Voir la source de Facteur de compressibilité

{{confusion|Compressibilité{{!}}Coefficient de compressibilité}}

{{Infobox Grandeur physique
| nom            = Facteur de compressibilité 
| image          = 
| légende        = 
| unités         = [[grandeur adimensionnelle|Sans dimension]] 
| autres unités  = 
| symbole        = <math>Z</math>
| unités de base = 
| dimension      = 
| extensive      = 
| intensive      = oui
| conservative   = 
| nature         = scalaire
| expressions    = <math>Z = {PV \over nRT}</math>
| conjuguée      = 
| complémentaire = 
}}

En [[physique]], et plus particulièrement en [[thermodynamique]], le '''facteur de compressibilité''' est le rapport du [[volume molaire]] d'un [[mélange]] ou d'un [[corps pur]] réel, liquide ou gazeux, au volume molaire du [[gaz parfait]] correspondant aux mêmes pression, température et composition.

Pour un gaz parfait, le facteur de compressibilité vaut 1, quelles que soient la nature du gaz et les conditions de pression, température, composition. Pour un [[Fluide (matière)|fluide]] réel, le facteur de compressibilité est généralement compris entre 0,2 et 1,2, il dépend de la nature du fluide et des conditions opératoires.

Le facteur de compressibilité est une variable utilisée notamment dans les [[équation d'état|équations d'état]] telles que les [[équation d'état cubique|équations d'état cubiques]] ou l'[[équation du viriel]].

== Définition ==

Le '''facteur de compressibilité''', noté <math>Z</math><ref>''Green Book'' ([[Union internationale de chimie pure et appliquée|IUPAC]]), [[Quantities, Units and Symbols in Physical Chemistry]], page 57, édition 2007.</ref>, est défini par :

<center>
{| border="1" cellpadding="5"
|'''Facteur de compressibilité : '''<math>Z = {P \bar V \over RT}</math>
|}
</center>

avec :
* <math>P</math> la [[pression]] du fluide réel ;
* <math>R</math> la [[constante universelle des gaz parfaits]] ;
* <math>T</math> la [[température]] du fluide réel ;
* <math>\bar V = V / n</math> le volume [[grandeur molaire|molaire]] du fluide réel, avec <math>V</math> le [[volume]] et <math>n</math> la [[quantité de matière]] totale (nombre de [[mole (unité)|moles]]) du fluide réel.

Le facteur de compressibilité est une grandeur [[Extensivité et intensivité (physique)|intensive]] [[grandeur adimensionnelle|adimensionnelle]].

Le facteur de compressibilité est une fonction de la pression, du volume, de la température et de la composition. Ces diverses variables sont elles-mêmes liées par l'[[équation d'état]] du fluide : <math>V = V \! \left( P,T,n \right)</math> ou <math>P = P \! \left( V,T,n \right)</math>. Le facteur de compressibilité peut donc s'exprimer soit comme une fonction de la pression, de la température et de la composition <math>Z = Z \! \left( P,T,n \right)</math>, soit comme une fonction du volume, de la température et de la composition <math>Z = Z \! \left( V,T,n \right)</math>.

Selon la [[loi des gaz parfaits]] <math>P V^\bullet = nRT</math>, avec <math>V^\bullet</math> le volume du gaz parfait aux mêmes pression, température et composition que le fluide réel. En posant <math>\bar V^\bullet = {V^\bullet \over n} = {RT \over P}</math> le volume molaire du gaz parfait correspondant au fluide réel, on obtient une autre définition du facteur de compressibilité :

<center>'''Facteur de compressibilité : '''<math>Z = {\bar V \over \bar V^\bullet}</math></center>

Pour un gaz parfait, on a donc <math>Z^\bullet = {P V^\bullet \over nRT} = 1</math> quelles que soient la nature du gaz et les conditions de pression, température, composition.

== Valeur pour un fluide réel ==

=== Diagramme d'Amagat ===

<span id="Figure 1">[[File:Etatcorr.gif|vignette|350px|'''Figure 1 ''' - Isothermes expérimentales de diverses espèces chimiques dans un [[diagramme d'Amagat]].]]</span>
<span id="Figure 2">[[File:Isothermes de van der Waals - Z Amagat.jpg|vignette|350px|'''Figure 2 ''' - Isothermes de l'équation d'état de van der Waals dans un [[diagramme d'Amagat]]. Facteur de compressibilité Z en fonction de la pression réduite.<br>En violet : isotherme de Boyle-Mariotte ; en tirets noirs : droite des gaz parfaits ; en rouge : isotherme critique.]]</span>

Pour un gaz parfait, le facteur de compressibilité vaut donc 1 quels que soient le gaz (corps pur ou mélange), la pression, la température et la composition. Si l'on trace dans un diagramme le facteur de compressibilité en fonction de la pression, on obtient une unique droite horizontale.

