Voir la source de Fonction de Bessel

{{Voir homonymes|Bessel}}
[[Image:BesselJ plot.svg|thumb|upright=2|Tracés des trois premières fonctions de Bessel de première espèce J.]]

En [[mathématiques]], et plus précisément en [[analyse (mathématiques)|analyse]], les '''fonctions de Bessel''', appelées aussi quelquefois fonctions cylindriques<ref>[[Albert Wangerin]], « Fonctions cylindriques ou fonctions de Bessel », dans ''Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées''. Tome II. ''Cinquième volume'', J. Molk (éd.), Paris, [[Gauthier-Villars]], 1912, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2025854/f215.image p. 209].</ref>, découvertes par le [[mathématicien]] suisse [[Daniel Bernoulli]], portent le nom du mathématicien allemand [[Friedrich Wilhelm Bessel]]. Bessel développa l'analyse de ces fonctions en 1816 dans le cadre de ses études du mouvement des planètes induit par l'interaction gravitationnelle, généralisant les découvertes antérieures de Bernoulli. Ces fonctions sont des solutions [[canonique (mathématiques)|canoniques]] ''y''(''x'') de l''''[[équation différentielle]] de Bessel''' :

:<math>x^2 \frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm dx^2} + x \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0</math>

pour tout [[nombre réel]] ou [[nombre complexe|complexe]] α. Le plus souvent, α est un [[entier naturel]] (alors appelé l'''ordre'' de la fonction), ou un demi-entier.

Il existe deux sortes de fonctions de Bessel :
* les fonctions de Bessel de première espèce,'' J<sub>n</sub>'', solutions de l'équation différentielle ci-dessus qui sont définies en 0 ;
* les fonctions de Bessel de seconde espèce,'' Y<sub>n</sub>'', solutions qui ne sont pas définies en 0 (mais qui ont une [[limite (mathématiques)|limite infinie]] en 0).

Les représentations graphiques des fonctions de Bessel ressemblent à celles des fonctions sinus ou cosinus, mais s'amortissent comme s'il s'agissait de fonctions sinus ou cosinus divisées par un terme de la forme {{sqrt|''x''}}.

Les fonctions de Bessel sont aussi connues sous le nom de fonctions cylindriques, ou d'[[harmoniques cylindriques]], parce qu'elles font partie des solutions de l'[[équation de Laplace]] en [[coordonnées cylindriques]] (intervenant, par exemple, dans la propagation de la chaleur dans un cylindre).

Elles interviennent dans beaucoup de problèmes physiques présentant une symétrie cylindrique:
* les [[onde électromagnétique|ondes électromagnétiques]] ou les [[Son (physique)|ondes acoustiques]] dans un guide cylindrique (antenne ou tuyau) ;
* les modes de vibration d'une fine [[membrane (physique)|membrane]] circulaire ou annulaire ;
* l'étude d'[[instrument d'optique|instruments d'optique]] comme les [[fibres optiques]] constituées d'un cœur et d'une gaine optique concentriques;
* le [[pendule de Bessel]] ;
* les phénomènes de [[diffraction]] par une fente circulaire ;
* l'étude de la [[modulation de fréquence]] en télécommunications.

== Expression des fonctions de Bessel ==
Pour les valeurs entières de {{math|α {{=}} ''n''}}, les fonctions de Bessel de première espèce {{mvar|J{{ind|n}}}} sont définies par la [[série entière]] (de [[rayon de convergence]] infini) suivante<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Série entière/Exercices/Série entière et équation différentielle#Exercice 6-3|cet exercice corrigé|début=Démontré par exemple dans}}</ref> :
:<math>J_n(x)=\sum_{p=0}^\infty {(-1)^p \over p! (n+p)!} {\left({x \over 2}\right)}^{2p+n}</math>.

Plus généralement, pour α non entier, on a le développement analogue

:<math> J_\alpha(x) = \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^p}{p! \, \Gamma(p+\alpha+1)} {\left({x \over 2}\right)}^{2p+\alpha}</math>

où {{math|Γ(''z'')}} est la [[fonction gamma]], généralisant la fonction [[factorielle]] à des valeurs non entières.

