Voir la source de Famille (mathématiques)

{{à recycler|thème=mathématiques|date=10 juillet 2018}}
{{Voir homonymes|Famille (homonymie)}}

En [[mathématiques]], la notion de '''famille''' est une généralisation de celle de [[Suite (mathématiques)|suite]], [[n-uplet|suite finie]] ou suite indexée par tous les [[Entier naturel|entiers naturels]]. Ainsi on pourra parler, en [[algèbre linéaire]], de la famille de vecteurs {{nobr|(''u''<sub>1</sub>, ''u''<sub>2</sub>, …, ''u''<sub>''n''</sub>),}} qui est une famille finie, ou de la famille [[Ensemble dénombrable|dénombrable]] (''u<sub>n</sub>'')<sub>''n'' ∈ '''N'''</sub>.

Une famille est toujours [[indexé]]e, même si elle l'est parfois implicitement, par exemple dans les locutions « [[famille libre]] » ou « [[famille génératrice]] ».

== Définition ==
Une famille (''x{{ind|i}}''){{ind|''i ''∈ ''I''}} d'[[Appartenance (mathématiques)|éléments]] ''x{{ind|i}} ''d'un ensemble ''E'', ''indexée'' par un ensemble ''I'', l'''index'', est une application définie sur ''I ''à valeurs dans ''E''. Il s'agit donc d'une terminologie et d'une notation, mieux adaptées à certains usages, pour la notion connue d'[[application (mathématiques)|application]] (ou de fonction). Les éléments de ''I ''sont appelés ''indices''. L'élément d'indice ''i'' de la famille (''x{{ind|i}}''){{ind|''i ''∈ ''I''}} est ''x{{ind|i}}''.

Quand on parle d’''élément d'une famille'', il s'agit d'un élément de l'ensemble image de la famille en tant qu'application : un élément de la famille (''x{{ind|i}}''){{ind|''i ''∈ ''I''}} est l'un des ''x{{ind|i}}''.

Quand on parle de la [[cardinalité (mathématiques)|''cardinalité'']]'' d'une famille'', il s'agit a priori de la cardinalité de l'ensemble de ses indices (ou de façon équivalente de la cardinalité du graphe de la famille en tant qu'application). Cela dit, on peut toujours préciser : famille sur un ensemble d'indices de cardinalité telle. Ainsi une ''famille finie'' est une famille dont l'ensemble des indices est [[ensemble fini|fini]], une ''famille infinie'' est une famille dont l'ensemble des indices est [[infini]], une ''famille dénombrable'' est une famille dont l'ensemble des indices est [[Ensemble dénombrable|dénombrable]], une ''famille vide ''est une famille indexée par l'[[ensemble vide]]{{etc}} Lorsqu'une famille est finie, l'ensemble de ses éléments est fini, mais la [[réciproque]] est fausse.

Quand on parle de [[Suite (mathématiques)|''suite'']], il s'agit d'une famille dont l'ensemble des indices est l'ensemble des entiers ou un sous-ensemble de celui-ci, fini ou infini (les ''n'' premiers entiers, les entiers non nuls…). Plus généralement, on pourra parler, en théorie des ensembles, de [[Suite (mathématiques)|suite]] pour une famille dont l'ensemble des indices est un [[nombre ordinal|ordinal]], ou même un ensemble « explicitement » [[ensemble bien ordonné|bien ordonné]].

== Théorie axiomatique des ensembles ==
En [[théorie des ensembles]], une application est le plus souvent identifiée à son graphe : c'est un ensemble de [[couple (mathématiques)|couples]]. Une application définie sur ''I'' est un ensemble de couples tels que chaque élément de ''I'' apparait une et une seule fois en première composante d'un couple de cet ensemble. C'est donc aussi la définition de famille d'ensembles indexée par ''I''. On se préoccupe peu de l'ensemble d'arrivée dans ce cas. On montre cependant que si (''A{{ind|i}}''){{ind|''i ''∈ ''I''}} est une famille d'ensembles, alors on peut bien parler de l'''ensemble'' des ''A{{ind|i}} '':
:{''A{{ind|i}}'' | ''i ''∈ ''I''}&nbsp; « est » un ensemble.
Cela peut se démontrer en utilisant essentiellement le fait qu'une application est un ensemble de couples et le [[schéma d'axiomes de compréhension]] (il faut revenir à la définition de couple en théorie des ensembles, et utiliser l'[[axiome de la réunion]]).

