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En [[mathématiques]], et plus précisément en [[théorie des groupes]], une '''fonction centrale sur un groupe fini''' est un exemple de [[fonction centrale]] sur un [[Groupe (mathématiques)|groupe]] : c'est une [[application (mathématiques)|application]] définie sur un [[groupe fini]] et centrale, c'est-à-dire constante sur chaque [[action par conjugaison|classe de conjugaison]].

Les fonctions centrales possèdent un rôle particulier dans le cadre de la [[théorie des représentations d'un groupe fini]]. Si, par exemple, le [[corps commutatif|corps]] ''K'' est de [[Caractéristique d'un anneau|caractéristique]] nulle et [[Corps algébriquement clos|algébriquement clos]] (comme le [[Nombre complexe|corps des complexes]]), alors l'[[espace vectoriel]] des fonctions centrales à valeurs dans ''K'' peut être muni d'une [[forme bilinéaire symétrique]] pour laquelle les [[Caractère d'une représentation d'un groupe fini|caractères]] irréductibles forment une [[base orthonormale]], et une représentation est entièrement déterminée (à équivalence près) par les coordonnées de son caractère dans cette base.

== Définition et exemples ==
=== Définition ===
Soit ''G'' un groupe (fini ou pas). Une application définie sur ''G'' est une [[fonction centrale]] si elle est constante sur chaque classe de conjugaison.

=== Exemples ===
* Sur tout [[Torsion (algèbre)|groupe de torsion]] ''G'' (en particulier sur tout groupe fini), la fonction qui à tout élément de ''G'' associe le nombre de ses conjugués est centrale.
* Tout [[caractère d'une représentation d'un groupe fini]] est une fonction centrale sur ce groupe.

== Propriétés ==

=== Propriétés élémentaires ===
{{Article détaillé|Fonction centrale}}
Pour tout [[Corps commutatif|corps]] ''K'' et tout ensemble ''X'', ''K<sup>X</sup>'' désigne l'[[Exemples d'espaces vectoriels#Espaces fonctionnels|espace vectoriel des applications de ''X'' dans ''K'']]. Lorsque ''X'' est fini, la [[base canonique]] de cet espace est la famille ([[symbole de Kronecker|δ]]<sub>''x''</sub>)<sub>''x''∈''X''</sub>, où δ<sub>''x''</sub>(''y'') vaut 1 pour ''y = x'' et vaut 0 pour les autres ''y'' ∈ ''X''.

Dans ''K<sup>G</sup>'', que ''G'' soit fini ou pas,

''l'ensemble des fonctions centrales sur G à valeurs dans K est un [[sous-espace vectoriel]] naturellement isomorphe à K<sup>C</sup>, où C désigne l'ensemble des classes de conjugaison de G.''

Lorsque ''G'' est fini, la base canonique de ce sous-espace est donc la famille ('''1'''<sub>''c''</sub>)<sub>''c''∈''C''</sub> des [[Fonction caractéristique (théorie des ensembles)|fonctions indicatrices]] des classes de conjugaison, et sa [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]] est le nombre ''h'' de ces classes. L'indicatrice d'une classe de conjugaison ''c'' se décompose dans la base canonique de ''K<sup>G</sup>'' en : '''1'''<sub>''c''</sub> = ∑<sub>''s''∈''c''</sub>δ<sub>''s''</sub>.

=== Fonctions centrales et caractères ===
{{Article détaillé|Lemme de Schur}}
'''Si la caractéristique de ''K'' ne divise pas ''g''''' (autrement dit : si ''g'' est inversible dans ''K''), le [[théorème de Maschke]] assure que dans une représentation de ''G'', toute sous-représentation est facteur direct, ce qui permet de démontrer que toute représentation de ''G'' est somme directe de [[Représentation irréductible|représentations irréductibles]].

