Voir la source de Fonction de Green

En [[mathématiques]] et en [[physique]], une '''fonction de Green''' est une solution (également appelée '''solution élémentaire''' ou ''' solution fondamentale''') d'une [[équation différentielle]] [[forme linéaire|linéaire]] à coefficients constants, ou d'une [[équation aux dérivées partielles]] linéaire à coefficients constants.

Ces « fonctions » de Green, qui se trouvent être le plus souvent des [[distribution (analyse mathématique) |distributions]], ont été introduites par [[George Green]] en [[1828]] pour les besoins de l'[[électromagnétisme]]. Le mémoire de Green restera confidentiel jusqu'à sa republication en trois parties, à partir de [[1850]]<ref>{{Article|lang=en|auteur=George Green|titre=An essay on the application of mathematical analysis to the theory of electricity & magnetism|revue=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|J. reine angew. Math.]]|vol=39|année=1850|p.=73-79}} ; vol. 44, 1852, {{p.|356-374}} ; vol. 47, 1854, {{p.|161-221}}. [http://www.nottingham.ac.uk/physics/gg/essay1.pdf Fac-similé du mémoire original de 1828].</ref>. Les fonctions de Green, qui seront dénommées ainsi par [[Bernhard Riemann|Riemann]] en [[1869]], seront alors abondamment utilisées, notamment par [[Carl Neumann|Neumann]] en [[1877]] pour sa [[théorie du potentiel]] Newtonien dans un espace à deux dimensions, puis en 1882 par [[Gustav Kirchhoff|Kirchhoff]] pour l'équation de propagation des ondes dans un espace à trois dimensions, et enfin par [[Hermann von Helmholtz|Helmholtz]] en [[acoustique]].

Elles sont devenues un outil essentiel en [[théorie quantique des champs]] après que [[Richard Feynman|Feynman]] les a popularisées en [[1948]] sous le nom de ''propagateur'' dans sa formulation en [[intégrale de chemin]] de l'[[électrodynamique quantique]].

== Introduction ==

=== Position du problème ===

Soit {{math|''x'' {{=}} (''x''{{exp|1}}, ..., ''x{{exp|n}}'')}} un point de <math> \mathbb{R}^n</math>, et <math>\mathfrak{D}</math> un [[opérateur différentiel]] linéaire. On cherche la solution {{math|''φ''(''x'')}} de l'équation aux dérivées partielles linéaire :

<center><math> \mathfrak{D} \, \varphi(x) = j(x) </math></center>

où <math>j : x \mapsto j(x)</math> est une fonction donnée, appelée ''source'' du champ {{math|''φ''(''x'')}} inconnu.

=== Distribution de Dirac ===

On note {{mvar|δ}} la [[delta de Dirac|distribution de Dirac]]. Cette [[Distribution (mathématiques)|distribution]] vérifie la propriété fondamentale que, pour toute fonction <math>x \mapsto \varphi (x)</math> lisse :
<math>\lang\delta, \varphi \rang=\varphi(0)</math>.

=== Définition de la fonction de Green ===

==== Définition ====

On appelle fonction de Green toute solution {{mvar|G}} de l'équation aux dérivées partielles linéaire :

{{bloc emphase|fond=transparent|<math> \mathfrak{D}\ G\ = \ \delta</math>.}}

==== Existence et unicité ====

Dans le cas où l'opérateur différentiel est à coefficients constants, l'existence est garantie par le [[théorème de Malgrange-Ehrenpreis]]. Dans le cas où les coefficients ne sont plus constants, il peut ne pas exister de fonction de Green, même pour des coefficients polynomiaux, voir l'[[exemple de Lewy]].

En ce qui concerne l'unicité, il existe en général ''plusieurs'' fonctions de Green associées à la ''même'' équation. Ces fonctions diffèrent entre elles par leurs ''conditions aux limites''. C'est pourquoi il est très important de spécifier ''deux'' choses pour définir de façon unique ''une'' fonction de Green précise :

* l'équation aux dérivées partielles linéaire ;
* les conditions aux limites.

Le problème de l'unicité sera précisé plus loin en relation avec la [[transformée de Fourier]].

On notera cependant que l'ensemble des solutions de l'équation <math> \mathfrak{D}\ G\ = \ \delta </math> est un [[espace affine]]. Ainsi la solution générale de cette équation est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de <math>\mathfrak{D}\ \varphi = 0  </math>.

