Voir la source de Faisceau (géométrie)

{{Voir homonymes|Faisceau}}
{{confusion|Fibré}}
[[File:Apollonian circles.svg|thumb|Les [[cercles d'Apollonius]], deux faisceaux orthogonaux de cercles]]

En [[géométrie]], un '''faisceau''' est une famille d'objets géométriques partageant une propriété commune, par exemple l'ensemble de droites passant par un même point dans le [[plan (mathématiques)|plan]], ou l'ensemble de cercles passant par deux points dans le plan.

Si la définition d'un faisceau est assez vague, la caractéristique commune est que le faisceau est complètement déterminé par deux de ses éléments. De façon analogue, un ensemble d'objets géométriques déterminés par trois éléments quelconques est appelé un '''[[fibré]]'''<ref name=Young40>{{ouvrage|lang=en|prénom=John Wesley|nom=Young|lien auteur=John Wesley Young|année=1971|origyear=1930|titre=Projective Geometry|éditeur=Mathematical Association of America|series=Carus Monograph #4}}.</ref>. Ainsi, l'ensemble de toutes les droites passant par un point de l'espace 3D est un fibré de droites, deux d'entre elles caractérisant un faisceau de droites. Pour appuyer la nature de la dimension d'un faisceau, on parle parfois de ''faisceau plat''<ref name="Halsted">{{ouvrage|lang=en|nom=Halsted|prénom=George Bruce|lien auteur=G. B. Halsted|titre=Synthetic Projective Geometry|année=1906|éditeur=New York Wiley|url=https://archive.org/details/syntheticproject00halsuoft}}.</ref>.

Tout objet géométrique peut être utilisé comme un faisceau. Les plus communs sont des droites, des plans, des cercles, des coniques, des sphères et des familles de courbes. Les points peuvent être utilisés : un faisceau de points est l'ensemble de tous les points sur une droite donnée<ref name=Young40 />. Un terme plus commun pour cet ensemble est une {{refsou|''étendue'' de points}}.

== {{ancre|Droites}}Faisceau de droites ==
[[File:Lines.svg|thumb|right|Faisceau de droites passant par le point A]]

Dans un [[plan (géométrie)|plan]], soit {{mvar|u}} et {{mvar|v}} deux droites sécantes. On supposera pour aider que {{mvar|u}} a pour équation {{math|1=''aX'' + ''bY'' + ''c'' = 0}} et {{mvar|v}} a pour équation {{math|1=''a'X'' + ''b'Y'' + ''c′'' = 0}}. Alors
:<math>\lambda u + \mu v = 0,</math>
représente, pour des scalaires {{mvar|λ}} et {{mvar|μ}} bien choisis, toute droite passant par l'intersection de {{mvar|u}} et {{mvar|v}}. Cet ensemble de droites passant par un point commun est un [[faisceau de droites]]<ref>{{ouvrage|lang=en|prénom=Dan|nom=Pedoe|titre=Geometry /A Comprehensive Course|année=1988|origyear=1970|éditeur=Dover|isbn=0-486-65812-0}}.</ref>, et ce point commun est appelé ''sommet'' du faisceau.

Dans un [[plan affine]] avec la [[Parallélisme (géométrie)|variante réflexive du parallélisme]], un ensemble de droites parallèles forme une [[classe d'équivalence]] appelée un ''faisceau de droites parallèles''<ref>{{ouvrage|lang=en|prénom=E.|nom=Artin|lien auteur=Emil Artin|titre=Geometric Algebra|année=1957|éditeur=Interscience Publishers}}.</ref>. Cette terminologie est cohérente avec la définition précédente car dans l'unique extension projective du plan affine à un [[plan projectif]] un [[point isolé]] ([[point à l'infini]]) est ajouté à chaque droite dans le faisceau de droites parallèles, ce qui correspond au sommet du faisceau comme précisé au-dessus mais dans le plan projectif.

== {{ancre|Plans}}Faisceau de plans ==
Un '''faisceau de plans''' est l'ensemble des plans passant par une droite de l'espace, appelé l{{'}}''axe'' du faisceau. Le faisceau est parfois appelé '''faisceau axial'''<ref name="Halsted"/> ou '''éventail de plans''' ou une ''gerbe de plans''<ref name="Woods">{{ouvrage|lang=en|prénom=Frederick S.|nom=Woods|titre=Higher Geometry / An introduction to advanced methods in analytic geometry|année=1961|origyear=1922|éditeur=Dover}}.</ref>. Par exemple, les méridiennes d'un globe sont définies par le faisceau de plans sur l'axe de rotation de la Terre.

