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Un  '''espace de gyrovecteurs''' (ou '''espace gyrovectoriel''') est un outil mathématique développé par Abraham A. Ungar  au début des années 2000 pour l'étude de la [[géométrie hyperbolique]], comme les [[Espace vectoriel|espaces vectoriels]] sont utilisés en [[géométrie euclidienne]]<ref name="anhyp">Abraham A. Ungar (2005), "Analytic Hyperbolic Geometry: Mathematical Foundations and Applications", Published by World Scientific, {{ISBN|981-256-457-8}}, {{ISBN|978-981-256-457-3}}</ref> ; l'« addition » des gyrovecteurs est basée sur la composition des [[Célérité|célérités]] en [[relativité restreinte]]. 

== Définitions et calculs dans les espaces de gyrovecteurs ==
=== Gyrogroupes ===
==== Axiomes ====
Un [[Magma (algèbre)|magma]] (''G'', <math>\oplus</math>) est un '''gyrogroupe''' si sa [[loi de composition]] satisfait les axiomes suivants :
#''G'' contient au moins un élément 0 appelé ''élément neutre à gauche'', vérifiant 0<math>\oplus</math>''a'' = ''a'' pour tout ''a''&nbsp;∈&nbsp;''G''.
#Pour tout ''a''&nbsp;∈&nbsp;''G'' , il existe un élément <math>\ominus</math>''a'' de ''G'', appelé un  ''inverse à gauche'' de ''a'', tel que <math>\ominus</math>''a''<math>\oplus</math>''a'' = 0.
#Pour tout triplet ''a'', ''b'', ''c'' dans ''G,'' il existe un unique élément gyr[''a'',&nbsp;''b'']''c''  de ''G'' tel que ''a''<math>\oplus</math>(''b''<math>\oplus</math>''c'') = (''a''<math>\oplus</math>''b'')<math>\oplus</math>gyr[''a'',&nbsp;''b'']''c (loi gyrassociative à gauche)''
#L'application gyr[''a'',&nbsp;''b'']:''G'' → ''G'' donnée par ''c''&nbsp;→&nbsp;gyr[''a'',&nbsp;''b'']''c'' est un [[automorphisme]] du magma (''G'', <math>\oplus</math>). L'automorphisme gyr[''a'',&nbsp;''b''] est appelé le gyroautomorphisme de ''G'' engendré par  ''a'' et ''b''.  L'opération gyr:''G''&nbsp;&times;&nbsp;''G''&nbsp;→&nbsp;Aut(''G'',&nbsp;<math>\oplus</math>) est appelée le ''gyrateur'' de ''G''.
#Le gyroautomorphisme gyr[''a'',&nbsp;''b''] a la propriété de [[Quasigroupe#Structures dérivées|boucle à gauche]]  gyr[''a'',&nbsp;''b''] = gyr[''a''<math>\oplus</math>''b'',&nbsp;''b''].

Un gyrogroupe possédant des inverses et un [[élément neutre]], c'est un [[quasigroupe]]  et une [[Quasigroupe#Structures dérivées|boucle]]. Les gyrogroupes généralisent les groupes ; en particulier, tout groupe est un gyrogroupe pour lequel l'image du gyrateur est l'automorphisme identité.

Un exemple de gyrogroupe fini non trivial est donné dans l'article de Abraham Ungar sur l'application à la [[relativité restreinte]]<ref>{{article| doi = 10.1016/S0898-1221(00)00163-2 |url=http://www.ndsu.edu/pubweb/~ungar/dir_webpapers/hyptrig01.ps | volume=40 | numéro=2–3 | titre=Hyperbolic trigonometry in the Einstein relativistic velocity model of hyperbolic geometry | année=2000 | journal=Computers & Mathematics with Applications | pages=313–332 [317] | nom1 = Ungar | prénom1 = A.A.}}</ref>.
==== Identités ====

Les identités suivantes sont valides dans tout gyrogroupe (G,<math>\oplus</math>):

