Voir la source de Fonction convexe

[[Fichier:Convex-function-graph-1.png|vignette|upright=1.5|droite|Fonction convexe.]]

En [[mathématiques]], une [[fonction réelle d'une variable réelle]] est dite '''convexe''' :
* si quels que soient deux points <math>A</math> et <math>B</math> du [[Graphe d'une fonction|graphe]] de la [[application (mathématiques)|fonction]], le [[segment (mathématiques)|segment]] <math>[ AB ]</math> est entièrement situé '''au-dessus''' du graphe, c’est-à-dire que la courbe représentative de la fonction se situe toujours en dessous de ses [[Corde (géométrie)|cordes]] ;
* ou si l'[[Épigraphe (mathématiques)|épigraphe]] de la fonction (l'ensemble des points qui sont au-dessus de son graphe) est un [[ensemble convexe]] ;
* ou si '''vu d'en dessous''', le graphe de la fonction est en bosse.

En précisant au moyen des valeurs de la fonction ce que sont les points <math>A</math> et <math>B</math> ci-dessus, on obtient une définition équivalente souvent donnée de la convexité d'une fonction : une fonction définie sur un [[intervalle réel]] <math>I</math> est convexe lorsque, pour tous <math>x</math> et <math>y</math> de <math>I</math> et tout <math>t</math> dans <math>[ 0 ; 1 ]</math> on a :

<center><math>f\left(t x+(1-t)y\right) \leq t\,f(x)+(1-t)\,f(y)</math></center>

Lorsque l'inégalité est stricte (avec <math>x</math> différent de <math>y</math> et <math>t</math> dans <math>]0 ; 1[</math>), on parle de ''fonction strictement convexe''.

La [[fonction carré]] et la [[fonction exponentielle]] sont des exemples de fonctions strictement convexes sur l'[[Nombre réel|ensemble réel]] <math>\R</math>.

Ces définitions se généralisent aux fonctions définies sur un [[espace vectoriel]] (ou [[espace affine|affine]]) arbitraire et à valeurs dans la [[droite réelle achevée]] <math>\overline{\R}=\R\cup\{-\infty,+\infty\}</math>.

À l'inverse, une fonction dont un même segment <math>[AB]</math> est situé en dessous du graphe, ou dont l'[[hypographe]] (l'ensemble des points qui sont en dessous du graphe de la fonction) est un ensemble convexe, ou encore dont, vu d'en dessous, le graphe est en creux, est dite [[fonction concave|concave]]. En d'autres termes, une fonction <math>f</math> est concave si son opposée <math>-f</math> est convexe. Ainsi, les [[Fonction affine|fonctions affines]] sont à la fois convexes et concaves.
<!--
Plus généralement, une fonction définie sur un ensemble convexe <math>C</math> et à valeurs dans <math>\R</math> est dite convexe lorsqu'elle vérifie l'inégalité ci-dessus pour tous points <math>x</math> et <math>y</math> de <math>\C</math> et tout <math>t</math> dans <math>[0 ; 1]</math> ; <math>t \, x + (1 – t) \, y</math> désignant le [[barycentre (géométrie affine)|barycentre]] du système pondéré <math>(x ; t) (y ; (1–t))</math>.
-->

Les fonctions convexes sont, avec les ensembles convexes, les objets constitutifs de l'[[analyse convexe]], une discipline « intermédiaire » entre l'[[algèbre linéaire]] et l'analyse non linéaire. <!--
Elles possèdent d'intéressantes propriétés de [[Continuité (mathématiques)|continuité]] et de [[dérivabilité]].-->Elles permettent de démontrer un grand nombre d'inégalités remarquables, dites inégalités de convexité. Elles jouent aussi un rôle singulier en [[Optimisation (mathématiques)|optimisation]], en supprimant la distinction entre [[Extremum local#Extrémums d'une fonction|minima locaux et globaux]] (tout minimum local d'une fonction convexe est un minimum global).

== Fonction convexe d'une variable réelle ==
[[Fichier:Función convexa.png|droite]]

Dans cette première section, on va supposer que l'ensemble de départ est un intervalle réel <math>I</math>. Cette restriction permet de fournir une première initiation aux fonctions convexes d'abord plus aisée et parce que la possibilité de tracer des [[graphe d'une fonction|représentations graphiques]] planes facilite certainement la tâche, ensuite et surtout parce que les concepts de [[Continuité (mathématiques)|continuité]] ou [[dérivabilité]] sont significativement plus maniables pour les fonctions d'une seule variable. Cette approche montre tout de même vite ses limites, en particulier parce qu'elle n'est guère pertinente pour appliquer la théorie des fonctions convexes à l'[[optimisation (mathématiques)|optimisation]] qui en est sans doute la principale motivation.

=== Définitions ===

{{Théorème|Définition|Une fonction <math>f</math> d'un intervalle réel <math>I</math> vers <math>\R</math> est dite convexe lorsque, pour tous <math>x_1</math> et <math>x_2</math> de <math>I</math> et tout <math>t</math> dans <math>[0 ; 1]</math> on a :
<center><math> f(t\, x_1+(1-t)\, x_2) \le t\, f(x_1)+(1-t)\, f(x_2).</math></center>|style=display:table}}

Cela signifie que pour tout <math>x_1</math> et <math>x_2</math> de <math>I</math>, le [[segment (mathématiques)|segment]] <math>[A_1, A_2]</math> de <math>\R^2</math>, où <math>A_1 = (x_1, f(x_1))</math> et <math>A_2 = (x_2, f(x_2))</math>, est situé au-dessus de la [[Graphe d'une fonction|courbe représentative]] de <math>f</math>.

Une [[fonction concave]] est une fonction dont la fonction opposée est convexe.

On vérifie aussitôt ce qui suit, reliant les notions d'ensemble convexe et de fonction convexe :
{{Théorème|Remarque|La fonction <math>f</math> est convexe sur <math>I</math> si et seulement si son [[Épigraphe (mathématiques)|épigraphe]] <math>\operatorname{epi}\,f:=\{(x,\, y) \in I \times \R\mid y \geq f(x)\}</math> est un sous-ensemble convexe de <math>\R^2</math>.|style=display:table}}

;Exemple
:La fonction <math>x \to | x |</math> est convexe, parce que son épigraphe est un quart de plan (lui-même convexe comme intersection de deux demi-plans). Il est souvent malcommode de vérifier la convexité d'une fonction définie par une formule concrète à partir de la seule définition, on attendra donc quelques paragraphes pour donner d'autres exemples, lorsqu'on disposera d'un critère de convexité plus utilisable en pratique.

