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En [[mathématiques]], un '''espace noethérien''' (le nom fait référence à [[Emmy Noether]]) est un [[espace topologique]] qui vérifie la [[condition de chaîne descendante]] sur les [[Fermé (topologie)|fermés]] ou, ce qui revient au même, la [[condition de chaîne ascendante]] sur les [[Ouvert (topologie)|ouverts]].

==Définition==
Un espace topologique <math>X</math> est dit {{Page h'|noethérien}} si toute [[Suite (mathématiques)#Suites monotones|suite décroissante]] de fermés de <math>X</math> est [[Suite (mathématiques élémentaires)#Suite stationnaire|stationnaire]], c'est-à-dire constante à partir d'un certain rang.

==Propriétés==
* Un espace <math>X</math> est noethérien si et seulement si tout ouvert de <math>X</math> est [[Quasi-compacité|quasi-compact]]<ref>Hartshorne, Exercise II.2.13a)</ref>.
* Cette condition est aussi équivalent à celle, plus forte en apparence, de « quasi-compacité {{Lien|trad=Hereditary property|Propriété héréditaire|texte=héréditaire}} » : <math>X</math> est noethérien si et seulement si tout [[Topologie induite|sous-espace]] de <math>X</math> est quasi-compact.
* Il en résulte que tout sous-espace d'un espace noethérien est noethérien.
* Si <math>X</math> est réunion finie de sous-espaces noethériens, alors <math>X</math> est noethérien.
* Un [[Topologie discrète|espace discret]] et noethérien est nécessairement fini. 
* Si  <math>X</math> est un espace noethérien [[espace séparé|séparé]], alors toute partie de  <math>X</math> est [[espace compact|compacte]], donc fermée. Il suit que  <math>X</math> est discret, donc fini.

== Utilisations ==
=== Espaces noethériens en géométrie algébrique ===

De nombreux exemples d'espaces noethériens proviennent de la [[géométrie algébrique]]. Une [[variété algébrique]], munie de la [[Ensemble algébrique#Topologie de Zariski|topologie de Zariski]], est réunion finie d'ouverts qui sont des variétés algébriques affines. Or les fermés d'une variété algébrique affine ''V'' [[Nullstellensatz|sont en bijection]] (décroissante) avec les [[Idéal radiciel|idéaux radiciels]] de l'anneau O(''V'') de ses fonctions régulières. La [[condition de chaîne descendante]] dans ''V'' correspond à la  [[condition de chaîne ascendante]] dans l'anneau noethérien O(''V''). Donc ''V'', ainsi que toute variété algébrique, est noethérien. Cette classe d'exemples explique aussi le nom de « noethériens » donné à ces espaces.

Le [[Spectre d'anneau|spectre premier]] d'un anneau commutatif noethérien est un espace noethérien (mais le spectre premier d'un anneau non noethérien peut être noethérien). Plus généralement, l'espace topologique sous-jacent d'un [[schéma noethérien]] est noethérien. 

;Exemple.
L'espace affine <math>k^n</math> de dimension <math>n</math> sur un [[corps algébriquement clos]] <math>k</math> est noethérien pour la topologie de Zariski. En effet, si <math>(Y_n)</math> est une suite décroissante de fermés de Zariski de <math>k^n</math> alors <math>(I(Y_n))</math> est une suite croissante d'idéaux de ''k''[''X''<sub>1</sub>,…,''X<sub>n</sub>'']. Comme cet anneau est noethérien, cette suite d'idéaux est stationnaire. Or à cause de la bijection entre idéaux radiciels de ''k''[''X''<sub>1</sub>,…,''X<sub>n</sub>''] et fermés de Zariski de <math>k^n</math>, on a <math>Z(I(Y_n))=Y_n</math>, donc la suite des <math>Y_n</math> est stationnaire.

=== Vérification formelle  ===

Les espaces noethériens peuvent être utilisés en [[informatique théorique]], plus précisément en [[vérification formelle]], comme généralisation des [[Bel ordre|beaux préordres]] (en anglais : {{Lang|en|well-quasi-ordering}} ou ''WQO'')<ref>
{{chapitre
 |titre chapitre =	Noetherian Spaces in Verification
 |auteur = Jean Goubault-Larrecq
 |titre ouvrage = Proceedings of the 37th International Colloquium on Automata, Languages and Programming (ICALP'10) - Part II 
 |éditeur = Samson Abramsky, Friedhelm Meyer auf der Heide et [[Paul Spirakis]]  | lieu = Bordeaux, France
 |mois =	juillet  | année = 2010
 |série =	Lecture Notes in Computer Science  | volume =6199 |passage =	2-21
 |lire en ligne =	http://www.lsv.ens-cachan.fr/Publis/PAPERS/PDF/JGL-icalp10.pdf
 |doi =	10.1007/978-3-642-14162-1_2}}.</ref>.

==Notes et références==
{{reflist}}
{{Traduction/Référence|en|Noetherian topological space|381475215}}
*{{Hartshorne1}}
*{{Planetmath|titre=Noetherian topological space}}

{{Portail|Mathématiques}}

[[Catégorie:Géométrie algébrique]]
[[Catégorie:Propriété d'espace topologique|Noetherien]]