Pour un fluide réel, mélange ou corps pur, le facteur de compressibilité varie généralement entre 0,2 et 1,2 selon la nature du fluide et les conditions opératoires. Pour tracer dans un diagramme le facteur de compressibilité d'un fluide réel en fonction de la pression, on fixe la température et la composition pour obtenir une courbe [[processus isotherme|isotherme]]. La variation de la température permet d'obtenir un faisceau de courbes isothermes. La [[#Figure 1|figure 1]] montre les isothermes obtenues expérimentalement pour diverses [[Espèce chimique|espèces chimiques]] et tracées dans un [[diagramme d'Amagat]]. La [[#Figure 2|figure 2]] montre dans un diagramme d'Amagat l'évolution isotherme du facteur de compressibilité d'un gaz suivant l'[[équation d'état de van der Waals]], qui représente qualitativement<ref>On note l'important décalage, par exemple, entre les isothermes critiques (<math>T_\mathrm{r} = 1</math>) de la [[#Figure 1|figure 1]], qui représente des valeurs expérimentales pour diverses espèces chimiques, et de la [[#Figure 2|figure 2]], qui représente les isothermes obtenues avec l'équation d'état de van der Waals : les valeurs expérimentales descendent jusqu'à environ <math>Z = 0{,}2</math>, les valeurs calculées jusqu'à environ <math>Z = 0{,}3</math>.</ref> le comportement d'un [[gaz réel]]. On constate :<br>
# qu'aux basses pressions ou aux hautes températures le facteur de compressibilité d'un fluide réel tend vers 1 : le comportement d'un fluide réel tend vers celui d'un gaz parfait ;
# qu'à pression constante :
#:* aux basses pressions le facteur de compressibilité augmente avec la température ;
#:* aux hautes pressions le facteur de compressibilité diminue avec une augmentation de température ;
# qu'à température constante :
#:* le facteur de compressibilité est décroissant aux basses pressions et croissant aux hautes pressions ;
#:* au-delà d'une certaine température le facteur de compressibilité est strictement croissant.

Au [[point critique (thermodynamique)|point critique]], le facteur de compressibilité d'un gaz de van der Waals vaut <math>Z_\mathrm{c} = 0{,}375</math> quel que soit le corps, ce qui n'est pas réaliste. En règle générale, le facteur de compressibilité critique d'un corps réel vaut de {{nombre|0.2}} à {{nombre|0.3}}<ref>{{Ouvrage |langue=fr |auteur1=Bernard Le Neindre |titre=Constantes physiques des fluides purs |sous-titre=méthodes d’estimation |volume=K 692 |éditeur=[[Éditions techniques de l'ingénieur|{{Ed.}} Techniques de l'Ingénieur]] |année=2001 |passage=16 |isbn= |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=p9nUXrpbu00C&pg=PA16}}.</ref>. On a par exemple respectivement pour l'[[dihydrogène|hydrogène]], l'[[éthane]], l'[[ammoniac]] et l'[[eau]] : <math> Z_\mathrm{c}( {\rm H_2} ) = 0{,}304</math>, <math>Z_\mathrm{c}( {\rm C_2H_6} ) = 0{,}267</math>, <math>Z_\mathrm{c}( {\rm NH_3} ) = 0{,}238</math>, <math>Z_\mathrm{c}( {\rm H_2O} ) = 0{,}226</math>.

Par définition, un [[gaz parfait]] est un gaz dans lequel des particules ponctuelles n'ont aucune interaction entre elles, si ce n'est des [[Choc élastique|chocs élastiques]]. Autrement dit, dans un gaz parfait les particules n'ont aucune interaction à distance entre elles, contrairement aux fluides réels dans lesquels les particules interagissent à distance par les [[force de van der Waals|forces de van der Waals]]. Ainsi :
* si <math>Z < 1</math>, le volume du fluide réel est inférieur à celui du gaz parfait correspondant, les forces d'attraction entre particules l'emportent sur les forces de répulsion ;
* si <math>Z > 1</math>, le volume du fluide réel est supérieur à celui du gaz parfait correspondant, les forces de répulsion entre particules l'emportent sur les forces d'attraction ;
* si <math>Z = 1</math>, le fluide se comporte comme un gaz parfait, les forces d'attraction et de répulsion entre particules s'annulent mutuellement.

=== Variation avec la pression, courbe de Boyle-Mariotte ===

<span id="Figure 3">[[File:Isothermes de van der Waals - Amagat.jpg|vignette|350px|'''Figure 3''' - Isothermes de l'équation d'état de van der Waals dans un [[diagramme d'Amagat]]. Produit de la pression réduite par le volume réduit en fonction de la pression réduite.<br>En marron : courbe de Boyle-Mariotte ; en violet : isotherme de Boyle-Mariotte ; en rouge : isotherme critique.]]</span>

En dérivant le facteur de compressibilité par rapport à la pression, à température et quantité de matière constantes :

:<math>\left( {\partial Z \over \partial P} \right)_{T,n} = {1 \over nRT} \left( {\partial PV \over \partial P} \right)_{T,n}
= {P \over nRT} \left( {\partial V \over \partial P} \right)_{T,n} + {V \over nRT}</math>

en introduisant le [[compressibilité|coefficient de compressibilité isotherme]] <math>\chi_T = -{1 \over V} \left( {\partial V \over \partial P} \right)_{T,n}</math> et en remarquant que pour un gaz parfait <math>\chi_T^\bullet = {1 \over P}</math>, on obtient :

