Voir la source de Espace compactement engendré

En [[mathématiques]], un [[espace topologique]] est dit '''compactement engendré''' si c'est un '''''k''-espace''' [[Axiome de séparation (topologie)#Espaces faiblement séparés|faiblement Hausdorff]]<ref>La terminologie est fluctuante. Nous adoptons celle, courante, de Bruno Klingler, [http://www.math.jussieu.fr/~klingler/cours/homotoppart1.pdf Homotopie, première partie], [[Université Paris-Diderot|université Paris 7]] et {{Ouvrage|langue=en|prénom1=J. Peter|nom1=May|lien auteur1=J. Peter May|titre=A Concise Course in Algebraic Topology|lire en ligne=http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf|numéro chapitre=5}}.<br />{{en}}{{Lien web|auteur={{Lien|lang=de|Neil Strickland|texte=Neil P. Strickland}}|titre={{Lang|en|The category of CGWH spaces}}|année=2009|url=http://neil-strickland.staff.shef.ac.uk/courses/homotopy/cgwh.pdf}}{{pdf}} appelle « compactement engendré » ce que Klingler nomme « ''k''-espace », et « compactement engendré faiblement Hausdorff » (CGWH : <cite lang>compactly generated weakly Hausdorff</cite>) ce que Klingler nomme « compactement engendré ».<br />L'article {{en}} {{Lien web|url=http://ncatlab.org/nlab/show/compactly+generated+topological+space|titre=Compactly generated topological space|site=[[nLab]]}} donne la même terminologie que Klingler mais signale celle de Strickland.<br />{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Edwin H.|nom1=Spanier|lien auteur1=Edwin H. Spanier|titre=Algebraic Topology|éditeur=Springer|année=1994|année première édition=1966|pages totales=548|passage=5|isbn=978-0-387-94426-5|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=h-wc3TnZMCcC&printsec=frontcover}} et {{Harvsp|Steenrod|1967}} appellent « compactement engendrés » les ''k''-espaces [[Espace séparé|de Hausdorff]], mais cette catégorie n'est pas optimale (cf. ''[[#Motivation des définitions|infra]]'').<br />
Comme eux, {{MacLane1}}, [https://books.google.fr/books?id=MXboNPdTv7QC&pg=PA185 § VII.8] limite son étude aux ''k''-espaces de Hausdorff, qu'il appelle CGHaus ou espaces de [[John L. Kelley|Kelley]].
</ref>. Cette notion intervient en théorie de l'[[homotopie]], dans l'étude des [[CW-complexe]]s<ref name=Hatcher>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Allen|nom1=Hatcher|lien auteur1=Allen Hatcher|titre=Algebraic Topology|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|lieu=New York|année=2001|pages totales=544|passage=523-531|isbn=978-0-521-79540-1|lire en ligne=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html}}</ref>. Un espace ''X ''est :
* un ''k''-espace si toute partie « compactement fermée » de ''X ''est [[Fermé (topologie)|fermée]] (une partie ''F ''de ''X ''est dite compactement fermée si pour toute application [[Continuité (mathématiques)|continue]] ''f ''d'un [[Compacité (mathématiques)|compact]] ''K ''dans ''X'', [[Image réciproque|''f''{{-1}}(''F'')]] est fermé dans ''K'') ;
* faiblement Hausdorff<ref>On dit aussi : « faiblement séparé ».</ref> si toute application continue d'un compact dans ''X ''est [[Applications ouvertes et fermées|fermée]].

== Motivation des définitions ==

Se restreindre aux ''k''-espaces sert principalement à obtenir une [[Théorie des catégories|sous-catégorie]] de [[Catégorie des espaces topologiques|celle des espaces topologiques]] qui soit [[Catégorie cartésienne fermée|cartésienne fermée]]<ref>{{Article|lang=en|titre=A convenient category of topological spaces|lien auteur=Norman Steenrod|prénom=N. E.|nom=Steenrod|revue=Michigan Math. J.|vol=14|numéro=2|année=1967|p.=133-152|url=http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.mmj/1028999711}}</ref>{{,}}<ref>{{Article|lang=en|prénom=P. I.|nom=Booth|prénom2=J.|nom2=Tillotson|titre=Monoidal closed, Cartesian closed and convenient categories of topological spaces|lien périodique=Liste des journaux scientifiques en mathématiques#P|revue=Pacific J. Math.|vol=88|année=1980|p.=33-53|url=http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pjm/1102779712}}</ref>{{,}}<ref name=MathOverflow/>.

