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{{Voir homonymes|Airy}}

La '''fonction d'Airy''' {{math|Ai}} est une des [[fonctions spéciales]] en [[mathématiques]], c'est-à-dire une des fonctions remarquables apparaissant fréquemment dans les calculs. Elle porte le nom de l'astronome britannique [[George Biddell Airy]], qui l'introduisit pour ses calculs d'optique, notamment lors de l'étude de l'[[arc-en-ciel]]. La fonction d'Airy {{math|Ai}} et la fonction {{math|Bi}}, qu'on appelle fonction d'Airy de seconde espèce, sont des solutions de l'[[équation différentielle linéaire d'ordre deux]] 
:<math>y'' - xy = 0\qquad \,</math> 
connue sous le nom d''''équation d'Airy'''. 

== Définition ==

[[Image:Airy plot.svg|centre|frame|La fonction Ai est en rouge et Bi en vert.]]

===Fonction Ai ===
[[File:Mplwp airyai asymptotic.svg|thumb|right|320px|Comparaison de la fonction {{math|Ai}} et de ses équivalents asymptotiques]]
La fonction d'Airy est définie en tout {{mvar|x}} réel par la formule
:<math>\mathrm{Ai}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \cos\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\, \mathrm{d}t.</math>
qui forme une intégrale [[convergence absolue|semi-convergente]] (cela peut être prouvé par une [[intégration par parties]]). Un théorème de [[intégrale à paramètre|dérivation des intégrales à paramètres]] permet de montrer que {{math|Ai}} est solution de l'équation d'Airy
:<math>y'' - xy = 0\,</math>
avec pour conditions initiales
:<math>
 \mathrm{Ai}(0) = \frac{1}{3^{2/3}\Gamma\left(\frac23\right)}, \qquad
 \mathrm{Ai}'(0) = -\frac{1}{3^{1/3}\Gamma\left(\frac13\right)}.
</math>
où {{math|Γ}} désigne la [[fonction Gamma d'Euler]].

La fonction possède notamment un [[point d'inflexion]] en {{math|''x'' {{=}} 0}}. Dans le domaine {{math|''x'' > 0}}, {{math|Ai(''x'')}} est positive, concave, et [[décroissance exponentielle|décroît exponentiellement]] vers 0. Dans le domaine {{math|''x'' < 0}}, {{math|Ai(''x'')}} oscille autour de la valeur 0 avec une fréquence de plus en plus forte et une amplitude de plus en plus faible à mesure que {{math|–''x''}} grandit. C'est ce que confirment les équivalents aux bornes :
:<math> 
 \mathrm{Ai}(x) \sim_{x \longrightarrow +\infty} \frac{\mathrm{e}^{-\frac23x^{3/2}}}{2\sqrt\pi\,x^{1/4}} \qquad
 \mathrm{Ai}(-x) \sim_{x \longrightarrow +\infty} \frac{\sin(\frac23x^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}. 
</math>

{{Démonstration|titre=Résolution de l’équation d'Airy|
L'équation d'Airy peut être résolue à l'aide de la transformée de Fourier qu'on définit comme suit :
:<math>\hat{f}(k)= \mathcal{F}[f(x)] = \int_{- \infty}^{ \infty} f(x) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k x} \mathrm{d}x .</math>

L'inverse de la transformée de Fourier est alors donnée par :
:<math>f(x)=\mathcal{F}^{-1}[\hat{f}(k)] = \frac{1}{2\pi}\int_{- \infty}^{ \infty} \hat{f}(k) \mathrm{e}^{\mathrm{i} k x} \mathrm{d}k.</math>

En utilisant cette définition de la transformée de Fourier, on a pour une fonction <math>f(x)</math> les relations suivantes :
:<math>\mathcal{F}[f''(x)]=-k^2 \hat{f}(k) \, \text{   et    } \,\mathcal{F}[xf(x)] = \mathrm{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k} \hat{f}(k).</math>

En prenant la transformée de Fourier de l'équation et en utilisant les deux formules ci-dessus il vient :
:<math>-k^2\hat{y}(k)=\mathrm{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k} \hat{y}(k).</math>

Cette équation différentielle du premier ordre a pour solution la fonction :
:<math>\hat{y}(k)= \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}k^3}{3}}.</math>

