Voir la source de Fluide parfait

[[Fichier:StressEnergyTensor contravariant.svg|thumb|alt=Le tenseur de stress-énergie d'un fluide parfait ne contient que les composants diagonaux. |Le tenseur de stress-énergie d'un fluide parfait ne contient que les composants diagonaux.]]
En [[mécanique des fluides]], un '''fluide''' est dit '''parfait''' s'il est possible de décrire son mouvement sans prendre en compte les effets de [[viscosité]] et de [[conductivité thermique|conduction thermique]]. Le mouvement du fluide est donc [[Processus adiabatique|adiabatique]]<ref>{{Ouvrage |langue=en |nom1=[[Lev Landau]] |nom2=[[Evgueni Lifchits]] |titre=Fluid Mechanics |éditeur=Pergamon Press |lieu=Oxford |année=1987 |pages totales=539 |format=PDF |isbn=0-08-033933-6 |lire en ligne=http://switch2011.upa.edu.mx/biblioteca/Ingenier%C3%ADa/Landau%20L%20D%20&%20Lifschitz%20E%20M%20-%20Vol%206%20-%20Fluid%20Mechanics.pdf}}</ref>, décrit par les [[équations d'Euler]].

Tous les fluides ont une viscosité, sauf les [[superfluide]]s, ce qui en pratique ne concerne guère que l'[[hélium]] à très basse température ([[Condensat de Bose-Einstein]]) ou le [[plasma quarks-gluons]]. Le fluide parfait ne peut donc être qu'une approximation pour un fluide de viscosité tendant vers zéro, ce qui revient à faire tendre le [[nombre de Reynolds]] vers l'infini. Ce type d'approximation ''fluide parfait'' n'est cependant pas dénuée d'intérêts, par exemple en [[aérodynamique]], où souvent des nombres de Reynolds très grands sont atteints. Cela étant, même si dans ces cas d'aérodynamique de hauts nombres de Reynolds le fluide peut être considéré comme parfait ''assez loin'' des corps étudiés, il subsiste près de ces corps une zone où les effets de la viscosité sont importants, cette zone étant appelée la [[couche limite]]. Autrement dit, on pourra appliquer l'approximation du ''fluide parfait'' à distance suffisante d'un corps (avec utilisation possible du [[théorème de Bernoulli]]), tout en calculant par d'autres moyens le comportement du même fluide considéré comme visqueux dans la [[Couche limite]] existant à la surface du même corps. Il est alors possible, par des calculs en ''fluide parfait'', de déterminer les lignes de courants ainsi que les vitesses et pressions locales autour du corps considéré. L'écoulement ainsi déterminé s'appelle ''écoulement potentiel''. Cependant, pour rapprocher ces écoulements potentiels des écoulements réels (de fluides visqueux), les aérodynamiciens veillent, au moment de leurs calculs potentiels, à engraisser les corps de l'épaisseur de leur Couche Limite.



[[Fichier:Ecoulement Hele-Shaw sur entretoise.png|thumb|left|Écoulement ''potentiel'' (soit ''d'un fluide parfait'') autour d'un corps profilé.]]
[[Fichier:AnimComp Hele-Shaw - Inviscid.gif|thumb|Comparaison entre l'écoulement dans une cellule d'Hele-Shaw et l'écoulement potentiel (c.-à-d. d'un fluide parfait).]]
À côté de ces ''calculs potentiels'', il existe les [[Cellule de Hele-Shaw|cellules d'Hele-Shaw]] qui montrent les mêmes écoulements potentiels au moyen de filets de fluides colorés se déplaçant très lentement entre deux vitres très rapprochées (images ci-contre).
{{clr}}

En [[cosmologie]], les différentes formes de matière qui emplissent l'univers peuvent être considérées, du moins aux échelles où l'univers est [[homogénéité (cosmologie)|homogène]] comme des fluides parfaits. Comme l'écoulement d'un tel fluide est isentropique sauf en des régions où apparaissent des singularités (choc, couche de glissement) décrites par les [[relations de Rankine-Hugoniot]], l'[[expansion de l'Univers]] est parfois décrite comme étant [[Processus adiabatique|adiabatique]], s'identifiant sous certains aspects à la détente d'un gaz sans échange de [[transfert thermique|chaleur]] avec l'extérieur.