On montre alors, '''sous l'hypothèse supplémentaire que le polynôme ''X<sup>g</sup>'' - 1 est scindé sur ''K''''' (ou même seulement le polynôme ''X{{e}}'' – 1, où ''e'' désigne l'[[Exposant d'un groupe|exposant]] de ''G'') :
*''Soient'' (''S'',ρ) ''une K-représentation irréductible de degré n et de caractère'' χ, ''et f une fonction centrale à valeurs dans K. Alors, l'endomorphisme'' ρ''<sub>f</sub> de S défini par''<center><math>\rho_f=\sum_{s\in G}f(s)\rho_s</math></center>''est l'[[homothétie]] de rapport''<center><math>\frac1n\sum_{s\in G}f(s)\chi(s)</math>.</center>
(La division par ''n'' a bien un sens dans cet énoncé, car [[Représentation irréductible#Représentation induite|''n'' est un diviseur de ''g'']], qui a été supposé inversible dans ''K''.)

On en déduit que pour la [[forme bilinéaire symétrique]] non dégénérée sur ''K<sup>G</sup>'' définie par<center><math>(f_1|f_2)=\frac1g\sum_{s\in G}f_1(s)f_2(s^{-1})</math>,</center>
*''les caractères irréductibles forment une base orthonormée du sous-espace des fonctions centrales<ref>{{Lien web|url=https://www.idpoisson.fr/beck/wp-content/uploads/sites/16/2018/06/td-repres-groupe-fini.pdf|titre=TD Représentation des groupes finis|auteur=Vincent Beck|date=2005-2006}} du cours de [[Master (France)|M2]] de [[Michel Broué]] ([[Université Paris VII - Diderot]]), et [https://www.idpoisson.fr/beck/wp-content/uploads/sites/16/2018/06/corrige-repres-groupe-fini.pdf corrigé].</ref><!--Le lien suivant fait planter le navigateur<ref>[http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http%3A%2F%2Fstudent.ulb.ac.be%2F~lclaesse%2Fmes_notes.pdf Mes notes de mathématique] par Laurent Claessens.</ref>-->.
Il en résulte (en considérant la dimension de ce sous-espace) :
*''Le nombre de caractères irréductibles est égal au nombre h de classes de conjugaison du groupe.''

Le groupe n'a donc sur ''K'' (à équivalence près) que ''h'' représentations irréductibles ρ<sub>1</sub>, … , ρ<sub>''h''</sub>, dont les caractères χ<sub>1</sub>, … , χ<sub>''h''</sub> forment une base de l'espace des fonctions centrales.

Une conséquence fondamentale est :
*''Si K est de caractéristique nulle alors deux représentations ayant même caractère sont équivalentes.''
En effet, toute représentation (à équivalence près) ρ = ⊕''n<sub>i</sub>''ρ''<sub>i</sub>'' est alors entièrement déterminée par son caractère χ = ∑''n<sub>i</sub>''χ''<sub>i</sub>''.

Du fait que les χ<sub>''i''</sub> forment une base orthonormée, on déduit aussi<ref>Aux notations près ({{cf.}} remarque ci-dessous), la preuve est identique à celle donnée dans le cas ''K'' = ℂ  par {{Ouvrage |auteur1=[[Yvette Kosmann-Schwarzbach]] |titre=Groupes et symétries |éditeur=Éditions [[École polytechnique (France)|École Polytechnique]] |année=2005 |pages totales=193 |passage=35-36 |isbn=978-2-7302-1257-1 |lire en ligne={{Google Livres|onpsxg02K_wC|page=35}}}}.</ref> :
* ''Si n''(''s'') ''désigne le nombre de conjugués d'un élément s de G et si t est un élément de G non conjugué à s, alors :''
<center><math>\sum_{i=1}^h\chi_i(s^{-1})\chi_i(s)=\frac g{n(s)}\quad\text{et}\quad\sum_{i=1}^h\chi_i(s^{-1})\chi_i(t)=0</math>.</center>

{{Démonstration/début|titre=Démonstrations}}
:* '''Soit ρ une ''K''-représentation irréductible de degré ''n'' et de caractère χ, alors ''n'' est inversible dans ''K'' et pour toute fonction centrale ''f'' à valeurs dans ''K'', l'endomorphisme ρ<sub>''f''</sub> de ''S'' défini par ρ<sub>''f''</sub> = ∑<sub>''s''∈''G''</sub>''f''(''s'')ρ<sub>''s''</sub> est l'homothétie de rapport (1/''n'')∑<sub>''s''∈''G''</sub>''f''(''s'')χ(''s'').'''

