (nouvelle)|Maison biscornue]], avant son repliement dans la quatrième dimension.]]
Les ouvrages de [[Charles Howard Hinton|Hinton]] inspirèrent peut-être [[Edwin Abbott Abbott]] à publier ''[[Flatland]]'' en [[1884 en littérature|1884]], où il montre comment notre espace pourrait être perçu par un Carré, habitant d'un monde à deux dimensions, lequel finit par suggérer (sans grand succès) à la Sphère qui est venue le visiter qu'une quatrième dimension spatiale serait possible ; Hinton à son tour publia en 1906 un chapitre additionnel de ''Flatland''{{Note|groupe=n|texte=Intitulé ''{{lang|en|An Episode of Flatland}}'' et publié en 1907, il développe certaines idées prophétiques de l'auteur sur l'usage de la quatrième dimension<ref>{{en}} [http://kasmana.people.cofc.edu/MATHFICT/mfview.php?callnumber=mf208 Analyse] sur le site ''Mathematical Fiction''.</ref>. En 1984, {{lien|Alexander Dewdney}}, dans  ''[[Le Planivers]]'', présente les mêmes idées dans un contexte « réaliste ».}}. Mais le plus souvent, la quatrième dimension est identifiée au temps, l'illustration la plus connue en étant ''[[La Machine à explorer le temps]]'' de [[H. G. Wells]], dont une traduction est publiée au ''[[Mercure de France]]'' dès 1899<ref>{{Article |langue=en |prénom1=Robert M. |nom1=Philmus |titre="The Time Machine": Or, The Fourth Dimension as Prophecy |périodique=PMLA |volume=84 |numéro=3 |date=1969 |issn=0030-8129 |doi=10.2307/1261141 |lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/1261141 |consulté le=2020-11-14 |pages=530–535}}.</ref>.

En 1912, [[Gaston de Pawlowski]] est l’auteur d'un roman de [[science-fiction]], ''[[Voyage au pays de la quatrième dimension]]''{{Note|texte=[[Gaston de Pawlowski]], ''Voyage au pays de la quatrième dimension'', Bibliothèque-Charpentier, 1912 ; [https://fr.wikisource.org/wiki/Voyage_au_pays_de_la_quatri%C3%A8me_dimension texte intégral] sur [[Wikisource]].}}, qui utilise véritablement une dimension spatiale supplémentaire ; de nombreux textes analogues suivront, par exemple la nouvelle de [[Robert A. Heinlein|Robert Heinlein]], ''[[La Maison biscornue (nouvelle)|La Maison biscornue]]'', décrivant avec humour le repliement d'un [[Patron (géométrie)|patron]] de [[tesseract]]<ref>{{Article |langue=en-US |auteur1= |prénom1=Carl |nom1=Sagan |titre=GROWING UP WITH SCIENCE FICTION |périodique=The New York Times |date=1978-05-28 |issn=0362-4331 |lire en ligne=https://www.nytimes.com/1978/05/28/archives/growing-up-with.html |consulté le=2020-11-14 |pages=}}.</ref>.

Plusieurs ouvrages de [[Vulgarisation mathématique|vulgarisation]] ont popularisé certaines de ces idées auprès du grand public, depuis les exposés de [[Henri Poincaré|Poincaré]] dans ''[[La Science et l'Hypothèse]]'' jusqu'aux livres de [[Rudy Rucker]]<ref>{{Article |langue=fr |prénom1=Philippe |nom1=Nabonnand |titre=La “ quatrième géométrie ” de Poincaré |périodique=Gazette des Mathématiciens |numéro=134 |date=2012 |lire en ligne=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01081806/document |consulté le=2020-11-14 |pages=76–86}}.</ref> ; à partir des années 1990, les progrès de l'[[infographie]] ont permis des réalisations plus abordables encore, telles que le film ''[[Dimensions... une promenade mathématique]]''<ref>{{Article |langue=en |prénom1=Aurélien |nom1=Alvarez |prénom2=Jos |nom2=Leys |titre=Dimensions, a Math Movie |périodique=Mathematics and Modern Art |série=Springer Proceedings in Mathematics |éditeur=Springer |date=2012 |isbn=978-3-642-24497-1 |doi=10.1007/978-3-642-24497-1_2 |lire en ligne=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-24497-1_2 |consulté le=2020-11-14 |pages=11–16}}.</ref>.