=== Possibilité de n'utiliser que des milieux ===

La définition de la convexité fait apparaître des [[barycentre (géométrie affine)|barycentres]] où les coefficients sont des réels arbitraires de <math>[0 ; 1]</math>. Lorsqu'on ne fait porter l'hypothèse que sur les [[milieu d'un segment|milieux]], elle s'étend aux [[isobarycentre]]s :

{{Théorème|Lemme<ref>Démontré p. 179 de {{Article|lien auteur=Johan Jensen|prénom=J. L. W. V.|nom=Jensen|titre=Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes|revue=[[Acta Mathematica]]|vol=30|année=1906|doi=10.1007/BF02418571|passage=175-193|url=http://www.cs.cmu.edu/~suvrit/teach/papers/1906_jensen_sur_les_fonctions_convexes_et_les_inegalites_entre_valeurs_moyennes.pdf}}.</ref>
|2=Si une fonction <math>f</math> vérifie la condition suivante pour <math>p = 2</math>, alors elle la vérifie pour tout entier <math>p \geq 2</math> :
<center><math>\forall x_1,\cdots,x_p\in I\quad f\left(\frac{x_1+\cdots+x_p}p\right)\le\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_p)}p.</math></center>|style=display:table}}

{{Démonstration/début|titre=Démonstration<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=[[Emil Artin]] |titre=The Gamma Function |éditeur=[[Dover Publications|Dover]] |année=2015 |année première édition=1964 |pages totales=48 |passage=5 |isbn= |lire en ligne={{Google Livres|U3MnBgAAQBAJ|page=5}}}}.</ref>}}
Le « [[Raisonnement par récurrence#Un principe de récurrence alternatif|principe de récurrence alternatif]] » suivant démontre ce lemme.
* Si la condition est vraie pour <math>p</math> alors elle l'est pour <math>2p</math> car
<center><math>\begin{align}f\left(\frac{x_1+\cdots+x_{2p}}{2p}\right)&=f\left(\frac{\frac{x_1+\cdots+x_p}p+\frac{x_{p+1}+\cdots+x_{2p}}p}2\right)\\&\le\frac{f\left(\frac{x_1+\cdots+x_p}p\right)+f\left(\frac{x_{p+1}+\cdots+x_{2p}}p\right)}2\\&\le\frac{\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_p)}p+\frac{f(x_{p+1})+\cdots+f(x_{2p})}p}2\\&=\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_{2p})}{2p}.\end{align}</math></center>
* Si elle l'est pour <math>p+1</math> alors elle l'est pour <math>p</math> car en posant
<center><math>x_{p+1}=\frac{x_1+\cdots+x_p}p,</math></center>
on obtient
<center><math>f(x_{p+1})=f\left(\frac{x_1+\cdots+x_{p+1}}{p+1}\right)\le\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_{p+1})}{p+1},</math></center>
c'est-à-dire
<center><math>f(x_{p+1})\le\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_p)}p.</math></center>
{{Démonstration/fin}}

En ajoutant une hypothèse supplémentaire de régularité<ref>Une hypothèse de ce type est indispensable, car toutes les solutions <math>f</math> de l'[[équation fonctionnelle de Cauchy]] satisfont <math>f\left(\frac{x_1+x_2}2\right)=\frac{f(x_1)+f(x_2)}2</math>.</ref> de <math>f</math>, on obtient :

{{Théorème|Proposition<ref>Ce résultat est attribué à Jensen par {{Ouvrage |langue=en |auteur1=Constantin Nicolescu |auteur2={{Lien|Lars-Erik Persson}} |titre=Convex Functions and their Applications |sous-titre=A Contemporary Approach |éditeur=Springer |collection=Ouvrages de mathématiques de la Société mathématique du Canada |numéro dans collection=23 |année=2006 |passage=10 |isbn=978-0-387-24300-9 |lire en ligne={{Google Livres|xpT_Kl9OS24C}}}}. Ils renvoient à {{Harvsp|Jensen|1906}}, qui démontre directement une inégalité plus générale {{Infra|Extension à des barycentres de plus de deux points}}.</ref>
|Une fonction <math>f</math> ''[[Continuité (mathématiques)|continue]]'' sur <math>I</math> est convexe sur <math>I</math> si (et seulement si) quels que soient les éléments <math>x_1</math> et <math>x_2</math> de <math>I</math> :
<center><math>f\left(\frac{x_1+x_2}2\right)\le\frac{f(x_1)+f(x_2)}2.</math></center>|style=display:table}}

{{démonstration|titre=Démonstration<ref>{{Harvsp|Artin|2015|p=6}}. Pour une autre méthode, voir {{Harvsp|Nicolescu|Persson|2006}}, ou la {{Note autre projet|wikiversité|Fonctions convexes/Définition et premières propriétés|la leçon « Fonctions convexes »|début=Propriété 11 de}}.</ref>|
Grâce au lemme, on a
<center><math>\forall x,y\in I\quad f\left(t x+(1-t)y\right) \leq t f(x)+(1-t)f(y)</math></center>
pour tout [[Nombre rationnel|rationnel]] <math>t</math> dans <math>[0 ; 1]</math> donc (par [[Partie dense|densité]]) pour tout <math>t</math> dans <math>[0 ; 1]</math>.
}}

=== Extension à des barycentres de plus de deux points ===
{{Article détaillé|Inégalité de Jensen}}

L'inégalité de la définition s'étend comme suit (on peut le démontrer par récurrence sur l'entier <math>p</math><ref>Démonstration de{{Note autre projet|wikiversité|Fonctions convexes/Définition et premières propriétés|l'inégalité de Jensen dans la leçon « Fonctions convexes »|début=}}.</ref> ou par le même argument que dans la proposition ci-dessus<ref>{{Harvsp|Jensen|1906|p=180}}, repris dans {{Harvsp|Artin|2015|p=6}}.</ref>. On dénomme parfois cette version l'[[inégalité de Jensen]] :
{{Théorème|Proposition|Si <math>f</math> est convexe sur <math>I</math> et si <math>x_1,\cdots , x_p</math> sont des points de <math>I</math> et <math>t_1, \cdots , t_p</math> des réels ''positifs ou nuls'' tels que <math>t_1 + \cdots + t_p = 1</math>, alors :
<center><math>f(t_1\, x_1 + \cdots +t_p\, x_p) \le t_1\, f(x_1) + \cdots +t_p\, f(x_p).</math></center>
|style=display:table}}

=== Géométrie du graphe d'une fonction convexe ===

On appelle parfois « lemme des trois cordes » ou « inégalité des pentes » voire « inégalité des trois pentes » le résultat suivant<ref>Ce résultat est cité par {{Harvsp|Nicolescu|Persson|2006|p=20-21}}, qui l'attribuent à L. Galvani, renvoyant à son article « Sulle funzioni convesse di una o due variabili, definite in un aggregato qualunque », ''Rend. Circ. Mat. Palermo'', vol. 41, 1916, {{p.|103-134}} {{DOI|10.1007/BF03018290}}.</ref> :

{{Théorème|Proposition<ref>On trouve une démonstration dans {{Harvsp|Artin|2015|p=1 et 6}}, ou dans {{Note autre projet|wikiversité|Fonctions d'une variable réelle/Convexité#Convexité et continuité|le chapitre « Convexité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle|début=}}.</ref>|Si <math>f</math> est convexe sur <math>I</math> pour tous points <math>x_1</math>, <math>x_2</math> et <math>x_3</math> de <math>I</math> avec <math>x_1 < x_2 < x_3</math> :
<center><math>\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\leq \frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}\leq \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}</math></center>
Réciproquement, si l'une des deux inégalités est vérifiée pour tous <math>x_1</math>, <math>x_2</math> et <math>x_3</math> de <math>I</math> avec <math>x_1 < x_2 < x_3</math>, alors <math>f</math> est convexe.|style=display:table}}

