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{{Ébauche|mathématiques}}
En [[mathématiques]], un '''espace séquentiel''' est un [[espace topologique]] dont la topologie est définie par l'ensemble de ses [[suite (mathématiques)|suites]] [[Limite d'une suite|convergentes]]. C'est le cas en particulier pour tout [[espace à base dénombrable]].

== Définitions ==

Soit ''X'' un [[espace topologique]]. 

* Un sous-ensemble ''U'' de ''X'' est dit « séquentiellement ouvert » si toute suite (''x''<sub>''n''</sub>) de ''X'' qui converge vers un point de ''U'' « appartient à ''U'' à partir d'un certain rang »<ref>C'est-à-dire qu'il existe ''N'' tel que ''x''<sub>''n''</sub> est dans ''U'' pour tout ''n'' ≥ ''N''.</ref>.
* Un sous-ensemble ''F'' de ''X'' est dit « séquentiellement fermé » si la convergence d'une suite (''x''<sub>''n''</sub>) de ''F'' vers ''x'' implique que ''x'' appartient à ''F''.

Le [[Complémentaire (théorie des ensembles)|complémentaire]] d'un sous-ensemble séquentiellement fermé est séquentiellement ouvert et vice-versa. Tout [[Ouvert (topologie)|ouvert]] (resp. [[Fermé (topologie)|fermé]]) de ''X'' est séquentiellement ouvert (resp. fermé) mais les réciproques sont fausses en général, ce qui motive la définition suivante.

L'espace ''X ''est dit séquentiel s'il satisfaisait l'une des conditions équivalentes suivantes :

*tout sous-ensemble séquentiellement ouvert de ''X'' est ouvert ;
*tout sous-ensemble séquentiellement fermé de ''X'' est fermé.

== Historique ==
Dans un article fondateur<ref>{{Article|lang=de|prénom=J.|nom=von Neumann|titre=Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der normalen Operatoren|lien périodique=Mathematische Annalen|revue=Math. Ann.|vol=102|numéro=1|année=1929|pages=370-427|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002273675}}, p. 380</ref> sur [[Algèbre de von Neumann|les algèbres qui portent son nom]], [[von Neumann]] soulignait que, dans l'[[Espace de suites ℓp|espace ℓ{{2}}(ℕ*)]] muni de la [[topologie faible]], 0 est [[Point adhérent|adhérent]] à l'ensemble des ''e{{ind|m}} + me{{ind|n}}'' mais n'appartient pas à sa fermeture séquentielle (car ses suites convergentes [[Topologie faible#Propriétés élémentaires|sont bornées en norme]] donc ''m'' est constant à partir d'un certain rang)<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Paul R.|nom1=Halmos|lien auteur1=Paul R. Halmos|titre=A Hilbert Space Problem Book|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=19|année=1982|numéro d'édition=2|pages totales=369|passage=185|isbn=978-0-387-90685-0|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=S57XLkgbf0oC&pg=PA185}} donne, comme étape de solution de son problème 28 (montrer que la topologie faible de ℓ{{2}} n'est pas [[Espace métrisable|métrisable]]), un exemple plus simple qu'il attribue à {{Lien|Allen Lowell Shields}} : l'ensemble des ''{{sqrt|n}} {{math|e{{ind|n}}}}'', pour ''{{math|n}} ''> 0.</ref>.

Les espaces « qui peuvent être définis complètement ne connaissant que leurs suites convergentes » ont fait dans les années 1960 l'objet de nombreuses études, que S. P. Franklin a synthétisées et généralisées<ref>{{Article|lang=en|prénom=S. P.|nom=Franklin|titre=Spaces in Which Sequences Suffice|lien périodique=Fundamenta Mathematicae|revue=Fund. Math.|vol=57|année=1965|pages=107-115|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm57/fm5717.pdf}}</ref>{{,}}<ref>
{{Article|lang=en|prénom=S. P.|nom=Franklin|titre=Spaces in Which Sequences Suffice II|revue=Fund. Math.|vol=61|année=1967|pages=51-56|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm61/fm6115.pdf}}</ref>.

Les espaces séquentiels répondent un peu à cette spécification informelle et les [[#Espace de Fréchet-Urysohn|espaces de Fréchet-Urysohn]] un peu mieux, à condition de ne pas la surinterpréter : par exemple sur l'[[Espace de suites ℓp|espace ℓ{{1}}]], la [[topologie forte]] est strictement plus fine que la [[Topologie faible|faible]] mais [[Propriété de Schur|les suites convergentes sont les mêmes]].

