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{{article général|Géométrie affine}}

En [[géométrie]], la notion d''''espace affine''' (ou '''espace affin''') généralise la notion d'espace issue de la [[géométrie euclidienne]] en omettant les notions d'[[angle]] et de [[Distance (mathématiques)|distance]]. Dans un espace affine, on peut parler d'alignement, de [[Parallélisme (géométrie)|parallélisme]], de [[#Barycentres|barycentre]]. Sous la forme qui utilise des rapports de [[Mesure algébrique#En géométrie affine|mesures algébriques]], qui est une notion affine, le [[théorème de Thalès]] et le [[théorème de Ceva]] sont des exemples de [[théorème]]s de géométrie affine plane réelle (c'est-à-dire n'utilisant que la structure d'espace affine du plan réel). Un espace affine peut aussi être vu comme un [[espace vectoriel]] « dont on a oublié l'origine »<ref>{{harvsp|Berger|2009|p=61}}.</ref>. Ainsi les [[Translation|translations]] de [[vecteur]] non nul sont des [[Application affine|transformations affines]] (c'est-à-dire qu'elles conservent la structure d'espace affine), mais pas vectorielles. Les [[homothétie]]s (de centre un point quelconque de l'espace), mais aussi par exemple les [[transvection]]s ou les [[Dilatation (géométrie)|dilatations]] sont des applications affines.

== Définitions et premières propriétés ==
Il est possible d'[[Axiome|axiomatiser]] les espaces affines directement, en termes de points, de droites et de la relation d'incidence (appartenance) d'un point à une droite<ref>Voir « [[Plan affine de Desargues]] » pour une approche axiomatique dans le cas du plan. Les [[axiomes de Hilbert]] restreints à ceux de l'incidence et du parallélisme conviennent pour la dimension 3. Une axiomatisation alternative, qui convient également dans le cas général (dimension supérieure ou égale à 3) est donnée dans {{harvsp|Lelong-Ferrand|1985|p=202}}. Quant à {{Ouvrage|auteur1=[[Jean Dieudonné]]|titre=Algèbre linéaire et géométrie élémentaire|éditeur=[[Hermann (éditions)|Hermann]]|année=1964|passage=17}}, il s'oppose à cette démarche, qu'il juge non [[Enseignement des mathématiques|pédagogique]], d'un {{Citation|échafaudage préalable}} géométrique pour en {{Citation|''déduire'' ensuite les axiomes de l'[[Algèbre linéaire]]<!--majuscule : sic-->.}}</ref>, cependant les définitions les plus usuelles d'espace affine s'appuient sur celle d'[[espace vectoriel]] sur un [[corps (mathématiques)|corps]], qui est le corps des [[nombre réel|nombres réels]] pour la géométrie affine « classique ». Les éléments de l'espace affine sont appelés ''points'', ceux de l'espace vectoriel associé ''vecteurs'', et ceux du corps associé ''scalaires''.
Une opération fondamentale des espaces affines associe à deux points ''A'' et ''B'' un vecteur noté <math>{\overrightarrow{AB}}</math>. Dans ce contexte les couples de points sont souvent appelés ''bipoints'', un bipoint (''A'',''B'') a pour ''origine'' ''A'', pour ''extrémité'' ''B'' et définit donc un vecteur <math>{\overrightarrow{AB}}</math>. Une autre opération fondamentale associe à un point ''A'' et un vecteur <math>\vec u</math> un autre point, appelé ''translaté de A par <math>\vec u</math>'', et souvent noté ''A'' + <math>\vec u</math> (''notation de [[Hermann Günther Grassmann|Grassmann]]''). Ces opérations sont liées, en effet ''B'' est le translaté de ''A'' par le vecteur défini par le bipoint (''A'', ''B''), en fait on aura :
:<math>B=A+\vec{u}</math> &nbsp; si et seulement si  &nbsp; <math>{\overrightarrow{AB}}= \vec u</math>,
c'est-à-dire que chacune de ces deux opérations peut se définir en fonction de l'autre.

La définition qui suit s'appuie sur la première de ces deux opérations. Une définition équivalente, qui s'appuie sur la seconde, est donnée en fin de section.