<center>'''Variation isotherme : '''<math>\left( {\partial Z \over \partial P} \right)_{T,n} = -{Z \over P} \left( {\chi_T \over \chi_T^\bullet} - 1 \right)</math></center>

Il s'agit de la pente des isothermes tracées dans le [[diagramme d'Amagat]] ci-dessus :
* lorsque cette pente est négative, le fluide est plus compressible que le gaz parfait correspondant : <math>\chi_T > \chi_T^\bullet</math> ; lors d'une compression les forces d'attraction entre molécules l'emportent sur les forces de répulsion et favorisent la compression ; ceci s'observe dans les gaz à basse pression ;
* inversement, lorsque cette pente est positive, le fluide est moins compressible que le gaz parfait correspondant : <math>\chi_T < \chi_T^\bullet</math> ; lors d'une compression les forces de répulsion entre molécules l'emportent sur les forces d'attraction et s'opposent à la compression ; ceci s'observe dans les gaz à haute pression et les liquides ;
* lorsque cette pente est nulle, le fluide a la même compressibilité que le gaz parfait correspondant : <math>\chi_T = \chi_T^\bullet = {1 \over P}</math> ; les forces d'attraction et de répulsion entre molécules se compensent lors de la compression ; dans le diagramme d'Amagat, les points correspondants sont les points auxquels la tangente à l'isotherme est une droite horizontale.

Pour un gaz parfait, selon la [[loi de Boyle-Mariotte]], à température et quantité de matière constantes, <math>PV = \text{constante}</math>, soit <math>\left( {\partial PV \over \partial P} \right)_{T,n} = 0</math>. Pour un fluide réel, le [[lieu géométrique|lieu]] des points des isothermes du diagramme d'Amagat de tangente horizontale (appelés ''points de Boyle-Mariotte'') est appelé ''courbe de Boyle-Mariotte''<ref>''Thermodynamique et énergétique, Volume 1'', Lucien Borel, Daniel Favrat, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2005, {{ISBN|2-88074-545-4}}, {{p.}}264.</ref>. En effet, en tout point de tangente horizontale dans le diagramme d'Amagat, <math>\left( {\partial Z \over \partial P} \right)_{T,n} = 0</math> équivaut à <math>\left( {\partial PV \over \partial P} \right)_{T,n} = 0</math>.

Il existe une température, appelée ''température de Boyle-Mariotte'', au-delà de laquelle les isothermes dans le diagramme d'Amagat n'ont plus de point de tangente horizontale et sont [[Fonction monotone|strictement croissantes]]. L'isotherme correspondante est appelée ''isotherme de Boyle-Mariotte''. La courbe et l'isotherme de Boyle-Mariotte sont représentées sur la [[#Figure 3|figure 3]] pour un gaz de van der Waals.

=== Variation avec le volume ===

En utilisant la relation :

:<math>\left( {\partial Z \over \partial V} \right)_{T,n} = \left( {\partial Z \over \partial P} \right)_{T,n} \left( {\partial P \over \partial V} \right)_{T,n}</math>

on obtient :

<center>'''Variation isotherme : '''<math>\left( {\partial Z \over \partial V} \right)_{T,n} = -{Z \over V} \left( {K \over K^\bullet} - 1 \right)</math></center>

avec :
* <math>K = -V \left( {\partial P \over \partial V} \right)_{T,n} = 1 / \chi_T</math> le [[module d'élasticité isostatique]] du corps réel ;
* <math>K^\bullet = 1 / \chi_T^\bullet = P</math> le module d'élasticité isostatique du gaz parfait.

=== Variation avec la température ===

En dérivant le facteur de compressibilité par rapport à la température, à pression et quantité de matière constantes :

:<math>\left( {\partial Z \over \partial T} \right)_{P,n} = {P \over nR} \left( {\partial \over \partial T} {V \over T} \right)_{P,n}
= {P \over nRT} \left( {\partial V \over \partial T} \right)_{P,n} - {PV \over nRT^2}</math>

en introduisant le [[coefficient de dilatation isobare]] <math>\alpha = {1 \over V} \left( {\partial V \over \partial T} \right)_{P,n}</math> et en remarquant que pour un gaz parfait <math>\alpha^\bullet = {1 \over T}</math>, on obtient :

<center>'''Variation isobare : '''<math>\left( {\partial Z \over \partial T} \right)_{P,n} = {Z \over T} \left( {\alpha \over \alpha^\bullet} - 1\right)</math></center>

Ainsi :
* si <math>\alpha > \alpha^\bullet</math>, alors <math>Z</math> est croissant avec la température à pression constante, ce qui est le cas des gaz à basse pression ;
* si <math>\alpha < \alpha^\bullet</math>, alors <math>Z</math> est décroissant avec une température croissante à pression constante, ce qui est le cas des gaz à haute pression ;
* si <math>\alpha = \alpha^\bullet = {1 \over T}</math>, alors <math>\left( {\partial Z \over \partial T} \right)_{P,n} = 0</math>, équivalant à <math>\left( {\partial \over \partial T} {V \over T} \right)_{P,n} = 0</math> : en ces points le gaz suit la [[loi de Charles]] des gaz parfaits.

