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[[Fichier:Normal space.svg|vignette|Un espace topologique séparé ''X'' est dit normal lorsque, pour tous fermés disjoints ''E'' et ''F'' de ''X'', il existe des ouverts disjoints ''U'' et ''V'' tels que ''U'' contienne ''E'' et ''V'', ''F''.]]

En [[mathématiques]], un '''espace normal''' est un [[espace topologique]] vérifiant un [[Axiome de séparation (topologie)|axiome de séparation]] plus fort que la condition usuelle d'être un [[espace séparé]]. Cette définition est à la base de résultats comme le [[lemme d'Urysohn]] ou le [[théorème de prolongement de Tietze]]. Tout [[espace métrisable]] est normal.

== Définition ==

Soit ''X'' un espace topologique. On dit que ''X'' est '''normal'''<ref>{{Ouvrage|prénom1=Serge|nom1=Lang|lien auteur1=Serge Lang|titre=Analyse Réelle|lieu=Paris|éditeur=InterEditions|année=1977|pages totales=230|isbn=978-2-7296-0059-4}}.</ref> s'il est séparé et s'il vérifie de plus l'axiome de séparation T<sub>4</sub><ref>Il suffit pour cela qu'il vérifie [[Espace T1|T{{ind|1}}]] et T{{ind|4}}.</ref> :
<center>pour tous [[fermé (topologie)|fermés]] [[disjoint]]s ''F'' et ''G'', il existe deux [[Ouvert (topologie)|ouverts]] disjoints ''U'' et ''V'' tels que ''F'' soit [[inclus]] dans ''U'' et ''G'' dans ''V''.</center>

== Exemples ==
* Tout espace topologique [[espace métrisable|métrisable]] est normal<ref>F. Paulin ''[https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~paulin/notescours/cours_analyseI.pdf Topologie, analyse et calcul différentiel]'', École Normale supérieure (2008-2009), {{p.|38}}.</ref>.<br />En effet, il est [[Axiome de séparation (topologie)#La séparation T5 1/2 (espace parfaitement normal)|parfaitement normal, ce qui entraîne]] qu'il est normal et même [[Axiome de séparation (topologie)#Séparation T5 et espaces complètement normaux|complètement normal]].<br />Par exemple : ℝ{{exp|''n''}} muni de [[Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie|sa topologie usuelle]] est normal.
* Tout [[ensemble totalement ordonné]], muni de la [[topologie de l'ordre]], est (complètement) normal car (héréditairement) [[Espace collectivement normal|collectivement normal]] et même [[Espace monotonement normal|monotonement normal]].
* [[Compacité (mathématiques)#Compacts et fermés|Tout espace compact est normal]]<ref>{{harvsp|Lang|1977|p=30}}.</ref>. Plus généralement, tout [[espace paracompact]] est collectivement normal.
* Un exemple d'espace compact non complètement normal est la [[planche de Tychonoff]]. En effet, la planche de Tychonoff épointée n'est pas normale (bien que [[localement compact]]e).

== Propriétés ==
=== Propriétés élémentaires ===
* Si deux espaces topologiques sont [[homéomorphisme|homéomorphes]] et si l'un d'eux est normal, l'autre l'est aussi.{{Retrait|En effet la propriété d'être normal est, comme tous les [[Axiome de séparation (topologie)|axiomes de séparation]], formulée de façon à être invariante par homéomorphisme.}}
* Tout fermé d'un espace normal est normal (pour la [[topologie induite]]).{{Retrait|Cette seconde assertion est, elle aussi, {{Citation|immédiate, à partir de la remarque qu'une partie fermée d'un sous-espace fermé est aussi fermée dans l'espace entier<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[James Dugundji]]|titre=Topology|éditeur=[[Allyn & Bacon]]|année=1966|pages totales=447|passage=145|isbn=978-0-697-06889-7|lire en ligne=http://www.southalabama.edu/mathstat/personal_pages/carter/Dugundji.pdf}}.</ref>}}.}}

=== Conditions nécessaires et suffisantes ===
Il existe de nombreuses caractérisations de la propriété T{{ind|4}} (donc de la normalité, quand on impose de plus à l'espace d'être séparé). Ces caractérisations sont à l'origine des propriétés donnant de la valeur à la définition. Citons-en trois, dont la première n'est qu'une reformulation élémentaire mais les deux autres sont bien plus techniques :

*Un espace topologique ''X ''est T{{ind|4}} si, et seulement si, pour tout fermé ''F'' de ''X ''et tout ouvert ''O'' contenant ''F'', il existe un ouvert ''U'' contenant ''F'' tel que l'adhérence de ''U'' soit incluse dans ''O''<ref>{{harvsp|Lang|1977|p=36}}.</ref> :
<center><math>F\subset U\subset \overline{U} \subset O.</math></center>

{{démonstration|contenu=
Soit ''F'' un fermé de ''X''. La donnée d'un fermé ''G'' disjoint de ''F'' équivaut, par passage au complémentaire, à celle d'un ouvert ''O'' contenant ''F''.
*Si ''U ''et ''V ''sont deux ouverts disjoints tels que ''F'' est inclus dans ''U ''et ''G'' dans ''V'', alors le complémentaire de ''V ''est un fermé, qui contient ''U '' donc {{surligner|''U''}}, et qui est inclus dans ''O''.
*Réciproquement, si ''U ''est un ouvert contenant ''F'' et si {{surligner|''U''}} est inclus dans ''O'', alors le complémentaire de {{surligner|''U''}} est un ouvert contenant ''G'' et disjoint de ''U''.
}}