#<math>\mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]\mathbf{w}=\ominus(\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}) \oplus (\mathbf{u} \oplus (\mathbf{v} \oplus \mathbf{w}))</math> (gyration)
#<math>\mathbf{u} \oplus (\mathbf{v} \oplus \mathbf{w}) = (\mathbf{u} \oplus \mathbf{v})\oplus \mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]\mathbf{w}</math> (associativité à gauche)
#<math>(\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}) \oplus \mathbf{w} = \mathbf{u} \oplus (\mathbf{v}\oplus \mathrm{gyr}[\mathbf{v},\mathbf{u}]\mathbf{w})</math> (associativité à droite)

On a de plus la loi d'inversion suivante (motivant la définition de la gyrocommutativité donnée ci-dessous) :
#<math> \ominus (\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}) = \mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}] (\ominus \mathbf{v} \ominus \mathbf{u}) </math> (loi d'inversion)

De nombreuses autres identités  existent<ref name="ung2008">{{En}} [https://books.google.com/books?id=p-d6MozY3GUC Analytic hyperbolic geometry and Albert Einstein's special theory of relativity], Abraham A. Ungar, World Scientific, 2008, {{ISBN|978-981-277-229-9}}, page 50.</ref>, parmi lesquelles :
#<math>\mathrm{gyr}[\mathbf{0},\mathbf{u}] = \mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{u}] = \mathrm{gyr}[\ominus \mathbf{u},\mathbf{u}] = I </math> (gyrations et élément neutre)
#<math>\mathrm{gyr}^{-1}[\mathbf{u},\mathbf{v}] =\mathrm{gyr}[\mathbf{v},\mathbf{u}] </math> (loi d'inversion des gyroautomorphismes)
#<math>\mathrm{gyr}[\ominus \mathbf{u},\ominus  \mathbf{v}] =\mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}] </math> (symétrie)
#<math>\mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}] =\mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v} \oplus \mathbf{u}] </math> (propriété de boucle à droite)
#<math>\mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}] =\mathrm{gyr}[\mathbf{u} \oplus \mathbf{v},\mathbf{v}] </math> (propriété de boucle à gauche)

==== Gyrocommutativité ====
Un gyrogroupe (G,<math>\oplus</math>) est ''gyrocommutatif'' si on a la relation a <math>\oplus</math> b = gyr[a, b](b <math>\oplus</math> a). Cette formule (concernant l'addition des vitesses relativistes) fut publiée en 1914 par [[Ludwik Silberstein]]<ref>Ludwik Silberstein, The theory of relativity, Macmillan, 1914</ref>{{,}}<ref>Page 214, Chapter 5, Symplectic matrices: first order systems and special relativity, Mark Kauderer, World Scientific, 1994, {{ISBN|978-981-02-1984-0}}</ref>.

==== Coaddition ====
Dans tout gyrogroupe, on peut définir une seconde opération appelée la ''coaddition'' : a<math>\boxplus</math> b = a<math>\oplus</math> gyr[a,<math>\ominus</math>b]b (pour tous a, b &nbsp;∈&nbsp; G). La coaddition est commutative si l'addition du gyrogroupe est gyrocommutative.