Deux plans sécants se croisent le long d'une droite de l'espace, et ainsi déterminent l'axe et donc l'ensemble des plans du faisceau.

Dans des espaces de dimensions supérieures, un '''faisceau d'hyperplans''' est constitué de l'ensemble des hyperplans contenant un sous-espace de dimension 2. Un tel faisceau est également déterminé par deux de ses éléments.

== {{ancre|Cercles}}Faisceau de cercles ==
{{article détaillé|Faisceau de cercles}}
Toute paire de cercles dans le plan ont un [[axe radical]] commun, qui est la droite constituée de tous les points de même [[Puissance d'un point par rapport à un cercle|puissance]] par rapport aux deux cercles. Un '''faisceau de cercles''' (ou '''système coaxial''') est l'ensemble de tous les cercles du plan partageant le même axe radical<ref name="Johnson">{{ouvrage|lang=en|prénom=Roger A.|nom=Johnson|titre=Advanced Euclidean Geometry|année=2007|origyear=1929|éditeur=Dover|isbn=978-0-486-46237-0}}.</ref>. Pour être inclusif, on considère que les cercles concentriques ont la [[droite à l'infini]] pour axe radical.

Il existe cinq types de faisceaux de cercles - certains auteurs en regroupent certains pour les réduire à trois<ref>{{ouvrage|lang=en| nom=Schwerdtfeger | prénom=Hans | lien auteur = Hans Schwerdtfeger | titre=Geometry of Complex Numbers: Circle Geometry, Moebius Transformation, Non-Euclidean Geometry | lien titre = Geometry of Complex Numbers | éditeur=Dover | année=1979 |origyear=1962| pages=8–10}}.</ref>, les [[cercles d'Apollonius]] correspondent à deux d'entre eux. Chaque type est déterminé par deux cercles dits ''générateurs'' du faisceau. Par une description algébrique, il est possible que les équations admettent des solutions imaginaires. On compte :
* les ''faisceaux elliptiques'' (en rouge sur la figure), définis par deux générateurs qui croisent en deux points exactement. Chaque cercle d'un faisceau elliptique passe par ces deux points. Il ne compte aucun cercle imaginaire ;
* les ''faisceaux hyperboliques'' (en bleu sur la figure), définis par deux générateurs qui ne croisent pas. Ils comptent des cercles réels, des cercles imaginaires, et deux points, cas dégénérés, appelés ''points de Poncelet'' du faisceau. Chaque point du plan appartient à exactement un cercle du faisceau ;
* les ''faisceaux paraboliques'' (comme cas limite) est défini dans le cas où les deux cercles générateurs sont tangents en un seul point. Un faisceau est une famille de cercles réels, tous tangents aux autres en un point commun. Le cercle dégénéré, de rayon nul et donc réduit à un point, appartient aussi au faisceau ;
* une famille de cercles concentriques en un centre commun (peut être rattaché au cas hyperbolique en plaçant le deuxième point à l'infini) ;
* une famille de droites passant par un point commun ; on peut le ramener au cas elliptique en les voyant comme des cercles qui passent tous par le point à l'infini<ref name="Johnson"/>.

=== Propriétés ===
Un cercle orthogonal à deux cercles fixes est orthogonal à tous les cercles du faisceau déterminé par deux cercles fixes<ref name="Johnson"/>.

Les cercles orthogonaux à deux cercles fixes forment un faisceau de cercles<ref name="Johnson"/>.

Deux cercles déterminent deux faisceaux, l'unique faisceau qui les contient tous les deux, et le [[faisceau de cercles]] qui leur sont orthogonaux. L'axe radical d'un faisceau est fait des centres des cercles de l'autre faisceau. Si un faisceau est de type elliptique, l'autre est hyperbolique, et inversement<ref name="Johnson"/>.

L'axe radical de tout faisceau de cercles, vu comme un cercle de rayon infini, appartient au faisceau.
Chaque triplet de cercles appartient à un faisceau commun si les cercles pris deux à deux ont même axe radical et si leurs centres sont alignés.

=== Espace projectif de cercles ===

Il existe une correspondance naturelle entre les cercles dans le plan et les points de l'[[espace projectif]] de dimension 3 ; une droite dans cet espace correspond à une famille de cercles continue unidimensionnel, ainsi un faisceau de points dans cet espace est un faisceau de cercles dans le plan.