En dérivant le facteur de compressibilité par rapport à la température, à volume et quantité de matière constants :

:<math>\left( {\partial Z \over \partial T} \right)_{V,n} = {V \over nR} \left( {\partial \over \partial T} {P \over T} \right)_{V,n}
= {V \over nRT} \left( {\partial P \over \partial T} \right)_{V,n} - {PV \over nRT^2}</math>

en introduisant le [[Coefficients_calorimétriques_et_thermoélastiques#Coefficients_thermoélastiques|coefficient de compression isochore]] <math>\beta = {1 \over P} \left( {\partial P \over \partial T} \right)_{V,n}</math> et en remarquant que pour un gaz parfait <math>\beta^\bullet = {1 \over T}</math>, on obtient :

<center>'''Variation isochore : '''<math>\left( {\partial Z \over \partial T} \right)_{V,n} = {Z \over T} \left( {\beta \over \beta^\bullet} - 1\right)</math></center>

Ainsi :
* si <math>\beta > \beta^\bullet</math>, alors <math>Z</math> est croissant avec la température à volume constant ;
* si <math>\beta < \beta^\bullet</math>, alors <math>Z</math> est décroissant avec une température croissante à volume constant ;
* si <math>\beta = \beta^\bullet = {1 \over T}</math>, alors <math>\left( {\partial Z \over \partial T} \right)_{V,n} = 0</math>, équivalant à <math>\left( {\partial \over \partial T} {P \over T} \right)_{V,n} = 0</math> : en ces points le gaz suit la [[loi de Gay-Lussac]] des gaz parfaits.

=== Variation avec la composition ===

Soit un mélange de [[quantité de matière]] globale <math>n = \sum_i n_i</math> avec <math>n_i</math> la quantité du constituant <math>i</math>.

En dérivant le facteur de compressibilité par rapport à la quantité de matière globale <math>n</math> à pression, température et [[fraction molaire|fractions molaires]] <math>x_i = n_i / n</math> des constituants constantes :

:<math>\left( {\partial Z \over \partial n} \right)_{P,T,x} = {P \over RT} \left( {\partial \over \partial n} {V \over n} \right)_{P,T,x}</math>

en introduisant le volume [[grandeur molaire|molaire]] <math>\bar V = V / n</math> et en remarquant que celui-ci ne dépend que de la pression, de la température et des fractions molaires, mais pas de la quantité de matière globale, soit <math>\bar V = V \! \left( P,T,x \right)</math> et <math>\left( {\partial \bar V \over \partial n} \right)_{P,T,x} = 0</math>, on obtient :

<center>'''Variation selon la quantité de matière totale : '''<math>\left( {\partial Z \over \partial n} \right)_{P,T,x} = 0</math></center>

Le facteur de compressibilité étant une grandeur intensive, il ne dépend pas de la quantité globale de matière du mélange.

En dérivant le facteur de compressibilité par rapport à la quantité de l'un des constituants <math>i</math> du mélange, à pression, température et quantités des autres constituants constantes :

:<math>\left( {\partial Z \over \partial n_i} \right)_{P,T,n_{j \neq i}}
= {P \over RT} \left( {\partial \over \partial n_i} {V \over n} \right)_{P,T,n_{j \neq i}}
= {P \over nRT} \left( {\partial V \over \partial n_i} \right)_{P,T,n_{j \neq i}} - {PV \over n^2RT}</math>

en introduisant le volume [[grandeur molaire partielle|molaire partiel]] <math>\bar V_i = \left( {\partial V \over \partial n_i} \right)_{P,T,n_{j \neq i}}</math> du constituant <math>i</math> et le volume molaire <math>\bar V = V / n</math> du mélange réel, on obtient :

<center>'''Variation selon la quantité d'un constituant : '''<math>\left( {\partial Z \over \partial n_i} \right)_{P,T,n_{j \neq i}} = {Z \over n} \left( {\bar V_i \over \bar V} - 1\right)</math></center>

Ainsi :
* si <math>\bar V_i > \bar V</math>, alors <math>Z</math> est croissant avec la quantité de <math>i</math> croissante à pression et température constantes ;
* si <math>\bar V_i < \bar V</math>, alors <math>Z</math> est décroissant avec la quantité de <math>i</math> croissante à pression et température constantes ;
* si <math>\bar V_i = \bar V</math>, alors <math>\left( {\partial Z \over \partial n_i} \right)_{P,T,n_{j \neq i}} = 0</math> : en ces points le gaz suit la [[loi d'Avogadro]] des gaz parfaits, pour lesquels <math>\bar V_i = \bar V</math>.