=== Espaces de gyrovecteurs ===
Un '''espace de gyrovecteurs''' est un ensemble  <math>U</math> muni de deux lois  : une « addition » <math>\oplus</math> faisant de <math>(U,\oplus)</math> un gyrogroupe et une multiplication scalaire <math>\otimes</math> (application de <math>\mathbb R\times U</math> dans <math>U</math>) vérifiant les propriétés suivantes (analogues à celles des espaces vectoriels, à l'exception de la [[distributivité]] sur la gyraddition) :
{| class="wikitable"
|-
| (''r''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;''r''<sub>2</sub>)&nbsp;<math>\otimes</math>&nbsp;'''v'''&nbsp;=&nbsp;''r''<sub>1</sub>&nbsp;<math>\otimes</math>&nbsp;'''v'''&nbsp;<math>\oplus</math>&nbsp;''r''<sub>2</sub>&nbsp;<math>\otimes</math>&nbsp;'''v'''
| Distributivité scalaire
|-
| (''r''<sub>1</sub>''r''<sub>2</sub>)&nbsp;<math>\otimes</math>&nbsp;'''v'''&nbsp;=&nbsp;''r''<sub>1</sub>&nbsp;<math>\otimes</math>&nbsp;(''r''<sub>2</sub>&nbsp;<math>\otimes</math>&nbsp;'''v''')
| Associativité scalaire
|-
| ''r''&nbsp;<math>\otimes</math>(''r''<sub>1</sub>&nbsp;<math>\otimes</math>&nbsp;'''a'''&nbsp;<math>\oplus</math>&nbsp;''r''<sub>2</sub>&nbsp;<math>\otimes</math>&nbsp;'''a''')&nbsp;=&nbsp;''r''&nbsp;<math>\otimes</math>(''r''<sub>1</sub>&nbsp;<math>\otimes</math>&nbsp;'''a''')&nbsp;<math>\oplus</math>&nbsp;''r''&nbsp;<math>\otimes</math>(''r''<sub>2</sub>&nbsp;<math>\otimes</math>&nbsp;'''a''') 
| Monodistributivité
|-
| ''n''&nbsp;<math>\otimes</math>&nbsp;'''v'''&nbsp;=&nbsp;'''v'''&nbsp;<math>\oplus</math>&nbsp;...&nbsp;<math>\oplus</math>&nbsp;'''v'''
| 1 est unité
|}
Dans la plupart des applications pratiques, comme ci-dessous, on choisit un sous-ensemble <math>U\subset V</math> d'un [[espace préhilbertien]] (réel) <math>(V,+,.)</math>, 

== Exemples d'espaces de gyrovecteurs ==
=== Modèle de Beltrami–Klein et addition d'Einstein ===
Les vitesses relativistes peuvent être considérées comme des points du [[modèle de Klein]] de la [[géométrie hyperbolique]] ;  la loi de composition des vecteurs est donnée par la formule de {{Lien|langue=en|trad=velocity-addition formula|composition des vitesses relativistes}} (pour pouvoir généraliser cette formule en dimension ''n'', on l'exprime à l'aide du [[produit scalaire]] et non du [[produit vectoriel]]). 

En général,  la loi de composition (dite ''loi d'addition d'Einstein'') entre <math>\mathbf{u}</math> et <math>\mathbf{v}</math> est donnée par :

:<math>\mathbf{u} \oplus_E \mathbf{v}=\frac{1}{1+\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{c^2}}\left\{\mathbf{u}+\frac{1}{\gamma_\mathbf{u}}\mathbf{v}+\frac{1}{c^2}\frac{\gamma_\mathbf{u}}{1+\gamma_\mathbf{u}}(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{u}\right\}</math>

où  <math>\gamma_\mathbf{u}</math> est le « facteur gamma » : <math>\gamma_\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{|\mathbf{u}|^2}{c^2}}}</math> (''c'' étant la [[vitesse de la lumière]], qu'on prend souvent égale à 1 pour simplifier les équations)

Utilisant les coordonnées (et en dimension 3), on obtient:

:<math>\begin{pmatrix}w_1\\ w_2\\ w_3\\ \end{pmatrix}=\frac{1}{1+\frac{u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3}{c^2}}\left\{\left[1+\frac{1}{c^2}\frac{\gamma_\mathbf{u}}{1+\gamma_\mathbf{u}}(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3)\right]\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\\ \end{pmatrix}+\frac{1}{\gamma_\mathbf{u}}\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\\ \end{pmatrix}\right\}</math>

avec <math>\gamma_\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u_1^2+u_2^2+u_3^2}{c^2}}}</math>.

Cette loi n'est [[Loi commutative|commutative]] et [[Associativité|associative]] que si <math>\mathbf{u}</math> et <math>\mathbf{v}</math> sont [[Colinéarité|colinéaires]].  En fait

:<math>\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}=\mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}](\mathbf{v} \oplus \mathbf{u})
</math>
et 
:<math>\mathbf{u} \oplus (\mathbf{v} \oplus \mathbf{w}) = (\mathbf{u} \oplus \mathbf{v})\oplus \mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]\mathbf{w}</math>
où « gyr » est la représentation mathématique de la [[précession de Thomas]], un opérateur appelé ''gyration de Thomas'' donné par <math>\mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]\mathbf{w}=\ominus(\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}) \oplus (\mathbf{u} \oplus (\mathbf{v} \oplus \mathbf{w}))</math> (pour tout '''w''') ；dans le modèle de Klein, la gyration de Thomas est proportionnelle au {{Lien|langue=en|trad=Angular defect|défaut angulaire|texte=défaut d'un triangle hyperbolique}} (c'est-à-dire à la différence entre π et la somme des angles de ce triangle).