== Propriétés essentielles ==

Un fluide parfait incompressible obéit aux [[équations d'Euler]] de [[équation de conservation|conservation]] de la [[masse]] et de la [[quantité de mouvement]], ces deux équations formant les équations de base des fluides non dissipatifs, ainsi qu'à une version du [[premier principe de la thermodynamique]], ces deux aspects ([[mécanique des fluides]] et [[thermodynamique]]) étant intimement liés.

Les deux premières équations s'écrivent, en notant ''ρ'' la [[masse volumique]] du fluide, ''P'' sa [[pression]] et '''v''' sa [[vitesse]] :
:<math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho {\mathbf{v}}) = 0</math> ,
:<math>\frac{\partial {\mathbf{v}}}{\partial t} + ({\mathbf{v}} \cdot \nabla) {\mathbf{v}} = - \frac{\nabla P}{\rho} + {\mathbf{f}}</math> ,
où <math>{\mathbf{f}}</math> représente la densité de [[force (physique)|forces]] s'exerçant sur le fluide. Par exemple, si l'on considère la [[pesanteur]], on a 
:<math>{\mathbf{f}} = {\mathbf{g}}</math>,
<math>{\mathbf{g}}</math> représentant l'[[accélération]] de la pesanteur.

== Aspects thermodynamiques ==

D'ordinaire, la densité d'[[énergie interne]] d'un [[système physique]] (dans le présent contexte, une petite région contenant un fluide donné) dépend de la densité de celui-ci et de son [[Entropie (thermodynamique)|entropie]]. En effet, le [[premier principe de la thermodynamique]] stipule que l'énergie interne ''U'' d'un système varie selon
:<math>{\mathrm{d}} U = - P {\mathrm{d}} V + T {\mathrm{d}} S</math>, 
où ''P'' représente sa [[pression]], ''V'' le [[volume]], ''T'' la [[température]] et ''S'' l'entropie. Dans le cas d'un fluide parfait, on a par définition <math>{\mathrm{d}} S = 0</math>, d'où
:<math>{\mathrm{d}} U = - P {\mathrm{d}} V</math>,  
ce qui équivaut à dire que l'élément de fluide possède une relation univoque entre sa densité d'énergie et sa pression, ne dépendant pas d'un paramètre extérieur. Si l'on passe à la densité d'énergie interne définie par
:<math>\epsilon = \frac{U}{V}</math>, 
on obtient alors
:<math>{\mathrm{d}} (\epsilon V) = - P {\mathrm{d}} V</math>,  
d'où
:<math>{\mathrm{d}} \epsilon = - (P + \epsilon) \frac{{\mathrm{d}} V}{V}</math>.