== Utilisation ==

=== Calcul de la masse volumique ===

Si l'on connait le facteur de compressibilité d'un corps (tabulé dans la littérature, voir par exemple la table donnée pour l'air plus bas), le volume molaire de ce corps (pur ou mélange, liquide ou gaz) se calcule selon :

:<math>\bar V = Z {RT \over P}</math>

Puisque la [[masse volumique]] <math>\rho</math> se calcule selon :

:<math>\rho = {M \over \bar V}</math>

avec <math>M</math> la [[masse molaire]] du corps, on a :

<center>'''Masse volumique : '''<math>\rho = {1 \over Z} {PM \over RT}</math></center>

où <math>\rho^\bullet = {PM \over RT}</math> est la masse volumique du gaz parfait correspondant au corps réel (mêmes pression, température et composition).

;Unités : Selon le [[Système international d'unités]] la pression est exprimée en Pa et la température en K. La masse molaire est généralement exprimée en g/mol (ou kg/kmol). La masse volumique calculée selon la formule ci-dessus est ainsi obtenue en {{nb|g/m3}} et doit être divisée par 1000 pour obtenir des {{nb|kg/m3}}.

=== Équations d'état ===

Le facteur de compressibilité est souvent utilisé comme variable dans les [[équation d'état|équations d'état]]<ref>{{lien web | langue=fr | auteur=Jacques Schwartzentruber | auteur institutionnel=[[École nationale supérieure des mines d'Albi-Carmaux]] | lire en ligne=https://nte.mines-albi.fr/Thermo/fr/co/uc_EOSusuelles.html | titre= Quelques équations d'état usuelles | site= nte.mines-albi.fr | date=11 mars 2021 | consulté le= 12 janvier 2022 | id=Schwartzentruber}}.</ref>, par exemple dans les diverses formes d'[[équation du viriel]] :

:<math>Z = 1 + {B_2 \over \bar V} + {B_3 \over \bar V^2} + {B_4 \over \bar V^3} + \cdots</math>
:<math>Z = 1 + C_2 \cdot P + C_3 \cdot P^2 + C_4 \cdot P^3 + \cdots</math>

ou dans les [[équation d'état cubique|équations d'état cubiques]], comme celles de [[équation d'état de van der Waals|van der Waals]] et de [[équation d'état de Redlich-Kwong|Redlich-Kwong]] :

:<math>Z^3 + c_2 Z^2 + c_1 Z + c_0 = 0</math>

ou encore dans les équations de Benedict–Webb–Rubin et de Lee-Kesler.

La [[loi des gaz parfaits]] revient à <math>Z = 1</math>.

=== Coefficient de fugacité ===
{{Article détaillé|Fugacité}}

Le [[coefficient de fugacité]] <math>\phi_i</math> est défini par le rapport de la [[fugacité]] <math>f_i</math> d'un corps <math>i</math>, pur ou dans un mélange, à la [[pression partielle]] de ce corps dans le mélange, soit <math>x_i P</math> avec <math>x_i</math> la fraction molaire du corps <math>i</math> : <math>\phi_i = {f_i \over x_i P}</math>. La pression partielle du corps <math>i</math> est la fugacité de ce corps dans le [[mélange de gaz parfaits]] de mêmes pression, température et composition que le mélange réel. Pour un corps <math>i</math>, pur ou dans un mélange, le coefficient de fugacité <math>\phi_i</math> peut se calculer :

* avec une [[équation d'état]] dans laquelle le volume <math>V</math> est exprimé explicitement en fonction de la pression <math>P</math>, de la température <math>T</math> et de la composition (nombre de moles <math>n_i</math> de chacun des constituants du mélange), <math>V = V \! \left( P,T,n\right)</math>, comme l'une des formes de l'[[équation du viriel]], selon :

<center><math>\ln \phi_i = \int_{0}^{P} \left[ n \left( {\partial Z \over \partial n_i} \right)_{P,T,n_{j \neq i}} + Z - 1 \right] {\mathrm{d}P \over P}</math></center>

* avec une équation d'état dans laquelle la pression <math>P</math> est exprimée explicitement en fonction du volume <math>V</math>, de la température <math>T</math> et de la composition (nombre de moles <math>n_i</math> de chacun des constituants du mélange), <math>P = P \! \left( V,T,n\right)</math>, telle que les [[équation d'état cubique|équations d'état cubiques]], selon :

<center><math>\ln \phi_i = - \int_{+\infty}^{V} \left[ n \left( {\partial Z \over \partial n_i} \right)_{V,T,n_{j \neq i}} + Z - 1 \right] {\mathrm{d}V \over V} - \ln Z</math></center>

avec :

* <math>\left( {\partial Z \over \partial n_i} \right)_{P,T,n_{j \neq i}}</math> la [[dérivée partielle]] du facteur de compressibilité par rapport à la [[quantité de matière|quantité]] du corps <math>i</math>, à pression, température et quantités des corps <math>j</math> autres que <math>i</math> constants ;
* <math>\left( {\partial Z \over \partial n_i} \right)_{V,T,n_{j \neq i}}</math> la dérivée partielle du facteur de compressibilité par rapport à la quantité du corps <math>i</math>, à volume, température et quantités des corps <math>j</math> autres que <math>i</math> constants ;
* <math>n_i</math> le nombre de moles du corps <math>i</math> dans le mélange ;
* <math>n = \sum_{i = 1}^{N} n_i</math> la quantité de matière totale (nombre de moles total) dans le mélange.