==== Espaces de gyrovecteurs d'Einstein ====
Soit s une constante positive, (V,+,.) un [[espace préhilbertien]] (réel), et soit V<sub>s</sub>={'''v''' &nbsp;∈&nbsp; V :|'''v'''| < s}.  Un '''espace de gyrovecteurs d'Einstein''' (''V''<sub>''s''</sub>,&nbsp;<math>\oplus</math>,&nbsp;<math>\otimes</math>) est un gyrogroupe (''V''<sub>''s''</sub>,&nbsp;<math>\oplus</math>) ( <math>\oplus</math> étant l'addition d'Einstein) munie d'une multiplication scalaire donnée par ''r''<math>\otimes</math>'''v'''&nbsp;=&nbsp;''s''&nbsp;tanh(''r''&nbsp;tanh<sup>&minus;1</sup>(|'''v'''|/''s''))'''v'''/|'''v'''|, où ''r'' est un réel quelconque, '''v''' &nbsp;∈&nbsp;''V''<sub>''s''</sub>, '''v'''&nbsp;≠&nbsp;'''0''' et ''r''&nbsp;<math>\otimes</math>&nbsp;'''0'''&nbsp;=&nbsp;'''0''' ; on note '''v'''&nbsp;<math>\otimes</math>&nbsp;''r''&nbsp;=&nbsp;''r''&nbsp;<math>\otimes</math>&nbsp;'''v''' ; la fonction tanh est la fonction [[tangente hyperbolique]].

Cette multiplication scalaire n'est pas distributive sur l'addition d'Einstein (sauf dans le cas de gyrovecteurs colinéaires), mais possède les autres propriétés des espaces vectoriels, faisant bien de cette structure un espace de gyrovecteurs.

=== Modèle de Poincaré et addition de Möbius ===
Les [[Transformation de Möbius|transformations de Möbius]] du [[disque unité]] du [[plan complexe]] peuvent se mettre sous la forme polaire  <math>z\to {e^{i\theta}}{\frac{a+z}{1+a\bar{z}}}={e^{i\theta}}{(a\oplus_M {z})}</math>  (en utilisant l'addition de Möbius définie par <math>{a\oplus_M {z}}= \frac{a+z}{1+a\bar{z}}</math>)

Interprétant les nombres complexes comme des vecteurs  de <math>\mathbf{\mathrm{R}}^2</math>, et prenant s > 0 quelconque (s=1 dans le cas du disque unité) , on peut réécrire l'addition de Möbius sous forme vectorielle : 
:<math>\mathbf{u} \oplus_M \mathbf{v}=\frac{(1+\frac{2}{s^2}\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+\frac{1}{s^2}|\mathbf{v}|^2)\mathbf{u}+(1-\frac{1}{s^2}|\mathbf{u}|^2)\mathbf{v}}{1+\frac{2}{s^2}\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+\frac{1}{s^4}|\mathbf{u}|^2|\mathbf{v}|^2}</math>

Ceci correspond à une loi de gyrogroupe (appelé gyrogroupe de Möbius) dans le [[Disque de Poincaré|modèle de Poincaré]] du [[Géométrie hyperbolique|plan hyperbolique]] (l'ensemble des vecteurs '''v''' tels que  |'''v'''| < s), et se généralise en dimension quelconque. 

==== Espaces de gyrovecteurs de Möbius ====
Comme précédemment,  soit s une constante positive, (V,+,.) un [[espace préhilbertien]] (réel), et soit V<sub>s</sub>={'''v''' &nbsp;∈&nbsp; V :|'''v'''| < s}.  Un '''espace de gyrovecteurs de Möbius''' (''V''<sub>''s''</sub>,&nbsp;<math>\oplus_M</math>,&nbsp;<math>\otimes</math>) est un  gyrogroupe de Möbius (''V''<sub>''s''</sub>,&nbsp;<math>\oplus_M</math>) muni d'une multiplication scalaire définie comme précédemment par ''r''&nbsp;<math>\otimes</math>'''v'''&nbsp;=&nbsp;''s''&nbsp;tanh(''r''&nbsp;tanh<sup>&minus;1</sup>(|'''v'''|/''s''))'''v'''/|'''v'''|.

