Voir la source de Extrapolation (mathématiques)

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{{ébauche|mathématiques|analyse}}

En mathématiques, l''''extrapolation''' est le calcul d'un point d'une courbe dont on ne dispose pas d'équation, à partir d'autres points, lorsque l'abscisse du point à calculer est au-dessus du maximum ou en dessous du minimum des points connus. En dehors de cette particularité, les méthodes sont les mêmes que pour l'[[Interpolation numérique|interpolation]]. C'est, d'autre part, une méthode développée par [[Norbert Wiener]] en [[traitement du signal]] pour la prédiction.

== Méthodes ==

Le choix de la méthode d'extrapolation dépend de la connaissance a priori de la méthode de génération des données<ref>{{article| titre = Causal Forces: Structuring Knowledge for Time-series Extrapolation | auteur1 = J. Scott Armstrong | auteur2 = Fred Collopy | journal = Journal of Forecasting | volume = 12 | numéro = 2 | pages = 103–115 | année = 1993 | doi = 10.1002/for.3980120205 | citeseerx = 10.1.1.42.40 | consulté le = 2012-01-10 | url = https://repository.upenn.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1072&context=marketing_papers }}</ref>. Ensuite, il faut s'intéresser aux propriétés éventuelles des données (dépendance linéaire, continuité, périodicité...).

===Extrapolation linéaire ===

L'extrapolation linéaire consiste à prolonger l'interpolation des données par une droite tangente à la fin des données connues et à l'étendre. Elle ne donne de bons résultats que si les données montrent une corrélation proche de la linéarité.

Si les deux points les plus proches du point de calcul {{math|''x''*}} à extrapoler sont {{math|(''x''{{ind|''k'' – 1}} , ''y''{{ind|''k'' – 1}})}} et {{math|(''x''{{ind|''k''}} , ''y''{{ind|''k''}})}}, l'extrapolation linéaire s'obtient par :
:<math>y(x_*) = y_{k-1} + \frac{x_* - x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}(y_{k} - y_{k-1}).</math>

On retrouve l'[[interpolation linéaire]] si {{math|(''x''{{ind|''k'' – 1}} < ''x''* < ''x''{{ind|''k''}}}}). On peut également choisir plusieurs points et construire une extrapolation linéaire par moyennage ou régression.

=== Régression linéaire simple ===

On se place dans le plan <math>\R^2</math>. Supposons une [[variable aléatoire]] {{math|Y}}, dont l'[[espérance mathématique|espérance]] dépend de {{mvar|x}} de manière affine, mais dont la [[Variance (mathématiques)|variance]] est uniforme :
:<math>\mathbb{E}(Y(x)) = \beta_0 + \beta_1 x</math>
les paramètres {{math|''β''<sub>0</sub>}} et {{math|''β''<sub>1</sub>}} étant des constantes réelles. Pour une valeur de {{mvar|x}} donnée, {{math|Y(''x'')}} suit une [[loi normale]].

Pour estimer la valeur de ces constantes, on dispose de ''n'' couples (''x<sub>i</sub>'', ''y<sub>i</sub>'')<sub>1 ≤ ''i'' ≤ ''n''</sub>, la valeur ''y<sub>i</sub>'' étant une réalisation de {{math|Y(''x<sub>i</sub>'')}} ; pour simplifier, on suppose que les ''x<sub>i</sub>'' sont classés par ordre croissant. En sciences expérimentales, les couples (''x<sub>i</sub>'', ''y<sub>i</sub>'') sont des mesures.

La [[régression linéaire]] consiste à déterminer des estimations {{math|''b''<sub>0</sub>}} et {{math|''b''<sub>1</sub>}} des paramètres {{math|''β''<sub>0</sub>}} et {{math|''β''<sub>1</sub>}} de la loi. Ainsi, si l'on prend une valeur {{mvar|x}} quelconque, on estime que l'espérance de {{math|Y(''x'')}} vaut ''y''* défini par :
:<math>y^* = b_0+b_1x</math>
Si l'on prend une réalisation de {{math|Y(''x'')}} — si l'on fait une mesure de Y en {{mvar|x}} —, la valeur trouvée sera différente de ''y''*, mais on a une probabilité α qu'elle soit comprise dans un intervalle {{math|[''y''* – Δ''y'' ; ''y''* + Δ''y'']}},  défini par :
: <math>\Delta y = \mathrm{t}^{n - 2}_{1 - \alpha/2} \cdot \sigma^* \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x - \bar{x})^2}{\sum (x_i - \bar{x})^2}}
= \mathrm{t}^{n - 2}_{1 - \alpha/2} \cdot \sigma^* \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x - \bar{x})^2}{n \sigma_x^2}}</math>
où σ* est une estimation de l'[[écart type]] de {{math|Y}}, {{surligner|''x''}} est la moyenne des ''x<sub>i</sub>'', σ<sub>''x''</sub> est l'estimateur de l'écart type sur ''x'' et <math>\mathrm{t}^{n - 2}_{1 - \alpha/2}</math> est le quantile de la [[loi de Student]] à ''n'' – 2 degrés de liberté pour un risque α.