Les fonctions de Bessel de deuxième espèce, également appelées fonctions de Neumann ou encore fonctions de Weber-Schläfli, sont définies par :
:<math>Y_n(x)=\lim_{\lambda \to n} {J_\lambda(x) \cos(\lambda \pi) - J_{-\lambda}(x) \over \sin(\lambda \pi)}</math>.

=== Intégrales de Bessel ===
Pour les valeurs entières de {{math|α{{=}}''n''}}, les fonctions de Bessel peuvent être représentées par des intégrales :
:<math>J_n(x) = \frac1{\pi} \int_0^\pi \cos (n \tau - x \sin \tau) \,\mathrm{d}\tau</math>

ou encore par<ref>{{Ouvrage|langue=anglais|auteur1=Abramowitz, Stegun|titre=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables|année=1964|passage=Eq. 9.1.21|lire en ligne=https://digital.library.unt.edu/ark:/67531/metadc40301/m2/1/high_res_d/applmathser55_w.pdf|consulté le=29/05/2024}}</ref>:
:<math>J_n (x) = \frac1{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi{\rm e}^{-\mathrm i\,(n \tau - x \sin \tau)} \,\mathrm d\tau = \frac{{\rm i}^{-n}}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{\rm e}^{{\rm i}x\cos(\tau)}\cos(n\tau)\mathrm{d}\tau</math>.


C'est la définition qu'en donna Bessel, et qui lui servit à obtenir de nombreuses propriétés de ces fonctions (à commencer par l'équation différentielle, qui en découle par différentiation sous le signe d'intégration, suivie d'une intégration par parties). Cette définition peut s'étendre au cas α non entier (pour [[partie réelle|Re(''x'')]] > 0), en ajoutant un autre terme<ref>{{Lien web|lang=en|auteur=U. H. Gerlach|titre=Linear Mathematics in Infinite Dimensions|url=https://people.math.osu.edu/gerlach.1/math/BVtypset|site=[[Université d'État de l'Ohio]]|date=2017|page=337}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|lang=en|auteur=Poul Olesen|titre=Integral representations of the Bessel function|url=http://www.nbi.dk/~polesen/borel/node15.html|site=[[Institut Niels-Bohr]]|date=2000}}.</ref>{{,}}<ref name=Watson/>{{,}}<ref name="Arfken & Weber"/>:
:<math>J_\alpha(x) =
\frac1{\pi} \int_0^\pi \cos(\alpha\tau- x \sin\tau)\,{\rm d}\tau
- \frac{\sin(\alpha\pi)}{\pi} \int_0^\infty
{\rm e}^{-x \sinh(t) - \alpha t} \, {\rm d}t.</math>

=== Relation avec les séries hypergéométriques ===
Les fonctions de Bessel peuvent également s'exprimer sous forme de [[série hypergéométrique]] comme
:<math>J_\alpha(x)=\frac{(x/2)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}\;_0F_1 (;\alpha+1; -\tfrac{x^2}4)</math>.

Cette expression est liée au développement des fonctions de Bessel à l'aide de la {{lien|fonction de Bessel-Clifford|trad=Bessel–Clifford function}}.

=== Relation avec les polynômes de Laguerre ===
Notant {{mvar|L{{ind|k}}}} le ''k''-ième [[polynôme de Laguerre]], les fonctions de Bessel peuvent être exprimées ainsi<ref>{{en}} [[Gábor Szegő]], ''Orthogonal Polynomials'', {{4e}} éd., Providence, RI, [[American Mathematical Society|AMS]], 1975.</ref> :
:<math>\frac{J_\alpha(x)}{\left( \frac{x}{2}\right)^\alpha}= \frac{{\rm e}^{-t}}{\alpha!} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{{k+ \alpha \choose k}} L_k^{(\alpha)}\left( \frac{x^2}{4 t}\right) \frac{t^k}{k!}</math>,
où l'expression de droite ne dépend pas de ''t'' et demande, pour être généralisée au cas α non entier, l'utilisation de [[dérivée fractionnaire|dérivées fractionnaires]].