== Définitions équivalentes ==
Soit ''X'' un espace topologique.

Les sous-ensembles séquentiellement ouverts forment une nouvelle [[Espace topologique|topologie]] sur ''X ''; l'espace est séquentiel si et seulement si sa « topologie séquentielle » (plus fine a priori) coïncide avec sa topologie originelle<ref name=DanMa>{{en}} « [http://dantopology.wordpress.com/2010/06/23/ Sequential spaces, II] », sur ''Dan Ma's Topology Blog'' (tous les espaces y sont supposés [[Espace séparé|séparés]]).</ref>.

Moins [[trivial]]ement, les propriétés suivantes sont équivalentes<ref name=DanMa/> :

*''X'' est séquentiel ;
*''X'' est le [[Topologie quotient|quotient]] d'un [[espace à bases dénombrables de voisinages]] ;
*''X'' est le quotient d'un [[espace métrique]] ;
*pour tout espace topologique ''Y'' et toute application ''f'' : ''X'' → ''Y'', ''f'' est [[fonction continue|continue]] si (et seulement si) elle est ''séquentiellement continue en tout point x de X'', c'est-à-dire que pour toute suite de points (''x''<sub>''n''</sub>) convergeant vers ''x'', la suite (''f''(''x''<sub>''n''</sub>)) converge vers ''f''(''x'').

==Exemples==
*Tout espace métrisable est séquentiel, en particulier tout [[espace discret]].
*Tout [[CW-complexe]] aussi (comme quotient d'un espace métrique), sans être nécessairement à bases dénombrables de voisinages ({{cf.}} le [[Topologie quotient#Premiers exemples|bouquet de cercles ℝ/ℤ]]).
*Un exemple simple d'espace non séquentiel est la [[topologie codénombrable]] sur un [[ensemble infini non dénombrable]] (ses seules suites convergentes sont les suites stationnaires).

==Propriétés==
Pour un [[Espace T1|espace T{{ind|1}}]] séquentiel, la [[compacité séquentielle]] [[Espace dénombrablement compact#Lien avec la compacité séquentielle|équivaut à la compacité dénombrable]].

Tout espace séquentiel est [[Espace dénombrablement engendré|dénombrablement engendré]], ou d'[[Fonction cardinale#Fonctions cardinales en topologie|étroitesse]] [[Ensemble dénombrable|dénombrable]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=D. H.|nom1=Fremlin|titre=Measure Theory|volume=4|éditeur=Torres Fremlin|année=2000|pages totales=945|passage=331|isbn=978-0-9538129-4-3|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=R6UhqdtWirgC&pg=RA1-PA331|numéro chapitre=4A2|titre chapitre=Appendix, § General topology}}</ref> (en anglais : <cite lang>countably tight</cite>) – c'est-à-dire que tout [[point adhérent]] à une partie est adhérent à une sous-partie au plus dénombrable – mais la réciproque est fausse : il existe même des espaces séparés dénombrables non séquentiels<ref name=Arens/>{{,}}<ref>{{en}} « [http://mathoverflow.net/questions/35348/the-difference-between-a-sequential-space-and-a-space-with-countable-tightness The difference between a sequential space and a space with countable tightness] », sur ''[[MathOverflow]]''</ref> et sous l'{{Lien|trad=Diamond principle|Principe ♢|texte=hypothèse ♢}}, il existe même des [[Compacité (mathématiques)|compacts]] dénombrablement étroits mais non séquentiels<ref>{{Article|lang=en|prénom=V. V.|nom=Fedorcuk|titre=Fully closed mappings and the consistency of some theorems of general topology with the axioms of set theory|revue=Math. USSR|vol=28|année=1976|pages=1-26}}</ref>. Cependant, sous l'{{Lien|trad=Proper forcing axiom|Axiome de forcing propre|texte=hypothèse du forcing propre}}, il n'en existe pas<ref>{{Article|lang=en|nom={{Lien|trad=Zoltán Tibor Balogh|texte=Zoltan Balogh}}|titre=On compact Hausdorff spaces of countable tightness|lien périodique=Proceedings of the American Mathematical Society|revue=Proc. Amer. Math. Soc.|vol=105|numéro=3|année=1989|url=http://www.ams.org/journals/proc/1989-105-03/S0002-9939-1989-0930252-6}}</ref>.