{{loupe|Intervalle de confiance|Régression linéaire#Prévision statistique}}

On voit que cet [[intervalle de confiance]] croît lorsque l'on s'éloigne de la moyenne {{surligner|''x''}} :
* tant que {{math|(''x'' – {{surligner|''x''}})<sup>2</sup>}} est petit devant ''n''σ<sub>''x''</sub><sup>2</sup>, la valeur de Δ''y'' est à peu près constante ;
* si {{math|(''x'' – {{surligner|''x''}})<sup>2</sup>}} n'est plus négligeable devant ''n''σ<sub>''x''</sub><sup>2</sup>, alors Δ''y'' croît et adopte un [[comportement asymptotique]] linéaire
*: <math>\Delta y \simeq \frac{\mathrm{t}^{n - 2}_{1 - \alpha/2}}{\sqrt{n}} \cdot \frac{\sigma^*}{\sigma_x} \cdot (x - \bar{x})</math>.

En particulier, si {{math|(''x'' – {{surligner|''x''}})<sup>2</sup>}} n'est pas négligeable devant {{math|''n''σ<sub>''x''</sub><sup>2</sup> {{=}} ∑(''x<sub>i</sub>'' – {{surligner|''x''}})<sup>2</sup>}}, il n'est pas négligeable devant
:<math>\max{(x_i - \overline{x})}^2, 1 \leqslant i \leqslant n = \max\lbrace(\overline{x} - x_1)^2 ; (\overline{x} - x_n)^2\rbrace.</math>
Si l'on dispose de nombreux point expérimentaux (''n'' est grand), cela implique que ''x'' est à l'extérieur de [''x''<sub>1</sub> ; ''x<sub>n</sub>''].

On voit donc que si l'on fait une extrapolation — si l'on veut prédire la valeur de E(Y(''x'')) en dehors de [''x''<sub>1</sub> ; ''x<sub>n</sub>''] —, alors l'erreur sur cette prédiction croît de manière linéaire.

=== Extrapolation polynomiale ===
[[File:Lagrange polynomials for continuations of sequence 1,2,3.gif|thumb|right|Extrapolations de Lagrange de la suite 1,2,3. Extrapoler par 4 mène à un polynôme de degré minimal (courbe de couleur {{color|#006060|cyan}}).]]
Une courbe polynomiale passant par tous les points de données ou les derniers (2 pour une extrapolation linéaire, 3 points pour une extrapolation quadratique, etc.). La courbe peut être ensuite prolongée au-delà du dernier point de donnée. Une extrapolation polynomiale peut se réaliser par les techniques d'[[interpolation lagrangienne]] ou le calcul d'une série de Newton. Le polynôme résultant peut être utilisé pour extrapoler les données.

Il faut toutefois prendre en compte le [[phénomène de Runge]], qui peut vite créer des estimations inutilisables pour des extrapolations polynomiales de haut degré.

=== Coniques ===

Une [[conique]] peut être créée à partir de 5 points près des points finaux des données. Si le résultat est une [[ellipse (mathématiques)|ellipse]] ou un [[cercle]], alors l'extrapolation va boucler et revenir sur elle-même. Une [[parabole]] ou une [[hyperbole (mathématiques)|hyperbole]] extrapolée ne bouclera pas mais peut changer de variation.

=== Pistolet ===

Une extrapolation au [[Pistolet (dessin)|pistolet]] peut être envisagée pour des données à tendance exponentielle, mais avec des facteurs accélérants ou ralentissants<ref>[http://www.AIDSCJDUK.info AIDSCJDUK.info Main Index<!-- Bot generated title -->]</ref>. Cette méthode a par exemple été utilisée pour la progression de l'épidémie du [[Virus de l'immunodéficience humaine|VIH]] au Royaume-Uni depuis 1987 et son variant CJD pour les années suivantes, avec des résultats satisfaisants<ref>{{article| titre = Forecasting by Extrapolation: Conclusions from Twenty-Five Years of Research | auteur = J. Scott Armstrong | journal = Interfaces | volume = 14 | numéro = 6 | pages = 52–66 | année = 1984 | doi = 10.1287/inte.14.6.52 | citeseerx = 10.1.1.715.6481 | consulté le = 2012-01-10 | url = https://repository.upenn.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1083&context=marketing_papers }}</ref>.

== Voir aussi ==

=== Articles connexes ===
* [[Interpolation numérique]] 
* [[Analyse des tendances]] 

=== Liens externes ===

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Extrapolation|1017411418}}
{{Références}}

{{portail|Mathématiques}}

[[Catégorie:Algorithme numérique]]