== Propriétés des {{math|''J{{ind|n}}''}} ==
* Relations de récurrence<ref name=AbramowitzStegun>{{Abramowitz et Stegun}}, [https://personal.math.ubc.ca/~cbm/aands/page_361.htm {{p.|361}}].</ref> :
*:<math>J_{\alpha-1}(z)+J_{\alpha+1}(z)={2\alpha\over z} J_\alpha(z)</math>,
*:<math>J_{\alpha-1}(z)-J_{\alpha+1}(z)=2J'_\alpha(z)</math>,
*:<math>J'_\alpha(z)=J_{\alpha-1}(z)-{\alpha\over z}J_\alpha(z)=-J_{\alpha+1}(z)+{\alpha\over z}J_\alpha(z)</math>.
* On en déduit :
*:<math>J_1(x)=-J_0'(x)</math>,
*:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x^n J_n(x))=x^n J_{n-1}(x)</math>.
* Orthogonalité :
*:<math>\lambda_i</math> et <math>\lambda_j</math> étant deux zéros distincts de <math>J_n</math>, on a : <math>\int_0^1x J_n(\lambda_i x) J_n(\lambda_j x)\,\mathrm dx = 0</math>.

''J''<sub>''n''</sub> est souvent défini par l'intermédiaire d'une [[série de Laurent]], correspondant à la fonction génératrice :
:<math>{\rm e}^{(x/2)(t-1/t)} = \sum_{n=-\infty}^\infty J_n(x) t^n</math> ;
cette approche est celle de [[Peter Andreas Hansen]] en 1843. Elle peut se généraliser à des ordres ''n'' non entiers, par l'intermédiaire, par exemple, d'[[Série de Laurent#Par la formule intégrale de Cauchy|intégrales de contour]].

Des développements analogues; mais utilisant des [[série trigonométrique|séries trigonométriques]], sont dus à [[Charles Gustave Jacob Jacobi|Jacobi]] et [[Carl Theodor Anger|Anger]] ; on a<ref>{{ouvrage |lang=en |auteur1=Annie Cuyt |auteur2=Vigdis Petersen |auteur3=Brigitte Verdonk |auteur4=Haakon Waadeland  |auteur5=William B. Jones |titre=Handbook of Continued Fractions for Special Functions |éditeur=Springer |année=2008 |pages=344}}.</ref>
:<math>{\rm e}^{{\rm i}z \cos \phi} = \sum_{n=-\infty}^\infty{\rm i}^n J_n(z){\rm e}^{{\rm i}n\phi},</math>
et
:<math>{\rm e}^{{\rm i}z \sin \phi} = \sum_{n=-\infty}^\infty J_n(z){\rm e}^{{\rm i}n\phi}.</math>
On a la formule d'addition, plus générale, par Neumann et Graf<ref>{{article |lang=en |périodique=Journal of Approximation Theory |volume=81 |numéro=2 |date=mai 1995 |pages=260-273 |titre=A q-Analogue of Graf′s Addition Formula for the Hahn-Exton q-Bessel Function |auteur1=H.T. Koelink |auteur2=R.F. Swarttouw |doi=10.1006/jath.1995.1049}}</ref>:
:<math>\forall (x,y), \left|y{\rm e}^{\pm{\rm i}\phi}\right|\leqslant |x|,\ \sum_{n=-\infty}^\infty J_n(x) J_{n+\nu}(y){\rm e}^{{\rm i}n\phi} = J_\nu\left(\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\phi}\right) \left(\frac{x-y{\rm e}^{-{\rm i}\phi}}{x-y{\rm e}^{+{\rm i}\phi}}\right)^2</math>