=== Première définition ===
Étant donné un espace vectoriel ''V'' sur un corps ''K'', un espace affine de direction ''V'' est un [[ensemble]] non vide<ref>Cette condition « non vide » est imposée chez la plupart des auteurs, mais {{Ouvrage|auteur1=[[Michèle Audin]]|titre=Géométrie ([[Licence (France)|L3]][[Master (France)|M1]])|éditeur=[[EDP Sciences]]|année=2006|lire en ligne={{Google Livres|n1EdG4fcor0C|page=9}}}}, considère explicitement l'[[ensemble vide]] comme un espace affine sans dimension ({{p.|9}}) et comme un sous-espace affine ({{p.|11}}).</ref> ''E'' muni d'une application φ qui à chaque bipoint (''A'', ''B'') de ''E<sup>2</sup>'', associe un élément de ''V'', noté <math>{\overrightarrow{AB}}</math> vérifiant les deux propriétés suivantes<ref>{{harvsp|Ladegaillerie|2003|p=13}}.</ref> :
:'''(A1)''' <math> \forall\ ( A , B , C ) \in E^3 ,\ \ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}</math> ; &nbsp; ([[relation de Chasles]])
:'''(A2)''' <math> \forall\ A \in E , \forall\ \vec v \in V , \, \exists!\ B \in E, \ \ \overrightarrow{AB} = \vec v</math>. &nbsp;  (existence et unicité d'un translaté)

L'espace vectoriel <math>V</math> est appelé ''direction'' de l'espace affine ''E''. La direction de ''E'' est parfois notée <math>\overrightarrow E</math><ref>{{harvsp|Berger|1977|loc=section 2.1.1}}, ou encore, {{Szpirglas}}, Définition 4.1, {{p.|104}}.</ref>. La ''dimension'' d'un espace affine est la [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension de l'espace vectoriel]] qui lui est associé. En particulier un espace affine de dimension 1 est appelé ''droite affine'', un espace affine de dimension 2 ''plan affine''.

La propriété '''(A2)''' assure, pour tout point ''A'' et tout vecteur <math>\vec u</math>, l'existence et l'unicité d'un point ''B'' vérifiant <math>{\overrightarrow{AB}}= \vec u</math>, que l'on nomme, comme indiqué en introduction, translaté de ''A'' par <math>\vec u</math>. La propriété annoncée en introduction suit de cette définition. Étant donné un vecteur <math>\vec u</math> de ''V'', l'application  qui à un point ''A'' de ''E'' associe son translaté par le vecteur <math>\vec u</math> est appelée [[translation]] de vecteur <math>\vec u</math>.

Si on fixe un point origine ''O'', par définition d'un espace affine, il existe une application φ<sub>''O''</sub> de ''E'' dans ''V'' qui à un point ''M'' de ''E'' associe le vecteur <math>{\overrightarrow{OM}}</math>. La propriété '''(A2)''' énonce que cette application φ<sub>''O''</sub> est [[Bijection|bijective]] pour tout point ''O''. Cette correspondance permet donc, par choix d'une origine, de munir (de façon non canonique) l'espace affine ''E'' d'une structure d'[[Application linéaire#Cas particuliers|espace vectoriel isomorphe à ''V'']], dite structure vectorielle d'origine ''O'', et que l'on note ''E''<sub>''O''</sub>. L'étude des problèmes de [[géométrie affine]] se ramène souvent à une étude en [[Calcul vectoriel en géométrie euclidienne|géométrie vectorielle]], par choix convenable d'une origine de l'espace affine<ref>{{harvsp|Lelong-Ferrand|1985|p=85}}.</ref>.

Inversement, tout espace vectoriel ''V'' est canoniquement muni d'une structure d'espace affine de direction ''V'' par :
:: <math>\begin{array}[t]{lcl}V\times V&\longrightarrow&{V\ \ \ }\\(v,w)&\longmapsto&w-v.\end{array}</math>
C'est, [[à quelque chose près|à isomorphisme près]], le seul espace affine de direction isomorphe à ''V''.

Il arrive d'ailleurs<ref name="Fresnel_p4">{{harvsp|Fresnel|1996|p=4}}.</ref> que ce que l'on a noté dans un espace affine <math>{\overrightarrow{AB}}</math> soit noté ''B'' – ''A'', et quand cet espace affine est un espace vectoriel muni de sa structure affine  canonique, les notations sont cohérentes, de même qu'avec la notation de Grassmann, qui donne ''B'' = ''A'' + (''B'' – ''A'').

