Voir la source de Foncteur

{{à sourcer|date=juillet 2017}}
Dans la [[théorie des catégories]], un foncteur est une construction transformant les objets et [[morphisme]]s d'une [[Catégorie (mathématiques)|catégorie]] en ceux d'une autre catégorie, d'une façon compatible<ref>{{Riehl1}}, {{p.|xii}}.</ref>. On parle alors d'une construction '''fonctorielle''' ou de '''fonctorialité'''. Une telle construction est donc un morphisme entre deux catégories.

Historiquement, les foncteurs furent introduits en [[topologie algébrique]], associant aux [[Espace topologique|espaces topologiques]] et aux [[Continuité (mathématiques)|applications continues]] des objets algébriques tels que les [[Groupe d'homotopie|groupes d'homotopie]] et les [[Morphisme de groupes|morphismes de groupes]], permettant ainsi un véritable calcul d'[[invariant]]s caractérisant ces espaces.

== Définitions ==

Un '''foncteur covariant''' (ou simplement '''foncteur''')  <math>F </math> d'une catégorie <math>\mathcal C</math> dans une catégorie <math>\mathcal D</math> est constitué des données suivantes :

*pour tout objet <math>X</math> de <math>\mathcal C</math>, un objet de <math>\mathcal D</math>, noté <math>F(X) \text{ ou }F_X</math><ref name=":0">{{Ouvrage|auteur1=[[Georges Poitou]]|auteur2=Paul Jaffard|titre=Introduction aux catégories et aux problèmes universels|passage=65|lieu=Paris|éditeur=Ediscience}}.</ref> ;
*pour toute flèche <math>X\xrightarrow{f} Y</math> de <math>\mathcal C</math>, une flèche de <math>\mathcal D</math>, notée <math>F(f) \text{ ou }F_f</math>, de source <math>F(X)</math> et de but <math>F(Y)</math>.

On impose les deux axiomes suivants :
* pour tout objet ''X'' de <math>\mathcal C</math>, <math>F(\mathrm{I}_X)=\mathrm {I}_{F(X)}</math> ;
* pour tout couple <math>(f,g)</math> de flèches composables de <math>\mathcal C</math>, <math>F(gf)=F(g)F(f).</math>

En d'autres termes, un foncteur préserve les domaines et codomaines des morphismes, les flèches identités et la composition.

Un '''foncteur contravariant''' ''G'' d'une catégorie <math>\mathcal C</math> dans une catégorie <math>\mathcal D</math> est un foncteur covariant de la [[Théorie des catégories#Catégorie duale|catégorie opposée <math>\mathcal C</math>{{exp|op}}]] (celle obtenue en inversant le sens des flèches dans <math>\mathcal C</math>) dans <math>\mathcal D</math>. À tout morphisme ''f'' : ''X'' → ''Y'' de <math>\mathcal C</math>, il associe donc un morphisme ''G''(''f'') : ''G''(''Y'') → ''G''(''X'') de <math>\mathcal D</math>, et l'on a la « relation de compatibilité » ''G''(''gf'') = ''G''(''f'')''G''(''g'').