== Formalisme mathématique ==

Un fluide parfait peut être décrit à l'aide d'un [[tenseur énergie impulsion]] '''T'''. À partir duquel on peut retrouver les équations ([[conservation de la masse]] et Euler, plus premier principe de la thermodynamique) auxquelles obéit le fluide parfait. Celui-ci s'écrit
:<math>{\mathbf{T}} = \left(P + \rho\right) \frac{{\mathbf{u}} \otimes {\mathbf{u}}}{c^2} - P {\mathbf{g}}</math>,
ou, en termes de composantes,
:<math>T^{\alpha \beta} = \left(P + \rho\right) \frac{u^\alpha u^\beta}{c^2} - P g^{\alpha \beta}</math>,
où <math>\rho</math> représente la [[densité d'énergie]] du fluide, somme de sa densité d'énergie interne <math>\epsilon</math> et de sa densité d'[[énergie de masse]] <math>\mu c^2</math>, <math>\mu</math> étant la [[masse volumique]] de l'élément de fluide et ''c'' la [[vitesse de la lumière]], '''u''' la [[quadrivitesse]] du fluide (c'est-à-dire la vitesse d'ensemble de cet élément), et '''g''' le [[tenseur métrique]]. La [[relativité restreinte]] et la [[relativité générale]] stipulent que le tenseur énergie impulsion d'un fluide est « conservé », c'est-à-dire que sa [[Divergence (analyse vectorielle)|divergence]] est nulle. Cette équation s'écrit, en termes de composantes, 
:<math>D_\alpha \left(\left(P + \rho\right) \frac{u^\alpha u^\beta}{c^2} - P g^{\alpha \beta}\right) = 0</math>,
''D'' représentant la dérivée ordinaire (en relativité restreinte) ou la [[dérivée covariante]] (en relativité générale). Le calcul donne alors
:<math>\frac{u^\alpha u^\beta}{c^2} D_\alpha \left(P + \rho\right) + \left(P + \rho\right) \frac{u^\alpha}{c^2} D_\alpha u^\beta + \left(P + \rho\right) \frac{u^\beta}{c^2} D_\alpha u^\alpha - D^\beta P = 0</math>. 
C'est cette équation qui permet de retrouver les trois équations précitées.
{{boîte déroulante|titre=Démonstration 1|contenu=
Nous allons démontrer que l'équation précédente contient la conservation de l'énergie. Dans le cas classique cela revient à prendre la composante temporelle de l'équation (indice 0).

La quantité <math>u^\alpha D_\alpha X</math> mesure la variation d'une quantité ''X'' le long de la trajectoire de l'élément de fluide. Elle correspond donc à la variation de cette quantité transportée par l'élément de fluide. On la note communément <math>{\mathrm{d}} / {\mathrm{d}} \tau</math>, <math>\tau</math> étant le [[temps propre]] associé à l'élément de fluide. On obtient ainsi
:<math>\frac{u^\beta}{c^2} \frac{{\mathrm{d}}}{{\mathrm{d}} \tau} \left(P + \rho\right) + \left(P + \rho\right) \frac{1}{c^2} \frac{{\mathrm{d}} u^\beta}{{\mathrm{d}} \tau} + \left(P + \rho\right) \frac{u^\beta}{c^2} D_\alpha u^\alpha - D^\beta P = 0</math>.
En effectuant le produit scalaire de cette équation avec la quadrivitesse, il vient alors, en notant par un point la dérivée par rapport à <math>\tau</math>,
:<math>\left(\dot P + \dot \rho\right) + \left(P + \rho\right) \frac{u_\beta}{c^2} \dot u^\beta + \left(P + \rho\right) D_\alpha u^\alpha - \dot P = 0</math>.
La quadrivitesse ayant une norme constante, <math>u_\beta u^\beta = c^2</math>, une quantité du type <math>u_\beta \dot u^\beta</math> est nulle. Il vient donc
:<math>\dot \rho + \left(P + \rho\right) D_\alpha u^\alpha = 0</math>.
Le terme <math>D_\alpha u^\alpha</math>, habituellement noté <math>\theta</math> est appelé [[expansion (mécanique)|expansion]] de l'élément de fluide. Dans la limite [[non relativiste]], il correspond à la divergence du vecteur vitesse, ce qui correspond au taux de variation de son volume. Ainsi, on a 
:<math>\theta = \frac{{\mathrm{d}} V}{V {\mathrm{d}} t}</math>, 
ce qui permet de réécrire l'équation en 
:<math>\frac{\partial}{\partial t} \rho + \left(P + \rho\right) \frac{{\mathrm{d}} V}{V {\mathrm{d}} t} = 0</math>.
Enfin, l'hypothèse de conservation du nombre de particules s'écrit
:<math>\frac{\partial}{\partial t} n + n \frac{{\mathrm{d}} V}{V {\mathrm{d}} t} = 0</math>,
où ''n'' représente la densité de particules. Elle est reliée à sa densité d'énergie de masse par la formule
:<math>n = \frac{\mu c^2}{m c^2}</math>,
''m'' étant la [[masse]] des particules. Cette équation s'interprète par le fait que le nombre de particules de l'élément de fluide étant contant, la variation de la densité de celles-ci le long de l'écoulement est uniquement due à la variation du volume de l'élément En pratique, si l'on repasse en termes de coordonnées, la densité de particules est une fonction des coordonnées d'espace et de temps, <math>n({\mathbf{x}}, t)</math>. Si l'élément de fluide possède une trajectoire <math>{\mathbf{x}}(t)</math>, alors sa variation le long de la trajectoire se fait selon celle de <math>n({\mathbf{x}}(t), t)</math>, et correspond donc à
:<math>\frac{{\mathrm{d}} n}{{\mathrm{d}} t} = \frac{\partial}{\partial t} n + \frac{{\mathrm{d}}{\mathbf{x}}}{{\mathrm{d}} t} \cdot \nabla n</math>.
Ainsi, on obtient
:<math>\frac{\partial}{\partial t} n + {\mathbf{v}} \cdot \nabla n + n \nabla \cdot {\mathbf{v}} = 0.</math>, 
que l'on peut regrouper en 
:<math>\frac{\partial}{\partial t} n + \nabla \cdot (n {\mathbf{v}}) = 0</math>.
Ainsi, l'équation initiale laisse uniquement
:<math>\frac{\partial}{\partial t} \epsilon = - (P + \epsilon) \frac{1}{V}\frac{\partial V}{\partial t}</math>, 
ce qui se réécrit
:<math>{\mathrm{d}} \epsilon = - (P + \epsilon) \frac{{\mathrm{d}} V}{V}</math> ;
comme annoncé on retrouve la conservation de l'énergie de la particule fluide :
:<math>{\mathrm{d}} ( \epsilon V ) = - P {\mathrm{d}} V</math>.
}}