Plus spécifiquement, l'équation d'un cercle de rayon {{mvar|r}} centré en un point {{math|(''p'' , ''q'')}},
:<math> (x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2,</math>
peut se réécrire en
:<math> \alpha(x^2 + y^2) - 2\beta x - 2\gamma y + \delta = 0,</math>
avec {{math|1=''α''&nbsp;=&nbsp;1, ''β''&nbsp;=&nbsp;''p'', ''γ''&nbsp;=&nbsp;''q'', et ''δ''&nbsp;=&nbsp;''p''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''q''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;''r''<sup>2</sup>}}.
Dans cette forme, multiplier le quadruplet ({{math|''α'', ''β'', ''γ'', ''δ''}}) par un scalaire produit un autre quadruplet qui représente le même cercle ; ainsi, ces quadruplets peuvent être vus comme des [[coordonnées homogènes]] pour l'espace de cercles<ref>{{article |lang=en| doi=10.2307/2691113 | titre=Circles, Vectors, and Linear Algebra | prénom1=Richard E. | nom1=Pfeifer | prénom2=Cathleen | nom2=Van Hook | journal=Mathematics Magazine | volume=66 | numéro=2 | année=1993 | pages=75–86 | jstor=2691113}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|prénom1=Pierre|nom1=Samuel|titre=Géométrie projective|éditeur=Presses universitaires de France|collection=Mathématiques|date=1986|passage=56|isbn=978-2-13-039367-2|consulté le=2025-02-16}}</ref>. Des droites sont représentées par une équation de ce type avec {{math|1=''α''&nbsp;=&nbsp;0}} et doit être vue comme une forme dégénérée d'un cercles. Si {{math|''α''&nbsp;≠&nbsp;0}}, on peut résoudre pour {{math|1=''p''&nbsp;=&nbsp;''β''/''α'', ''q''&nbsp;=&nbsp;''γ''/''α''}} et {{math|1=''r''&nbsp;={{racine|''p''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''q''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;''δ''/''α''}}}} ;  la formule précédente peut donner {{math|1=''r''&nbsp;=&nbsp;0}} (cas correspondant au cercles réduit à un point) ou {{mvar|r}} égal à un [[nombre imaginaire]] (auquel cas le quadruplet ({{math|''α'', ''β'', ''γ'', ''δ''}}) est dit représentant un ''cercle imaginaire'').

L'ensemble de combinaisons affines de deux cercles ({{math|''α''<sub>1</sub>,''β''<sub>1</sub>,''γ''<sub>1</sub>,''δ''<sub>1</sub>}}), ({{math|''α''<sub>2</sub>,''β''<sub>2</sub>,''γ''<sub>2</sub>,''δ''<sub>2</sub>}}) étant donné, l'ensemble de cercles représenté par le quadruplet
:<math> z(\alpha_1,\beta_1,\gamma_1,\delta_1)+(1-z)(\alpha_2,\beta_2,\gamma_2,\delta_2)</math>
pour une valeur du paramètre {{mvar|z}}, forme un faisceau ; les deux cercles étant les générateurs du faisceau.

=== Cardioïde comme enveloppe d'un faisceau de cercles ===

[[File:Kardioide-kreise.svg|thumb|Une cardioïde comme enveloppe d'un faisceau de cercles]]
{{article détaillé|Cardioïde}}
Un autre type de faisceau de cercles peut être obtenu ainsi. On considère un cercle donné (dit ''générateur'') et un point {{mvar|P}} sur le cercle générateur. L'ensemble de tous les cercles passant par {{mvar|P}} et dont les centres sont sur le cercle générateur forme un faisceau de cercles. L'[[Enveloppe (géométrie)|enveloppe]] de ce faisceau est une [[cardioïde]].
{{clr}}

== {{ancre|Sphères}} Faisceau de sphères ==
Une sphère est uniquement déterminée par quatre points non coplanaires. Plus généralement, une sphère est uniquement déterminée par quatre conditions telles que passer par un point, être tangent à un plan, etc<ref name="Albert2016">{{ouvrage|lang=en | prénom=A. Adrian | nom=Albert|lien auteur=Abraham Adrian Albert | titre=Solid Analytic Geometry | année=2016 | origyear=1949 | éditeur=Dover | isbn=978-0-486-81026-3}}.</ref>. Cette propriété est analogue aux trois points non alignés qui déterminent un cercle unique dans le plan.

Par conséquent, on peut déterminer une sphère par un cercle (qui appartient à la sphère) et un point non [[coplanaire]] du cercle.