=== Propriétés élémentaires ===
Les propriétés suivantes découlent directement de la définition d'espace affine (c'est-à-dire des axiomes (A1) et (A2)).
Soient <math> A , B , C ~et~ D </math> des points quelconques d'un espace affine ''E'' :
* <math> \overrightarrow{AB} = \vec 0 \Leftrightarrow A = B</math> ;
* <math> \overrightarrow{BA} = - \overrightarrow{AB}</math>.
On peut également généraliser la relation de Chasles à un nombre fini de points <math> A_1,\ldots,A_n </math>
* <math> \overrightarrow{A_1A_n} = \sum_{i = 1}^{n-1}  \overrightarrow{A_iA_{i+1}}</math>.
On appelle ''[[parallélogramme]]'' quatre points <math>(A , B , C, D)</math>, dans cet ordre, tels que 
<math>\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}</math>. On montre alors que cette condition est invariante par [[permutation circulaire]], ou en renversant l'ordre, en particulier on a la relation du parallélogramme :
* <math> \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}</math>.
On peut également définir le ''milieu'' de deux points ''A'' et ''B'' qui est une notion affine, mais uniquement sur un [[corps (mathématiques)|corps]] de caractéristique différente de 2, c'est le point <math>A+{1\over 2}\overrightarrow{AB}</math>. Le milieu de ''A'' et ''B'' est le milieu de ''B'' et ''A''.

On montre alors (en caractéristique différente de 2) que <math>(A , B , C, D)</math> est un parallélogramme si et seulement si les points ''A'' et ''C'' d'une part, ''B'' et ''D'' d'autre part, ont même milieu.

=== Exemples d'espaces affines ===
On a vu que tout espace vectoriel pouvait être muni d'une structure d'espace affine par l'opération de soustraction vectorielle. Les deux exemples suivants sont des cas particuliers.

* Le [[plan affine]] réel est le plan ℝ{{2}} de direction lui-même en tant qu'espace vectoriel, avec l'opération
:: <math>\begin{array}[t]{lcl}\R^2\times\R^2&\longrightarrow&{\R^2\ \ \ } \\ ((x_1,y_1),(x_2,y_2))&\longmapsto&(x_2-x_1,y_2-y_1)\end{array}</math>.
* L'espace affine réel de dimension 3 se définit de façon analogue :
:: <math>\begin{array}[t]{lcl}\R^3\times\R^3&\longrightarrow&{\R^3\ \ \ }\\((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2))&\longmapsto&(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\end{array}</math>.

* le complémentaire d'un [[hyperplan]] d'un [[espace projectif]]<ref>{{Ouvrage|prénom1=|nom1=[[Pierre Samuel]]|titre=Géométrie projective|éditeur=[[Presses universitaires de France]]|collection=Mathématiques|date=1986|passage=22|isbn=978-2-13-039367-2|consulté le=2025-02-19}}</ref>.

=== Autre définition ===
{{Voir|Action de groupe (mathématiques){{!}}Action de groupe}}
Une autre définition s'appuie sur l'opération de translation. Un espace affine de direction l'espace vectoriel ''V'' est alors un ensemble non vide ''E'' muni d'une application de ''E'' × ''V'' dans ''E'' qui au point ''A'' et au vecteur <math>\vec u</math> associe un point de ''E'' appelé translaté de ''A'' par le vecteur <math>\vec u</math> et noté ''A'' + <math>\vec u</math> telle que :
:'''(A1')''' <math>\forall A\in E\ \forall \vec u,\,\vec v \in V\ \ (A+ \vec u)+\vec v = A+ (\vec u+\vec v) </math> ;
:'''(A2')''' <math>\forall (A,\,B)\in E^2\ \exists! \vec u\in V\ \ A +\vec u = B</math>.
Énoncée de cette façon, cette définition est symétrique de la première, on en déduit les mêmes propriétés en particulier que 
pour tout point ''A'', ''A'' + <math>\vec 0</math> = ''A''.