=== Intérêt de la fonction de Green ===

Si la fonction de Green <math>G: x \mapsto G(x)</math> est connue, alors la solution <math>\varphi: x \mapsto\varphi(x)</math> de l'équation :

<center><math> \mathfrak{D} \, \varphi(x) = j(x) </math></center>

s'écrit simplement sous la forme d'un [[produit de convolution]] :

{{bloc emphase|fond=transparent|<math> \varphi(x) \ = \ (G * j)(x) \ = \ \int G( x - y ) \ j(y) \ \mathrm dy</math>}}

En effet, l'opérateur <math>\mathfrak{D}</math> agissant sur la variable {{mvar|x}}, il vient en permutant dérivation et intégration, et en utilisant la définition de {{math|''G''(''x'')}} :

<center><math> \mathfrak{D} \, \varphi(x) = \int \left[ \mathfrak{D} \, G( x - y ) \right] \, j(y) \, \mathrm dy = \int \delta ( x - y ) \, j(y) \, \mathrm dy = j(x)</math></center>

Cette équation peut s'interpréter comme la superposition de solutions élémentaires, chaque terme sous l'intégrale représentant la contribution de {{math|''j''(''x'')}} entre {{mvar|x}} et {{math|''x'' + d''x''}} (on parle encore, en physique, d'interaction à deux corps).

== Transformée de Fourier ==

'''On utilise ci-dessous les notations introduites dans l'article [[opérateur différentiel]]'''.

=== Opérateur différentiel linéaire à coefficients constants ===

Rappelons qu'un [[opérateur différentiel]] linéaire à coefficients constants d'ordre {{mvar|m}} s'écrit :

{{bloc emphase|fond=transparent|<math> \mathfrak{D} \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha} \ \mathrm D^{\alpha}  </math>}}

où les {{mvar|a{{ind|α}}}} sont les ''coefficients'' de l'opérateur <math>\mathfrak{D}</math>. Dans toute la suite, on ne considérera que des opérateurs ''à coefficients constants'' : les {{mvar|a{{ind|α}}}} seront ''indépendants de'' {{mvar|x}}.

=== Introduction de la transformée de Fourier ===

==== Définition ====

On définit ici la [[transformée de Fourier]] de la fonction {{math|''f''(''x'')}} de {{mvar|n}} variables {{math|''x{{exp|k}}'', (''k'' {{=}} 1, ... , ''n'')}} par :

<center><math> \hat{f}(\xi) = \int {\rm e}^{- {\rm i} \xi \, x} \, f(x) \, \mathrm dx
</math></center>

La formule de transformation inverse s'écrit alors :

<center><math> f(x) = \int {\rm e}^{+ {\rm i} \xi \, x} \, \hat{f}(\xi)\frac{\mathrm d \xi}{(2\pi)^n}
</math></center>

==== Application aux opérateurs différentiels linéaires à coefficients constants ====

On obtient la relation :

<center><math>(\mathfrak{D} \,f)(x) = \int  {\rm e}^{+ {\rm i}  \xi \, x} \, \sum_{|\alpha| = 0}^m a_{\alpha} \, (-{\rm i}\xi)^{\alpha} \, \hat{f}(\xi)\frac{\mathrm d \xi}{(2\pi)^n}
</math></center>

soit encore :

<center><math>(\widehat{\mathfrak{D} \, f})(\xi) = \sum_{|\alpha| = 0}^m  a_{\alpha} \, (-{\rm i}\xi)^{\alpha} \, \hat{f}(\xi) </math></center>

==== Symbole d'un opérateur différentiel linéaire à coefficients constants ====

On appelle [[Opérateur différentiel#Symbole d'un opérateur différentiel|symbole de l'opérateur différentiel]] <math> \mathfrak{D} </math> d'ordre {{mvar|m}} la fonction {{math|''σ''(''ξ'')}} des {{mvar|n}} variables ''polynomiale'' en {{mvar|ξ}} de degré {{mvar|m}} :

de telle sorte que :

<math display="block"> \sigma (\xi) = \sum^{m}_{| \alpha | = 0}\ a_{\alpha} \ (-{\rm i}\xi)^{\alpha} </math>