== Exemples ==
* Le foncteur '''identité''' d'une catégorie <math>\mathcal C</math>, souvent noté 1{{ind|<math>\mathcal C</math>}} ou id{{ind|<math>\mathcal C</math>}} : <math>\mathcal C</math> → <math>\mathcal C</math>, qui envoie chaque objet et morphisme de <math>\mathcal C</math> sur lui-même.
* Considérons trois villes : Paris, Rome et Amsterdam. La catégorie a pour objets ces trois villes. Hom(Paris, Rome) est l'ensemble des chemins de Paris à Rome par exemple. Prenons une carte qui représente ces chemins ; un foncteur consiste à représenter la situation sur une carte avec une perte d'information du fait de l'échelle<ref>Cet exemple est proposé par Anatole Khelif ([[maître de conférences]] à l'[[université Paris Diderot]]) dans {{YouTube|id=LVHoROSF3KA|titre=Les catégories pour les nuls|date=juillet 2016|vid=non}}.</ref>.
* Les foncteurs d''''oubli''' qui envoient les objets d'une catégorie sur des objets d'une autre catégorie en « oubliant » certaines propriétés de ces objets :
** le foncteur de [[Catégorie des groupes abéliens|'''Ab''']] dans [[Catégorie des groupes|'''Grp''']] qui à un [[groupe (mathématiques)|groupe abélien]] associe le [[groupe (mathématiques)|groupe]] lui-même, mais dans la catégorie des groupes  (on a « oublié » le fait que le groupe est abélien). On a de même des foncteurs d'oubli<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Categories|auteur=[[Horst Schubert]]|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=1972|url={{Google Livres|-6b9CAAAQBAJ|}}page=241}}.</ref> de '''Grp''' dans la [[Monoïde (théorie des catégories)|catégorie '''Mon''']] des [[monoïde]]s et dans celle des [[H-espace|H-espaces]], et de '''Ab''' dans la catégorie des monoïdes commutatifs ;
** le foncteur de '''Grp''' dans [[Catégorie des ensembles|'''Set''']] qui à un groupe associe son [[ensemble]] sous-jacent (on a « oublié » la structure de groupe) et à tout homomorphisme de groupes f l'application sous-jacente |f|. On définit de même d'autres foncteurs "d'oubli de structure", par exemple: de [[Catégorie des espaces topologiques|'''Top''']] dans [[Catégorie des ensembles|'''Ens''']]; de la [[catégorie des anneaux]]  dans [[Catégorie des groupes abéliens|'''Ab''']], de la catégorie des [[Groupe topologique|groupes topologiques]] dans [[Catégorie des groupes|'''Gr''']], de la catégorie des variétés analytiques dans la catégorie des variétés différentielles<ref name=":0" />...
* Pour tout objet ''X'' d'une catégorie <math>\mathcal C</math> [[Petite catégorie|localement petite]], les deux [[foncteur Hom|foncteurs Hom]] : <math>\mathcal C</math> → '''Set''' : ''Y'' ↦ Hom (''X'', ''Y'') (covariant) et ''Y'' ↦ Hom (''Y'', ''X'') (contravariant). Ces foncteurs sont liés au [[lemme de Yoneda]] et à la notion de [[foncteur représentable]].
* Le '''foncteur constant''' est le foncteur qui envoie tous les objets de la catégorie de départ sur le même objet de la catégorie d'arrivée et qui envoie chaque flèche de la catégorie de départ sur l'identité de l'objet image. C'est l'objet terminal de la catégorie des foncteurs.
* Entre deux [[monoïde]]s (qui sont des [[Théorie des catégories#Exemples|catégories à un seul objet]]), les foncteurs covariants sont simplement les morphismes de monoïdes.
* Un foncteur défini d'une catégorie produit <math>\mathcal C \times \mathcal D</math> vers une catégorie <math>\mathcal E</math> est souvent appelé '''bifoncteur'''.