On démontre que ''X ''est faiblement Hausdorff, ou ''t''{{ind|2}}, si et seulement si sa diagonale est compactement fermée dans ''X''×''X'', ce qui est une condition plus faible que la [[Espace séparé|séparation usuelle]] de [[Hausdorff]], ou T{{ind|2}}, pour laquelle la diagonale doit être fermée. Plus précisément, la propriété ''t''{{ind|2}} est située, dans la [[Axiome de séparation (topologie)|hiérarchie des axiomes de séparation]]<ref>{{Article|lang=en|revue=Archiv der Mathematik|année=1979|vol=32|numéro=1|p.=487-504|titre=On weak Hausdorff spaces|prénom=Rudolf-E.|nom=Hoffmann|url=https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01238530}}</ref>, entre la [[Espace T1|séparation T{{ind|1}}]] et la séparation KC, ou T’{{ind|2}}. Un espace KC est un espace dans lequel tout [[quasi-compact]] est fermé. Dans un espace faiblement Hausdorff, on demande seulement que les images continues de compacts soient fermées. Mais elles sont alors automatiquement séparées<ref name=Strickland/> [[Compacité (mathématiques)#Compacité et continuité|donc compactes]], et il en résulte que

<center>dans un espace ''X ''compactement engendré, une partie est fermée dès que son intersection avec tout compact ''K ''de ''X ''est fermée dans ''K''<ref name=Strickland>Strickland, ''op. cit.'', p. 1-2</ref>.</center>

On en déduit facilement que ''X ''est KC. Ainsi, pour un ''k''-espace, ces deux notions très proches de séparation (faiblement Hausdorff et KC) sont en fait équivalentes.

Un avantage<ref name=MathOverflow>{{en}} [http://mathoverflow.net/questions/47702/why-the-w-in-cgwh-compactly-generated-weakly-hausdorff-spaces Why the “W” in CGWH (compactly generated weakly Hausdorff spaces)?], sur [[MathOverflow]]</ref> de cette hypothèse de séparation est de permettre une reformulation plus simple de la définition des ''k''-espaces : on vient de voir qu'un espace faiblement Hausdorff est un ''k''-espace si et seulement si [[Topologie cohérente|sa topologie est cohérente]] avec la [[famille (mathématiques)|famille]] de ses parties compactes. On peut remplacer fermé par [[Ouvert (topologie)|ouvert]] dans cette caractérisation : un espace faiblement Hausdorff ''X ''est un ''k''-espace si et seulement si une partie de ''X ''est ouverte dès que son intersection avec tout compact ''K ''de ''X ''est ouverte dans ''K''. On peut aussi remplacer la famille de tous les compacts de ''X ''par n'importe quel [[Recouvrement (mathématiques)|recouvrement]] par des quasi-compacts<ref>{{en}} Mark Behrens, [[MIT]], Algebraic Topology II, Spring, 2010, [http://math.mit.edu/~mbehrens/18.906spring10/lec02.pdf Lecture 2:Compactly generated spaces], Remark 1.5</ref>.

L'un des intérêts<ref name=MathOverflow/> de ne pas imposer une condition de séparation plus forte, comme la séparation usuelle, est de préserver la stabilité par [[Limite (théorie des catégories)|colimites]] : le [[Topologie quotient|quotient]] d'un ''k''-espace séparé par un fermé peut ne pas être séparé.

== Exemples ==

Les ''k''-espaces sont exactement les quotients d'espaces [[localement compact]]s<ref>{{Article|lang=en|titre=Comparing Cartesian closed categories of (core) compactly generated spaces|nom=Escardó|prénom=Martín|nom2=Lawson|prénom2=Jimmie|nom3=Simpson|prénom3=Alex|revue=Topology and its Applications|vol=143|numéro=1-3|mois=8|année=2004|p.=105-145|url=http://homepages.inf.ed.ac.uk/als/Research/Sources/comparing.pdf}}, Corollary 3.4</ref><!--http://dantopology.wordpress.com/2010/06/27/k-spaces-i/ dans le cas Hausdorff-->, en particulier tout espace localement compact (séparé par définition) est compactement engendré.