En examinant les [[Petit cercle|solutions communes aux équations de deux sphères]], on peut voir que deux sphères se croisent le long d'un cercle et le plan contenant ce cercle est appelé '''plan radical''' des deux sphères qui s'intersectent<ref name="Albert2016"/>. bien que le plan radical soit réel, le cercle peut être imaginaire (les sphères n'ont aucun point réel en commun) ou consistent en un seul point (les sphères sont tangentes en ce point)<ref name="Woods"/>.

Si {{math|1=''f''(''x'', ''y'', ''z'') = 0}} et {{math|1=''g''(''x'', ''y'', ''z'') = 0}} sont les équation de deux sphères distinctes alors
:<math>\lambda f(x,y,z) + \mu g(x,y,z) = 0</math>
est l'équation d'une sphère pour des valeurs arbitraires des paramètres {{mvar|λ}} et {{mvar|μ}}. L'ensemble de toutes ces sphères satisfaisant cette équation est un  '''faisceau de sphères''' déterminé par les deux sphères originales. Dans cette définition, une sphère peut être un plan (rayon infini, centre à l'infini) et si les deux sphères sont des plans alors le faisceau est entièrement constitué de plans, sinon il n'y a qu'un plan (le plan radical) dans le faisceau<ref name="Woods"/>.

Si le faisceau de sphères n'est pas fait de plans, il y a alors trois types de faisceaux<ref name="Woods"/>:
* si les sphères se croisent le long d'un cercle réel {{mvar|C}}, alors le faisceau est constitué de toutes les sphères contenant {{mvar|C}}, y compris le plan radical. Les centres des sphères ordinaires du faisceau se trouvent sur une droite normale au plan radical et passant par le centre de {{mvar|C}} ;
* si les sphères se croisent sur un cercle imaginaire, toutes les sphères du faisceau passent aussi par ce cercle imaginaire mais vus comme des sphères ordinaires, elles sont disjointes (sans point en commun). La droite des centres est normale au plan radical, qui est un plan réel du faisceau contenant le cercle imaginaire ;
* si les sphères sont tangentes en un point {{mvar|A}}, toutes les sphères du faisceau sont tangentes en {{mvar|A}} et le plan radical est le plan tangent passant par {{mvar|A}} et commun à toutes les sphère. La droite des centres est normale au plan radical en {{mvar|A}}.

Toutes les droites tangentes en un point fixe du plan radical aux sphères du faisceau ont la même longueur<ref name="Woods"/>.

Le plan radical est le lieu des centres de toutes les sphères qui sont orthogonales à toutes les sphères dans un faisceau. De plus, une sphère orthogonale à deux des sphères d'un faisceau est orthogonal à toutes les sphères et son centre se trouve sur le plan radical du faisceau<ref name="Woods"/>.

== {{ancre|Coniques}}Faisceau de coniques ==

Une [[conique]] (non dégénérée) est complètement déterminée par [[Théorème des cinq points|cinq points]] en position générale (aucun triplet de points alignés) dans un plan et le système de coniques qui passent par un quadruplet de quatre points (également coplanaires et sans triplet de points alignés) est appelé un '''faisceau de coniques'''<ref>{{ouvrage|lang=en|prénom=T. E.|nom=Faulkner|titre=Projective Geometry|edition=2nd|url=https://books.google.com/books?id=3TwCIg_O2yMC|éditeur=Oliver and Boyd|lieu=Edinburgh|année=1952|isbn=9780486154893|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=3TwCIg_O2yMC&lpg=PP1&hl=cs}}.</ref>. Les quatre points communs sont appelés ''points de base'' du faisceau. Par chaque point autre qu'un point de base, il passe une unique conique du faisceau. On peut voir cette construction comme une généralisation du faisceau de cercles.

Dans un [[plan projectif]] défini sur un [[champ algébriquement fermé]], toute paire de coniques se croisent en quatre points (comptée avec leurs multiplicités) et ainsi, déterminent le faisceau de coniques à partir de ces quatre points. De plus, les quatre points de base déterminent trois paires de droites (le cas dégénérés par les points de base, chaque droite de la paire contenant exactement deux points de base) et ainsi chaque faisceau de coniques contiendra au plus trois coniques dégénérées<ref>{{ouvrage|lang=en|prénom=Pierre|nom=Samuel|lien auteur=Pierre Samuel|titre=Projective Geometry|éditeur=Springer-Verlag|lieu=New York|année=1988|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]] (Readings in Mathematics)|isbn=0-387-96752-4|accès url=inscription|url=https://archive.org/details/projectivegeomet0000samu}}.</ref>.