== Développements asymptotiques ==

Les fonctions de Bessel ont les [[développement asymptotique|formes asymptotiques]] suivantes (pour {{math|α > 0}}). Près de 0 (et plus précisément pour <math>0 < x \ll \sqrt{\alpha + 1}</math>), on a<ref name="Arfken & Weber">{{en}} {{Lien|George B. Arfken}} et Hans J. Weber, ''Mathematical Methods for Physicists'', {{6e}} éd., Harcourt, San Diego, 2005 {{ISBN|0-12-059876-0}}.</ref> :
:<math>J_\alpha(x) \approx \frac1{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac x2\right)^\alpha </math>
:<math>Y_\alpha(x) \approx \begin{cases}
\displaystyle \frac2{\pi} \left[ \ln \left( \frac x2 \right) + \gamma \right]& \text{si } \alpha=0 \\
\displaystyle -\frac{\Gamma(\alpha)}{\pi} \left( \frac2x\right) ^\alpha & \text{si } \alpha > 0
\end{cases} </math>
où {{math|γ}} est la [[constante d'Euler-Mascheroni]] (0,577…) et {{math|Γ}} est la [[fonction gamma]]. Pour ''x'' tendant vers l'infini (et plus précisément pour <math>x \gg |\alpha^2 - 1/4|</math>), ces développements deviennent<ref name="Arfken & Weber" /> :
:<math>J_\alpha(x)\approx \sqrt{\frac2{\pi x}}\cos \left( x-\frac{\alpha\pi}2- \frac{\pi}4\right)</math>
:<math>Y_\alpha(x) \approx \sqrt{\frac2{\pi x}}\sin \left( x-\frac{\alpha\pi}2- \frac{\pi}4\right)</math>.
La forme asymptotique ci-dessus pour {{mvar|J{{ind|α}}}} est aussi un [[équivalent]] pour {{mvar|x}} (complexe non nul) fixé, quand {{mvar|α}} tend vers {{math|+∞}}. [[Formule de Stirling|Autrement dit]]<ref>{{en}} [[National Institute of Standards and Technology|NIST]] [https://dlmf.nist.gov/10.19 Digital Library of Mathematical Functions, §10.19(i)].</ref> :
:<math>J_\alpha(x)\underset{\overset{\alpha\to+\infty}{}}\sim\frac1\sqrt{2\pi\alpha}\left(\frac{\mathrm e\,x}{2\alpha}\right)^\alpha
</math>.

==Zéros==
Comme {{mvar|J{{ind|α}}}} est une solution non nulle d'une [[équation différentielle linéaire d'ordre 2]], ses [[Zéro d'une fonction|zéros]] (à l'exception éventuelle de {{math|0}}) sont [[Point régulier|simples]]<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics|auteur=Nico M. Temme|éditeur=[[John Wiley & Sons]]|date=2011|url={{Google Livres|8QS7qVy6zz4C|page=241}}|page=241}}.</ref>, donc (cf. [[#Propriétés des Jn|Relations de récurrence]] ci-dessus) différents de ceux de {{math|''J''{{ind|''α''+1}}}}.

Historiquement, l'étude des zéros a été menée à travers une suite de fonctions appelées aujourd'hui les ''fonctions de Rayleigh''. On les définit comme suit : pour {{math|''α'' > 0}}, on note (''j''{{ind|''α'', ''m''}}) les zéros complexes de {{math|''z''{{exp|–''α''}} ''J<sub>α</sub>''(''z'')}}, alors la fonction Rayleigh d'ordre ''p'' est définie par<ref>{{article |lang=en |titre=The Rayleigh function |auteur=Nand Kishore |périodique=Proceedings of the American Mathematical Society |volume=14 |numéro=4 |date=août 1963 |pages=527-533 |jstor=2034269 |lire en ligne=https://www.ams.org/journals/proc/1963-014-04/S0002-9939-1963-0151649-2/S0002-9939-1963-0151649-2.pdf}}</ref>:
:<math>\sigma_p(\alpha) = \sum_{m=1}^{+\infty} (j_{\alpha,m})^{-p}.</math>