Tout [[espace métrisable]] est compactement engendré. Plus généralement, tout [[espace séquentiel]] est un ''k''-espace<ref name=Strickland/> et s'il est de plus [[Axiome de séparation (topologie)#Espaces à unique limite séquentielle|à unique limite séquentielle]] alors [[Axiome de séparation (topologie)#Espaces KC|il est faiblement Hausdorff]].

Tout CW complexe est compactement engendré et séparé<ref name=Hatcher/>.

== Propriétés ==
Tout espace ''X ''peut être muni d'une nouvelle topologie définie comme suit<ref name=Strickland/> : les fermés de ce nouvel espace, noté ''kX'', sont par définition les parties compactement fermées de ''X''. La topologie de ''kX ''est donc plus fine que celle de ''X ''mais les applications continues d'un compact dans ''X ''ou ''kX ''sont les mêmes, si bien que ''kX ''est un ''k''-espace. Plus généralement, toute application continue d'un ''k''-espace ''Y ''dans ''X ''est continue de ''Y ''dans ''kX''. Autrement dit : le [[foncteur]] de {{Citation|''k''-ification<ref name=MS>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Jon Peter|nom1=May|lien auteur1=J. Peter May|prénom2=Johann|nom2=Sigurdsson|titre=Parametrized Homotopy Theory|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|lieu=Providence (R.I.)|année=2006|pages totales=441|passage=16|isbn=978-0-8218-3922-5|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=9x7bUzDiojEC&pg=PA16}}</ref>}} est [[Foncteur adjoint|adjoint à droite]] de l'inclusion de la sous-catégorie des ''k''-espaces dans celle des espaces topologiques ; de plus, si ''X ''est faiblement Hausdorff alors ''kX ''aussi.

L'inclusion de la sous-catégorie des espaces faiblement Hausdorff, quant à elle, admet un adjoint à gauche, qui associe à tout espace son quotient faiblement Hausdorff maximal<ref name=MS/>.

Tout quotient et toute [[union disjointe]] de ''k''-espaces est un ''k''-espace, ainsi que tout [[Topologie produit|produit]] par un localement compact.

Le [[Produit (catégorie)|produit]] existe dans la catégorie des ''k''-espaces : c'est la ''k''-ification du produit d'espaces topologiques, parfois notée ×{{ind|''k''}}, qui en fait une [[catégorie monoïdale]]. Comme tout produit d'espaces faiblement Hausdorff est faiblement Hausdorff, la sous-catégorie des espaces compactement engendrés est également monoïdale.

''X ''est un ''k''-espace (si<ref>Prendre l'[[application identité]], de ''X ''dans ''kX''.</ref> et) seulement si<ref name=Strickland/> toute application de ''X ''dans un espace quelconque continue sur chaque compact de ''X ''est continue sur ''X''.

Tout fermé d'un ''k''-espace est un ''k''-espace, mais l'[[espace d'Arens-Fort]], bien que [[Topologie induite|sous-espace]] d'un compact, n'est pas un ''k''-espace.

Si ''X ''et ''Y ''sont des ''k''-espaces et si CO(''X'', ''Y'') désigne l'espace des applications continues de ''X ''dans ''Y ''muni de la [[topologie compacte-ouverte]], l'application suivante est continue :
<center><math>k(CO(X,Y))\times_kX\to Y,~(f,x)\mapsto f(x).</math></center>

== Notes et références ==
{{Reflist}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Espace dénombrablement engendré]]
* [[Espace finiment engendré]]
* {{Lien|langue=en|trad=Compactly generated group|fr=Groupe compactement engendré}}

=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|langue=en|nom1=[[Ronald Brown (mathématicien)|Ronald Brown]]|titre=Topology and Groupoids|éditeur=BookSurge|année=2006|numéro d'édition=3|pages totales=512|isbn=978-1-4196-2722-4}}
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Stephen|nom1=Willard|titre=General Topology|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|année=2012|année première édition=1970|pages totales=384|isbn=978-0-486-13178-8|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=UrsHbOjiR8QC}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Propriété d'espace topologique|Compactement engendre]]
[[Catégorie:Théorie de l'homotopie]]