=== Régularité des fonctions convexes ===

Le « lemme des trois cordes » permet de montrer que<ref>Voir {{Harvsp|Nicolescu|Persson|2006|p=21}}, qui attribuent les deux premiers points à [[Otto Stolz]], renvoyant à son traité ''{{Lang|de|Grundzüge der Differential und Integralrechnung}}'', vol. 1, Teubner, Leipzig, 1893.</ref> :

{{Théorème|Théorème|Si <math>I</math> est un [[Intervalle réel|intervalle ''ouvert'']] et si <math>f : I \to \R</math> est convexe alors :
# <math>f</math> est [[Dérivabilité#Dérivabilité à gauche ou à droite|dérivable à gauche et à droite]] (donc continue) et <math>f_g' \leq f_d'</math> ;
# les fonctions <math>f_g'</math>, <math>f_d'</math> sont [[fonction monotone|croissantes]] ;
# l'ensemble des points <math>x</math> où <math>f</math> n'est pas dérivable (c'est-à-dire tels que <math>f_g'(x) \neq f_d'(x)</math>) est [[ensemble dénombrable|au plus dénombrable]].
|style=display:table}}

{{démonstration|contenu=
* Soit <math>a \in I</math>. On définit sur <math>I \ a</math> le taux d'accroissement en <math>a</math> par <math> \tau _a :x \mapsto \frac{f(x) - f(a)} {x - a}</math>. Cette fonction est croissante d'après le lemme des trois cordes appliqué aux trois cas : <math>a < x < y</math>, <math>x < a < y</math> et <math>x < y < a</math>. Elle admet donc en <math>a</math> une limite à gauche <math>f_g'(a) > -\infty</math> et une limite à droite <math>f_d'(a) < +\infty</math> telles que <math>f_g'(a) \leq f_d'(a)</math>.
*Soient <math>x,y \in I</math> tels que <math>x < y</math>. Pour tous <math>s,t \in I</math> tels que <math>x \neq s < y</math> et <math>x < t \neq y</math>, <math>\tau_x(s) \leq \tau_x(y) = \tau_y(x) \leq \tau_y(t)</math>. En faisant tendre <math>s</math> vers <math>x^\pm</math> et <math>t</math> vers <math>y^\pm</math>, on en déduit : <math>f_g'(x), f_d'(x) \leq f_g'(y), f_d'(y)</math>. En particulier, les fonctions <math>f_g'</math> et <math>f_d'</math> sont croissantes.
*La fonction <math>f_d'</math> étant croissante, d'après le [[théorème de Froda]], l'ensemble de ses points de discontinuité est au plus dénombrable. Montrons qu'en tout point <math>x</math> où elle est continue, elle coïncide avec <math>f_g'</math>, autrement dit : <math>f</math> est dérivable en <math>x</math>. D'après les inégalités précédentes, pour tout <math>s \in I</math> tel que <math>s < x</math>, on a <math>f_d'(s) \leq f_g'(x) \leq f_d'(x)</math>. Alors, par continuité de <math>f_d'</math> en <math>x</math> et le théorème des gendarmes, en faisant tendre <math>s</math> vers <math>x</math>, il suit que <math>f_g'(x) = f_d'(x)</math>.
}}

On peut préciser les deux premiers points par<ref>{{Harvsp|artin|2015|p=4}}.</ref> : une fonction <math>f : I \to \R</math> définie sur un intervalle ouvert <math>I</math> est convexe si et seulement si <math>f_g'</math> et <math>f_d'</math> sont définies et croissantes sur <math>I</math>.

On démontre par ailleurs {{infra|Continuité sur un ouvert}} que <math>f</math> est aussi [[Propriété locale|localement]] [[application lipschitzienne|lipschitzienne]].

=== Cas des fonctions dérivables ===
[[Fichier:X Cubed.svg|vignette|La fonction <math>x\mapsto x^3</math> est convexe sur ℝ{{ind|+}} et concave sur ℝ{{ind|–}}.]]
On dispose de deux caractérisations<ref>Cf. {{Note autre projet|wikiversité|Fonctions convexes/Fonctions convexes dérivables|la leçon « Fonctions convexes »|début=Propriété 13 et Théorème 1 de}}.</ref> :

{{Théorème|Proposition|Soit <math>f</math> une fonction ''[[dérivabilité|dérivable]]'' sur un intervalle <math>I</math>.

* <math>f</math> est convexe si et seulement si sa [[graphe d'une fonction|courbe représentative]] est au-dessus de chacune de ses [[tangente (géométrie)|tangentes]] ;
* <math>f</math> est convexe si et seulement si sa [[dérivée]] est [[fonction monotone|croissante]] sur <math>I</math>.|style=display:table}}

On déduit de la seconde caractérisation :
* que toute fonction convexe et dérivable (sur un intervalle réel) est de [[Classe de régularité|classe C{{1}}]]<ref>Énoncé dans {{Ouvrage |auteur1=Jacques Douchet |titre=Analyse |sous-titre=recueil d'exercices et aide-mémoire |volume=1 |éditeur=[[PPUR]] |année=2010 |numéro d'édition=3 |année première édition=2003 |passage=77 |isbn= |lire en ligne={{Google Livres|4uQZ42UkXm8C|page=77}}}} (prop. 5.44) et démontré dans {{Note autre projet|wikiversité|Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Convexité#Exercice 6|exercice corrigé de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle|début=cet}} Pour une généralisation aux fonctions convexes d'une variable vectorielle, voir {{Ouvrage |langue=en |auteur1=Jean-Paul Penot |titre=Calculus Without Derivatives |éditeur= |collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]] |numéro dans collection=266 |année=2012 |passage=202-203 |isbn= |lire en ligne={{Google Livres|ZbkQKsRh3HcC|page=202}}}}.</ref> ;
* le corollaire suivant, fort pratique pour vérifier sans mal la convexité d'exemples spécifiques :

{{Théorème|Corollaire<ref>Cf. {{Note autre projet|wikiversité|Fonctions convexes/Fonctions convexes dérivables|la leçon « Fonctions convexes »|début=Théorème 2 de}}.</ref>|Soit <math>f</math> une fonction ''[[Classe de régularité|deux fois dérivable]]'' sur un intervalle <math>I</math>.

<math>f</math> est convexe si et seulement si sa [[dérivée seconde]] <math>f''</math> est à valeurs positives ou nulles.|style=display:table}}

Ainsi, on peut désormais facilement ajouter à sa collection de fonctions convexes (ou concaves) les exemples suivants :
* la [[fonction puissance]] <math>\R^*_+ \to \R,\,x\mapsto x^a</math> est concave si <math>0 < a < 1</math> et convexe sinon ;
* pour tout [[Entier naturel|entier positif]] <math>n</math>, la fonction <math>\R\to\R,\, x \mapsto x^n</math> est convexe si <math>n</math> est pair (si <math>n</math> est impair, elle est convexe sur <math>\R^+</math> et concave sur <math>\R^-</math>) ;
* la fonction <math>\R \to \R, x \to \exp(x)</math> est convexe ;
* la fonction <math>\R_+^* \to \R, x \to \ln(x)</math> est concave.

=== Stricte convexité ===

En faisant intervenir des inégalités strictes, on dispose d'une variante de la convexité : la stricte convexité.