Pour un gaz parfait <math>Z^\bullet = 1</math>, d'où <math>\ln \phi_i^\bullet = 0</math> et <math>\phi_i^\bullet = 1</math>.

=== Grandeurs résiduelles ===
{{Article détaillé|Grandeur résiduelle}}

Une grandeur résiduelle <math>X^\text{RES}</math> exprime l'écart entre une propriété [[Extensivité et intensivité (physique)|extensive]] <math>X</math> d'un fluide réel et la même propriété <math>X^\bullet</math> d'un gaz parfait dans les mêmes conditions de pression, température et composition que le fluide réel : <math>X^\text{RES} = X - X^\bullet</math>. Pour un corps pur ou un mélange, les [[grandeur résiduelle|grandeurs résiduelles]] peuvent se calculer :

* avec une équation d'état dans laquelle le volume <math>V</math> est exprimé explicitement en fonction de la pression <math>P</math>, de la température <math>T</math> et de la composition (nombre de moles <math>n_i</math> de chacun des constituants du mélange), <math>V = V \! \left( P,T,n\right)</math>, comme l'une des formes de l'[[équation du viriel]], selon :
*:
** [[enthalpie libre]] molaire résiduelle :
*:
*:<center><math>{\bar G^\text{RES} \over RT} = \int_{0}^{P} \left[ Z - 1 \right] {\mathrm{d} P \over P}</math></center>
*:
** [[Entropie (thermodynamique)|entropie]] molaire résiduelle :
*:
*:<center><math>{\bar S^\text{RES} \over R} = - \int_{0}^{P} \left[ T \left( {\partial Z \over \partial T} \right)_{P,n} + Z - 1 \right] {\mathrm{d} P \over P}</math></center>
*:
** [[enthalpie]] molaire résiduelle :
*:
*:<center><math>{\bar H^\text{RES} \over RT} = - \int_{0}^{P} \left[ T \left( {\partial Z \over \partial T} \right)_{P,n} \right] {\mathrm{d} P \over P}</math></center>
*:
** [[volume molaire]] résiduel :
*:
*:<center><math>Z^\text{RES} = {P \bar V^\text{RES} \over RT} = Z - 1</math></center>
*:
** [[énergie interne]] molaire résiduelle : 
*:
*:<center><math>{\bar U^\text{RES} \over RT} = - \int_{0}^{P} \left[ T \left( {\partial Z \over \partial T} \right)_{P,n} \right] {\mathrm{d} P \over P} - Z + 1</math></center>
*:
** [[énergie libre]] molaire résiduelle :
*:
*:<center><math>{\bar F^\text{RES} \over RT} = \int_{0}^{P} \left[ Z - 1 \right] {\mathrm{d} P \over P} - Z + 1</math></center>
*:
* avec une [[équation d'état]] dans laquelle la pression <math>P</math> est exprimée explicitement en fonction du volume <math>V</math>, de la température <math>T</math> et de la composition (nombre de moles <math>n_i</math> de chacun des constituants du mélange), <math>P = P \! \left( V,T,n\right)</math>, telle que les [[équation d'état cubique|équations d'état cubiques]], selon :
*:
** [[énergie libre]] molaire résiduelle :
*:
*:<center><math>{\bar F^\text{RES} \over RT} = - \int_{+\infty}^{V} \left[ Z - 1 \right] \, {\mathrm{d} V \over V} - \ln Z</math></center>
*:
** [[Entropie (thermodynamique)|entropie]] molaire résiduelle :
*:
*:<center><math>{\bar S^\text{RES} \over R} = \int_{+\infty}^{V} \left[ T \left( {\partial Z \over \partial T} \right)_{V,n} + Z - 1 \right] \, {\mathrm{d} V \over V} + \ln Z</math></center>
*:
** [[énergie interne]] molaire résiduelle :
*:
*:<center><math>{\bar U^\text{RES} \over RT} = \int_{+ \infty}^{V} \left[ T \left( {\partial Z \over \partial T} \right)_{V,n} \right] {\mathrm{d} V \over V}</math></center>
*:
** [[volume molaire]] résiduel :
*:
*:<center><math>Z^\text{RES} = {P \bar V^\text{RES} \over RT} = Z - 1</math></center>
*:
** [[enthalpie]] molaire résiduelle :
*:
*:<center><math>{\bar H^\text{RES} \over RT} = \int_{+ \infty}^{V} \left[ T \left( {\partial Z \over \partial T} \right)_{V,n} \right] {\mathrm{d} V \over V} + Z - 1</math></center>
*:
** [[enthalpie libre]] molaire résiduelle :
*:
*:<center><math>{\bar G^\text{RES} \over RT} = - \int_{+\infty}^{V} \left[ Z - 1 \right] \, {\mathrm{d} V \over V} + Z - 1 - \ln Z</math></center>

avec :
* <math>\left( {\partial Z \over \partial T} \right)_{P,n}</math> la [[dérivée partielle]] du facteur de compressibilité par rapport à la température du mélange, à pression et quantités de tous les constituants du mélange constantes ;
* <math>\left( {\partial Z \over \partial T} \right)_{V,n}</math> la dérivée partielle du facteur de compressibilité par rapport à la température du mélange, à volume et quantités de tous les constituants du mélange constants.