{{bloc emphase|fond=transparent|<math>(\mathfrak{D} \,f)(x)  \ = \ \int  \ {\rm e}^{+ \, {\rm i} \, \xi \, x} \ \sigma (\xi) \ \hat{f}(\xi) \frac{\mathrm d \xi}{(2\pi)^n}
</math>}}

=== Application aux fonctions de Green ===

==== Introduction ====

Si l'opérateur différentiel <math> \mathfrak{D}</math> admet une fonction de Green [[Distribution tempérée|tempérée]] {{math|''G''(''x'')}}, notons <math>\widehat{G}(\xi)</math> sa transformée de Fourier. Par exemple, <math> \mathfrak{D}f=f'-f</math> n'admet qu'une seule fonction de Green tempérée, celle qui est nulle sur <math>\mathbb{R}_+^*</math>, les exponentielles croissant trop vite.

L'équation aux dérivées partielles linéaire à coefficients constants définissant les fonctions de Green :

<center><math> \mathfrak{D} \, G(x) = \delta (x) </math></center>

devient, après transformation de Fourier, une équation ''algébrique''<ref>Cette équation serait ''fausse'' si l'opérateur différentiel linéaire n'était pas à coefficients constants. La transformée de Fourier s'écrit en effet de façon plus compliquée dans ce cas ; lire le [[Opérateur différentiel#Cas général|§ « Cas général » de l'article sur les opérateurs différentiels]].</ref> :

<center><math> \sigma (\xi) \, \widehat{G}(\xi) = 1 </math></center>

dont la solution est triviale :

{{bloc emphase|fond=transparent|<math> \widehat{G}(\xi) \ = \ \frac{1}{\sigma (\xi)} </math>}}

Pour obtenir la fonction de Green originale, il « suffit » alors de calculer la transformée de Fourier inverse :

<center><math>G(x) = \int  {\rm e}^{+ {\rm i} \xi \, x} \ \widehat{G}(\xi) \frac{\mathrm d \xi}{(2\pi)^n}</math></center>

soit explicitement :

{{bloc emphase|fond=transparent|<math>G(x)  \ = \ \frac{1}{(2\pi)^n} \ \int \frac{{\rm e}^{+ \, {\rm i} \, \xi \, x}}{\sigma (\xi)}\mathrm d \xi \ </math>}}

Cette écriture est symbolique, car le symbole {{math|''σ''(''ξ'')}} de l'opérateur différentiel <math>\mathfrak{D}</math> d'ordre {{mvar|m}} étant une fonction ''polynomiale'' en {{mvar|ξ}} de degré {{mvar|m}}, le ''[[théorème fondamental de l'algèbre]]'' nous dit que ce [[polynôme]] possède {{mvar|m}} racines complexes (comptées avec leur multiplicité), donc que l'intégrande possède a priori {{mvar|m}} pôles.

==== Conditions aux limites ====

Dans les situations ''physiquement intéressantes'', il arrive fréquemment que certains de ces pôles soient situés ''sur l'axe réel''. La transformée de Fourier inverse :

<center><math>G(x) = \frac{1}{(2\pi)^n} \int  
\frac{{\rm e}^{+ {\rm i} \xi \, x}}{\sigma (\xi)}\, \mathrm d \xi</math></center>

se calcule alors par le [[théorème des résidus]], et le choix du contour fermé et de la prescription de contour des pôles dépend de façon essentielle des conditions aux limites désirées. Il existera donc en général ''plusieurs'' fonctions de Green associées à la ''même'' équation, qui diffèrent entre-elle par leurs conditions aux limites.

== Exemples ==

=== Équation de Laplace en 3D ===

On résout l'équation :
<center><math> -\Delta G(\vec{r}) = \delta( \vec{r}) </math></center>

Il vient donc :
<center><math> \hat{G} = \frac{1}{k_x^2 + k_y^2 + k_z^2} </math></center>

D'où, en intégrant en coordonnée sphérique tel que l'angle {{mvar|θ}} soit défini par <math>\vec{r} \cdot{} \vec{k} = r k \cos(\theta) </math>:

<center><math>  G(\vec{r}) = \frac{1}{(2\pi)^3} \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^{\infty} \frac{{\rm e}^{{\rm i}rk \cos(\theta)}}{k^2} k^2 \sin(\theta)\, \mathrm{d}k \,\mathrm{d}\theta\, \mathrm{d} \phi = 
 \frac{1}{2\pi^2} \int_0^{\infty} \frac{\sin(kr)}{kr} \mathrm{d}k </math></center>

Soit en posant {{mvar|u {{=}} kr}} :

<center><math> G(\vec{r}) = \frac{1}{2\pi^2 r} \int_0^{\infty} \frac{\sin{u}}{u} \mathrm{d}u </math></center>
Enfin avec <math> \int_0^{\infty} \frac{\sin{u}}{u} \mathrm{d}u = \frac{\pi}{2}</math> ([[intégrale de Dirichlet]]).