{{Théorème|Définition|Une fonction <math>f</math> d'un intervalle <math>I</math> de <math>\R</math> vers <math>\R</math> est dite ''strictement convexe'' lorsque, pour tous <math>x_1</math> et <math>x_2</math> distincts dans <math>I</math> et tout <math>t</math> dans <math>]0 ; 1[</math>, on a :
<center><math>f(t\, x_1+(1-t)\, x_2)<t\, f(x_1)+(1-t)\, f(x_2).</math></center>|style=display:table}}

Les résultats énoncés plus haut pour des fonctions convexes s'adaptent généralement sans mal aux fonctions strictement convexes.

De même que les fonctions dérivables convexes sont celles qui ont une dérivée croissante, les fonctions dérivables strictement convexes sont celles qui ont une dérivée strictement croissante.

D'après le [[Fonction monotone#Monotonie et signe de la dérivée|lien entre monotonie et signe de la dérivée]], une fonction <math>f</math> deux fois dérivable est donc strictement convexe si et seulement si <math>f''</math> est positive et ne s'annule que sur un ensemble d'[[Intérieur (topologie)|intérieur]] vide.

;Exemple
:<math>x \to x^4</math> est strictement convexe (sa dérivée seconde est positive et ne s'annule qu'en 0).

== Fonction convexe définie sur un espace vectoriel ==
=== Définitions ===
==== Convexité ====

On peut donner au moins deux définitions légèrement différentes d'une fonction convexe [[Fonction de plusieurs variables|de plusieurs variables réelles]] (ou plus généralement : d'une variable [[Vecteur|vectorielle]]), qui reviennent essentiellement au même mais ne fournissent néanmoins pas exactement les mêmes fonctions. On prendra donc garde au contexte lors d'une invocation d'une de ces définitions pour comprendre s'il s'agit ou non de fonctions susceptibles de prendre des valeurs infinies.

{{Théorème|Définition 1|Soient <math>E</math> un espace vectoriel (ou affine) réel et <math>C</math> un convexe de <math>E</math>. On dit qu'une fonction
<center><math>f:C\to\R</math></center>
est convexe lorsque
<center>pour tous <math>x_1</math> et <math>x_2</math> de <math>C</math></center>{{Saut|10px}}et tout <math>t</math> dans {{math|[0 ; 1]}}, on a : <math> f(tx_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)</math>.}}

Autrement dit : <math>f</math> est convexe si sa {{Citation|restriction}} <math>t \to f(tA + (1-t)B)</math> à tout segment <math>[A,B]\subset C</math> est une fonction convexe de la variable réelle <math>t \in [0 ; 1]</math> {{supra|Fonction convexe d'une variable réelle}}<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=Stephen Boyd |auteur2=Lieven Vandenberghe |titre=Convex Optimization |éditeur=Cambridge University Press |année=2004 |passage=110 |isbn= |lire en ligne={{Google Livres|IUZdAAAAQBAJ|page=110}}}}.</ref>.

{{Théorème|Définition 2|Soit <math>E</math> un espace vectoriel (ou affine) réel. On dit qu'une fonction<center><math>f:E\to\R\cup\{+\infty\}</math></center> est convexe lorsque
<center>pour tous <math>x_1</math> et <math>x_2</math> de [[Domaine effectif]] <math>\text{dom} f</math><math>:=\{x\in E\mid f(x)<+\infty\}</math></center>{{Saut|10px}}et tout <math>t</math> dans {{math|[0 ; 1]}}, on a : <math>f(tx_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)</math>.}}

Étant donné une fonction convexe au sens de la définition 1, on peut lui associer une fonction convexe au sens de la définition 2 en la prolongeant hors de <math>C</math> par la valeur <math>+\infty</math> ; réciproquement, étant donné une fonction convexe <math>f:E\to\R\cup\{+\infty\}</math> au sens de la définition 2, l'ensemble <math>C := \text{dom} f</math> est un convexe et la restriction de <math>f</math> à <math>C</math> est une fonction convexe au sens de la définition 1. Les deux transformations sont réciproques l'une de l'autre : les deux définitions, quoique techniquement distinctes, décrivent bien la même notion.

Certaines sources requièrent de plus que <math>C</math> soit non vide (dans la définition 1) ou que <math>f</math> ne soit pas la constante <math>+\infty</math> (dans la définition 2) pour prévenir certaines exceptions désagréables dans quelques énoncés. Une telle fonction de <math>E</math> dans <math>\R\cup\{+\infty\}</math> est dite [[Fonction propre (analyse convexe)|propre]]<ref>Pour l'ensemble de cette sous-section, voir {{Ouvrage |langue=en |auteur1=Jean-Baptiste Hiriart-Urruty |auteur2=[[Claude Lemaréchal]] |titre=Fundamentals of Convex Analysis |éditeur=[[Springer Verlag|Springer]] |collection=Grundlehren Text Editions |année=2004 |année première édition=[https://books.google.fr/books?id=Ben6nm_yapMC 2001] |pages totales=259 |passage=74-76 |isbn=978-3-540-42205-1 |lire en ligne={{Google Livres|hIYKBwAAQBAJ}}}}.</ref>.

La définition 2 est plus récente que la définition 1 et fut introduite indépendamment par [[R. Tyrrell Rockafellar|Rockafellar]] et [[Jean Jacques Moreau|Moreau]]<ref>Selon ce qu'en dit R. T. Rockafellar dans le [http://www.cim.pt/docs/8/pdf CIM Bulletin].</ref>. Elle permet de définir une fonction convexe comme un seul « objet » (une fonction définie sur un espace vectoriel ayant une propriété bien particulière) et non comme un couple formé d'un ensemble convexe d'un espace vectoriel et d'une fonction à valeurs réelles définie sur cet ensemble convexe. La définition 2 est la plus communément utilisée en [[analyse convexe]], pour les raisons suivantes : d'une part, elle allège souvent l'expression des résultats et, d'autre part, elle permet de ne pas devoir préciser le convexe sur lequel est définie une fonction convexe obtenue par l'une des constructions standards de l'analyse convexe, comme l'[[enveloppe supérieure]], la [[fonction d'appui]], la [[fonction marginale]], la [[fonction conjuguée]], la [[Dualité (optimisation)|fonction duale]] en optimisation{{etc.}}

==== Stricte convexité ====

Soit <math>E</math> un espace vectoriel (ou affine) réel. On dit qu'une fonction <math>f:E\to\R\cup\{+\infty\}</math> est ''strictement convexe'' si, pour tous <math>x_1</math> et <math>x_2</math> distincts dans <math>\text{dom} f</math> et tout <math>t</math> dans <math>]0 ; 1[</math>, on a :

<center><math>f(t\, x_1+(1-t)\, x_2)<t\, f(x_1)+(1-t)\, f(x_2).</math></center>

==== Forte convexité ====

Soit <math>(E, \| \cdot \|)</math> un [[espace normé]]. On dit qu'une fonction <math>f:E\to\R\cup\{+\infty\}</math> est ''fortement convexe'', de module <math>\alpha > 0</math> si, pour tous <math>x_1</math> et <math>x_2</math> dans <math>\text{dom} f</math> et tout <math>t</math> dans <math>[0 ; 1]</math>, on a :

<center><math>f(t\, x_1+(1-t)\, x_2)\le t\, f(x_1)+(1-t)\, f(x_2)-\frac{\alpha}2\,t(1-t)\|x_1-x_2\|^2. </math></center>
On retrouve la notion de fonction convexe lorsque <math>\alpha  = 0</math>.

