Voir la source de Espace de Banach

En [[mathématiques]], plus particulièrement en [[analyse (mathématiques)|analyse]] fonctionnelle, on appelle '''espace de [[Stefan Banach|Banach]]''' un [[espace vectoriel normé]] sur un [[sous-corps]] ''K'' de [[Nombre complexe|ℂ]] (en général, ''K ''= [[Nombre réel|ℝ]] ou ℂ), [[espace complet|complet]] pour la [[distance (mathématiques)|distance]] issue de sa [[norme (mathématiques)|norme]].
Comme la [[Espace métrique|topologie induite par sa distance]] est compatible avec sa [[structure (mathématiques)|structure]] d’[[espace vectoriel]], c’est un [[espace vectoriel topologique]]. 
Les espaces de Banach possèdent de nombreuses propriétés qui font d'eux un outil essentiel pour [[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|l'analyse fonctionnelle]]. Ils doivent leur nom au mathématicien polonais [[Stefan Banach]].

== Caractérisation par les séries ==
Un espace vectoriel normé est un espace de Banach si et seulement si, dans cet espace, toute [[série (mathématiques)|série]] [[convergence absolue|absolument convergente]] est [[Série convergente|convergente]]<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude|chapitre « Espaces de Banach - Complétude » de la leçon « Espaces vectoriels normés »|début=Pour une démonstration, voir par exemple le}}</ref>.

== Exemples d'espaces de Banach ==
*Tout [[espace vectoriel de dimension finie]] sur ℝ (resp. ℂ) muni de [[Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie#Unicité de la topologie, équivalence des normes|n'importe quelle norme]], par exemple une norme [[espace euclidien|euclidienne]] (resp. [[Espace hermitien|hermitienne]]).
*Pour tout ensemble ''X'' et tout espace de Banach ''E'', l'espace ''B''(''X'', ''E'') des [[fonction bornée|applications bornées]] de ''X ''dans ''E'', muni de la [[Convergence uniforme#Distance uniforme|norme de la convergence uniforme]].
*Tout [[sous-espace vectoriel]] [[Fermé (topologie)|fermé]] d'un espace de Banach. Par exemple, si ''X ''est un [[espace topologique]] et ''E ''un espace de Banach : le sous-espace de ''B''(''X'', ''E'') des fonctions à la fois continues et bornées, en particulier l'espace ''C''(''K'', ''E'') des fonctions continues sur un [[espace compact]] ''K''. (En fait, d'après le [[théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki]], tout espace de Banach est isomorphe à un sous-espace fermé d'un ''C''(''K'', ℝ).)
*Les [[Espace de Hilbert|espaces de Hilbert]].
*[[Espace de Hilbert#Classification|Plus généralement]], pour 1 ≤ ''p'' ≤ {{math|∞}}, l'[[Espace Lp|espace {{math|L}}{{exp|''p''}}(''X'')]] des classes de [[Fonction mesurable|fonctions mesurables]] (à valeurs réelles ou complexes) sur un [[espace mesuré]] ''X'', et dont la puissance ''p''-ième est intégrable (ou qui sont bornées, si {{nobr|1=''p ''= {{math|∞}}).}}
*Tout [[Espace vectoriel normé#Espace quotient|espace vectoriel normé quotient]] d'un espace de Banach par un sous-espace fermé — grâce à la caractérisation par les séries ci-dessus. (En fait, tout espace de Banach [[Espace séparable|séparable]] est un tel quotient de [[Espace de suites ℓp|{{math|ℓ{{1}}}}]].)
*ℝ vu comme un <math>\mathbb{Q}</math> espace vectoriel.

==Théorème de l'application ouverte et ses variantes==
{{Voir|Théorème de Banach-Schauder}}
Soient ''E ''et ''F ''deux espaces de Banach et ''f ''une [[Espace vectoriel normé#Opérateur borné|application linéaire continue]] de ''E ''dans ''F''.

*Si ''f ''est [[surjective]] alors elle est [[applications ouvertes et fermées|ouverte]], c'est-à-dire que l'[[Image directe|image]] par ''f ''de tout [[Ouvert (topologie)|ouvert]] de ''E ''est un ouvert de ''F''.
*Si ''f ''est [[bijective]] alors c'est un [[homéomorphisme]].
*La [[Espace vectoriel normé#Espace quotient|bijection linéaire continue associée à ''f'']], de ''E''/ker(''f'') dans ''f''(''E''), est un homéomorphisme si et seulement si ''f''(''E'') est fermé dans ''F''.
*[[Théorème du graphe fermé]] : toute [[application linéaire]] de ''E ''dans ''F'' dont le [[graphe d'une fonction|graphe]] est fermé dans [[Topologie produit|''E''×''F'']] est [[Continuité (mathématiques)|continue]].