On conclut que la fonction de Green du Laplacien en 3D est :

{{bloc emphase|fond=transparent|<center><math>G(\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi r} </math></center>}}

Puisque l'équation <math> \Delta G(\vec{r}) = \delta( \vec{r}) </math> définit un espace affine, l'ensemble des fonctions de Green du Laplacien 3D est donné par : <math> G = \frac{1}{4 \pi r} + \phi </math> où {{mvar|ϕ}} est une fonction harmonique {{math|Δ''ϕ'' {{=}} 0}}.

=== Équation de Laplace en 2D ===

Le cas 2D de l'équation de Laplace est plus compliqué que celui 3D car la méthode exposée dans le cas 3D consistant à résoudre l'équation à l'aide des transformées de Fourier ne marche pas. En fait la fonction <math> \Delta \hat{G} = \frac{1}{k_x^2 + k_y^2} </math> n'admet pas de transformée inverse (tout comme par ailleurs le bilaplacien 3D). Pour obtenir la fonction de Green du Laplacien 2D on va donc utiliser une autre méthode.

On a donc l'équation : <math> \Delta G(\vec{r}) = \delta( \vec{r}) </math>

Il existe plusieurs fonctions de Green pour ce problème. La plus simple est celle qui, en coordonnée polaire, est uniquement radiale. 
Donc :

<center><math> \Delta G(r) = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial G}{\partial r} \right) = \delta(r) </math></center>

On en déduit que : {{math|''G''(''r'') {{=}} ''A'' ln(''r'') + ''B''}}. On peut poser {{math|''B'' {{=}} 0}} pour simplifier (notons que cela revient à poser comme condition au bord {{math|''G''(''r'' {{=}} 1) {{=}} 0}}).

Pour déterminer {{mvar|A}}, on intègre {{mvar|δ}} sur un disque de rayon {{mvar|ε}}, noté {{mvar|D{{ind|ε}}}} et de contour le cercle {{mvar|C{{ind|ε}}}}.
Par définition de {{mvar|δ}}, on a en utilisant le [[théorème de la divergence]] à 2D :

<center><math> \begin{align}
1 &= \iint_{D_\varepsilon} \delta(\vec{r}) \mathrm{d}^2 r \\
&= \iint_{D_\varepsilon} \mathrm{div}\left( \overrightarrow{\mathrm{grad}}( G) \right) \mathrm{d}^2 r \\
&= \int_{C_\varepsilon} \overrightarrow{\rm grad}(G) \cdot \vec{\mathrm{d} \ell} \\
&= 2 \pi \varepsilon \frac{A}{\varepsilon} \\
&= 2 \pi A
\end{align}</math> 
</center>

On conclut que :

{{bloc emphase|fond=transparent|<center><math>G(\vec{r}) = \frac{\ln(r)}{2 \pi} </math></center>}}

Notons bien que cette fonction de Green est associée aux conditions aux limites {{math|''G''(''r'' {{=}} 1) {{=}} 0}} et <math> \lim_{r \to \infty} G(r) = \infty </math>.

D'autres fonctions de Green du laplacien 2D peuvent être trouvées pour des conditions aux limites différentes. Par exemple : si {{math|''G''(''r'' {{=}} ''R''{{ind|0}}) {{=}} 0}} et <math> \lim_{r \to \infty} G(r) = \infty </math>, alors <math>G(\vec{r}) = \frac{1}{2 \pi} \ln \left( \frac{r}{R_0} \right)</math>

On remarque enfin que le [[logarithme]] n'admet pas de transformée de Fourier inverse, confirmant ainsi le fait que l'approche utilisant la transformation de Fourier comme dans le cas de l'équation de Laplace 3D était vouée à l'échec.