=== Le modèle des vitesses propres ===
La composition des  [[Quadrivitesse#Vitesse propre|vitesses propres]]  en relativité restreinte peut se réécrire sous forme vectorielle<ref name=ung2008/>{{,}}<ref name=ung1997>Thomas Precession: Its Underlying Gyrogroup Axioms and Their Use in Hyperbolic Geometry and Relativistic Physics, Abraham A. Ungar, Foundations of Physics, Vol. 27, No. 6, 1997 {{doi|10.1007/BF02550347}}</ref>{{,}}<ref>Ungar, A. A. (2006), [http://www.jpier.org/PIER/pier60/04.0512151.Ungar.pdf "The relativistic proper-velocity transformation group"], ''Progress in Electromagnetics Research'', PIER '''60''', pp. 85–94, equation (12)</ref> par

:<math>\mathbf{u} \oplus_U \mathbf{v}=\mathbf{u}+\mathbf{v}+\left\{ {\frac{\beta_\mathbf{u}}{1+\beta_\mathbf{u}}}{\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{c^2}} + {\frac{1 - \beta_\mathbf{v}}{\beta_\mathbf{v}}} \right\}  \mathbf{u} </math>, avec <math>\beta_\mathbf{w}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{|\mathbf{w}|^2}{c^2}}}</math>(contrairement à d'autres modèles de géométrie hyperbolique, il n'y a pas de restrictions sur les vecteurs).

Un '''espace de gyrovecteurs de vitesses propres''', défini comme précédemment sur un espace préhilbertien ''V'', a <math>\oplus_U</math> comme loi de gyrogroupe et  ''r''&nbsp;<math>\otimes</math>'''v'''&nbsp;=&nbsp;''s''&nbsp;sinh(''r''&nbsp;sinh<sup>&minus;1</sup>(|'''v'''|/''s''))'''v'''/|'''v'''| comme multipliction scalaire , où sinh est la fonction [[sinus hyperbolique]].

=== Isomorphismes ===

Un [[isomorphisme]] entre espaces de gyrovecteurs  est une bijection respectant  la gyraddition, la multiplication et le produit scalaire (autrement dit, on a <math>f(\mathbf{u}\oplus_E\mathbf{v})=f(\mathbf{u})\oplus_Ff(\mathbf{v})</math>, <math>f(r\otimes_E\mathbf{u})=r\otimes_Ff(\mathbf{u})</math> et <math>\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=f(\mathbf{u})\cdot f(\mathbf{v})</math>).

Les trois types d'espaces qu'on vient de définir sont isomorphes : notant M, E et U respectivement les espaces de gyrovecteurs de Möbius, Einstein, et de vitesses propres, et '''v'''<sub>m</sub>, '''v'''<sub>e</sub>  et '''v'''<sub>u</sub> leurs vecteurs génériques, les isomorphismes sont donnés par
{| class="wikitable"
| E<math>\rightarrow</math>U : <math>f(\mathbf{v}_e)=\gamma_{\mathbf{v}_e} \mathbf{v}_e</math>
|-
| U<math>\rightarrow</math>E : <math>f(\mathbf{v}_u)=\beta_{\mathbf{v}_u} \mathbf{v}_u</math>
|-
| E<math>\rightarrow</math>M : <math>f(\mathbf{v}_e)=\frac{1}{2} \otimes_E \mathbf{v}_e</math>
|-
| M<math>\rightarrow</math>E : <math>f(\mathbf{v}_m)=2 \otimes_M \mathbf{v}_m</math>
|-
| M<math>\rightarrow</math>U : <math>f(\mathbf{v}_m)=2 {{{\gamma}^{2}}_{\mathbf{v}_m}} \mathbf{v}_m</math>
|-
| U<math>\rightarrow</math>M : <math>f(\mathbf{v}_u)=\frac{\beta_{\mathbf{v}_u}}{1+\beta_{\mathbf{v}_u}}\mathbf{v}_u</math>
|}