=== Exemples de fonctions convexes ===

Voici quelques exemples de constructions de fonctions convexes :
* produit d'une fonction convexe par un réel positif ;
* somme de deux fonctions convexes (de plus, si <math>f</math> est strictement convexe et <math>g</math> est convexe alors <math>f + g</math> est strictement convexe) ;
* [[fonction logarithmiquement convexe|exponentielle d'une fonction convexe]] ou plus généralement, [[fonction composée]] <math>g\circ f</math> d'une [[fonction réelle]] convexe croissante <math>g</math> par une fonction convexe <math>f</math><ref>Cf. {{Note autre projet|wikiversité|Fonctions convexes/Définition et premières propriétés|la leçon « Fonctions convexes »|début=Propriétés 8 et 9 de}}.</ref> ;
* [[fonction convexe polyédrique]] ;
* [[fonction d'appui]] d'un ensemble et plus généralement :
** [[fonction sous-linéaire]],
** [[fonction conjuguée]] d'une fonction de <math>E</math> dans <math>\R</math> ;
* [[Fonction indicatrice (analyse convexe)|fonction indicatrice]] (au sens de l'analyse convexe) d'un ensemble convexe ;
* [[fonction marginale]] dont les valeurs sont obtenues en minimisant une seconde fonction paramétrée par ses arguments.

Voici des exemples concrets de fonctions convexes ou concaves :
* les applications à la fois convexes et concaves sont les [[Application affine|applications affines]] ;
* une [[forme quadratique]] <math>x \to B(x,x)</math>, associée à une [[forme bilinéaire symétrique]] <math>B</math>, est convexe si, et seulement si <math>B</math> est [[Forme bilinéaire#Définitions associées au cas où E est égal à F|positive]]. Elle est strictement convexe si et seulement si <math>B</math> est [[Forme bilinéaire#Définitions associées au cas où E est égal à F|définie positive]] ;
* la fonction [[Logarithme naturel|log]]-[[Déterminant (mathématiques)|det]] : <math>X \to \ln \det X</math> sur le convexe des [[Matrice définie positive|matrices définies positives]] (dans l'espace des [[Matrice symétrique|matrices symétriques]] réelles d'ordre <math>n</math>) est concave.

=== Propriétés élémentaires ===

Pour tout [[espace vectoriel topologique]] <math>E</math> de dimension infinie, il existe des fonctions convexes de domaine <math>E</math> qui ne sont pas continues : par exemple les [[Forme linéaire#Formes linéaires continues|formes linéaires non continues]] sur <math>E</math>.

Cependant, une proportion significative de résultats valables pour des fonctions convexes d'une variable se reproduisent à l'identique pour des fonctions convexes sur une partie d'un espace vectoriel, soit qu'on se ramène pour les prouver à considérer la restriction de la fonction à une droite, soit que la démonstration soit une simple révision de la version à une variable. En voici quelques-unes :

* une fonction convexe est une fonction dont l'épigraphe est convexe<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=[[Werner Fenchel]] |titre=Convex Cones, Sets, and Functions |éditeur=[[Princeton University Press]] |année=1951 |passage=57 |lire en ligne=https://carma.newcastle.edu.au/ConvexFunctions/FenchelNotes.pdf}}.</ref> ;
* dans un espace vectoriel topologique, une fonction qui vérifie l'inégalité de convexité pour les seuls milieux et qui est continue est convexe ;
* une fonction convexe vérifie l'[[inégalité de Jensen]].
<!--
Donné en propriété plus loin
* Dans un [[espace vectoriel normé|espace normé]] <math>E</math>, on dira qu'une application <math>U</math> définie sur un convexe de <math>E</math> et à valeurs dans le [[espace dual|dual]] <math>E^*</math> est '''monotone''' lorsque pour tous <math>x_1</math>, <math>x_2</math> dans <math>C</math>, <math>U(x_1)(x_2 – x_1) \leq U(x_2)(x_2 – x_1)</math>. Soit maintenant <math>f</math> [[différentielle|différentiable]] sur un ouvert convexe de <math>E</math>. Alors <math>f</math> est convexe si et seulement si sa différentielle est monotone.
-->

=== Minorante affine ===

La technique de minoration des fonctions convexes par des fonctions affines est une variante adaptée à l'analyse de l'utilisation des [[hyperplan d'appui|hyperplans d'appui]] en géométrie convexe. La forme analytique du [[théorème de Hahn-Banach]] permettrait de minorer directement une fonction convexe définie (et à valeurs finies) sur la totalité de son espace de départ. En revanche, dès que la fonction n'est pas définie partout, il faut poser quelques restrictions techniques<ref>La proposition qui suit est énoncée dans {{Harvsp|Nicolescu|Persson|2006|p=114}} (sous l'hypothèse d'un espace <math>E</math> normé, qui ne joue pas un rôle essentiel dans la preuve).</ref>.

{{Théorème|Proposition|Soit <math>E</math> un espace vectoriel topologique, <math>f</math> une fonction convexe et ''continue'' définie sur un ''[[Ouvert (topologie)|ouvert]]'' convexe non vide <math>U</math> de <math>E</math> et <math>x_0</math> un point de <math>U</math>.

Il existe alors une fonction affine continue qui minore <math>f</math> et qui coïncide avec elle en <math>x_0</math>.
|style=display:table}}

On verra un peu plus bas que l'hypothèse de continuité est superflue en dimension finie (c'est une conséquence de la convexité). En revanche, la condition topologique sur <math>U</math> est indispensable, même en une seule variable : pour la fonction convexe <math>f(x) = -\sqrt{1-x^2}</math> sur <math>[-1;1]</math> (dont le graphe est un demi-cercle) et <math>x_0 = 1</math>, on ne peut trouver de fonction affine minorante au sens de la proposition précédente.

{{démonstration|contenu=
Considérons d'une part l'épigraphe strict <math>C=\{(x,y)\in U\times \R\,\mid\, f(x)< y\}</math> de <math>f</math> : il est convexe par convexité de <math>f</math>, ouvert dans <math>E\times \R</math> parce que <math>U</math> est ouvert et <math>f</math> continue, et d'autre part le singleton <math>L = \{ (x_0 , f(x_0)) \}</math>. En utilisant la première forme géométrique du [[théorème de Hahn-Banach]], on a la garantie qu'existe un hyperplan d'appui à <math>C</math> passant par <math>(x_0 , f(x_0))</math>, qui est fermé. Cet hyperplan ne peut contenir la droite <math>\{x_0\} \times \R</math> car il ne contient pas <math>(x_0 , f(x_0+1))</math> par exemple. On en conclut qu'il est le graphe d'une application affine qui minimise <math>f</math>, et qui est continue parce que <math>H</math> est fermé.}}

=== Reconnaître une fonction convexe par ses dérivées ===
==== Utilisation des dérivées premières ====

Voici un premier résultat permettant de reconnaître la convexité d'une fonction au moyen de ses dérivées premières. On note <math>f'(x)\in\mathcal{L}(E,\R)</math> la [[Forme linéaire#Formes linéaires continues|forme linéaire continue]] qu'est la [[Différentielle#Cas général|différentielle]] de <math>f</math> au point <math>x</math>. Le point 2 ci-dessous signifie que l'[[approximation affine]] de <math>f</math> en tout point <math>x</math> est une minorante de <math>f</math> ; le point 3 exprime la [[Opérateur monotone|monotonie]] de la dérivée.