=== Œuvres d'art ===
[[Fichier:Monumento a la Constitución en Madrid DavidDaguerro.jpg|thumb|right|alt=Cube évidé en béton, dans un parc|Le Monument à la Constitution, à Madrid.]]
Les modèles d'objets à quatre dimensions (ou plus exactement de leurs projections dans notre espace) ont très tôt inspiré peintres et sculpteurs<ref>{{Lien web |langue=en |prénom=The MIT |nom=Press |titre=The Fourth Dimension and Non-Euclidean Geometry in Modern Art, Revised Edition {{!}} The MIT Press |url=https://mitpress.mit.edu/books/fourth-dimension-and-non-euclidean-geometry-modern-art-revised-edition |site=mitpress.mit.edu |consulté le=2020-11-14}}</ref> ; [[Maurice Princet]] a même pu affirmer l'influence de certains croquis de [[Esprit Jouffret|Jouffret]] sur des œuvres [[Cubisme|cubistes]] telles que le [[Portrait d'Ambroise Vollard (Picasso)|portrait d'Ambroise Vollard]] par [[Pablo Picasso|Picasso]]<ref>{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Marc|nom1=Décimo|titre=Maurice Princet, Le Mathématicien du Cubisme|lieu=Paris|éditeur=Éditions L'Echoppe|année=2007|pages totales=52|isbn=978-2-84068-191-5|isbn2=2-84068-191-9}}.</ref>{{,}}<ref>{{article |langue=en |prénom1=Max |nom1=Weber |lien auteur=Max Weber |titre=In The Fourth Dimension from a Plastic Point of View|traduction titre= Dans la quatrième dimension du point de vue des arts plastiques|journal=[[Camera Work]] |volume=31 |date=juillet 1910}}.</ref> ; plus explicitement, [[Salvador Dalí]], dans ''[[Corpus hypercubus]]'', a représenté une [[crucifixion]] sur un [[Patron (géométrie)|patron]] d'[[hypercube]]<ref>{{Lien web |langue=en |titre=Crucifixion (Corpus Hypercubus) |url=https://www.metmuseum.org/art/collection/search/210009107 |site=www.metmuseum.org |consulté le=2020-11-14}}</ref>.

L'[[Arche de la Défense]] a été parfois vue comme une projection tridimensionnelle d'un [[tesseract]]<ref>{{lien web |langue=en |auteur1=[[Marcus du Sautoy]] |titre=A 4 Dimensional Cube in Paris|traduction titre= Un cube 4D à Paris |url=http://www.mathsinthecity.com/sites/4-dimensional-cube-paris |série=The Number Mysteries |site=Maths in the City |consulté le=17 juin 2012}}.</ref> ; le [[monument à la Constitution de 1978]], à [[Madrid]], est plus délibérément construit à partir d'une telle projection. De nombreuses sculptures ont été également réalisées à partir de diverses représentations d'objets quadridimensionnels, combinant des objectifs esthétiques et pédagogiques{{Note|texte=Par exemple, le Penn State Department of Mathematics présente depuis 2005 une sculpture (due à Adrian Ocneanu) de l'ombre d'un [[icositétrachore|24-cellules]]<ref> [https://www.techno-science.net/actualite/sculpture-revele-quatrieme-dimension-N1926.html Article sur cette sculpture] sur techno-science.net.</ref>.|groupe=n}}.