== Obtention ==

À un niveau microscopique, le tenseur énergie impulsion d'un fluide peut toujours être déterminé par un processus rigoureux, en partant d'une quantité appelée [[lagrangien]]. Par exemple, le tenseur énergie impulsion d'une particule ponctuelle se déduit immédiatement du lagrangien la décrivant. En mécanique des fluides, on considère que la distribution des particules composant le fluide peut, au-delà d'une certaine échelle, être considérée comme un [[milieu continu]].

Par contre, à un niveau macroscopique, rien ne permet d'affirmer avec certitude que le tenseur énergie impulsion puisse être dérivé d'un lagrangien macroscopique. D'ordinaire, le tenseur énergie impulsion d'un fluide est déterminé dans un premier temps par l'écriture du tenseur énergie impulsion d'une particule, puis en supposant une certaine distribution de particules dans une région de l'espace (une [[fonction de distribution]]), puis en effectuant la moyenne des tenseurs énergie impulsion individuels sur un volume petit devant les dimensions du problème, mais grand devant la séparation inter particules. Rien ne permet d'affirmer qu'il est possible de trouver un tenseur énergie impulsion à partir d'un lagrangien qui serait déjà « moyenné » sur un ensemble de particules. Le fluide parfait est à ce titre un cas particulier, car il est possible de le déterminer de cette façon, quoique la démonstration en soit non triviale<ref>La démonstration de ceci n'est que très rarement donnée. Ses grandes lignes figurent dans {{Livre_HawkingEllis}}, page 69 et 70.</ref>.

== Généralisation ==

Au-delà de l'approximation de fluide parfait, on parle de fluide visqueux, décrit par les [[équations de Navier-Stokes]].

== Culture populaire ==
* Dans la [[Saison 2 d'Agent Carter|deuxième saison]] d{{'}}''[[Agent Carter]]'', la Matière Zéro est décrite comme étant une forme de fluide parfait.

== Voir aussi ==
{{Autres projets
  | wikiversity = Dynamique des fluides parfaits
  | wikiversity titre = Dynamique des fluides parfaits
}}

== Références ==

* {{Livre MTW}}, pages 562 à 565.

== Notes ==

<references/>

{{Palette|Mécanique des fluides}}
{{Portail|physique|cosmologie}}

[[Catégorie:Fluide]]