* Le [[Théorème de dérivation des fonctions composées#Cas général|théorème de dérivation des fonctions composées]] exprime la fonctorialité de la différentiation. En effet, notons <math>Mat_\mathbb{R}</math>la catégorie dont les objets sont les [[Entier naturel|entiers naturels]], et dont les morphismes <math>n\rightarrow m</math> sont les matrices réelles à <math>m</math> lignes et <math>n</math> colonnes avec la [[Produit matriciel|multiplication matricielle]] pour composition. Soit <math>\mathcal{E}</math> la catégorie dont les objets sont les couples <math>(\mathbb{R}^n,a)</math> avec <math>n\in\mathbb{N}</math> et <math>a\in\mathbb{R}^n</math>, ayant pour morphismes les [[Différentielle|fonctions différentiables]] pointées. Soit <math>f:(\mathbb{R}^n,a)\rightarrow(\mathbb{R}^m,b)</math> un tel morphisme (on a donc <math>f(a)=b</math>). La [[différentielle]] de <math>f</math> en <math>a</math> s'exprime par la [[matrice jacobienne]] <math>J_f(a)</math> de <math>f</math> en <math>a</math>, données par les [[Dérivée partielle|dérivées partielles]] de ses fonctions coordonnées.  Cela définit l'action sur les morphismes d'un foncteur <math>D:\mathcal{E}\rightarrow Mat_{\mathbb{R}}</math>. Pour les objets, <math>D</math> envoie <math>(\mathbb{R}^n,a)</math> vers l'entier <math>n</math>. Étant donné <math>g:(\mathbb{R}^m,f(a))\rightarrow (\mathbb{R}^k,g(f(a))</math> un autre morphisme, la fonctorialité de <math>D</math> correspond à l'égalité <math>J_g(f(a))\cdot J_f(a)=J_{gf}(a)</math>, c'est-à-dire au [[Théorème de dérivation des fonctions composées#Cas général|théorème de dérivation des fonctions composées]]. Plus généralement, on aurait pu définir les objets de <math>\mathcal{E}</math> comme les couples (<math>(U,a)</math> avec <math>U</math> un ouvert de <math>\mathbb{R}^n</math> pour un certain <math>n\geq 0</math>, et <math>a\in U</math> , avec les applications différentiables pointées entre de tels ouverts comme morphismes{{sfn|Riehl|loc=Example 1.3.2 (x) page 14}}. 
* Soit <math>A</math> un [[anneau commutatif]] et <math>M</math> un <math>A</math>-module. Le [[produit tensoriel]] <math>-\otimes_A M</math>  par <math>M</math>, qui associe à un <math>A</math>-module <math>N</math> le produit tensoriel <math>N\otimes_AM</math>, est un foncteur de la catégorie des <math>A</math>-modules vers elle-même. Un autre exemple est donné par l'[[extension des scalaires]]. 
* Le foncteur <math>\cal P</math>, [[Ensemble des parties]], associe à chaque ensemble <math>S</math> l'ensemble <math>{\cal P}(S)</math> de tous ses sous-ensembles et à chaque fonction <math>f:S\rightarrow T</math> la fonction <math>{\cal P}(f)</math> qui applique chaque sous-ensemble <math>X</math> de <math>S</math> sur [[Image directe|son image]] <math>f(X)</math> (incluse dans <math>T</math>)<ref>{{Ouvrage|auteur=[[Saunders MacLane]]|auteur2=[[Garrett Birkhoff]]|traducteur=Jean Weil|langue originale=en<!--hélas en-US n'affiche rien, contrairement à ce que promet [[Modèle:Langue#Tous_les_codes]]-->|titre=Algèbre et solutions développées des exercices : structures fondamentales, les grands théorèmes, théorie de Galois|passage=28|lieu=Paris|éditeur=J. Gabay|date=1996|isbn=978-2-87647-138-2|oclc=490130463}}.</ref>.
* Soit la catégorie des [[Espace vectoriel|espaces vectoriels]] sur un corps ''K''. On définit un foncteur contravariant de la catégorie dans elle-même en faisant correspondre à tout-espace vectoriel ''E'' son [[Espace dual|dual]] ''E''* et à toute application linéaire ''u'' : ''E'' → ''F'' sa [[Application transposée|transposée]] {{nobr|{{exp|t}}''u '': ''F''* → ''E''*.}}<ref>Cet exemple est proposé par [[Richard Ewen Borcherds]] dans {{YouTube|id=|titre= Categories2:Functors|date=|vid=non}}.</ref>
* Soit E et E' deux [[Préordre|ensembles préordonnés]] et f une application croissante de E dans E'. On définit un foncteur <math>\bar{f}</math> de la [[Théorie des catégories#Exemples|catégorie <math>\bar{E}</math>associée à]]  E dans la catégorie <math>\bar{E'}</math> associée à E' en posant <math>\bar{f}(x):=f(x)</math> pour tout objet x de <math>\bar{E}</math>, l'action sur les flèches étant alors évidente<ref name=":0" />.