L'axiome '''(A1')''', joint à la propriété ''A'' + <math>\vec 0</math> = ''A'', signifie que l'application qui, à un vecteur et un point, associe le translaté du point par le vecteur, est une [[Action de groupe (mathématiques)|action]] du [[groupe abélien]] (''V'', +) sur l'ensemble ''E''. L'axiome '''(A2')''' signifie que cette action est [[Action de groupe (mathématiques)#Action simplement transitive|simplement transitive]], c'est-à-dire à la fois [[Action de groupe (mathématiques)#Action transitive|transitive]] — c'est l'affirmation d'existence dans '''(A2')''' — et [[Action de groupe (mathématiques)#Action libre|libre]] — c'est l'affirmation d'unicité ; elle entraîne que l'action est [[Action de groupe (mathématiques)#Action fidèle|fidèle]], c'est-à-dire que le [[vecteur nul]] est le seul vecteur <math>\vec u</math> vérifiant pour tout point ''A'', ''A'' + <math>\vec u</math> = ''A''.

Pour une action transitive d'un groupe abélien, ces deux notions (libre/fidèle) sont en fait équivalentes. Un espace affine de direction ''V'' peut donc se définir comme un ensemble non vide sur lequel le groupe additif de ''V'' opère transitivement et fidèlement<ref>{{harvsp|Ladegaillerie|2003|p=14}}.</ref>{{,}}<ref name="Fresnel_p4"/>{{,}}<ref>Une démonstration de l'équivalence entre cette « autre définition » et la première {{supra|Première définition}} figure dans le {{Note autre projet|Wikiversité|Géométrie affine/Espaces affines|chapitre sur les espaces affines|début=}}</ref>.

== Sous-espaces affines ==
Dans le plan réel ℝ{{2}}, seules les droites passant par l'origine sont des sous-espaces vectoriels, les droites quelconques sont des sous-espaces ''affines''. C'est cette notion que l'on définit maintenant.

=== Définitions ===
Soit ''E'' un espace affine de direction ''V''. Une partie non vide ''F'' de ''E'' est un sous-espace affine de ''E'' (ou [[variété affine|variété linéaire affine]], et parfois simplement variété affine<ref name="la_var">{{harvsp|Ladegaillerie|2003|p=15}}</ref>), s'il existe un point ''A'' de ''F'' tel que l'ensemble <math>W = \{\overrightarrow{AM}\mid M\in F\}</math> est un sous-espace vectoriel de ''V''<ref>Par exemple {{harvsp|Lelong-Ferrand|1985|p=86}}.</ref>. En d'autres termes, les sous-espaces affines de ''E'' passant par ''A'' sont les sous-espaces vectoriels de [[#Première définition|''E''<sub>''A''</sub>, la structure vectorielle d'origine ''A'' sur ''E'']]. On dit alors que ''F'' est le sous-espace affine de ''E'' de direction ''W'' passant par ''A''. Le sous-espace vectoriel ''W'' est donc ''la direction'' de l'espace affine ''F'', et la dimension d'un sous-espace affine est la dimension de sa direction.

On vérifie alors que pour tout point ''B'' de ''F'', ''F'' est le sous-espace affine de direction ''W'' passant par ''B'', c'est-à-dire que <math>\{\overrightarrow{BM}\mid M\in F\}=W</math> et que ''F'' est bien un espace affine de direction W (pour la même opération φ qui à un bipoint associe un vecteur, ou plus exactement sa restriction).

Un sous-espace affine ''F'' passant par ''A'' de direction ''W'' peut être défini (de façon équivalente) comme l'ensemble des translatés de ''A'' par les vecteurs de ''W'' (ce qu'on peut noter ''F'' = ''A'' + ''W'') soit<ref>Par exemple {{harvsp|Ladegaillerie|2003|p=15}}.</ref> <math>F = \{M\in E \mid \overrightarrow{AM}\in W\}</math> et là aussi cette propriété est vérifiée pour tout point ''A'' de ''F''. Finalement<ref>Une démonstration de l'équivalence entre toutes ces définitions de la notion de sous-espace affine figure dans {{Note autre projet|Wikiversité|Géométrie affine/Exercices/Sous-espaces affines#Exercice 1-10|cet exercice corrigé de la leçon « Géométrie affine »|début=}}</ref>, ''F'' non vide est donc un sous-espace affine de direction ''W'' si et seulement s'il vérifie ces deux conditions :
* pour tout couple de points <math>A</math> et <math>B</math> de <math>F</math>, le vecteur <math>\overrightarrow{AB}</math> appartient à <math>W</math> ;
* pour tout point <math>A</math> de <math>F</math> et tout vecteur <math>\vec v</math> de <math>W</math>, le point <math>A+\vec v</math> appartient à <math>F</math>.