===La conjecture de Bourget===
Bessel avait démontré que pour ''n'' entier positif, ''J''<sub>''n''</sub>(''x'') admet une infinité de zéros<ref>{{article |lang=de |auteur1=Friedrich Wilhelm Bessel |titre=Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen, welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht <!-- |périodique=Berlin Abhandlungen --> |année=1824 |périodique=Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin}}.</ref>. Cependant, les graphes de ''J''<sub>''n''</sub> semblent montrer que ces zéros sont distincts pour différentes valeurs de ''n'', en dehors de ''J''<sub>''n''</sub>(0)&nbsp;=&nbsp;0. Ce phénomène est appelé la '''conjecture de Bourget'''<ref>{{Article|nom=Bourget|prénom=Justin|titre=Mémoire sur le mouvement vibratoire des membranes circulaires|revue=[[Annales scientifiques de l'École normale supérieure|ASENS]]|série=1|vol=3|année=1866|p.=55-95|url=http://www.numdam.org/item/ASENS_1866_1_3__55_0}}.</ref> ; elle fut démontrée par [[Carl Siegel]] en 1929<ref name=Watson>{{en}} [[George Neville Watson|G. N. Watson]], ''A Treatise on the Theory of Bessel Functions'', {{2e}} éd., 1995, [[Cambridge University Press]], {{Lire en ligne|url={{Google Livres|Mlk3FrNoEVoC}}}}, p. 176 et 484-485.</ref>.

===Transcendance===
Siegel a également démontré en 1929 que lorsque {{mvar|α}} est rationnel et {{mvar|z}} est un [[nombre algébrique]] non nul, {{math|''J{{ind|α}}''(''z'')}}, les nombres {{math|''J{{ind|α}}''{{'}}(''z'')}} et {{math|''J{{ind|α}}''{{'}}(''z'')/''J{{ind|α}}''(''z'')}} sont [[Nombre transcendant|transcendants]]<ref>{{Ouvrage|auteur=Carl L. Siegel|titre=On Some Applications of Diophantine Approximations: a translation of Carl Ludwig Siegel’s Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen by Clemens Fuchs, with a commentary and the article Integral points on curves: Siegel’s theorem after Siegel’s proof by Clemens Fuchs and Umberto Zannier |date=2014 |éditeur=Scuola Normale Superiore |isbn=978-88-7642-520-2 |page=81–138 |url=https://doi.org/10.1007/978-88-7642-520-2_2 |lang=en|chapitre=Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen}}.</ref>, de même que la valeur en {{mvar|z}} de la [[fonction de Bessel modifiée]] {{mvar|K{{ind|α}}}}<ref>{{Article|lang=en|auteur=R. D. James|titre=Review: Carl Ludwig Siegel, Transcendental numbers|revue=[[Bulletin of the American Mathematical Society|Bull. Amer. Math. Soc.]]|vol=56|numéro=6|date=1950|pages=523-526 |url=https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society/volume-56/issue-6/Review-Carl-Ludwig-Siegel-Transcendental-numbers/bams/1183515049.full}}.</ref>. On sait aussi que toutes les racines des dérivées d'ordre supérieur <math>J_\alpha^{(n)}</math> pour {{math|''n''&nbsp;≤&nbsp;18}} sont transcendantes, sauf les cas particuliers <math>J_1^{(3)}(\pm\sqrt3)=0</math> et <math>J_0^{(4)}(\pm\sqrt3)=0</math><ref name=lorch>{{Article|lang=en|auteur={{Lien|Lee Lorch}}|auteur2=Martin E. Muldoon|titre=Transcendentality of zeros of higher derivatives of functions involving Bessel functions|revue=International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences|date=1995|vol=18|numéro=3|p.=551-560|doi=10.1155/S0161171295000706|url=https://www.hindawi.com/journals/ijmms/1995/647167/}}.</ref>.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Bessel function|1080199382|type=note}}
{{références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
{{Autres projets|commons=Category:Bessel functions}}
* [[Fonction de Bessel modifiée]]
* [[Fonction de Bessel sphérique]]
* [[Fonction de Hankel]]
* [[Fonction de Riccati-Bessel]]
* [[Synthèse FM]]

=== Liens externes ===
* {{Autorité}}
* {{Bases}}
* {{Dictionnaires}}
* {{MathWorld|titre=Bessel Function|nom_url=BesselFunction}}
* {{DLMF|id=10 |titre=Bessel Functions}}

{{Portail|analyse}}

{{DEFAULTSORT:Bessel}}
[[Catégorie:Fonction remarquable]]
[[Catégorie:Fonction hypergéométrique]]
[[Catégorie:Fonction spéciale]]

[[it:Armoniche cilindriche#Funzioni di Bessel]]