Pour un gaz parfait <math>Z^\bullet = 1</math>, toutes les grandeurs résiduelles sont nulles.

== Facteur de compressibilité de l'air ==

Le tableau suivant<ref name="Perry">{{Ouvrage|titre=Perry's chemical engineers' handbook|éditeur=MCGraw-Hill|année=1984|numéro d'édition=6|isbn=0-07-049479-7}} page 3-162.</ref> donne le facteur de compressibilité de l'air en fonction de la pression et de la température.

{| class="wikitable center"
|+ Facteur de compressibilité de l'air (valeurs expérimentales)<ref name="Perry"/>.
|-
| | 
| colspan="14" style="text-align:center;" | Pression absolue ({{unité|bar}})
|-
| style="text-align:center;" | Température ({{unité|K}})
| style="text-align:center;" | 1
| style="text-align:center;" | 5
| style="text-align:center;" | 10
| style="text-align:center;" | 20
| style="text-align:center;" | 40
| style="text-align:center;" | 60
| style="text-align:center;" | 80
| style="text-align:center;" | 100
| style="text-align:center;" | 150
| style="text-align:center;" | 200
| style="text-align:center;" | 250
| style="text-align:center;" | 300
| style="text-align:center;" | 400
| style="text-align:center;" | 500
|-
| style="text-align:center;" | 75
 | 0,0052
 | 0,0260
 | 0,0519
 | 0,1036
 | 0,2063
 | 0,3082
 | 0,4094
 | 0,5099
 | 0,7581
 | 1,0125
 | 
 | 
 | 
 | 
|-
| style="text-align:center;" | 80
 | 
 | 0,0250
 | 0,0499
 | 0,0995
 | 0,1981
 | 0,2958
 | 0,3927
 | 0,4887
 | 0,7258
 | 0,9588
 | 1,1931
 | 1,4139
 | 
 | 
|-
| style="text-align:center;" | 90
 | 0,9764
 | 0,0236
 | 0,0453
 | 0,0940
 | 0,1866
 | 0,2781
 | 0,3686
 | 0,4681
 | 0,6779
 | 0,8929
 | 1,1098
 | 1,3110
 | 1,7161
 | 2,1105
|-
| style="text-align:center;" | 100
 | 0,9797
 | 0,8872
 | 0,0453
 | 0,0900
 | 0,1782
 | 0,2635
 | 0,3498
 | 0,4337
 | 0,6386
 | 0,8377
 | 1,0395
 | 1,2227
 | 1,5937
 | 1,9536
|-
| style="text-align:center;" | 120
 | 0,9880
 | 0,9373
 | 0,8860
 | 0,6730
 | 0,1778
 | 0,2557
 | 0,3371
 | 0,4132
 | 0,5964
 | 0,7720
 | 0,9530
 | 1,1076
 | 1,5091
 | 1,7366
|-
| style="text-align:center;" | 140
 | 0,9927
 | 0,9614
 | 0,9205
 | 0,8297
 | 0,5856
 | 0,3313
 | 0,3737
 | 0,4340
 | 0,5909
 | 0,7699
 | 0,9114
 | 1,0393
 | 1,3202
 | 1,5903
|-
| style="text-align:center;" | 160
 | 0,9951
 | 0,9748
 | 0,9489
 | 0,8954
 | 0,7803
 | 0,6603
 | 0,5696
 | 0,5489
 | 0,6340
 | 0,7564
 | 0,8840
 | 1,0105
 | 1,2585
 | 1,4970
|-
| style="text-align:center;" | 180
 | 0,9967
 | 0,9832
 | 0,9660
 | 0,9314
 | 0,8625
 | 0,7977
 | 0,7432
 | 0,7084
 | 0,7180
 | 0,7986
 | 0,9000
 | 1,0068
 | 1,2232
 | 1,4361
|-
| style="text-align:center;" | 200
 | 0,9978
 | 0,9886
 | 0,9767
 | 0,9539
 | 0,9100
 | 0,8701
 | 0,8374
 | 0,8142
 | 0,8061
 | 0,8549
 | 0,9311
 | 1,0185
 | 1,2054
 | 1,3944
|-
| style="text-align:center;" | 250
 | 0,9992
 | 0,9957
 | 0,9911
 | 0,9822
 | 0,9671
 | 0,9549
 | 0,9463
 | 0,9411
 | 0,9450
 | 0,9713
 | 1,0152
 | 1,0702
 | 1,1990
 | 1,3392
|-
| style="text-align:center;" | 300
 | 0,9999
 | 0,9987
 | 0,9974
 | 0,9950
 | 0,9917
 | 0,9901
 | 0,9903
 | 0,9930
 | 1,0074
 | 1,0326
 | 1,0669
 | 1,1089
 | 1,2073
 | 1,3163
|-
| style="text-align:center;" | 350
 | 1,0000
 | 1,0002
 | 1,0004
 | 1,0014
 | 1,0038
 | 1,0075
 | 1,0121
 | 1,0183
 | 1,0377
 | 1,0635
 | 1,0947
 | 1,1303
 | 1,2116
 | 1,3015
|-
| style="text-align:center;" | 400
 | 1,0002
 | 1,0012
 | 1,0025
 | 1,0046
 | 1,0100
 | 1,0159
 | 1,0229
 | 1,0312
 | 1,0533
 | 1,0795
 | 1,1087
 | 1,1411
 | 1,2117
 | 1,2890
|-
| style="text-align:center;" | 450
 | 1,0003
 | 1,0016
 | 1,0034
 | 1,0063
 | 1,0133
 | 1,0210
 | 1,0287
 | 1,0374
 | 1,0614
 | 1,0913
 | 1,1183
 | 1,1463
 | 1,2090
 | 1,2778
|-
| style="text-align:center;" | 500
 | 1,0003
 | 1,0020
 | 1,0034
 | 1,0074
 | 1,0151
 | 1,0234
 | 1,0323
 | 1,0410
 | 1,0650
 | 1,0913
 | 1,1183
 | 1,1463
 | 1,2051
 | 1,2667
|-
| style="text-align:center;" | 600
 | 1,0004
 | 1,0022
 | 1,0039
 | 1,0081
 | 1,0164
 | 1,0253
 | 1,0340
 | 1,0434
 | 1,0678
 | 1,0920
 | 1,1172
 | 1,1427
 | 1,1947
 | 1,2475
|-
| style="text-align:center;" | 800
 | 1,0004
 | 1,0020
 | 1,0038
 | 1,0077
 | 1,0157
 | 1,0240
 | 1,0321
 | 1,0408
 | 1,0621
 | 1,0844
 | 1,1061
 | 1,1283
 | 1,1720
 | 1,2150
|-
| style="text-align:center;" | 1000
 | 1,0004
 | 1,0018
 | 1,0037
 | 1,0068
 | 1,0142
 | 1,0215
 | 1,0290
 | 1,0365
 | 1,0556
 | 1,0744
 | 1,0948
 | 1,1131
 | 1,1515
 | 1,1889
|}

