Voir la source de Fonction de Wigner

{{À wikifier|date=mai 2022}}

{{Autre|l'étude de la fonction de Wigner appliquée au traitement du signal|Distribution de Wigner-Ville}}
[[Fichier:Wignerfunction_catstate_even_2.0.png|vignette| Fonction de Wigner d'un état du type du "chat de Schrödinger" (mélange de 2 états opposés)]]
La '''fonction de Wigner''' (également appelée '''distribution de quasi-probabilité de Wigner)''' a été introduite par [[Eugene Wigner]] en 1932 <ref>
{{Article|langue=Anglais|auteur1=E. P. Wigner|titre=On the quantum correction for thermodynamic equilibrium|périodique=Phys. Rev.|volume=40|numéro=5|année=1932|date=1932|doi=10.1103/PhysRev.40.749|bibcode=1932PhRv...40..749W|hdl=10338.dmlcz/141466|pages=749–759}}
</ref> pour étudier les corrections [[Quantum|quantiques]] à la [[mécanique statistique]] classique. L'objectif était de lier la fonction d'[[Fonction d'onde|onde]] qui apparaît dans l'[[équation de Schrödinger]] à une [[Loi de probabilité|distribution de probabilité]] dans l'[[espace des phases]].

La fonction de Wigner est une [[:en: generating function|fonction génératrice]] de toutes les fonctions d'[[autocorrélation]] spatiale d'une fonction d'onde donnée {{Formule|''ψ''(''x'')}} en [[mécanique quantique]]. Ainsi, elle applique<ref>
{{Article|langue=Anglais|auteur1=H. J. Groenewold|titre=On the principles of elementary quantum mechanics|périodique=Physica|volume=12|numéro=7|année=1946|date=1946|doi=10.1016/S0031-8914(46)80059-4|bibcode=1946Phy....12..405G|pages=405–460}}
</ref> à la [[Matrice densité|matrice de densité]] quantique la bijection entre les fonctions réelles de l'espace des phases et les opérateurs [[Opérateur hermitien|hermitiens]] introduite par [[Hermann Weyl]] en 1927 <ref>
{{Article|langue=Anglais|auteur1=H. Weyl|titre=Quantenmechanik und gruppentheorie|périodique=Z. Phys.|volume=46|numéro=1–2|année=1927|date=1927|doi=10.1007/BF02055756|bibcode=1927ZPhy...46....1W|pages=1|s2cid=121036548}}; H. Weyl, ''Gruppentheorie und Quantenmechanik'' (Leipzig: Hirzel) (1928); H. Weyl, ''The Theory of Groups and Quantum Mechanics'' (Dover, New York, 1931).</ref>, dans un contexte lié à la [[Représentation de groupe|théorie des représentations]] en mathématiques (voir l'article en anglais [[:en:Wigner-Weyl transform|transformée de Weyl-Wigner]]). En effet, la fonction de Wigner est la transformée de Wigner-Weyl de la matrice de densité ; elle est donc la représentation de cet opérateur dans l'espace des phases. Elle a ensuite été redérivée par Jean Ville en 1948 pour le traitement du signal, comme une représentation quadratique de l'énergie temps-fréquence locale d'un signal <ref>J. Ville, "Théorie et Applications de la Notion de Signal Analytique", ''Câbles et Transmission'', '''2''', 61–74 (1948).</ref> ([[distribution de Wigner-Ville]]).

En 1949, [[José Enrique Moyal]], qui l'avait dérivée indépendamment, l'a établie comme la base d'un codage élégant dans l'espace des phases de toutes les observables quantiques -et donc de la mécanique quantique dans l'espace des phases- ( voir [[Mécanique quantique dans l'espace des phases]])<ref>{{Article|langue=en|prénom1=J. E.|nom1=Moyal|titre=Quantum mechanics as a statistical theory|périodique=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|volume=45|numéro=1|date=1949-01|issn=1469-8064|issn2=0305-0041|doi=10.1017/S0305004100000487|lire en ligne=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-proceedings-of-the-cambridge-philosophical-society/article/abs/quantum-mechanics-as-a-statistical-theory/9D0DC7453AD14DB641CF8D477B3C72A2|consulté le=2023-04-01|pages=99–124}}</ref>. Elle a des applications en [[mécanique statistique]], en [[chimie quantique]] et en optique [[Optique|classique]] et [[Optique quantique|quantique]], et particulièrement en [[traitement du signal]] dans divers domaines comme l'[[électrotechnique]], la [[sismologie]], l'[[Distribution de Wigner-Ville|analyse temps-fréquence]] des signaux musicaux, les [[Spectrogramme|spectrogrammes]] en [[biologie]] et en [[traitement de la parole]] …

Pour une revue générale des propriétés de la fonction de Wigner, voir l'article en anglais «Wigner functions and Weyl transforms for pedestrians »<ref>{{Article|langue=en|prénom1=William B.|nom1=Case|titre=Wigner functions and Weyl transforms for pedestrians|périodique=American Journal of Physics|volume=76|numéro=10|date=2008-10|issn=0002-9505|issn2=1943-2909|doi=10.1119/1.2957889|lire en ligne=http://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.2957889|consulté le=2022-06-08|pages=937–946}}</ref>.