== Propriétés de foncteurs ==

=== Foncteurs fidèles, pleins, pleinement fidèles ===
{{Article détaillé|Foncteur plein et fidèle}}
On dit qu'un foncteur ''F'' : <math>\mathcal C</math> → <math>\mathcal D</math> est :
* [[Foncteur plein et fidèle|fidèle]] si deux morphismes ''f'', ''g'' : ''X'' → ''Y'' dans <math>\mathcal C</math> sont égaux dès que leurs images ''F''(''f''), ''F''(''g'') : ''F''(''X'') → ''F''(''Y'') dans <math>\mathcal D</math> le sont ;
* [[Foncteur plein et fidèle|plein]] si tout morphisme ''F''(''X'') → ''F''(''Y'') est égal à un ''F''(''f'') ;
* pleinement fidèle s'il est à la fois fidèle et plein.

;Exemples
* Un morphisme de [[monoïde]]s (cf. [[#Exemples|§ « Exemples »]] ci-dessus) est fidèle si et seulement s'il est [[injectif]], et plein si et seulement s'il est [[surjectif]].
* Les foncteurs d'oubli de '''Ab''' dans '''Grp''' et de '''Grp''' dans '''Mon''' sont pleinement fidèles.
* Le foncteur d'oubli de '''Grp''' dans '''Set''' est fidèle (mais pas plein) ; plus généralement, si ''F'' est l'inclusion d'une [[sous-catégorie]] <math>\mathcal C</math> dans une catégorie <math>\mathcal D</math>, alors il est fidèle.

=== Foncteurs conservatifs ===
[[Trivial]]ement, tout foncteur ''F'' : <math>\mathcal C</math> → <math>\mathcal D</math> préserve les [[isomorphisme]]s, c'est-à-dire que si ''f'' est un isomorphisme dans <math>\mathcal C</math> alors ''F''(''f'') est un isomorphisme dans <math>\mathcal D</math>.

Le foncteur ''F'' est dit '''conservatif''' si [[réciproque]]ment, un morphisme ''f'' dans <math>\mathcal C</math> est un isomorphisme dès que ''F''(''f'') en est un dans <math>\mathcal D</math>.

;Exemples
* Un morphisme ''F'' de monoïdes (cf. [[#Exemples|§ « Exemples »]] ci-dessus) est conservatif si et seulement si tout [[Antécédent (mathématiques)|antécédent]] par ''F'' d'un [[élément inversible]] est inversible.
* Tout foncteur pleinement fidèle est conservatif.
* Le foncteur d'oubli de '''Grp''' dans '''Set''' est conservatif.

=== Foncteurs adjoints ===
{{Article détaillé|Foncteur adjoint}}
Soient <math>\mathcal C</math> et <math>\mathcal D</math> deux catégories, ''F'' un foncteur de <math>\mathcal C</math> dans <math>\mathcal D</math> et ''G'' de <math>\mathcal D</math> dans <math>\mathcal C</math>, tels que pour tout objet <math>X \in \mathcal C</math> et <math>Y \in \mathcal D</math> on ait une [[bijection]], [[Transformation naturelle|naturelle]] en ''X'' et ''Y'',
<center><math>{\rm Hom}_D \left( F \left (X \right), Y\right)\simeq{\rm Hom}_C \left( X , G \left (Y \right) \right).</math></center>
Alors ''F'' est dit [[Foncteur adjoint|adjoint à gauche]] de ''G'', et ''G'' adjoint à droite de ''F''.

=== Équivalence de catégories ===
Un foncteur ''F'' : <math>\mathcal C</math> → <math>\mathcal D</math> est appelé une [[équivalence de catégories]] s'il existe un foncteur ''G'' : <math>\mathcal D</math> → <math>\mathcal C</math> et un [[transformation naturelle|isomorphisme naturel de foncteurs]] entre ''G'' ∘ ''F'' (resp. ''F'' ∘ ''G'') et l'identité sur <math>\mathcal C</math> (resp. <math>\mathcal D</math>). L'équivalence de catégories est une notion plus générale que celle d'[[isomorphisme de catégories]].

== Remarque ==
Les foncteurs sont parfois appelés morphismes pour la catégorie '''Cat''' des petites catégories.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
===Articles connexes===
* [[Foncteur Hom]]
* [[Foncteur représentable]]
===Bibliographie===
* {{MacLane1}}
* {{Douady1}}
{{Palette|Théorie des catégories}}
{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Théorie des catégories]]