Le [[Lemme de Schur#Corollaire 1|corollaire 1 de l'article « Lemme de Schur »]] montre ''n'' est inversible dans ''K'', et que si les égalités suivantes sont vérifiées, alors ρ<sub>f</sub> est une homothétie :
<center><math>\forall t\in G\quad\rho_f\circ\rho_t=\rho_t\circ\rho_f</math>.</center>
Or, on a les égalités suivantes :
<center><math>\forall t\in G\quad\rho_t^{-1}\circ\rho_f\circ\rho_t=\sum_{s \in G}f(s)\rho_t^{-1}\circ\rho_s\circ\rho_t=\sum_{s \in G}f(s)\rho_{t^{-1}st}=\sum_{u\in G}f(tut^{-1})\rho_u=\sum_{u\in G}f(u)\rho_u=\rho_f</math>.</center>

Soit ''k'' le rapport de l'homothétie. En notant Tr(ρ<sub>''f''</sub>) la [[Trace (algèbre)|trace]] de ρ<sub>''f''</sub> on a :
<center><math>nk=\mathrm{Tr}(\rho_f)=\mathrm{Tr}\left(\sum_{s \in G}f(s)\rho_s\right)=\sum_{s\in G}f(s)\mathrm{Tr}(\rho_s)=\sum_{s\in G}f(s)\chi(s)</math>.</center>
:* '''Les caractères irréductibles forment une base orthonormée du sous-espace des fonctions centrales.'''
Le fait qu'ils forment une famille orthonormale est une conséquence immédiate du [[Lemme de Schur#Corollaire 4|corollaire 4 de l'article « Lemme de Schur »]]. Il suffit donc de démontrer que la famille est génératrice, ou encore, en définissant ''f*'' par ''f*''(''s'')=''f''(''s''{{exp|-1}}), que si ''f'' est une fonction centrale à valeurs dans ''K'' telle que ''f*'' est orthogonale à tous les caractères irréductibles, alors ''f'' est la fonction nulle.

Pour toute représentation irréductible ρ, de caractère χ, l'application ρ<sub>''f''</sub> est nulle d'après le point précédent, car ''f*'' est supposée orthogonale à χ donc le rapport d'homothétie est nul. Considérons maintenant la [[représentation régulière]] λ. Comme elle est somme directe de représentations irréductibles, λ<sub>''f''</sub> est aussi nulle. On a alors les égalités :
<center><math>0=\lambda_f(\delta_1)=\sum_{s \in G}f(s)\lambda_s(\delta_1)=\sum_{s\in G}f(s)\delta_s=f</math>,</center>
ce qui termine la démonstration.

:* '''Si ''n''(''s'') désigne le nombre de conjugués d'un élément ''s'' de ''G'' et si ''t'' est un élément de ''G'' non conjugué à ''s'', alors :'''
<center><math>\sum_{i=1}^h\chi_i(s^{-1})\chi_i(s)=\frac g{n(s)}\quad\text{et}\quad\sum_{i=1}^h\chi_i(s^{-1})\chi_i(t)=0</math>.</center>
Soit ''c'' la classe de conjugaison de ''s'' (son cardinal ''n''(''s'') [[Action par conjugaison#Propriétés|est un diviseur de ''g'']]). La décomposition de son indicatrice '''1'''<sub>''c''</sub> sur la base orthonormée des caractères irréductibles montre que :
<center><math>\mathbf1_c=\sum_{i=1}^h\alpha_i\chi_i\quad\text{avec}\quad\alpha_i=(\mathbf1_c|\chi_i)=\frac{n(s)}g\chi_i(s^{-1})</math></center>
et donc :
<center><math>1=\mathbf1_c(s)=\frac{n(s)}g\sum_{i=1}^h\chi_i(s^{-1})\chi_i(s)\quad\text{et}\quad 0=\mathbf1_c(t)=\sum_{i=1}^h\chi_i(s^{-1})\chi_i(t)</math>.</center>
{{Démonstration/fin}}