Ces valeurs sont représentées sur les graphes suivants.

<gallery caption="Facteur de compressibilité de l'air en fonction de la pression.">
Compressibility Factor of Air 75-200 K.png|Isothermes entre 75 et {{unité|200 K}}.
Compressibility Factor of Air 250 - 1000 K.png|Isothermes entre 250 et {{unité|1000 K}}.
</gallery>

== Voir aussi ==

=== Notes et références ===
<references />

=== Bibliographie ===

* {{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Jean|nom1=Vidal|titre=Thermodynamique : application au génie chimique et à l'industrie pétrolière|éditeur=[[Technip|Éditions Technip]]|collection=Publications de l'[[IFP Énergies nouvelles|Institut français du pétrole]].|lieu=Paris|année=1997|pages totales=500|isbn=978-2-7108-0715-5|oclc=300489419|lire en ligne=http://www.worldcat.org/title/thermodynamique-application-au-genie-chimique-et-a-lindustrie-petroliere/oclc/300489419/viewport}}.
* {{ouvrage|langue=fr|auteur1=Christophe Coquelet|auteur2=Dominique Richon|titre=Propriétés thermodynamiques|sous-titre=Détermination pour les fluides purs|éditeur=[[Éditions techniques de l'ingénieur|Techniques de l'ingénieur]]|collection = base documentaire ''Thermodynamique et énergétique'', pack ''Physique énergétique'', univers : ''Énergies''|volume= BE 8030|passage=1-8|année=2007}}.
* {{ouvrage|langue=fr|auteur=Jean-Pierre Corriou|titre=Thermodynamique chimique|sous-titre=Diagrammes thermodynamiques|éditeur=[[Éditions techniques de l'ingénieur|Techniques de l'ingénieur]]|collection= base documentaire ''Thermodynamique et cinétique chimique'', pack ''Opérations unitaires. Génie de la réaction chimique'', univers ''Procédés chimie - bio - agro''|volume= J 1026|passage=1-30|année=1985|id=Corriou1026}}.
* {{Ouvrage|langue=fr |auteur1=Roland Solimando |auteur2=Louis Schuffenecker |auteur3=Jean-Noël Jaubert |titre=Propriétés thermodynamiques du corps pur |éditeur=[[Éditions techniques de l'ingénieur|Techniques de l'ingénieur]] |numéro dans collection=AF 050 |année=2000 |passage=8 |isbn= |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=B2wLOugWiDIC&pg=PA5}}.

=== Articles connexes ===

* [[Coefficients calorimétriques et thermoélastiques]]
* [[Diagramme d'Amagat]]
* [[Équation d'état cubique]]
* [[Loi des états correspondants]]

{{Palette Lois des gaz}}

{{portail|physique}}

[[Catégorie:Grandeur thermodynamique]]