{{Théorème|Convexité et dérivées premières|Soient <math>E</math> un espace normé, <math>\Omega</math> un ouvert convexe de <math>E</math> et <math>f: \Omega \to \R</math> une fonction différentiable. Alors, les propriétés suivantes sont équivalentes :
# <math>f</math> est convexe sur <math>\Omega</math> ;
# <math>\forall\, x,y\in\Omega,\ f(y)\ge f(x) + f'(x)\cdot(y-x)</math> ;
# <math>\forall\, x,y\in\Omega,\ (f'(y)-f'(x))\cdot(y-x)\ge0</math>.|style=display:table}}

Un résultat analogue permet de caractériser la ''stricte'' convexité d'une fonction. Il suffit de remplacer les inégalités ci-dessus par des inégalités strictes et de supposer que les points d'évaluation <math>x</math> et <math>y</math> diffèrent.

{{Théorème|Stricte convexité et dérivées premières I|Soient <math>E</math> un espace normé, <math>\Omega</math> un ouvert convexe de <math>E</math> et <math>f: \Omega \to \R</math> une fonction différentiable. Alors, les propriétés suivantes sont équivalentes :
# <math>f</math> est strictement convexe sur <math>\Omega</math> ;
# <math>\forall\, x,y\in\Omega,\ x\ne y\ : \ f(y) > f(x) + f'(x)\cdot(y-x)</math> ;
# <math>\forall\, x,y\in\Omega,\ x\ne y\ : \ (f'(y)-f'(x))\cdot(y-x)> 0</math>.|style=display:table}}

En dimension finie, les inégalités ci-dessus peuvent être renforcées<ref>{{Ouvrage |auteur1=[[Roland Glowinski|R. Glowinski]] |auteur2=[[Jacques-Louis Lions|J.-L. Lions]] |auteur3=R. Trémolières |titre=Analyse numérique des inéquations variationnelles |tome=1 |titre volume=Théorie Générale, Premières Applications |éditeur=[[Dunod]]-[[Éditions Bordas|Bordas]] |lieu=Paris |année=1976 |passage=61 et 63 |isbn=}}, Lemmes 1.1 et 1.2.</ref>.

{{Théorème|Stricte convexité et dérivées premières II|Soient <math>E</math> un espace vectoriel de dimension finie, <math>f:E\to\R</math> une fonction de [[Classe de régularité|classe C{{1}}]] et <math>t \in ]0 ; 1[</math>. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
# <math>f</math> est strictement convexe ;
# pour tout <math>\beta>0</math>, il existe une fonction <math>g_\beta:[0,2\beta]\to\R_+</math> continue, strictement croissante, vérifiant <math>g_\beta(0)=0</math> et
<center>{{Saut|10px}}<math>\forall x, y\in\Omega,\ \|x\|,\|y\|\le\beta\ : \ f(y)-f(x)\ge f'(x)\cdot(y-x)+(1-t)g_\beta(t\|y-x\|)</math> ;{{Saut|10px}}</center>
# pour tout <math>\beta>0</math>, il existe une fonction <math>g_\beta:[0,2\beta]\to\R_+</math> continue, strictement croissante, vérifiant <math>g_\beta(0)=0</math> et<center>{{Saut|10px}}<math>\forall x, y\in\Omega,\ \|x\|,\|y\|\le\beta\ : \ (f'(y)-f'(x))\cdot(y-x)\ge g_\beta(\|y-x\|)</math>.{{Saut|10px}}</center>|style=display:table}}

On peut enfin caractériser la ''forte'' convexité au moyen des dérivées premières.

{{Théorème|Forte convexité et dérivées premières|Soient <math>E</math> un espace euclidien, <math>\Omega</math> un ouvert convexe de <math>E</math> et <math>f: \Omega \to \R</math> une fonction différentiable. Alors, les propriétés suivantes sont équivalentes :
# <math>f</math> est fortement convexe sur <math>\Omega</math> ;
# <math>\exist \alpha > 0, \forall x,y\in\Omega\ : \ f(y)\ge f(x)+f'(x)\cdot(y-x)+\frac{\alpha}2\|y-x\|^2</math> ;
# <math>\exists \alpha > 0, \forall\, x,y\in\Omega\ : \ (f'(y)-f'(x))\cdot(y-x)\ge\alpha\|y-x\|^2</math>.|style=display:table}}

==== Utilisation des dérivées secondes ====

On note <math>f''(x)\in\mathcal{L}_2(E,\R)</math> la [[Forme bilinéaire#Espace des formes bilinéaires continues|forme bilinéaire continue]] et [[Théorème de Schwarz|symétrique]] qu'est la [[Différentielle#Cas général|différentielle seconde]] de <math>f</math> au point <math>x</math>.

{{Théorème|Convexité et dérivées secondes|
Soient <math>\Omega</math> un ouvert d'un espace normé et <math>f:\Omega\to\R</math> une fonction deux fois différentiable.
# <math>f</math> est convexe si et seulement si pour tout point <math>x \in \Omega</math>, la forme bilinéaire <math>f''(x)</math> est positive.
# Si, pour tout point  <math>x \in \Omega</math> <math>f''(x)</math> est définie positive, alors <math>f</math> est strictement convexe.|style=display:table}}

Rappelons que la réciproque du second point est fausse {{supra|Stricte convexité}}.

== Fonctions convexes en dimension finie ==
=== Problèmes de continuité ===
==== Continuité sur un ouvert ====

Comme en dimension 1, une fonction convexe définie sur un ouvert de  <math>\R^n</math> est forcément continue en tout point de l'ouvert. La démonstration va nous donner une information plus précise<ref>{{Harvsp|Hiriart-Urruty|Lemaréchal|2004|p=102-104}}, la minoration de la fonction convexe ayant été adaptée au vu de {{Harvsp|Nicolescu|Persson|2006|p=119}}.</ref> :

{{Théorème|Théorème|Une fonction convexe définie (et à valeurs finies) sur un ''ouvert'' de <math>\R^n</math> est [[Propriété locale|localement]] [[Application lipschitzienne|lipschitzienne]], donc continue et [[Théorème de Rademacher|dérivable presque partout]].|style=display:table}}

{{démonstration|contenu=
Soit <math>f</math> une fonction convexe définie sur l'ouvert convexe <math>C</math>, et soit <math>x_0</math> un point de <math>C</math>.

On va dans un premier temps montrer que <math>f</math> est localement bornée. La dimension finie est utilisée ici de façon essentielle.

Pour majorer localement <math>f</math>, prenons un [[simplexe]] contenant <math>x_0</math> en son intérieur, et notons <math>M</math> la plus grande valeur prise par <math>f</math> sur les <math>n + 1</math> sommets de ce simplexe. L'inégalité de convexité permet d'étendre cette majoration à tout le simplexe, donc à un voisinage de <math>x_0</math>.

Passons à la minoration locale, valable sur toute boule <math>B</math> centrée en <math>x_0</math> sur laquelle on sache déjà majorer <math>f</math> par un <math>M</math>. Pour tout point <math>x_1</math> de cette boule, en introduisant le symétrique <math>x_1'</math> de <math>x_1</math> par rapport à <math>x_0</math> et en écrivant l'inégalité de convexité pour <math>x_0</math> comme milieu de <math>[x_1 , x_1']</math> et en y reportant la majoration de <math>f(x_1')</math>, on obtient la minoration <math>2f(x_0)-M\leq f(x_1)</math>.