== Adhérence séquentielle ==

''En anglais «sequential closure»; on verra ci-dessous que traduire littéralement par «fermeture séquentielle» serait maladroit.''

Soit un sous-ensemble <math>A\subset X</math> d'un espace <math>X</math>, l'adhérence séquentielle <math>\left[A\right]_{\mbox {seq}}</math> est l'ensemble :
 
<center><math>\left[A\right]_{\mbox {seq}}= \{x\in X\mid\exists u\in A^\N\quad u\to x\}</math></center>

c'est-à-dire l'ensemble de tous les points <math>x\in X</math> pour lesquels il existe une suite d'éléments de <math>A</math> qui converge vers <math>x</math>. (C'est un sous-ensemble de l'[[Adhérence (mathématiques)|adhérence]] ordinaire <math>\bar A</math>.)

Une partie est donc séquentiellement fermée si et seulement si elle est égale à son adhérence séquentielle.

L'application

<center><math>\left[ \, \cdot \, \right]_{\mbox {seq}} : A\mapsto \left[A\right]_{\mbox {seq}}</math></center>

est appelée opérateur de fermeture séquentielle.

Elle partage des propriétés avec l'adhérence ordinaire, notamment :

*l'ensemble vide est séquentiellement fermé :<center><math>\left[\varnothing \right]_{\mbox {seq}} = \varnothing</math></center>
*toute partie est incluse dans sa fermeture séquentielle :<center><math>\forall A\subset X,~A \subset \left[A\right]_{\mbox {seq}}</math></center>
*la fermeture séquentielle commute avec l'union :<center><math>\forall A,B\subset X,~\left[A\cup B\right]_{\mbox {seq}} = \left[A\right]_{\mbox {seq}} \cup \left[B\right]_{\mbox {seq}}.</math></center>

Cependant, [[Espace topologique#Définition par les adhérences|contrairement à l'adhérence ordinaire]] et ''même si X est séquentiel'', l'opérateur de fermeture séquentielle n'est généralement [[Clôture (mathématiques)#Opérateur de clôture|pas un opérateur de clôture mais seulement de préclôture]] car il n'est pas [[idempotence|idempotent]], c'est-à-dire qu'il peut exister une partie ''A ''de ''X ''telle que :

<center><math>\left[ \left[A\right]_{\mbox {seq}} \right]_{\mbox {seq}}\ne \left[A\right]_{\mbox {seq}}.</math></center>

Autrement dit :  l'adhérence séquentielle  d'une partie ''A ''de ''X ''n'est pas toujours séquentiellement fermée.

La plus petite partie séquentiellement fermée de ''X ''contenant ''A ''(l'adhérence de ''A ''pour la « topologie séquentielle » définie [[#Définitions équivalentes|ci-dessus]]) s'obtient en itérant cette construction par [[récurrence transfinie]]<ref name=Dow>{{Chapitre|lang=en|prénom=Alan|nom1=Dow|titre=Sequential Order|titre ouvrage=Open Problems in Topology|volume=II|auteurs ouvrage=M. Pearl Elliott|éditeur=Elsevier|année=2011|isbn=9780080475295|url=https://books.google.fr/books?id=XdXnQCV5K08C&pg=PA125|passage=125-127}}</ref> :
<center><math>A^{(0)}=A,~A^{(\alpha+1)}=\left[A^{(\alpha)}\right]_{\mbox {seq}}\text{ et si }\alpha\text{ est un ordinal limite, }A^{(\alpha)}=\cup_{\beta<\alpha}A^{(\beta)}.
</math></center>
On appelle ''ordre séquentiel de la partie A ''le plus petit [[Nombre ordinal|ordinal]] α pour lequel ''A''{{exp|(α)}} est séquentiellement fermé et ''ordre séquentiel de l'espace X ''la [[borne supérieure]] des ordres séquentiels de ses parties. Ces ordres sont au plus égaux au [[premier ordinal non dénombrable]].