*[[Lemme d'Urysohn]] : Un espace topologique ''X ''est T{{ind|4}} si, et seulement si, pour tous fermés disjoints ''F'' et ''G'' de ''X'', il existe une fonction [[continue]] qui vaut 0 sur ''F'' et 1 sur ''G''.
*[[Théorème de prolongement de Tietze]] : Pour un espace topologique ''X'', les trois propositions suivantes sont équivalentes :
**''X ''est T{{ind|4}} ;
**pour tout fermé ''F'' de ''X'' et toute application continue ''f'' de ''F'' dans [[Topologie de la droite réelle|ℝ]], il existe une application continue de ''X'' dans ℝ qui prolonge ''f'' ;
**pour tout fermé ''F'' de ''X'' et toute application continue ''f'' de ''F'' dans un segment réel [–''M'', ''M''], il existe une application continue de ''X'' dans [–''M'', ''M''] qui prolonge ''f''.
*Un espace ''X'' est T{{ind|4}} (si et) seulement si tout [[Recouvrement (mathématiques)|recouvrement]] [[Ouvert (topologie)|ouvert]] [[Glossaire de topologie#L|localement fini]] de ''X'' possède une [[partition de l'unité]] subordonnée.

=== Condition suffisante de non-normalité ===
{{Théorème|{{Lien|lang=de|trad=Lemma von Jones|Lemme de Jones}}<ref>{{Article|langue=en|auteur={{Lien|F. Burton Jones}}|titre=Concerning normal and completely normal spaces|revue=[[Bulletin of the American Mathematical Society|Bull. Amer. Math. Soc.]]|vol=43|numéro=10|année=1937|p.=671-677|url=http://www.ams.org/journals/bull/1937-43-10/S0002-9904-1937-06622-5}}.</ref>{{,}}<ref>{{Chapitre|langue=en|auteur=Peter J. Nyikos|titre=A history of the normal Moore space problem|titre ouvrage=Handbook of the History of General Topology|volume=3|auteurs ouvrage=C. E. Aull et R. Lowen|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=2001|isbn=978-0-79236970-7|url={{GoogleLivres|dV6WtepcZLkC|page=1183}}|passage=1179-1212}} : {{p.|1183}}.</ref>|Pour qu'un [[espace séparable]] ne soit pas normal, il suffit qu'il contienne un [[Topologie induite|sous-espace]] fermé [[Topologie discrète|discret]] ayant la [[puissance du continu]].}}

{{Démonstration/début}}
Soit ''X ''un espace séparable, c'est-à-dire contenant un sous-[[ensemble dénombrable]] [[Partie dense|dense]] ''D''. Toute application continue de ''X ''dans ℝ est alors déterminée par sa restriction à ''D'', donc l'ensemble de ces applications est de [[Cardinalité (mathématiques)|cardinal]] inférieur ou égal à |ℝ|{{exp|{{!}}''D''{{!}}}} = (2{{exp|[[Aleph-zéro|ℵ{{ind|0}}]]}}){{exp|ℵ{{ind|0}}}} = 2{{exp|ℵ{{ind|0}}}}.

Soit ''F ''un fermé discret de cardinal 2{{exp|ℵ{{ind|0}}}}. L'ensemble des applications continues de ''F ''dans ℝ est alors de cardinal [[Théorème de Cantor|2{{exp|(2{{exp|ℵ{{ind|0}}}})}} > 2{{exp|ℵ{{ind|0}}}}]], donc elles ne sont pas toutes continûment prolongeables à ''X''.

D'après le théorème de prolongement de Tietze, ''X ''n'est donc pas normal.
{{Démonstration/fin}}

Par cet argument, le [[plan de Sorgenfrey]] et le [[plan de Moore]] ne sont pas normaux.

La non-normalité du plan de Sorgenfrey [[Contre-exemple|prouve]] que le [[Topologie produit|produit]] de deux espaces normaux n'est pas toujours normal (voir aussi : [[Droite de Michael]]).

== Histoire ==
Cette notion provient du mathématicien [[Heinrich Tietze]] et date de 1923<ref name=element>{{Bourbaki}}, éd. 2006, {{p.|205-206}} ou {{Bourbaki-Topologie}}, {{p.|IX.128}}.</ref>. [[Nicolas Bourbaki]] précise à son sujet : {{citation|Les travaux récents ont mis en évidence que, dans ce genre de question ([[topologie algébrique]]), la notion d'espace normal est peu maniable, parce qu'elle offre trop de possibilités de « [[Cas pathologique|pathologie]] » ; on doit le plus souvent lui substituer la notion plus restrictive d'[[espace paracompact]], introduite en 1944 par [[Jean Dieudonné|J. Dieudonné]]<ref name=element />.}}

== Notes et références ==
{{Références|colonnes=2}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
*{{Lien|trad=Dowker space|Espace de Dowker}}
*[[Espace de Moore (topologie)]]
*{{Lien|trad=Morita conjectures|Conjectures de Morita}}
*{{Lien|trad=Katětov–Tong insertion theorem|Théorème d'insertion de Katětov-Tong}}
*[[Théorème de Phragmén-Brouwer]]

=== Ouvrage ===
{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Michael Henle|titre=A Combinatorial Introduction to Topology|éditeur=[[Dover Publications]]|année=1994|pages totales=310|isbn=978-0-486-67966-2|lire en ligne={{Google Livres|S0RJYkBxowEC}}}}

=== Lien externe ===
{{EncycloMath|id=Normal_space|titre=Normal space|lien auteur1=Pavel Aleksandrov|prénom1=P. S.|nom1=Aleksandrov}}

{{Palette Axiomes de séparation}}
{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Propriété d'espace topologique|Normal]]