== Propriété des fermés emboîtés ==
{{article détaillé|Théorème des fermés emboités}}
Comme tout espace métrique complet, un espace de Banach vérifie la propriété suivante :
{{énoncé|Soit une suite décroissante de fermés non vides dont la suite des [[diamètre]]s tend vers 0. Alors l'intersection des fermés est non vide et réduite à un [[singleton (mathématiques)|singleton]].}}

Cette propriété permet de démontrer que tout espace métrique complet (en particulier tout espace de Banach) est [[espace de Baire|de Baire]], et d'en déduire le [[théorème de Banach-Steinhaus]] ci-dessous.

== Théorème de Banach-Steinhaus ==
{{article détaillé|Théorème de Banach-Steinhaus}}
Soient <math>E</math> un espace de Banach, <math>F</math> un espace vectoriel normé, <math>\left(u_i\right)_{i\in I}</math> une [[Famille (mathématiques)|famille]] d'éléments de [[Espace vectoriel normé#Opérateur borné|ℒ(''E,F'')]] et <math>A</math> l'ensemble des vecteurs <math>x</math> de <math>E</math> tels que <math>\sup_{i\in I}\left\|u_i(x)\right\|<{+\infty}</math>. Alors, ou bien <math>A</math> est [[Ensemble maigre|maigre]], c'est-à-dire réunion [[ensemble dénombrable|dénombrable]] d'[[Ensemble nulle part dense|ensembles rares]] (un ensemble étant rare si son [[adhérence (mathématiques)|adhérence]] est d'[[intérieur (topologie)|intérieur]] vide) et son complémentaire est [[Partie dense|dense]], ou bien <math>\sup_{i\in I}\left\|u_i\right\|<{+\infty}</math> (où <math>\left\|u_i\right\|</math> désigne la [[norme d'opérateur]] de <math>u_i</math>). En particulier, si <math>A=E</math>, seule la seconde éventualité est possible.

== Type et cotype ==
{{article détaillé|Type et cotype d'un espace de Banach}}
Les espaces de Banach peuvent être classés par [[Type et cotype d'un espace de Banach|type et cotype]].

==Note==
{{Références}}

==Voir aussi==
===Bibliographie===
* [[Stefan Banach]], ''[http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=1&wyd=10 Théorie des opérations linéaires]'', Warszawa, 1932 (Monografie Matematyczne; 1)  [http://www-irma.u-strasbg.fr/math-cgi-bin/zmen/ZMATH/en/quick.html?format=complete&type=html&an=0005.20901 Zbl 0005.20901]
*{{Ouvrage
|langue=en
|prénom1=Bernard
|nom1=Beauzamy
|titre=Introduction to Banach Spaces and their Geometry
|éditeur=North-Holland
|année=1985
|numéro d'édition=2
|isbn=
|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=2IberyICzWwC
}}
* {{Ouvrage
|prénom1=N.
|nom1=Bourbaki
|lien auteur1=Nicolas Bourbaki
|titre=Espaces vectoriels topologiques
|lien titre=Éléments de mathématique
|éditeur=Springer-Verlag
|année=1987
|isbn=
}}
*{{Ouvrage|langue=en|nom1={{Lien|lang=de|William B. Johnson}}|prénom2=Joram|nom2=Lindenstrauss|lien auteur2=Joram Lindenstrauss|titre=Handbook of the Geometry of Banach Spaces|volume=1|éditeur=Elsevier|année=2001|pages totales=1016|isbn=978-0-08-053280-6|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=1A7ppEZPXEIC}}
*{{EncycloMath|id=Banach_space|titre=Banach space|nom1=[[Mikhail Kadets|M. I. Kadets]]|nom2=[[Boris Levitan|B. M. Levitan]]}}

===Articles connexes===
{{Colonnes|nombre=3|
*[[Application contractante]]
*[[Base de Schauder]]
*[[Dual topologique]]
*[[Espace d'interpolation]]
*[[Espace réflexif]]
*[[Espace de Sobolev]]
*{{Lien|trad=Topological tensor product|Produit tensoriel topologique}}
*[[Propriété d'approximation]]
*[[Théorème de Banach-Stone]]
}}
{{Palette|Analyse fonctionnelle|Structures algébriques}}
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Espace de Banach| ]]
[[Catégorie:Espace vectoriel normé]]