De même que précédemment, puisque l'équation <math> \Delta G(\vec{r}) = \delta( \vec{r}) </math> définit un espace affine, l'ensemble des fonctions de Green du Laplacien 2D est donnée par : {{math|''G''(''r'' , ''θ'') {{=}}  {{sfrac|ln(''r'')|2π}} + ''ϕ''(''r'' , ''θ'')}} où {{mvar|ϕ}} est une fonction harmonique {{math|Δ''ϕ'' {{=}} 0}}. La détermination de la fonction {{mvar|ϕ}} dépend alors du type de conditions initiales et aux limites voulues.

=== Bilaplacien en 2D ===

Une fonction de Green associée au biplacien 2D {{math|Δ{{2}}''G'' {{=}} δ}} est <ref>{{Article|lang=en|auteur1=J.T. Chen|auteur2=C.S. Wua|auteur3=K.H. Chenb|titre=A study of free terms for plate problems in the dual boundary
integral equations|revue=Engineering Analysis with Boundary Elements|année=2005}}; vol. 29, {{p.|73-374}} ; vol. 47, 1854, {{p.|435-446}}. [http://140.121.146.149/paper/eabe/eabe2005new.pdf].</ref> : 

<center><math>G(\vec{r}) = \frac{r^2 \ln(r)}{8 \pi} </math></center>

=== Oscillateur harmonique ===

Considérons l'équation différentielle ordinaire de la fonction de Green de l'[[oscillateur harmonique]] à un degré de liberté de pulsation {{math|''ω''{{ind|0}}}} :

<center><math> \left( \frac{\mathrm d^2 ~}{\mathrm dt^2} + \omega_0^2 \right) G(t)  = \delta(t)</math></center>

On peut remarquer à ce niveau que sur les deux intervalles ouverts <math> \mathbb{R}^{+*} </math> et <math> \mathbb{R}^{-*} </math>, la solution sera de la forme

<center><math> A \cos(\omega_0 t) + B \sin (\omega_0 t),</math></center>

mais on va résoudre cette équation sans partir de cette constatation.

Après transformation de Fourier, cette équation différentielle temporelle devient une [[Équation polynomiale|équation algébrique]] pour la pulsation {{mvar|ω}}, variable conjuguée au temps {{mvar|t}} :

<center><math> \left( -\omega^2 + \omega_0^2 \right) \, \widehat{G}(\omega ) = 1 </math></center>

dont la solution est triviale :

<center><math> \widehat{G}(\omega ) = - \frac{1}{\omega^2 - \omega_0^2} = - \frac{1}{(\omega - \omega_0) \, (\omega + \omega_0)}</math></center>

Pour obtenir la fonction de Green temporelle, on doit calculer la transformée de Fourier inverse :

<center><math>G(t) = - \frac{1}{2\pi} \int  \frac{{\rm e}^{+ {\rm i} \omega \, t}}{(\omega - \omega_0) \, (\omega + \omega_0)}\, \mathrm d \omega</math></center>

L'intégrande possède deux pôles simples réels, situés respectivement en {{math|''ω'' {{=}} +''ω''{{ind|0}}}} et {{math|''ω'' {{=}} – ''ω''{{ind|0}}}} ; on interprète alors l'intégrale comme une [[intégrale curviligne]] dans le [[plan complexe]] :

{{bloc emphase|fond=transparent|<math>G(t)  \ = \ - \ \frac{1}{2\pi} \ \oint_{\Gamma}  \ \frac{{\rm e}^{+ \, {\rm i} \, \omega \, t}}{(\omega - \omega_0) \, (\omega + \omega_0)}\,\mathrm d \omega</math>}}

pour laquelle il convient d'abord de fermer le contour {{math|Γ}}. On complète ici l'axe des réels par un ''demi-cercle'' centré à l'origine et de rayon {{mvar|R}} (on prendra la limite {{math|''R'' → +∞}} à la fin). Il restera encore à choisir dans quel demi-espace du plan complexe situer ce demi-cercle, et enfin à donner une ''prescription de contour des pôles'' afin de pouvoir terminer le calcul grâce au [[théorème des résidus]].