=== Cas particuliers ===
Deux points distincts ''A'' et ''B'' de l'espace affine ''E'' définissent un sous-espace affine de dimension 1, la droite affine passant par ''A'' de direction la [[droite vectorielle]] engendrée par le vecteur <math>\overrightarrow{AB}</math>. Cette droite affine est l'unique droite passant par ''A'' et ''B''.

Trois points non alignés ''A'', ''B'' et ''C'' de l'espace affine ''E'' définissent un sous-espace affine de dimension 2, le plan affine passant par ''A'' de direction le plan vectoriel engendré par les deux vecteurs non colinéaires <math>\overrightarrow{AB}</math> et <math>\overrightarrow{AC}</math>.

Un ''hyperplan affine'' de ''E'' est un sous-espace affine de ''E'' dont la direction est un [[hyperplan]] de ''V''.

Tout [[hyperplan affine]] peut se définir comme ensemble des points ''M'' de ''E'' vérifiant une équation ''f''(''M'') = 0, où ''f'' est une forme affine, c'est-à-dire une application affine dont la [[application affine|partie linéaire]] est une [[forme linéaire]].

=== Caractérisation par les droites ===
En caractéristique différente de 2, un  sous-espace affine de ''E'' est une partie non vide de ''E'' contenant toute droite passant par deux de ses points, c'est-à-dire que ''F'' non vide est un sous-espace affine si et seulement si, étant donnés deux points distincts  ''A'' et ''B'' de ''F'', la droite passant par ''A'' et ''B'' est incluse dans ''F''. Cette caractérisation peut être utilisée comme définition dans l'approche axiomatique directe.

En effet soit un sous-espace affine ''F'' de direction ''W'', et deux points ''A'' et ''B''. Alors ''F'' comme sous-espace vectoriel de ''E''<sub>''A''</sub> structure vectorielle d'origine ''A'', contient la droite passant par ''A'' de vecteur directeur <math>\overrightarrow{AB}</math>, qui passe également par ''B''.

Réciproquement, supposons que ''F'' contienne toute droite passant par deux de ces points. Soit ''A'' un point de ''F''. Il suffit de montrer que ''F'' est un [[sous-espace vectoriel]] de ''E''<sub>''A''</sub>. Si ''B'' ∈ ''F'', ''B'' ≠ ''A'', la droite (''AB'') est incluse dans ''F'' d'où la stabilité par produit par un scalaire. On a de même la stabilité par somme pour deux  vecteurs colinéaires (''A'', ''B'', ''C'' alignés). Il reste à montrer que si ''B'' et ''C'' appartiennent à ''F'' tels que ''A'', ''B'' et ''C'' non alignés, le point ''D'' défini par l'égalité ci-dessous est dans ''F'' :
: <math>\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}</math> .
Soit ''I'' le milieu de ''B'' et ''C'' et donc de ''A'' et ''D'' (propriété du [[parallélogramme]] en caractéristique différente de 2) :
: <math>\overrightarrow{AI} = {1\over 2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})</math>
Alors ''I'' ∈ ''F'', puisque ''I'' ∈ (''BC''), et donc ''D''  ∈ ''F'', puisque ''D''  ∈ (''AI'').

=== Barycentres ===
{{Voir|Barycentre|Coordonnées barycentriques|}}
Les sous-espaces affines de ''E'' sont également les parties de ''E'' non vides et stables par barycentres, c'est-à-dire qu'une partie non vide ''F'' de ''E'' est un sous-espace affine de ''E'' si pour tout [[ensemble fini]] de points de ''F'', les barycentres de ces points sont dans ''F''.

=== Parallélisme ===
Il existe deux notions de parallélisme entre sous-espaces affines, l'une n'est valide qu'entre deux sous-espaces de même dimension (deux droites, deux plans, etc.), l'autre est plus générale.