Cette table montre que la relation entre  <math>\oplus_E</math> et <math>\oplus_M</math> est donnée par les équations <math>\mathbf{u}\oplus_E\mathbf{v}=2\otimes\left({\frac{1}{2}\otimes\mathbf{u}\oplus_M\frac{1}{2}\otimes\mathbf{v}}\right)</math>et <math>\mathbf{u}\oplus_M\mathbf{v}=\frac{1}{2}\otimes\left({2\otimes\mathbf{u}\oplus_E 2\otimes\mathbf{v}}\right)</math>, ce qui est lié à la [[:en:Möbius_transformation#Lorentz_transformation|relation entre transformations de Möbius et transformations de Lorentz]].

== Applications ==
=== Gyrotrigonométrie ===
La gyrotrigonométrie utilise les gyrogroupes pour obtenir pour les [[Géométrie hyperbolique#Trigonométrie du triangle hyperbolique|triangles hyperboliques]] des identités formellement proche des [[Triangle#Relations trigonométriques|relations classiques dans les triangles euclidiens]], et n'utilisant pas les [[Fonction hyperbolique|fonctions hyperboliques]], mais les [[Fonction trigonométrique|fonctions circulaires]] usuelles.

==== Barycentres ====
Les [[coordonnées barycentriques]] (exprimées sous forme trigonométrique) s'appliquent également aux triangles hyperboliques ; utilisant la gyrotrigonométrie, les formules coïncident, si l'on ne simplifie pas certaines expressions qui utilisent la somme des angles du triangle<ref>[http://ajmaa.org/searchroot/files/pdf/v6n1/v6i1p18.pdf Hyperbolic Barycentric Coordinates], 
Abraham A. Ungar, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, AJMAA, Volume 6, Issue 1, Article 18, pp. 1–35, 2009</ref>{{,}}<ref>[https://www.springer.com/astronomy/cosmology/book/978-90-481-8636-5 Hyperbolic Triangle Centers: The Special Relativistic Approach], Abraham Ungar, Springer, 2010</ref>{{,}}<ref name="barycalc">[http://www.worldscibooks.com/mathematics/7740.html Barycentric Calculus In Euclidean And Hyperbolic Geometry: A Comparative Introduction] {{lien brisé|url=https://web.archive.org/web/20120519111614/http://www.worldscibooks.com/mathematics/7740.html |date=2012-05-19 }}, Abraham Ungar, World Scientific, 2010</ref>.

==== Construction de l'espace hyperbolique ====
La [[#Coaddition|coaddition]] permet de définir un calcul sur les gyrovecteurs, s'identifiant formellement à la [[Force (physique)#Le parallélogramme des forces (Relation de Chasles appliquée aux vecteurs forces)|loi du parallélogramme]], ce qui met en relation gyrovecteurs et quadrilatères hyperboliques ; il devient alors possible de reconstruire un espace de gyrovecteurs à partir d'un espace hyperbolique, et réciproquement de définir la géométrie hyperbolique à partir de gyrovecteurs<ref> {{En}}Abraham A. Ungar (2009), "A Gyrovector Space Approach to Hyperbolic Geometry", Morgan & Claypool, {{ISBN|1-59829-822-4}}, {{ISBN|978-1-59829-822-2}}.</ref>.

=== Vecteurs de Bloch ===
Les vecteurs de la [[sphère de Bloch]] peuvent être étudiés à l'aide des additions d'Einstein ou de Möbius<ref>[https://arxiv.org/abs/quant-ph/0112169 Geometric observation for the Bures fidelity between two states of a qubit], Jing-Ling Chen, Libin Fu, Abraham A. Ungar, Xian-Geng Zhao, Physical Review A, vol. 65, Issue 2</ref>{{,}}<ref name=ung2008/>.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|lang1=en|art1=Gyrovector space|id1=1013583746}}
{{Références}}
{{sources à lier|date=avril 2021}}
*Domenico Giulini, [https://arxiv.org/abs/math-ph/0602018v2 Algebraic and geometric structures of Special Relativity], A Chapter in "Special Relativity: Will it Survive the Next 100 Years?", edited by Claus Lämmerzahl, Jürgen Ehlers, Springer, 2006.