Un faisceau de coniques peut être représenté algébriquement de la façon suivante : soient {{math|''C''<sub>1</sub>}} et {{math|''C''<sub>2</sub>}} deux coniques distinctes dans un plan projectif défini sur un champ algébriquement clos {{mvar|K}}. Pour chaque paire {{math|''λ'', ''μ''}} d'éléments de {{mvar|K}}, tous deux non nuls, l'expression
:<math>\lambda C_1 + \mu C_2</math>
représente une conique dans le faisceau déterminé par {{math|''C''<sub>1</sub>}} et {{math|''C''<sub>2</sub>}}. Cette représentation symbolique peut être concrétisée avec un léger [[abus de notation]] (en utilisant la même notation pour désigner l'objet comme l'équation définissant l'objet). En considérant par exemple {{math|''C''<sub>1</sub>}}, vu comme une [[forme quadratique]] ternaire, alors {{math|1=''C''<sub>1</sub> = 0}} est l'équation de la "conique {{math|''C''<sub>1</sub>}}". Une autre réalisation concrète serait obtenue en voyant {{math|''C''<sub>1</sub>}} comme une [[Coordonnées homogènes|matrice 3×3 symétrique]] qui la représente. Si {{math|''C''<sub>1</sub>}} et {{math|''C''<sub>2</sub>}} ont de telles réalisations concrètes alors toutes les coniques du faisceau peuvent l'être. Puisque la définition repose sur des coordonnées homogènes dans un plan projectif, deux représentations concrètes (par les équation ou les matrices) donnent la même conique si elles diffèrent d'une constante multiplicative non nulle.

=== Propriétés ===
[[File:ConicPencil.svg|thumb|500px|Un faisceau de coniques passant par quatre points en position générale (en rouge). Dans le cas général, le faisceau compte deux paraboles (en vert) et une unique hyperbole équilatère (en cyan).]]

Dans le cas général, un faisceau de coniques contient deux paraboles, une unique hyperbole équilatère et trois paires de droites sécantes (cas dégénérés)<ref>http://www.math.chalmers.se/~ulfp/Teaching/pencil.pdf</ref>. Si les deux paraboles ont des axes colinéaires, le faisceau compte une infinité de paraboles. 

Si les quatre points forment un [[Quadrangle_complet#Quadrangle_orthocentrique|système orthocentrique]], alors le faisceau n'est composé que d'hyperboles équilatères ; c'est ce qu'on appelle un ''faisceau de Poncelet''<ref>{{article |lang=en |titre=The Poncelet Pencil of Rectangular Hyperbolas |auteur=Roger C. Alperin |périodique=Forum Geometricorum |volume=10 |année=2010 |pages={{p.|15–20}} |ISSN=1534-1178 |lire en ligne=https://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201003.pdf}}.</ref>.

{{clr}}

== {{ancre|Courbes}}Faisceau de courbes ==
De façon plus générale, un '''faisceau''' est le cas spécial d'un [[système de diviseurs linéaire]] dans lequel l'espace du paramètre est une [[droite projective]]. Les faisceaux typiques de courbes dans le plan projectif, par exemple, sont écrits sous la forme
: <math> \lambda C + \mu C' = 0 \, </math>

avec {{math|1=''C'' = 0}}, {{math|1=''C''′ = 0}} des [[Courbe plane|courbes planes]].

== Historique ==
Desargues est crédité pour avoir défini le "faisceau de droites" (sous le nom d{{'}}''ordonnance de lignes'')<ref>{{lien web|lang=en|titre=Earliest Known Uses of Some Words of Mathematics|url=http://jeff560.tripod.com/p.html|consulté le=July 14, 2020}}.</ref>.

Un des premiers auteurs de la [[géométrie projective]] moderne [[G. B. Halsted]] (1853–1922) a introduit plusieurs termes, la plupart étant considéré aujourd'hui comme désuets{{qui|date=août 2020}}, comme ''copunctal'' ou ''faisceau plat'' pour décrire des droites se croisant en un même point<ref name="Halsted"/>.

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Ajustement de fibré]]
* [[Faisceau de Lefschetz]]
* [[Faisceau de matrices]]
* [[Faisceau-crayon]]
* [[Fibration]]
* [[Locus (mathématiques)|Locus]]

=== Liens externes ===
* {{Autorité}}
* {{Bases}}
* {{Dictionnaires}}
* {{MathWorld|titre=Pencil|nom_url=Pencil}}

== Références ==
{{Traduction/Référence|en|Pencil (geometry)|1053356148}}
{{Références}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Géométrie algébrique]]
[[Catégorie:Géométrie projective]]