Soient ''F'' et ''G'' deux sous-espaces affines. On dit que :
* ''F'' et ''G'' sont ''parallèles'', ou parfois  ''fortement parallèles'', quand ils ont la même direction.
* ''F'' est parallèle à ''G'', ou souvent ''F'' est ''faiblement parallèle'' à ''G'', quand la direction de ''F'' est un sous-espace vectoriel de celle de ''G''.
La relation de parallélisme fort est une [[relation d'équivalence]]. La relation de parallélisme faible n'est pas symétrique, mais reste réflexive et transitive (c'est un [[préordre]]).

L'[[axiome des parallèles]] (variante du cinquième postulat d'Euclide) — par un point il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée — est une conséquence immédiate de la définition même de sous-espace affine qui assure l'unicité d'un sous-espace affine passant par un point et de direction un sous-espace vectoriel donné (une droite vectorielle en l'occurrence).

Deux sous-espaces affines parallèles (fortement) sont soit confondus, soit d'intersection vide.

Un sous-espace affine faiblement parallèle à un sous-espace affine est soit inclus dans ce dernier soit d'intersection vide avec celui-ci.

=== Intersection de sous-espaces affines ===
Toute intersection non vide de sous-espaces affines est un sous-espace affine<ref name=Audin13>Dans {{Harvsp|Audin|2006|p=13}}, qui inclut l'ensemble vide parmi les sous-espaces affines, la contrainte « non vide » est naturellement omise.</ref>.

=== Sous-espace affine engendré ===
Soit S une partie non vide de E. L'intersection de tous les sous-espaces affines de E contenant S est le plus petit sous-espace affine contenant S. Ce sous-espace est appelé le sous-espace engendré par S. On le note ⟨S⟩<ref name=Audin13/>.

== Objets usuels en géométrie affine réelle ==
Si A et B sont distincts, le sous-espace ⟨A, B⟩, qui est alors la « ''[[Droite (mathématiques)|droite]] AB'' » (la droite passant par A et B), se note plus simplement AB, tandis que le symbole [AB] désigne le « ''[[Segment (mathématiques)|segment]] AB'' », {{c.-à-d.}} l'ensemble des points M tels que <math>\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}</math> où <math>0\le\lambda\le1</math><ref>{{Harvsp|Audin|2006|p=14}}</ref>. On note [AB) la [[demi-droite]] d'origine A passant par B.

== Repère et base affines ==
{{article détaillé|Repère affine}}

== Applications affines ==
{{article détaillé|Application affine}}
== Étymologie et historique ==
{{...}}
Dans l'esprit du [[programme d'Erlangen]], on peut définir la [[géométrie affine]] comme celle se souciant des propriétés des figures conservées par [[Application affine|transformations affines]], comme le parallélisme.

== Notes et références ==
{{références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* {{Géométrie Vivante}}
*{{Ouvrage|auteur1=Marcel Berger|titre=Géométrie|volume=1|titre volume=Action de groupes, espaces affines et projectifs|année=1977|référence simplifiée=Référence:Géométrie (Berger)#Cedic-Nathan_.28vol_1.29}}
* {{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Jean|nom1=Fresnel|titre=Méthodes modernes en géométrie|éditeur=Hermann|lieu=Paris|année=1996|pages totales=408|isbn=2-7056-1437-0}}
* {{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Yves|nom1=Ladegaillerie|titre=Géométrie|sous-titre=affine, projective, euclidienne et anallagmatique|éditeur=Ellipses|lieu=Paris|année=2003|pages totales=515|isbn=2-7298-1416-7}}
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=[[Jacqueline Lelong-Ferrand]]|titre=Fondements de la géométrie|éditeur=PUF|lieu=Paris|année=1985|pages totales=287|isbn=2-13-038851-5}}
* Jean Frenkel, ''Géométrie pour l'élève-professeur,'' Hermann, Formation des enseignants, 1973
=== Lien externe ===
{{Lien web|url=https://webusers.imj-prg.fr/~julien.marche/LM323/CoursLM323.pdf|titre=Géométrie affine et euclidienne|auteur=Antoine Ducros|année=2012}}

{{Palette|Structures algébriques}}
{{Portail|algèbre|géométrie}}

[[Catégorie:Géométrie affine]]
[[Catégorie:Espace homogène]]