Dans le but d'obtenir ''y'' la solution de l'équation de départ, on applique la transformé de Fourier inverse à <math>\hat{y}(k)</math> :
:<math>y(x) =\mathcal{F}^{-1}[\hat{y}(k)]= \mathcal{F}^{-1}\left[\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}k^3}{3}}\right]= \frac{1}{2\pi} \int_{- \infty}^{ \infty}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}k^3}{3}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\,\mathrm{d}k=\frac{1}{2\pi} \int_{- \infty}^{ \infty}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}k^3}{3}+ikx}\,\mathrm{d}k = \frac{1}{2\pi} \int_{- \infty}^{ \infty} \left[\cos \left(\frac{k^3}{3}+kx\right) +\mathrm{i}\sin\left(\frac{k^3}{3}+kx\right)\right] \mathrm{d}k.</math>

En utilisant le fait que la fonction sinus est impaire, que cosinus est paire et que le domaine d'intégration est symétrique, on peut simplifier le calcul et réduire à :
:<math>y(x) =\frac{1}{2\pi} \int_{- \infty}^{ \infty} \cos\left(\frac{k^3}{3}+kx\right)\,\mathrm{d}k =\frac{1}{\pi} \int_{0}^{ \infty} \left[\cos\left(\frac{k^3}{3}+kx\right)\right]\mathrm{d}k =\textrm{Ai}(x)</math>.

Ainsi on trouve bien que {{math|Ai(''x'')}} est une solution de l'équation d'Airy.
}}

===Fonction d'Airy de seconde espèce {{math|Bi}} ===
[[File:Mplwp airybi asymptotic.svg|thumb|right|320px|Comparaison de la fonction {{math|Bi}} et de ses équivalents asymptotiques]]
Les solutions de l'équation d'Airy (autres que la solution nulle) ont également un comportement oscillant dans le domaine ''x''<0. La fonction d'Airy de seconde espèce, {{math|Bi}}, est la solution de l'équation d'Airy dont les oscillations ont même amplitude que celles de Ai au voisinage de -∞ et qui présente un [[déphasage]] de {{math|π/2}}. Son expression est donnée par :
:<math> \mathrm{Bi}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \left[ \exp\left(- \frac{t^3}{3} + xt \right) + \sin\left(\frac{t^3}{3} + xt \right)\right] \mathrm{d}t.</math>

Elle admet pour équivalents aux bornes
:<math> 
 \mathrm{Bi}(x)\quad \stackrel{x \rightarrow +\infty}{\sim}\quad  \frac{\mathrm{e}^{\frac23x^{3/2}}}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}\qquad
 \mathrm{Bi}(-x)\quad  \stackrel{x \rightarrow +\infty}{\sim}\quad  \frac{\cos\left(\frac23x^{3/2}+\frac14\pi\right)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}. 
</math>

Les fonctions {{math|Ai}} et {{math|Bi}} constituent un système fondamental de solutions de l'équation d'Airy, la seconde correspondant aux conditions initiales
:<math>
 \mathrm{Bi}(0) = \frac{1}{3^{1/6}\Gamma\left(\frac23\right)}, \qquad
 \mathrm{Bi}'(0) = \frac{3^{1/6}}{\Gamma\left(\frac13\right)}.
</math>

== Relation à d'autres fonctions spéciales ==
Pour un argument positif, les fonctions d'Airy sont reliées aux [[Fonction de Bessel|fonctions de Bessel modifiées]] : 
: <math>\begin{align}
 \mathrm{Ai}(x) &{}= \frac1\pi \sqrt{\frac{x}{3}} \, K_{\frac{1}{3}}\left(\tfrac23 x^{\frac{3}{2}}\right), \\
 \mathrm{Bi}(x) &{}= \sqrt{\frac{x}{3}} \left(I_{\frac{1}{3}}\left(\tfrac23 x^{\frac{3}{2}}\right) + I_{-\frac{1}{3}}\left(\tfrac23 x^{\frac{3}{2}}\right)\right).
\end{align}</math>
Avec, {{math|''I''<sub>±1/3</sub>}} et {{math|''K''<sub>1/3</sub>}} les solutions de l'équation 
: <math>x^2y'' + xy' - \left (x^2 + \tfrac{1}{9} \right )y = 0.</math>
La première dérivée de la fonction d'Airy est:
: <math>  \mathrm{Ai'}(x) = - \frac{x} {\pi \sqrt{3}} \, K_{\frac{2}{3}}\left(\tfrac23 x^{\frac{3}{2}}\right) .</math>