== Bibliographie ==
*{{ouvrage|titre=Gyrovectors: an Approach to Hyperbolic Geometry|url=https://www.google.com/books/edition/_/dlFTgrhqm3IC?hl=en&gbpv=1&pg=PR12 |auteur=A. A. Ungar|éditeur=Morgan & Claypool Publishers|année=2009|isbn=978-159-829-822-2|numéro=4|collection=Synthesis lectures on mathematics and statistics}}
*{{ouvrage|titre=Mathematical Analysis and Applications|url=https://books.google.com/books?id=rhjvAAAAMAAJ&q=gyrovector
|auteur=T. M. Rassias|pages=307, 326, 336|éditeur=Hadronic Press|année=2000|isbn=157-485-045-8|collection=Collection of Articles in Mathematics}}
*Maks A. Akivis And Vladislav V. Goldberg (2006), [http://www.ams.org/journals/bull/2006-43-02/home.html Local Algebras Of A Differential Quasigroup], Bulletin of the AMS, Volume 43, Number 2
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*M Ferreira (2008), Spherical continuous wavelet transforms arising from sections of the Lorentz group, Applied and Computational Harmonic Analysis, Elsevier {{arxiv|0706.1956}}
*T Foguel (2000), Comment. Math. Univ. Carolinae, [http://www.emis.ams.org/journals/CMUC/pdf/cmuc0002/foguel.pdf Groups, transversals, and loops]
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*Florian Girelli, Etera R. Livine (2004), [https://arxiv.org/abs/gr-qc/0407098 Special Relativity as a non commutative geometry: Lessons for Deformed Special Relativity], Phys. Rev. D 81, 085041 (2010)
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*Krzysztof Rozga (2000), [[Pacific Journal of Mathematics]], Vol. 193, No. 1,[https://web.archive.org/web/20100701073205/http://pjm.math.berkeley.edu/pjm/2000/193-1/pjm-v193-n1-p.pdf#page=203 On Central Extensions Of Gyrocommutative Gyrogroups]
*L.V. Sabinin (1995), [http://www.turpion.org/php/paper.phtml?journal_id=rm&paper_id=2628 "On the gyrogroups of Hungar"], RUSS MATH SURV, 1995, 50 (5), 1095–1096. 
*L.V. Sabinin, L.L. Sabinina, Larissa Sbitneva (1998), ''[[Aequationes Mathematicae]]'', {{lien brisé|url=http://www.mathnet.or.kr/mathnet/thesis_content.php?no=331803 |titre=On the notion of gyrogroup}}
*L.V. Sabinin, Larissa Sbitneva, I.P. Shestakov (2006), "Non-associative Algebra and Its Applications",[[CRC Press]],{{ISBN|0-8247-2669-3}}, {{ISBN|978-0-8247-2669-0}}
*F. Smarandache, C. Barbu (2010), [http://fs.gallup.unm.edu/MenelausInPoincareDiscModel.pdf The Hyperbolic Menelaus Theorem in The Poincaré Disc Model of Hyperbolic Geometry]
*Roman Ulrich Sexl, Helmuth Kurt Urbantke, (2001), "Relativity, Groups, Particles: Special Relativity and Relativistic Symmetry in Field and Particle Physics", pages 141–142, Springer, {{ISBN|3-211-83443-5}}, {{ISBN|978-3-211-83443-5}}

== Liens externes ==
*[https://www.researchgate.net/profile/Abraham_Ungar/publication/235726885_Einstein%27s_Special_Relativity_The_Hyperbolic_Geometric_Viewpoint/links/00b49532babe63b291000000.pdf Einstein's Special Relativity: The Hyperbolic Geometric Viewpoint]
*{{cite document | citeseerx = 10.1.1.17.6107 | titre = Hyperbolic Trigonometry and its Application in the Poincaré Ball Model of Hyperbolic Geometry }}

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[[Catégorie:Géométrie hyperbolique]]
[[Catégorie:Relativité restreinte]]