==== Propagateur retardé ====

L'hypothèse classique de [[Causalité (physique)|causalité]] consiste à postuler ''a priori'' que la réponse du système physique ''suit'' son excitation, c’est-à-dire ici que le propagateur ne peut être non nul que pour les temps {{math|''t'' ≥ 0}} ultérieurs à l'application de l'impulsion de Dirac à l'instant {{math|''t'' {{=}} 0}}, soit :

<center><math>\forall \, t < 0, \quad G_{\textrm{ret}}(t) = 0</math></center>

Pour voir dans quel demi-espace du plan complexe il faut situer le demi-cercle, écrivons que :

<center><math>\omega  = R \, {\rm e}^{{\rm i} \theta} = R  \left( \cos \theta + {\rm i} \sin \theta \right)</math></center>

On a alors :

<center><math>{\rm e}^{+ {\rm i} \omega \, t} = \exp \left[ {\rm i} R  \, t \, \left( \cos \theta + {\rm i}  \sin \theta \right) \right] = {\rm e}^{{\rm i} R  \, t \cos \theta} \times {\rm e}^{- R \, t \sin \theta} </math></center>

Pour que l'intégrale converge lorsque {{math|''R'' → +∞}} quel que soit {{math|''t'' < 0}}, il faut que l'exponentielle réelle tende vers zéro dans cette limite :

<center><math>\forall \, t < 0, \quad \lim_{R \to  + \infty} \, {\rm e}^{-R \, t \sin \theta} = 0</math></center>

Il faut donc que : {{math|sin ''θ'' < 0}}, soit : {{math|–π < ''θ'' < 0}} : le contour doit être refermé dans le demi-plan complexe ''inférieur'' lorsque <math>t < 0</math>.

La fonction de Green devant être identiquement nulle dans ce cas, les deux pôles doivent alors se trouver ''à l'extérieur'' de ce contour fermé, c’est-à-dire que les pôles doivent être compris comme : {{math|ω {{=}} ω{{ind|0}} + iε}} et : {{math|ω {{=}} –ω{{ind|0}} + iε}} à la limite où {{math|ε → 0{{exp|+}}}}.

Pour {{math|''t'' > 0}}, le contour doit être refermé dans le demi-plan complexe ''supérieur''.

Le contour fermé contient alors les deux pôles, et le théorème des résidus donne :

<center><math>G_{\textrm{ret}}(t) = - \frac{1}{2\pi} \times 2 \pi {\rm i} \times \lim_{\epsilon \to 0^+} \left[ \left. \frac{{\rm e}^{+{\rm i} \omega \, t}}{(\omega + \omega_0)} \right|_{\omega =  \omega_0  +  {\rm i} \varepsilon } +  \left.  \frac{{\rm e}^{+ {\rm i} \omega \, t}}{(\omega - \omega_0)} \right|_{\omega =  - \omega_0  +  {\rm i}  \varepsilon } \right]</math></center>

soit :

<center><math>G_{\textrm{ret}}(t) = -{\rm i} \times \left( \frac{{\rm e}^{+ {\rm i} \omega_0 \, t}}{2 \omega_0} + \frac{{\rm e}^{-{\rm i} \omega_0 \, t}}{- 2\omega_0} \, \right) = \frac{1}{\omega_0} 
\left( \frac{{\rm e}^{+ {\rm i} \omega_0 \, t} - {\rm e}^{- {\rm i} \omega_0 \, t} }{2 {\rm i}} \right)</math></center>

On obtient donc finalement :

{{bloc emphase|fond=transparent|<math>G_{\textrm{ret}}(t)  \ = \ \theta(t) \ \frac{\sin ( \omega_0 t)}{\omega_0} </math>}}

où {{math|''θ''(''t'')}} est la [[fonction de Heaviside|distribution de Heaviside]].

==== Propagateur avancé ====

On a aussi tout à fait le droit de considérer la fonction de Green avancée : le propagateur ne peut être non nul que pour les temps {{math|''t'' ≤ 0}} antérieurs à l'application de l'impulsion de Dirac à l'instant {{math|''t'' {{=}} 0}}, soit :

<center><math>\forall \, t > 0, \quad G_{\textrm{av}}(t) = 0</math></center>

Pour que l'intégrale converge lorsque {{math|''R'' → +∞}} quel que soit {{math|''t'' < 0}}, il faut que le contour soit refermé dans le demi-plan complexe ''inférieur'' lorsque {{math|''t'' < 0}}, dans le demi-plan complexe ''supérieur'' pour {{math|''t'' > 0}} (le raisonnement est celui effectué dans le paragraphe précédent).