Pour un argument négatif, les fonctions d'Airy sont reliées aux [[Fonction de Bessel|fonctions de Bessel]] : 
: <math>\begin{align}
 \mathrm{Ai}(-x) &{}= \sqrt{\frac{x}{9}} \left(J_{\frac{1}{3}}\left(\tfrac23 x^{\frac{3}{2}}\right) + J_{-\frac{1}{3}}\left(\tfrac23 x^{\frac{3}{2}}\right)\right), \\
 \mathrm{Bi}(-x) &{}= \sqrt{\frac{x}{3}} \left(J_{-\frac{1}{3}}\left(\tfrac23 x^{\frac{3}{2}}\right) - J_{\frac{1}{3}}\left(\tfrac23 x^{\frac{3}{2}}\right)\right). 
\end{align}</math>
Avec, {{math|''J''<sub>±1/3</sub>}} les solutions de
: <math>x^2y'' + xy' + \left (x^2 - \tfrac{1}{9} \right )y = 0.</math>
Les fonctions de Scorer qui résolvent l'équation {{math|''y''′′ − ''xy'' {{=}} 1/π}} peuvent être exprimées grâce aux fonctions d'Airy :
: <math>\begin{align}
 \mathrm{Gi}(x) &{}= \mathrm{Bi}(x) \int_x^\infty \mathrm{Ai}(t) \, \mathrm{d}t + \mathrm{Ai}(x) \int_0^x \mathrm{Bi}(t) \, \mathrm{d}t, \\
 \mathrm{Hi}(x) &{}= \mathrm{Bi}(x) \int_{-\infty}^x \mathrm{Ai}(t) \, \mathrm{d}t - \mathrm{Ai}(x) \int_{-\infty}^x \mathrm{Bi}(t) \, \mathrm{d}t. 
\end{align}</math>

== Transformée de Fourier ==
En utilisant la définition de la fonction d'Airy, on peut montrer que :
:<math>\mathcal{F}(\mathrm{Ai})(k) := \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{Ai}(x)\ \mathrm{e}^{- 2\mathrm{i}\pi k x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{3}(2\pi k)^3}.</math>

== La fonction d'Airy en physique ==
La fonction d'Airy apparaît en [[mécanique quantique]] dans le cas d'une particule dans un potentiel unidimensionnel de la forme <math>V(x) = -F\cdot x</math> avec <math>F>0</math>. Ainsi l'[[équation de Schrödinger]] indépendante du temps s'écrit :

:<math>\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\partial^2_x- F\cdot x  \right)\psi(x) = E \psi(x).</math>

où <math>\hbar</math> la [[Constante de Planck|constante de Planck réduite]], {{mvar|m}} la masse de la particule, <math>\psi(x)</math> la [[fonction d'onde]] de la particule considérée et {{mvar|E}} son énergie. Après le changement de variables suivant et quelques manipulations :

:<math>\tilde{x}=\frac{E}{F}\, , \quad l= \left( \frac{\hbar^2}{2mF}\right)^{1/3}\, , \quad y=\frac{x+\tilde{x}}{l}.</math>

L'équation de Schrödinger indépendante du temps devient
:<math>\left( \partial^2_y + y \right) \psi(y) =0</math>

qui a pour solution la fonction d'Airy avec un argument négatif {{math|Ai(-''y'')}}. Un exemple physique serait une particule chargée dans un [[champ électrique]] uniforme.

== Bibliographie ==
* {{article|lang=en |auteur=George Biddell Airy |titre=On the Intensity of Light in the neighbourhood of a Caustic |périodique=Trans. Camb. Phil. Soc.|volume=6|année=1838|pages={{p.|379-402}}}}
* {{ouvrage|lang=en |auteur=[[George Neville Watson|G. N. Watson]] |lire en ligne=http://name.umdl.umich.edu/acv1415.0001.001 |titre=A treatise on the theory of Bessel functions|pages={{p.|188}} |éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=1922}}
* H. A. Antosiewicz, [http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_446.htm ''Bessel Functions of Fractional Order''] in {{Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun)}}
* {{ouvrage|auteur1=O. Vallée |auteur2=M. Soares |titre=Les fonctions d'Airy pour la physique'' |éditeur=Diderot |lieu=Paris |année=1998}}

{{Portail|analyse}}

{{DEFAULTSORT:Airy}}
[[Catégorie:Fonction remarquable]]
[[Catégorie:Fonction spéciale]]