Voir la source de Exponentiation ensembliste

En [[théorie des ensembles]], l''''exponentiation ensembliste''' est l'[[Opération (mathématiques)|opération]] qui, à deux [[ensemble]]s ''E'' et ''F'', associe l'ensemble des [[Application (mathématiques)|applications]] de ''E'' dans ''F''. Cet ensemble est souvent noté<ref>{{Halmos65}}.</ref> ''F{{exp|E}}''.
On peut aussi le voir comme l'ensemble des [[Famille (mathématiques)|familles]] indexées par ''E'' d'éléments de ''F'' : 
{{Centrer|<math>F^E=\prod_{e\in E} F.</math>}}

== Exemples ==
* ℝ{{exp|ℕ}} désigne l'ensemble des [[Suite (mathématiques élémentaires)|suites]] [[Nombre réel|réelles]].
* Pour tout ensemble ''E'' non vide, il n'y a aucune application de ''E'' dans l'[[ensemble vide]] (l'existence d'une [[Image (mathématiques)|image]] dans ∅ pour tout élément de ''E'' ne pourra jamais être vérifiée). Donc ∅<sup>''E''</sup> = ∅ si ''E'' ≠ ∅.
* Pour tout ensemble ''F'', il y a une seule application de l'ensemble vide dans ''F'' : l'{{Lien|trad=Function (mathematics)#Empty function|application vide}} (de [[Graphe d'une fonction|graphe]] vide). L'ensemble ''F''{{exp|∅}} est donc un [[singleton (mathématiques)|singleton]].

== Cardinal ==
Quand ''E'' et ''F'' sont des [[Ensemble fini|ensembles finis]], si l'on note |''E''| le [[cardinal d'un ensemble]] ''E'', on [[démonstration (logique et mathématique)|démontre]] (voir l'article « [[Arrangement avec répétition]] ») :

{{Centrer||''F{{exp|E}}''| = |''F''|<sup>|''E''|</sup>.}}

Quand ''E'' ou ''F'' est infini, on peut prendre cette [[Identité (mathématiques)|identité]] comme une ''définition'' de la [[fonction puissance]] sur les [[Nombre cardinal|nombres cardinaux]]. On montre en effet que le cardinal de ''F{{exp|E}}'' ne dépend que des cardinaux respectifs de ''E'' et ''F''.

== Histoire ==
[[Georg Cantor]] a introduit cette construction justement à cette fin<ref name=Cantor>Georg Cantor, {{Lien web|url=http://www.bibnum.education.fr/math%C3%A9matiques/th%C3%A9orie-des-nombres/contributions-au-fondement-de-la-th%C3%A9orie-des-ensembles-transfinis|titre=Contributions au fondement de la théorie des ensembles transfinis}}, 1895, traduit et commenté sur [[Bibnum]], § 4.</ref>. Ce qu'il appelait « recouvrement<ref>Ne pas confondre avec [[Recouvrement (mathématiques)]].</ref> » (''{{Langue|de|Belegung}}'' en allemand) d'un ensemble ''N'' par un ensemble ''M'' est {{citation|une loi par laquelle à chaque élément ''n'' de ''N'' est lié un élément déterminé de ''M'', où un et le même élément de ''M'' peut être utilisé de façon répétée<ref name=Cantor/>}}, c'est-à-dire ce que nous appelons aujourd'hui une application de ''N'' dans ''M''. Il notait ''f''(''N'') une telle application ''f'', puis énonçait : {{Citation|La totalité de tous les recouvrements distincts de ''N'' par ''M'' constitue un ensemble déterminé d'éléments ''f''(''N'') ; nous l'appelons « l'ensemble de recouvrement de ''N'' par ''M'' » et le désignons par (''N''{{!}}''M''). Ainsi (''N''{{!}}''M'') {{=}} {''f''(''N'')}<ref name=Cantor/>.}}

== Notes et références ==
{{Crédit d'auteurs|interne|Ensemble exponentiel|106226952}}
{{Crédit d'auteurs|interne|Application (mathématiques)|106227023}}
{{Références}}

== Articles connexes ==
* [[Catégorie des ensembles]]
* [[Exponentiation]]
* [[Objet exponentiel]]
* [[Opération ensembliste]]

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Théorie des ensembles]]
[[Catégorie:Opération]]
[[Catégorie:Georg Cantor]]