Voir la source de Fonction bêta

{{Voir homonymes|Bêta (homonymie)}}
{{Ébauche|analyse}}
[[Fichier:Beta function on real plane.png|thumb|Variations de la fonction bêta pour les valeurs positives de x et y]]

En [[mathématiques]], la '''fonction bêta''' est une des deux [[intégrale d'Euler|intégrales d'Euler]], définie pour tous [[nombres complexes]] {{mvar|x}} et {{mvar|y}} de [[Partie réelle|parties réelles]] strictement positives par :

<center><math>\Beta(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\mathrm dt,</math></center>

et éventuellement [[Prolongement analytique|prolongée analytiquement]] à tout le plan complexe à l'exception des entiers négatifs.

La fonction bêta a été étudiée par [[Leonhard Euler|Euler]] et [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] et doit son nom à [[Jacques Philippe Marie Binet|Jacques Binet]]. Elle est en relation avec la [[fonction gamma]].

Il existe aussi une version incomplète de la fonction bêta, la '''fonction bêta incomplète''' ainsi qu'une version régularisée de celle-ci, la '''fonction bêta incomplète régularisée'''.

== Propriétés ==
Dans sa définition sous forme d'intégrale, le [[Intégration par changement de variable|changement de variable]] {{math|''u'' {{=}} 1 – ''t''}} prouve que cette fonction est [[Fonction symétrique|symétrique]] c'est-à-dire que :
<center><math>\Beta(x,y)=\Beta(y,x)</math>.</center>

Elle peut prendre aussi les formes intégrales 
:<math>\Beta(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta~\cos^{2y-1}\theta~\mathrm d\theta</math> (par le changement de variable <math>t=\sin^2\theta</math>),
:<math>\Beta(x,y) = \int_0^\infty\frac{s^{y-1}}{(1+s)^{x+y}}~\mathrm ds</math> (par le changement de variable <math>t= \dfrac1{1+s}</math>).

Elle satisfait des [[Équation fonctionnelle|équations fonctionnelles]] telles que :
: <math>\Beta(x,y+1)={y \over x+y}\Beta(x,y)</math>,
: <math>
 \Beta(x,y)~\Beta(x+y,1-y) =
  \dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)}</math>,
: <math>
 \Beta (x,x) = 2^{1 - 2 x}\Beta\left(\tfrac12,x\right)</math>.

Elle est liée à la [[fonction gamma]] par l'équation suivante<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Mathématiques en MP/Exercices/Intégrales dépendant d'un paramètre#Exercice 2-5|cet exercice corrigé|début=Pour une démonstration, voir par exemple}}</ref> :
<center><math>\Beta(x,y)=\frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}</math>.</center>

Si {{mvar|x}} et {{mvar|y}} sont des [[Entier naturel|entiers]] strictement positifs, cette équation se réécrit, en termes de [[factorielle]]s ou de [[coefficient binomial]] :
{{retrait|<math>\frac{x+y}{xy\Beta(x,y)}=\frac{(x+y)!}{x!~y!}={x+y\choose x}</math>.}}

Si {{mvar|x}} et {{mvar|y}} sont deux [[Nombre rationnel|rationnels]] et si ni {{mvar|x}}, ni {{mvar|y}}, ni {{math|''x'' + ''y''}} ne sont entiers, alors {{math|Β(''x'', ''y'')}} est un [[nombre transcendant]]<ref>{{article|lang=de|auteur=[[Theodor Schneider]]|titre=Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale|revue=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|J. reine angew. Math.]]|vol=183|année=1941|p.=110-128|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0183&DMDID=dmdlog12}}.</ref>.

== Dérivation ==
Les dérivées partielles de la fonction bêta utilisent les équations fonctionnelles vues précédemment :

:<math>{\partial \over \partial x}\Beta(x, y) =\Beta(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) =\Beta(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y)),</math>
:<math>{\partial \over \partial y}\Beta(x, y) = \Beta(x, y) (\psi(y) - \psi(x + y))</math>

où {{math|''ψ''(''x'')}} est la [[fonction digamma]].
:<math>{\partial^2 \over \partial x^2}\Beta(x, y) = \Beta(x, y) \left[(\psi(x) - \psi(x + y))^2 +(\psi_1(x) - \psi_1(x + y)) \right],</math>
:<math>{\partial^2 \over {\partial x\partial y}}\Beta(x, y)  =\Beta(x, y) \left[(\psi(x) - \psi(x + y))(\psi(y) - \psi(x + y))  - \psi_1(x + y) \right],</math>
où {{math|''ψ{{ind|n}}''(''x'')}} est la [[fonction polygamma]].

== Fonction bêta incomplète ==
La '''fonction bêta incomplète''' est définie par :

<center><math> \Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\mathrm dt</math></center>

et vérifie [[trivial]]ement<ref>{{Ouvrage |langue=en |prénom1=M. Aslam |nom1=Chaudhry |prénom2=Syed M. |nom2=Zubair |titre=On a Class of Incomplete Gamma Functions with Applications |éditeur=[[CRC Press]] |année=2001 |passage=218 |isbn=978-1-58488-143-8 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=Edf4KrG_vlYC&pg=PA218}}.</ref> :

{{retrait|<math>\Beta(x;\,a+1,b)+\Beta(x;\,a,b+1)=\Beta(x;\,a,b)\quad{\rm et}\quad x^a(1-x)^b=a\Beta(x;\,a,b+1)-b\Beta(x;\,a+1,b).</math>}}

Pour {{math|''x'' {{=}} 1}}, elle correspond à la fonction bêta de paramètres {{mvar|a}} et {{mvar|b}}.

La '''fonction bêta incomplète régularisée''' consiste à diviser la fonction bêta incomplète par la fonction bêta complète
<center><math> I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}.</math></center>

Les relations précédentes deviennent ainsi

{{retrait|<math>aI_x(a+1,b)+bI_x(a,b+1)=(a+b)I_x(a,b)</math><ref name=AS>{{Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun)}}, § 6.6.</ref><math>,\quad I_x(a,b+1)-I_x(a+1,b)=x^a(1-x)^b\frac{a+b}{ab\Beta(a,b)}.</math>}}

On déduit de la seconde (par une [[Raisonnement par récurrence|récurrence]] immédiate) le lien suivant avec le [[Formule du binôme de Newton|développement binomial]] et la [[loi binomiale]]<ref name=AS/> :
{{retrait|<math>I_p(a,n-a+1)=\sum_{j=a}^n{n\choose j}p^j(1-p)^{n-j}.</math>}}

== Notes et références ==
{{Références}}

== Lien externe==
{{MathWorld|nom_url=BetaFunction|titre=Beta Function}}

{{Portail|analyse}}

{{DEFAULTSORT:Beta}}
[[Catégorie:Fonction gamma ou associée]]
[[Catégorie:Fonction hypergéométrique]]
[[Catégorie:Leonhard Euler]]