Voir la source de Espace séparé

{{confusion|texte = Ne pas confondre avec la notion d'[[espace séparable]].}}
[[Image:Hausdorff space.svg|vignette|Deux points admettant des voisinages disjoints.]]
En [[mathématiques]], un '''espace séparé''', dit aussi '''espace de Hausdorff''', est un [[espace topologique]] dans lequel deux points distincts quelconques admettent toujours des [[Voisinage (mathématiques)|voisinages]] [[ensembles disjoints|disjoints]]. Cette condition est aussi appelée '''axiome T<sub>2</sub>''' au sein des [[axiome de séparation (topologie)|axiomes de séparation]].

L'appellation fait référence à [[Felix Hausdorff]], mathématicien allemand et l'un des fondateurs de la [[topologie]], qui avait inclus cette condition dans sa définition originale d'espace topologique.

Cette propriété de séparation équivaut à l'unicité de la [[limite (mathématiques)|limite]] de tout [[filtre (mathématiques)|filtre]] convergent (ou ce qui revient au même : de toute [[suite généralisée]] convergente).

== Exemples et contre-exemples ==
Tout [[espace métrique]] est séparé. En effet, deux points situés à une distance ''L ''l'un de l'autre admettent comme voisinages disjoints les [[Boule (topologie)|boules]] de rayon ''L''/3 centrées sur chacun d'eux.

Tout [[espace discret]] est séparé, chaque [[Singleton (mathématiques)|singleton]] constituant un voisinage de son élément. En particulier, un espace discret non [[ensemble dénombrable|dénombrable]] est séparé et non [[espace séparable|séparable]].

La [[topologie de l'ordre]] associée à un [[ordre total]] est séparée.

Des exemples d'espaces non séparés sont donnés par :
* tout ensemble ayant au moins deux éléments et muni de la [[topologie grossière]] (toujours [[espace séparable|séparable]]) ;
* tout ensemble infini muni de la [[topologie cofinie]] (qui pourtant satisfait l'axiome T<sub>1</sub> d'[[espace accessible]]) ;
* certains [[spectre d'anneau|spectres d'anneau]] munis de la [[topologie de Zariski]].

== Principales propriétés ==
*Dans un espace séparé, tout [[Singleton (mathématiques)|singleton]] est [[Fermé (topologie)|fermé]]<ref name=":0">{{Ouvrage|auteur1=[[Jacques Dixmier]]|titre=Topologie générale|passage=21, 46|lieu=Paris|éditeur=[[PUF]]|date=1981}}.</ref>. Autrement dit : tout espace T{{ind|2}} est [[Espace T1|T{{ind|1}}]].
* Pour toute fonction ''f'' à valeurs dans un espace séparé et tout point ''a'' [[Point adhérent|adhérent]] au [[domaine de définition]] de ''f'', la [[Limite (mathématiques)#Généralisations pour les espaces topologiques|limite de ''f'' en ''a'']], si elle existe, est unique<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Topologie générale/Continuité et homéomorphismes#Limite|paragraphe « Limite » dans la leçon « Topologie générale »|début=Pour une démonstration, voir par exemple le}}</ref>. Cette propriété équivaut à l'unicité de la limite de tout filtre convergent (ou de toute suite généralisée convergente) à valeurs dans cet espace.
* En particulier<ref>En considérant toute [[Suite (mathématiques)|suite]] comme une fonction définie sur ℕ, auquel le point <math>+\infty</math> est adhérent dans [[Droite réelle achevée|ℕ ∪ {+∞}]] muni de la [[topologie de l'ordre]].</ref>, la [[limite d'une suite]] à valeurs dans un espace séparé, si elle existe, est unique<ref>C'est aussi une conséquence des faits (démontrés dans l'article [[Axiome de séparation (topologie)]]) que tout espace séparé est KC et tout espace KC est à unique limite séquentielle.</ref>.
* Deux applications [[continue]]s à valeurs dans un séparé qui coïncident sur une [[partie dense]] sont égales<ref name=":0" />. Plus explicitement : si ''Y ''est séparé, si ''f'', ''g '': ''X ''→ ''Y ''sont deux applications continues et s'il existe une partie ''D ''dense dans ''X ''telle que{{Retrait|<math>\forall x\in D,\; f(x)=g(x)</math>}}alors{{retrait|<math>\forall x\in X,\; f(x)=g(x).</math>}}
* Une [[Comparaison de topologies|topologie plus fine]] qu'une topologie séparée est toujours séparée.
* Tout [[Topologie induite|sous-espace]] d'un espace séparé est séparé.
* Un [[Topologie produit|produit d'espaces topologiques]] non vides est séparé si et seulement si chacun d'eux l'est.
{{Attention|dimension=24|Par contre, un [[Topologie quotient|espace quotient]] d'un espace séparé n'est pas toujours séparé.}}
* ''X ''est séparé si et seulement si, dans l'espace produit ''X''×''X'', la diagonale {{nobr|<nowiki>{</nowiki> (''x'', ''x'') {{!}} ''x ''∈ ''X ''<nowiki>}</nowiki>}} est fermée<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Topologie générale/Espace produit#Puissance n-ième d'un espace|paragraphe « Puissance ''n''-ième d'un espace » dans la leçon « Topologie générale »|début=Pour une démonstration, voir par exemple le}}</ref>.
* Le [[graphe d'une fonction|graphe]] d'une application continue ''f '': ''X ''→ ''Y ''est fermé dans ''X''×''Y ''dès que ''Y ''est séparé. (En effet, la diagonale de ''Y'' est alors fermée dans ''Y''×''Y ''donc le graphe de ''f'', [[image réciproque]] de ce fermé par l'application continue ''f''×[[Application identité|id{{ind|''Y''}}]] : (''x'',''y'') ↦ (''f''(''x''), ''y''), est fermé dans ''X''×''Y''.) « La » [[réciproque]] est fausse, au sens où une application de graphe fermé n'est pas nécessairement continue, même si l'espace d'arrivée est séparé.
* ''X ''est séparé si et seulement si, pour tout point ''x'' de ''X'', l'intersection des voisinages fermés de ''x'' est réduite au singleton {''x''} (ce qui entraine la [[Espace T1|séparation T{{ind|1}}]] : l'intersection de tous les voisinages de ''x ''est réduite au singleton).

== Espace localement séparé ==
Un espace topologique ''X'' est localement séparé lorsque tout point de ''X'' admet un voisinage séparé.

Un tel espace est toujours [[espace accessible|T<sub>1</sub>]] mais n'est pas nécessairement séparé ni même seulement [[Axiome de séparation (topologie)#Espaces à unique limite séquentielle|à unique limite séquentielle]]. On peut par exemple considérer la [[Topologie de la droite réelle|droite réelle munie de sa topologie usuelle]] et y [[Espace topologique#Définition par les voisinages|ajouter un point]] 0' (qui clone le réel 0) dont les voisinages sont les voisinages de 0 dans lesquels on remplace 0 par 0'. Dans cet espace, la suite (1/''n'') [[Limite d'une suite|converge]] à la fois vers 0 et 0'.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Article connexe ==
* [[Axiome de séparation (topologie)#Espaces faiblement séparés|Espace faiblement séparé]]

{{palette Axiomes de séparation}}
{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Propriété d'espace topologique|Separe]]