=== Ésotérisme et fantastique ===
L'idée d'une quatrième dimension habitée par des êtres supérieurs à nous ou des esprits (voire des [[Fantôme|fantômes]]) est assez fréquente dès le début du {{S-|XX}} dans des textes [[Ésotérisme|ésotériques]], par exemple dans ceux de [[Piotr Ouspenski]], ou encore dans un ensemble de conférences données par [[Rudolf Steiner]] en 1905{{Note|texte=[[Rudolf Steiner]], ''La Quatrième Dimension : Mathématiques et Réalité'', Triades, 1987 {{ISBN|9782852482203}}. [https://www.editions-triades.com/livres/nature-et-sciences/la-quatrieme-dimension/ Présentation détaillée] : il s'agit d'un ensemble de conférences prononcées à Berlin en 1905.}}, mélangeant des résultats mathématiques rigoureux à des interprétations mystiques, facilitées comme on l'a vu par la possibilité, en utilisant la quatrième dimension (si elle était physiquement accessible), d'opérer des miracles apparents. De même, les opérations de [[chirurgie psychique]] ont été décrites dans les années 1960 comme relevant d'une « chirurgie de la quatrième dimension »<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=Ron Ormond |auteur2=Ormond McGill |titre=Into the Strange Unknown By the Two Men Who Lived Every Moment of it |traduction titre=Dans l'inconnu étrange, par les deux hommes qui en ont vécu chaque instant |éditeur=The Esoteric Foundation |année=1959 |isbn=0-87975-535-0}}.</ref>.

Certaines propriétés de l'espace à quatre dimensions, par exemple la transformation en [[Saison 1 de La Quatrième Dimension|image dans un miroir]] à la suite d'un simple déplacement, ont été exploitées par des auteurs de [[fantastique]], comme le fait [[H. P. Lovecraft|Lovecraft]] dans ''[[La Maison de la sorcière]]'' ; le [[mythe de Cthulhu]] contient d'ailleurs plusieurs autres références à des géométries incompréhensibles, comme la capacité des [[chiens de Tindalos]] à se déplacer en utilisant les angles du temps<ref>{{Article |langue=en |prénom1=Daniel M. |nom1=Look |titre=Queer Geometry and Higher Dimensions |sous-titre=Mathematics in the Fiction of H. P. Lovecraft |périodique=Lovecraft Annual |numéro=10 |lieu=New York |éditeur=Hippocampus Press |année=2016 |isbn=978-1-61498-180-0 |jstor=26868515 |pages=101-120}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article |langue=en |auteur1= |prénom1=Thomas |nom1=Hull |titre=H.P. Lovecraft: a Horror in Higher Dimensions |périodique=Math Horizons |volume=13 |numéro=3 |date=2006 |issn=1072-4117 |lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/25678597 |consulté le=2020-11-14 |pages=10–12}}.</ref>.

De nombreux [[Cinéma fantastique|films fantastiques]] et de [[Film de science-fiction|science-fiction]] font référence à la quatrième dimension, le plus souvent en la confondant avec le temps ; plus géométriquement, ''[[Cube 2]]'' et ''[[Interstellar]]'' utilisent un [[tesseract]] comme une sorte de labyrinthe permettant également un accès à d'autres époques, voire à des [[Univers parallèle|univers parallèles]]<ref>{{Lien web |langue=fr |auteur=Roland Lehoucq |auteur2=Jean-Sébastien Steyer |titre=Interstellar : plongée dans le tesseract |url=https://www.pourlascience.fr/sd/physique-theorique/iinterstellarinbsp-plongee-dans-le-tesseract-9329.php |site=www.pourlascience.fr |date=26 octobre 2016 |consulté le=2020-11-14}}</ref>.