Si ''X ''est séquentiel on a donc :
<center><math>\overline A=A^{(\omega_1)}.</math></center>

== Espace de Fréchet-Urysohn ==
Les espaces de Fréchet-Urysohn<ref>Selon {{Article|lang=en|nom=Hong|prénom=Woo Chorl|titre=Some necessary and sufficient conditions for a Fréchet-Urysohn space to be sequentially compact|revue=Commun. Korean Math. Soc.|vol=24|numéro=1|année=2009|pages=145-152|url=http://www.mathnet.or.kr/mathnet/thesis_file/12_C08-082.pdf}}, ces espaces sont appelés
*''Fréchet-Urysohn'' par {{Ouvrage|langue=en|prénom1=A. V.|nom1=Arkhangelskii|lien auteur1=Alexander Arhangelskii|prénom2=L. S.|nom2=Pontryagin|lien auteur2=Lev Pontriaguine|titre=General Topology I|éditeur=Springer|lieu=New York|année=1990|pages totales=202|isbn=978-3-540-18178-1}}
*''Fréchet'' par {{Harvsp|Franklin|1967}}
*<cite lang=en>closure sequential</cite> par {{Ouvrage|langue=en|prénom1=A.|nom1=Wilansky|titre=Topology for Analysis|éditeur=Ginn and Company|année=1970|isbn=}}.</ref> – d'après [[Maurice Fréchet]] et [[Pavel Urysohn]] – sont ceux pour lesquels l'adhérence séquentielle coïncide avec l'adhérence ordinaire, c'est-à-dire :
<center><math>\forall A\subset X,~\left[A\right]_{\mbox {seq}} = \overline{A}.</math></center>

Autrement dit : ce sont les espaces séquentiels dont l'ordre séquentiel est égal à 1.

Un espace est de Fréchet-Urysohn si et seulement si chacun de ses sous-espaces est séquentiel.

Également, un espace ''X'' est de Fréchet-Urysohn si et seulement si, pour tout espace topologique ''Y'', toute application ''f'' : ''X'' → ''Y'' et tout point ''x'' de ''X'', ''f'' est continue au point ''x'' si (et seulement si) elle est séquentiellement continue en ce point<ref>{{Lien web|langue=en|auteur=Martin Sleziak|titre=Characterization of Fréchet-Urysohn spaces using sequential continuity at a point|url=http://mathoverflow.net/questions/138100/characterization-of-frechet-urysohn-spaces-using-sequential-continuity-at-a-poin|site=[[MathOverflow]]}}</ref>, c'est-à-dire si ''f''(''u{{ind|n}}'') tend vers ''f''(''x'') pour toute suite (''u{{ind|n}}'') qui tend vers ''x''.

'''Exemples.'''
*Tout espace à bases dénombrables de voisinages est de Fréchet-Urysohn.
*Un exemple d'espace de Fréchet-Urysohn qui n'est pas à bases dénombrables de voisinages est le [[Topologie quotient#Premiers exemples|bouquet de cercles ℝ/ℤ]].
*Le prototype d'espace séquentiel qui n'est pas de Fréchet-Urysohn est l'espace d'[[Richard Friedrich Arens|Arens]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|nom1=[[Alexander Arhangelskii|A. V. Arkhangelskii]]|prénom2=V. I.|nom2=Ponomarev|titre=Fundamentals of General Topology|sous-titre=Problems and Exercises|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=2001|pages totales=416|passage=59-60|isbn=978-1-4020-0308-0|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=AVVSdnLemYUC&pg=PA59}}, exercice  113, iii</ref>. Plus précisément : un espace séquentiel est de Fréchet-Urysohn si et seulement s'il ne contient pas de copie de cet espace<ref name=Arens>{{en}} « [http://dantopology.wordpress.com/2010/08/18/ A note about the Arens’ space] », sur ''Dan Ma's Topology Blog''</ref> et on peut l'utiliser pour construire, pour tout ordinal α ≤ ω{{ind|1}}, un espace séquentiel dont l'ordre séquentiel est égal à α<ref>{{Article|lang=en|titre=Ordinal invariants for topological spaces|prénom=A. V.|nom=Arhangel'skiĭ|prénom2=S. P.|nom2=Franklin|revue=Michigan Math. J.|vol=15|numéro=4|année=1968|pages=506|url=http://projecteuclid.org/euclid.mmj/1029000034}}</ref>.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Sequential space|141230760|type=n}}
<references/>
*{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Ryszard|nom1=Engelking|lien auteur1=Ryszard Engelking|titre=General Topology|éditeur=[[PWN (éditeur)|PWN]]|lieu=Warsaw|année=1977|isbn=}}
* {{en}} Anthony Goreham, « Sequential Convergence in Topological Spaces », déc. 2004, {{Arxiv2|math/0412558}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Propriété d'espace topologique|Sequentiel]]