La fonction de Green devant être identiquement nulle pour {{math|''t'' > 0}}, les deux pôles doivent alors se trouver ''à l'extérieur'' du contour fermé, c’est-à-dire que les pôles doivent être <math>\omega = +\omega_0 - {\rm i}\varepsilon</math> et <math>\omega = -\omega_0 - {\rm i}\varepsilon</math> à la limite où : {{math|''ε'' → 0{{exp|+}}}}.

Le contour fermé contient alors les deux pôles pour {{math|''t'' < 0}}, et le théorème des résidus donne :

<center><math>G_{\textrm{ret}}(t)  = - \frac{1}{2\pi} \times 2 \pi {\rm i} \times (-1) \times \lim_{\varepsilon \to 0^+} \, \left[ \left. \frac{{\rm e}^{+ {\rm i} \omega \, t}}{(\omega + \omega_0)} \right|_{\omega =  \omega_0  -  {\rm i} \varepsilon } +  \left.  \frac{{\rm e}^{+ {\rm i} \omega \, t}}{(\omega - \omega_0)} \right|_{\omega =  - \omega_0  -  {\rm i} \epsilon } \right]</math></center>

Le facteur -1 est dû au parcours du contour dans le sens horaire. Finalement on obtient :

{{bloc emphase|fond=transparent|<math>G_{\textrm{av}}(t)  \ = \ - \ \theta(-t) \ \frac{\sin ( \omega_0 t)}{\omega_0} </math>}}

où {{math|''θ''(''t'')}} est la [[fonction de Heaviside|distribution de Heaviside]].
<!--
=== Opérateur Laplacien ===
=== Opérateur d'Alembertien ===
=== Opérateur de Klein-Gordon ===
-->
{{...}}

== Applications au calcul numérique ==
Les opérateurs de Green permettent de représenter la solution exacte d'un problème physique (système d'équations aux dérivées partielles) sous forme de convolutions, et s'exprime naturellement dans l'espace de Fourier. Par exemple, en mécanique, les équations de Lippmann-Schwinger permettent d'exprimer le champ de déformation dans un matériau linéaire élastique homogène soumis à une précontrainte au moyen de l'opérateur de Green. Pour les problèmes de conductivité [[diélectrique]], des formulations similaires existent. Ces équations ont non seulement un intérêt théorique mais également pratique.

Les calculs par opérateurs de Green ont de nombreuses applications dans le domaine de l'[[homogénéisation]] y compris non linéaire<ref>{{en}} P. Suquet et H. Moulinec, « A fast numerical method for computing the linear and nonlinear mechanical properties of composites », ''[[CRAS]]'', Sér. II Méc. phys. chim. astron., Série -11, {{p.|1417-1423}}, 1994.</ref>. Les champs de déformation et de contrainte (ou du [[champ électrique]] ou magnétique dans des problèmes de conductivité ou de magnétisme de milieux hétérogènes) sont obtenus numériquement par un algorithme de point de fixe. Les lois constitutives du milieu (traitées dans l'espace réel) et la représentation de la solution par opérateur de Green (traité dans l'espace de Fourier) sont itérés jusqu'à convergence des champs. La majorité du temps de calcul consiste à passer de l'espace réel au domaine de Fourier, à l'aide de [[Transformée de Fourier rapide|transformées de Fourier rapides]].

== Notes et références ==
<references/>

== Bibliographie ==
* {{en}} [[Freeman Dyson]], « Georges Green and physics », ''[[Institute of Physics|Physics World]]'', {{date-|août 1993}}, {{p.|33-38}}.
* {{en}} Dean G. Duffy, ''Green's Functions with Applications'', [[CRC Press]], 2001 {{ISBN|1-58488-110-0}}, {{Google Livres|CfPKBQAAQBAJ|aperçu}}{{Commentaire biblio SRL|Ouvrage de mathématiques.}}
* {{en}} Gary F. Roach, ''Green's Functions'', [[Cambridge University Press]], 1982 {{ISBN|0-521-28288-8}}{{Commentaire biblio SRL|Ouvrage de mathématiques.}}
* {{en}} G. Barton, ''Elements of Green's Functions and Propagation : Potentials, Diffusion, and Waves'', [[Oxford University Press]], 1989 {{ISBN|0-19-851998-2}}{{Commentaire biblio SRL|Ouvrage pour physicien théoricien.}}

{{Portail|physique|analyse}}

[[Catégorie:Équation aux dérivées partielles]]
[[Catégorie:Équation différentielle]]
[[Catégorie:Méthode mathématique de la physique]]