On peut donc définir la [[Union (mathématiques)|réunion]]<ref>{{Cori-Lascar II}}, {{p.|124}} de l'édition de 1993.</ref> d'une famille d'ensembles indexée ; si ''I ''= Ø, cette réunion est vide. Par contre parler de l'''[[intersection (mathématiques)|intersection]]'' de cette famille n'a de sens que si ''I ''≠ Ø.

== Famille indexée de parties d'un ensemble ==

Si les ''A<sub>i</sub>'' sont des parties d'un ensemble ''E'', on pose :

<center><math>\bigcup_{i\in I}A_i  =  \{ x \in E | \exists i \in I,\ x \in A_i \} \qquad ; \qquad \bigcap_{i\in I}A_i = \{ x \in E | \forall i \in I,\ x \in A_i \} \quad ; </math>

la restriction ''I ''≠ Ø pour l'intersection n'a pas lieu d'être dans ce cas ; si ''I ''= Ø, on a :

<math>\bigcup_{i\in I}A_i = \varnothing \qquad ; \qquad \bigcap_{i\in I}A_i = E.</math></center>

=== Propriétés diverses ===

Soit une famille <math>(A_i )_{i\in I}</math> de parties d'un ensemble, dont l'ensemble ''I'' des indices est lui-même réunion d'une famille <math>(J_m )_{m\in M}</math>. Alors :
<center><math>\bigcup_{i\in I}A_i = \bigcup_{m\in M} \left (  \bigcup_{i\in J_m}A_i \right ) \qquad ; \qquad \bigcap_{i\in I}A_i = \bigcap_{m\in M } \left (  \bigcap_{i\in J_m}A_i \right ).</math><ref>{{Bourbaki-Ensembles}}, p. EII.24.</ref></center>

Si <math>(A_i )_{i\in I}</math> et <math>(B_j )_{j\in J}</math> sont deux familles de parties d'un ensemble ''E'' :
I. <center><math>\complement_E \left ( \bigcup_{i\in I}A_i \right ) = \bigcap_{i\in I}\left (\complement_E A_i \right ) \qquad ; \qquad \complement_E \left ( \bigcap_{i\in I}A_i \right )  = \bigcup_{i\in I}\left (\complement_E A_i \right ).</math><ref>{{Bourbaki-Ensembles}}, p. EII.26.</ref></center>
II. <center><math>\left ( \bigcup_{i\in I}A_i \right ) \cap  \left  ( \bigcup_{j\in J}B_j \right ) = \bigcup_{i, j} \left ( A_i \cap B_j \right )\qquad ; \qquad \left ( \bigcap_{i\in I}A_i \right ) \cup \left ( \bigcap _{j\in J}B_j \right ) = \bigcap_{i, j} \left ( A_i \cup B_j \right ).</math></center>
III. <center><math>\left ( \bigcup_{i\in I}A_i \right ) \mathsf{X} \left ( \bigcup_{j\in J}B_j \right ) =  \bigcup_{i, j} \left ( A_i \mathsf{x} B_j \right ) \qquad ; \qquad \left ( \bigcap_{i\in I}A_i \right ) \mathsf{X} \left ( \bigcap_{j\in J}B_j \right ) = \bigcap_{i, j} \left ( A_i  \mathsf{x} B_j \right ).</math><ref>{{Halmos65}}, p. 46-47.</ref></center>

== Références ==
{{Références}}

== Articles connexes ==
* [[Produit cartésien]]
* [[Suite (mathématiques)|Suite]]
* [[Théorie des ensembles]]
{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Théorie des ensembles]]