Soit alors <math>\delta</math> un réel strictement positif assez petit pour que <math>f</math> prenne des valeurs plus petites que <math>M</math> (et donc plus grandes que <math>2 \, f(x_0) - M</math> sur la boule ouverte <math>B_2</math> de centre <math>x_0</math> et de rayon <math>2 \delta</math>. On vérifie alors assez facilement que <math>f</math> est <math>L</math>-lipschitzienne sur la boule ouverte <math>B_1</math> de centre <math>x_0</math> et de rayon <math>\delta</math>, où l'on pose :
:<math>L={2(M-f(x_0))\over\delta}</math>

Pour cette vérification, soit <math>x_1</math> et <math>x_2</math> distincts dans <math>B_1</math>. On introduit les points auxiliaires <math>x_1'</math> et <math>x_2'</math> définis par :
:<math>x_1'=x_1-\delta{{x_2-x_1}\over{\|x_2-x_1\|}}</math> et <math>x_2'=x_2+\delta{{x_2-x_1}\over{\|x_2-x_1\|}}</math>.
On remarque que ces points auxiliaires sont dans <math>B_2</math>. Si l'on écrit successivement alors les inégalités de convexité correspondant à la représentation de <math>x_1</math> comme un point du segment <math>[x'_1,x_2]</math> et à la représentation de <math>x_2</math> comme un point du segment <math>[x_1 , x_2']</math>, puis qu'on y insère les majorations et minorations disponibles pour les valeurs de <math>f</math> sur <math>B_2</math>, on obtient rapidement la majoration souhaitée :
:<math>\left| f(x_2)-f(x_1)\right|\leq L\|x_2-x_1\|</math>}}

En dimension > 1, l'[[ensemble négligeable]] des points où <math>f</math> n'est pas dérivable peut avoir la [[puissance du continu]] : considérer par exemple<ref>{{Harvsp|Nicolescu|Persson|2006|p=137}}.</ref> l'application convexe <math>\R^2\to\R,\ (x,y)\mapsto\max(x,0)</math>.

==== Discontinuités au bord ====

À une variable, sur un intervalle non ouvert, on a vu qu'une fonction convexe n'était pas nécessairement continue.

Néanmoins il est possible de la rendre continue par un procédé simple : si <math>f</math> est convexe sur un intervalle <math>[a, b]</math>, alors nécessairement la limite à droite <math>f ^+(a)</math> de <math>f</math> en <math>a</math> existe et est inférieure ou égale à la valeur <math>f(a)</math>. La discontinuité de <math>f</math> en la borne <math>a</math> se produit alors dans le cas où <math>f ^+(a) < f(a)</math>. On peut s'en démêler en modifiant simplement la valeur de <math>f</math> en ce point : il suffit de la diminuer et la remplacer par <math>f ^+(a)</math><ref>Ces remarques sont disponibles, avec leurs preuves et quelques détails, dans {{Harvsp|Nicolescu|Persson|2006|p=22}}.</ref>.

Dès la dimension 2, les choses ne sont pas aussi confortables, comme le montre l'exemple suivant :

Soit <math>C</math> le disque-unité fermé de <math>\R^2</math> ; considérons la fonction <math>f</math> définie sur <math>C</math> par :
:<math>\left\{\begin{matrix}f(x,y)&=&\displaystyle{x^2\over{y+1}}&\mbox{si }(x,y)\not=(0,-1)\\ f(0,-1)&=&0.&\\ \end{matrix}\right.</math>

Cette fonction <math>f</math> est convexe. Elle est toutefois discontinue au point <math>(0,-1)</math> mais ici la discontinuité ne peut être levée par une simple modification de la valeur <math>f(0,-1)</math>. On constate en effet que si on tend radialement vers ce point, la fonction étant nulle sur le rayon, <math>f(0, y)</math> tend vers 0 ; mais un calcul facile permet de constater que, si on tend vers <math>f(0,-1)</math> le long du cercle frontière de <math>C</math>, <math>f(x, y)</math> tend vers 2. Toutes les valeurs comprises entre 0 et 2 sont d'ailleurs [[Valeur d'adhérence|valeurs d'adhérence]] de <math>f</math> au point <math>(0,-1)</math> et il est définitivement illusoire d'espérer rendre cette <math>f</math> continue en modifiant ses valeurs sur le bord<ref>L'exemple figure dans {{Harvsp|Hiriart-Urruty|Lemaréchal|2004|p=105}}, avec l'explication de la convexité de <math>f</math>.</ref>.

Toutefois, si l'ensemble de définition est un [[polytope]], les choses se passent comme sur les intervalles de <math>\R</math>, comme on peut le voir en appliquant le théorème suivant<ref>Ce théorème est cité sans démonstration par {{Harvsp|Nicolescu|Persson|2006|p=123}}, qui renvoient à {{Article|lang=en|auteur=D. Gale|auteur2=V. Klee|auteur3=R. T. Rockafellar|titre=Convex functions on convex polytopes|revue=[[Proceedings of the American Mathematical Society|Proc. Amer. Math. Soc.]]|vol=19|année=1968|passage=867-873}}.</ref> :

{{Théorème|Théorème|Une fonction convexe bornée définie sur l'intérieur d'un polytope admet un prolongement convexe continu au polytope.|style=display:table}}

==== Fermeture d'une fonction convexe ====
Une fois qu'on a compris qu'il est vain de vouloir modifier une fonction convexe <math>f</math> sur la frontière de son [[Ensemble de définition|domaine de définition]] jusqu'à la rendre continue, on peut néanmoins choisir un jeu de valeurs sur cette frontière plus remarquable que les autres, en exigeant que le prolongement soit à la fois [[Semi-continuité#Semi-continuité inférieure|semi-continu inférieurement]] (ce qui nécessite de choisir des valeurs faibles) et convexe (ce qui nécessite de les prendre fortes).

Pour écrire l'énoncé assez confortablement, il est ici particulièrement approprié d'utiliser des fonctions définies sur tout <math>\R^n</math> et prenant éventuellement la valeur <math>+\infty</math>.

{{Théorème|Théorème{{refnec}}|Soit <math>f</math> une fonction convexe de [[domaine effectif]] <math>\operatorname{dom}f\subset \R^n</math>. On note <math>\overline f</math> la fonction définie en <math>x\in\R^n</math> par :
<center>
<math>
\overline f(x):=\liminf_{y\to x} f(y).
</math>
</center>
La fonction <math>\overline f</math> est alors caractérisée par l'une au choix des trois propriétés suivantes :
# <math>\overline f</math>coïncide avec <math>f</math> en les points qui ne sont pas sur la [[Adhérence, intérieur et frontière d'un convexe#Frontière relative d'un convexe|frontière relative du convexe]] <math>\text{dom} f</math> ; elle est convexe et semi-continue inférieurement ;
# Pour tout point <math>x</math> de la frontière relative de <math>\text{dom} f</math> et tout segment semi-ouvert <math>]x, z]</math> inclus dans l'[[Adhérence, intérieur et frontière d'un convexe#Intérieur et intérieur relatif d'un convexe|intérieur relatif]] de <math>\text{dom} f</math>, <math>f(x)=\lim_{\stackrel{y\to x}{y\in]x,z]}}f(y)</math> ;
# <math>\overline f</math> a pour épigraphe l'adhérence de l'épigraphe de <math>f</math>.|style=display:table}}

{{démonstration|contenu=
Le fait que <math>\overline f</math> est semi-continue inférieurement et la propriété (3) sont vrais sans utiliser l'hypothèse de convexité de <math>f</math>, et sont de simples exercices de topologie élémentaire.

