Voir la source de File M/M/1

[[Fichier:Mm1 queue.svg|thumb|Une file M/M/1.]]
En [[théorie des files d'attente]], une '''file M/M/1''' est un type de file d'attente classique. Le terme M/M/1 utilise la [[notation de Kendall]], et signifie que les travaux à effectuer (ou les clients) arrivent à un intervalle qui suit une [[loi exponentielle]], sont mis en attente dans une [[File (structure de données)|file]] et sont traités dans l'ordre d'arrivée, selon une loi elle aussi exponentielle.

C'est l'une des files d'attente les plus élémentaires.

== Modélisation ==

La file M/M/1 est un exemple de [[processus de Markov à temps continu]]. Une file M/M/1 peut être vue comme un [[processus stochastique]]. Un état correspond à un nombre de clients dans la file (en attente ou en train d'être traités). Il y a donc une infinité d'états : 0, 1, 2, 3, etc.
* Les clients arrivent selon une loi exponentielle de taux λ. Quand un client arrive, l'état du système passe de ''i'' à ''i''&nbsp;+&nbsp;1 (un client de plus).
* Le taux de service suit une loi exponentielle de paramètre μ, où 1/μ est la durée moyenne du service.
* Un serveur traite les clients un à un selon le mode [[premier arrivé, premier servi]]. Quand le service est fini, les clients quittent le système et le processus passe de l'état ''i'' à l'état ''i''&nbsp;-&nbsp;1 (un client de moins).

La chaîne de Markov à temps continu sous-jacente est la même que pour un [[processus de naissance et de mort]]<ref>{{lien web|langue=en|url=http://ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/2-854-introduction-to-manufacturing-systems-fall-2010/lecture-notes/MIT2_854F10_MM1queue.pdf|titre=Introduction to Manufacturing Systems : M/M/1
Queue lecture notes|site=MIT Opencourseware|auteur=Chuan Shi, Stanley Gershwin, Duane Boning}}.</ref> :

[[Fichier:MM1 queue state space.svg]]

La [[matrice de taux de transition]] possède une infinité de lignes et de colonnes et est :

:<math>Q=\begin{pmatrix}
-\lambda & \lambda \\
\mu & -(\mu+\lambda) & \lambda \\
&\mu & -(\mu+\lambda) & \lambda \\
&&\mu & -(\mu+\lambda) & \lambda &\\
&&&&\ddots
\end{pmatrix}</math>.

== Résultats ==
De nombreuses quantités peuvent être calculées [[solution de forme fermée|explicitement]].

=== Stabilité et régime stationnaire ===

La file est stable si et seulement si le taux d'arrivée est strictement plus petit que le taux de départ<ref name=sur>
{{lien web|url=http://www.loria.fr/~sur/enseignement/RO/Files1_FSur.pdf|titre=Recherche opérationnelle :  Files d'attente 1|année=2013|site=[[Mines de Nancy]]|auteur=Frédéric Sur}}.</ref>, ''i.e.'' <math>\lambda < \mu</math>. On pose : <math>\rho = \frac {\lambda} {\mu}</math>.

Le nombre de clients dans le système pendant le régime stationnaire suit une [[loi géométrique]]. Plus précisément, la probabilité d'être dans l'état ''i'', c'est-à-dire d'avoir ''i'' client dans le système est<ref name=sur/> :<math display="inline">\pi_i=(1-\rho) \cdot \rho^i</math>, et le nombre moyen de client est <math>\frac \rho {1 - \rho}</math>.

== Régime transitoire ==
{{...}}

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|M/M/1 queue|636895342}}
{{Références}}

{{Palette|Théorie des files d'attente}}
{{Portail|probabilités et statistiques|informatique théorique}}

[[Catégorie:Recherche opérationnelle]]
[[Catégorie:Processus de Markov]]