;Remarque
Lorsque ''K'' est un sous-corps de [[Nombre complexe|ℂ]], il est courant<ref>Cf. {{Serre2}} p. I.-15 pour le produit hermitien sur ℂ (avec [[Produit hermitien|l'autre convention]] sur celle des deux variables par rapport auquel il est linéaire) et p. II.-38 pour la forme bilinéaire symétrique sur un corps quelconque.</ref>, au lieu de la forme bilinéaire symétrique ci-dessus, d'utiliser sur ''K<sup>G</sup>'' un [[Espace hermitien|produit hermitien]] :<center><math>\langle f_1\mid f_2\rangle=\frac1g\sum_{s\in G}f_1(s)\overline{f_2(s)}</math>.</center>
Si ''f''<sub>2</sub> est un caractère, ou plus généralement si, pour tout élément ''s'' du groupe, ''f''<sub>2</sub>(''s''{{exp|-1}}) est égal à {{surligner|''f''<sub>2</sub>(''s'')}} (le [[conjugué]] de ''f''<sub>2</sub>(''s'')), alors (''f''<sub>1</sub>|''f''<sub>2</sub>) = ⟨''f''<sub>1</sub>|''f''<sub>2</sub>⟩. Par conséquent, les caractères irréductibles forment aussi, pour ce produit hermitien, une [[base orthonormée]] de l'espace des fonctions centrales.

=== Fonctions centrales et algèbre du groupe===
{{Article détaillé|Algèbre d'un groupe fini|Représentation de groupe#Lien avec les K.5BG.5D-modules{{!}}Dictionnaire entre représentations d'un groupe et modules sur son algèbre}}
La [[Algèbre associative sur un corps|''K''-algèbre]] du groupe ''G'', notée ''K''[''G''], est définie en munissant l'espace vectoriel ''K<sup>G</sup>'' du [[produit de convolution]] ∗, décrit par :<center><math>\forall a,b\in K^G,\quad\forall u\in G,\qquad(a*b)(u)=\sum_{s,t\in G,st=u}a(s)b(t).</math></center>Les fonctions centrales de ''G'' dans ''K'' sont alors caractérisées par  :
*''Le [[centre (algèbre)|centre]] de l'[[anneau unitaire]] K''[''G''] ''coïncide avec le sous-espace des fonctions centrales.''
En effet, une fonction ''f'' = ∑<sub>''t''∈''G''</sub>''f''(''t'')δ<sub>''t''</sub> appartient au centre si et seulement si elle commute avec tous les δ<sub>''s''</sub>, ce qui équivaut à la condition que ''f'' soit centrale, puisque (δ<sub>''s</sub>{{-1}}∗f''∗δ<sub>''s''</sub>)(''t'') = ''f''(''sts''{{-1}}).

Le théorème de Maschke se reformule en disant que si ''g'' est inversible dans ''K'', alors tout [[sous-module]] d'un [[Module sur un anneau|''K''[''G'']-module]] est [[Facteur direct d'un module|facteur direct]], ou plus synthétiquement : que ''K''[''G''] est [[Anneau semi-simple|semi-simple]]. '''Si l'on suppose de plus que ''K'' est [[Corps algébriquement clos|algébriquement clos]]''' alors, d'après le [[Anneau semi-simple#Cas des algèbres semi-simples de dimension finie|théorème d'Artin-Wedderburn pour les ''K''-algèbres semi-simples de dimension finie]], ''K''[''G''] est [[somme directe]] d'algèbres d'endomorphismes de certains ''K''-espaces vectoriels. Plus précisément, si (''S''<sub>i</sub>) où ''i'' varie de 1 à ''h'' est une famille maximale d'espaces irréductibles non isomorphes deux à deux, alors :
<center><math>K[G] \; \simeq \; \bigoplus_{i=1}^h \mathcal L_K(S_i).</math></center>
Le centre de ''K''[''G''] est donc isomorphe à ''K<sup>h</sup>'', et on retrouve les homothéties de la section précédente.

== Notes et références ==
{{Références}}

{{Palette|Représentations des groupes finis}}
{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Théorie des représentations]]