Le fait que <math>\overline f</math> coïncide avec <math>f</math> hors de l'adhérence de <math>\text{dom} f</math>, c'est-à-dire prenne la valeur <math>+\infty</math> en tout point de cette partie de l'espace est lui aussi évident.

Le fait que <math>\overline f</math> coïncide avec <math>f</math> sur l'intérieur relatif de <math>\text{dom} f</math> provient de la continuité de la restriction de <math>f</math> à cet intérieur relatif, en tant que fonction convexe sur un convexe ouvert (relativement à son enveloppe affine).

La convexité de <math>\overline f</math> peut sembler claire, puisque son épigraphe est convexe comme adhérence d'un convexe, mais il y a ici un piège ! Il ne faut en effet pas oublier de vérifier que <math>\overline f</math> prend ses valeurs dans <math>\R\cup\{+\infty\}</math> (autrement dit, que la <math>\liminf</math> servant à définir <math>\overline f</math> ne vaut nulle part <math>-\infty</math>) ce qui n'est pas évident. Pour ce faire, il est souhaitable de se placer provisoirement dans l'[[enveloppe affine]] de <math>\text{dom} f</math>. Par la proposition d'existence des fonctions affines minimisantes, on construit une forme affine sur ce sous-espace qui minore <math>f</math> sur l'intérieur relatif de <math>\text{dom} f</math> ; la minoration est encore vraie sur la frontière relative (on s'en aperçoit point par point en restreignant l'espace de départ à une droite passant par ce point), on prolonge enfin arbitrairement cette forme affine à <math>\R^n</math> tout entier en une forme affine, continue puisqu'on est en dimension finie, et qui minore partout <math>f</math>. Cette forme minore alors aussi les <math>\liminf</math> qui construisent <math>\overline f</math> prouvant qu'elles ne peuvent valoir <math>-\infty</math>.

Une fois connue la convexité de <math>f</math>, donc de sa restriction à tout segment, l'affirmation (2) provient du lemme facile suivant : une fonction d'une seule variable qui est à la fois convexe et semi-continue inférieurement est en fait continue.

Il est clair que (2) et que (3) caractérisent <math>\overline f</math>. Pour (1), cela découle du paragraphe précédent de la démonstration, dans lequel on a montré que (1) entraîne (2).}}

La fonction <math>\overline f</math> est appelée la '''fermeture''' de <math>f</math>. Les fonctions convexes égales à leur fermeture sont appelées des '''fonctions convexes fermées''' ; dit autrement ce sont les fonctions convexes dont l'épigraphe est fermé, ou encore autrement dit ce sont les fonctions convexes semi-continues inférieurement<ref>Pour l'ensemble de cette sous-sous-section, voir {{Harvsp|Hiriart-Urruty|Lemaréchal|2004|p=79-80}}. {{Harvsp|Nicolescu|Persson|2006|p=122}}, mentionnent également ces résultats en les attribuant à {{harvsp|Fenchel|1951}}.</ref>.

== Fonction à valeurs vectorielles ==

On peut aussi introduire une notion de convexité pour les [[fonction à valeurs vectorielles|fonctions à valeurs vectorielles]], pourvu que l'on se donne un [[Cône (analyse convexe)|cône]] dans l'espace d'arrivée de la fonction.

De façon plus précise, on suppose donnés deux espaces vectoriels <math>E</math> et <math>F</math>, un convexe <math>C</math> de <math>E</math>, un [[Cône (analyse convexe)#Différents types de cônes|cône pointé]] convexe <math>K</math> de <math>F</math> et une fonction <math>f</math> de <math>C</math> dans <math>F</math>. On dit que <math>f</math> est ''<math>K</math>-convexe'' si, pour tous <math>x_1</math> et <math>x_2</math> de <math>C</math> et tout <math>t</math> dans <math>[0 ; 1]</math>, on a :

<center><math>f(tx_1+(1-t)x_2) \in tf(x_1)+(1-t)f(x_2)-K</math></center>

Par les propriétés supposées de <math>K</math>, l'ensemble des fonctions <math>K</math>-convexes est un cône convexe de l'ensemble des fonctions de <math>E</math> dans <math>F</math> (parce que <math>K</math> est un cône convexe), contenant les fonctions affines (parce que <math>K</math> est pointé).

Si le cône <math>K</math> est également [[Cône (analyse convexe)#Différents types de cônes|saillant]], il induit sur <math>f</math> un [[ordre partiel]], noté <math>\le_K</math> et défini par :

<center><math>y_1 \le_K y_2 \qquad \Longleftrightarrow \qquad y_2-y_1 \in K</math></center>

Alors, l'expression ci-dessus de la <math>K</math>-convexité de <math>f</math> s'écrit aussi :

<center><math>f(tx_1+(1-t)x_2) \le_K tf(x_1)+(1-t)f(x_2)</math></center>

ce qui rappelle l'inégalité de convexité familière.

== Applications en physique ==

L'analyse convexe trouve un grand nombre d'applications en physique, lorsque les potentiels énergétiques sont localement convexes (existence de solutions stables, de [[Transition de phase|changements de phase]]). En [[homogénéisation]], par exemple, les théories de type variationnel permettent d'estimer les solutions d'équations aux dérivées partielles elliptiques grâce à la représentation des potentiels énergétiques par transformée de Legendre. La [[Transformation de Legendre|transformée de Legendre]], formulation mathématique qui représente une fonction convexe par l'ensemble de ses tangentes, permet le développement de méthodes de linéarisation<ref>Voir pour un aperçu {{Ouvrage |langue=en |auteur1=[[Ivar Ekeland]] |auteur2=[[Roger Temam]] |titre=Convex Analysis and Variational Problems |éditeur=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]] |année=1999 |pages totales=402 |isbn=978-0-89871-450-0 |lire en ligne={{Google Livres|OD7nXNEptZcC|page=75}} |numéro chapitre={{IV}}}}.</ref>.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|wikiversity=Fonctions convexes|wikiversity titre=Fonctions convexes}}
=== Articles connexes ===
* [[Fonction convexe-concave]]
* [[Fonction quasi-convexe]]
* [[Multifonction convexe]]
* [[Inégalité d'Hermite-Hadamard]]
* [[Inégalité de Popoviciu]]

=== Bibliographie ===
{{Ouvrage |langue=en |auteur1=[[Ralph Tyrrell Rockafellar|R. Tyrrell Rockafellar]] |titre=Convex Analysis |éditeur=[[Princeton University Press]] |lieu=Princeton |année=1970 |pages totales=451 |isbn=978-0-691-01586-6 |lire en ligne={{Google Livres|1TiOka9bx3sC}}}}

{{Palette|Convexité}}
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse convexe]]
[[Catégorie:Analyse réelle|Convexe (fonction)]]
[[Catégorie:Propriété de fonction|Convexe]]