== Notes et références ==

=== Notes ===
{{Références|groupe=n}}

=== Citations originales ===
{{Références|groupe=c}}

=== Références ===
{{Traduction/Référence|en|Four-dimensional space|977945351|type=n}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
{{Légende plume}}
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=[[Esprit Jouffret]]|titre=Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions et introduction à la géométrie à n dimensions|lieu=Paris|éditeur=[[Gauthier-Villars]]|année=1904|pages totales=227|isbn=2-87647-221-X|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1422333q|plume=oui}} .
* {{article|langue=en |auteur1=R. C. Archibald |titre=Time as a Fourth Dimension|traduction titre= Le temps comme une quatrième dimension|journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]]|pages=409-412 |date=1914 |url=https://www.ams.org/journals/bull/1914-20-08/S0002-9904-1914-02511-X/S0002-9904-1914-02511-X.pdf }}.
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Eward Hope Neville|titre=The Fourth Dimension|traduction titre=La quatrième dimension|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=1921|pages totales=56}} ({{Lire en ligne|lien=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1422333q|consulté le=}} sur le site d'histoire des mathématiques de l'[[université du Michigan]]).
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Andrew Forsyth]]|titre=Geometry of Four Dimensions|traduction titre=Géométrie à quatre dimensions|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=1930|pages totales=513}} ({{Lire en ligne|lien=https://archive.org/details/geometryoffourdi032760mbp/page/n13/mode/2up}} sur [[Internet Archive]]).
* {{Ouvrage|langue originale=en|prénom1=George|nom1=Gamow|lien auteur1=George Gamow|traducteur=Junior et Maurice Gauzit|titre=Un, deux, trois ... l'infini|titre original=One, Two, Three... Infinity|lieu=Paris|éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]]|année=1955|pages totales=282|oclc=490990286}} ([https://books.google.com/books?id=EZbcwk6SkhcC&pg=PA68 chapitre 4 de la version originale : le monde à quatre dimensions] {{En}}).
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Harold Scott MacDonald Coxeter]]|titre=Regular Polytopes|traduction titre=Polytopes réguliers|lieu=New York|éditeur=Dover Publishing|année=1973|numéro d'édition=3|pages totales=321|isbn=978-0-486-61480-9|lire en ligne=https://archive.org/details/regularpolytopes0000coxe|accès url=inscription|plume=oui}}
* {{Ouvrage|langue originale=en|prénom1=Rudy|nom1=Rucker|lien auteur1=Rudy Rucker|titre=La quatrième dimension|titre original=The Fourth Dimension: Toward a Geometry of Higher Reality|lieu=Paris|éditeur=[[Éditions du Seuil|Seuil]]|année=1985|pages totales=352|isbn=978-2020477994}}.
*{{Ouvrage|auteur1=[[Michel Paty]]|titre=Les trois dimensions de l'espace et les quatre dimensions de l'espace-temps, in Dimension, dimensions ''(ouvrage collectif sous la direction de Dominique Flament)''|lieu=Paris|éditeur=Fondation Maison des Sciences de l’Homme|année=1998|passage=97-112|isbn=|lire en ligne=https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-00167263/document}}.

=== Articles connexes ===
* [[Espace-temps]]
* [[Quatrième dimension (art)]]

=== Liens externes ===
* Quatre vidéos de [[Mickaël Launay]] sur la quatrième dimension : [https://www.youtube.com/watch?v=LQFkUjYzOn8 Définition], [https://www.youtube.com/watch?v=IbV0UoXXcOY Représenter la 4D], [https://www.youtube.com/watch?v=mYSMM3hw-yk Les curiosités de la 4D], [https://www.youtube.com/watch?v=sgMwD9fzk80 L'hypercube].
* [http://www.dimensions-math.org/ Site officiel du projet] ''[[Dimensions... une promenade mathématique|Dimensions]]'', sur lequel on trouvera en particulier des liens vers tous les films, ainsi que des textes complémentaires.
* {{en}} [http://www.math.union.edu/~dpvc/math/4D/welcome.html Animations d'objets en 4D (projections et coupes)]

{{Portail|géométrie}}
{{Article de qualité|oldid=177116956|date=2 décembre 2020}}

[[Catégorie:Dimension]]
[[Catégorie:Relativité restreinte]]