== Relation avec la mécanique classique ==
Une particule classique a une position et une [[quantité de mouvement]] définies et est donc représentée par un point dans l'[[espace des phases]]. Étant donné un ensemble de particules, la probabilité de trouver une particule à une certaine position dans l'espace des phases est spécifiée par une distribution de probabilité, la densité de Liouville. Cette interprétation stricte échoue pour une particule quantique, en raison du [[principe d'incertitude]], qui interdit la détermination simultanée de la position et de l'impulsion d'une particule. La distribution de Wigner joue un rôle analogue à la densité de Liouville, mais ne satisfait pas toutes les propriétés d'une distribution de probabilité conventionnelle ; on la qualifie donc de distribution de "quasi-probabilité"; mais inversement, elle a des caractéristiques topologiques que n'a pas une distribution classique.

Par exemple, la distribution de Wigner peut prendre et prend normalement des valeurs négatives pour les états qui n'ont pas d'équivalent classique - c'est une spécificité de la mécanique quantique (voir ci-dessous pour une caractérisation des états purs dont les fonctions de Wigner sont non négatives). Le lissage de la distribution de Wigner via un filtre de taille supérieure à {{Mvar|ħ}} donne une fonction semi-définie positive : par exemple, par la [[Transformation de Weierstrass|transformée de Weierstrass]], qui est une convolution avec une gaussienne dans l'espace des phases (représentation d'Husimi, voir ci-dessous). Cette opération de lissage correspond à une transition vers le [[Physique semi-classique|régime semi-classique]].

On peut prouver que les régions où la distribution de Wigner prend des valeurs négatives sont "petites" (en les [[Produit de convolution|convoluant]] avec une [[Fonction gaussienne|gaussienne]] de faible largeur) : elles ne peuvent pas s'étendre à des régions [[Compacité (mathématiques)|compactes]] supérieures à quelques {{Mvar|ħ}}, et donc disparaissent dans la [[limite classique]]. Ces régions à valeur négative sont protégées par le [[principe d'incertitude]], qui ne permet pas une localisation précise dans des régions d'espace de phase inférieures à {{Mvar|ħ}}, et rend ainsi de telles "probabilités négatives" moins paradoxales.

== Définition et signification ==
La distribution de Wigner {{Formule|''W''(''x'',''p'')}} d'un état pur est définie comme

<math>W(x, p)~\stackrel{\text{def}}{=}~\frac{1}{\pi\hbar} \int_{-\infty}^\infty \psi^*(x + y) \psi(x - y) e^{2ipy/\hbar}\,dy,</math>

où {{Mvar|ψ}} est la fonction d'onde définie dans l'[[Espace des positions et des moments|espace des positions]], et {{Mvar|x}} et {{Mvar|p}} sont la position et l'impulsion, mais pourraient être n'importe quelle paire de variables conjuguées (par exemple parties réelles et imaginaires du [[champ électrique]] ou fréquence et temps d'un signal). Notez que  ''{{math||§=W(x,p)}}'' peut être non-nulle dans des domaines où la fonction d'onde s'annule ("battements").

On peut la définir symétriquement à partir de la fonction d'onde dans l'[[Espace des positions et des moments|espace des moments]] :

: <math>W(x, p) = \frac{1}{\pi\hbar} \int_{-\infty}^\infty \varphi^*(p + q) \varphi(p - q) e^{-2ixq/\hbar} \,dq,</math>

où {{Mvar|φ}} est la fonction d'onde normalisée dans l'espace des moments, proportionnelle à la [[Transformation de Fourier|transformée de Fourier]] de {{Mvar|ψ}} .

En trois dimensions, elle s'écrit :

: <math>W(\vec{r}, \vec{p}) = \frac{1}{(2\pi)^3} \int \psi^*(\vec{r} + \hbar\vec{s}/2) \psi(\vec{r} - \hbar\vec{s}/2) e^{i\vec{p} \cdot \vec{s}} \,d^3 s.</math>

Dans le cas général, qui inclut des combinaisons d'états purs, c'est la transformée de Wigner de la [[matrice densité]] <math>\hat{\rho}</math> :

: <math>W(x, p) = \frac{1}{\pi\hbar} \int_{-\infty}^\infty \langle x + y| \hat{\rho} |x - y \rangle e^{-2ipy/\hbar} \,dy,</math>

où ⟨ ''x'' | ''ψ'' ⟩ = {{Formule|''ψ''(''x'')}} . Cette transformation de Wigner est l'inverse de la [[:en:Wigner-Weyl transform|transformée de Wigner-Weyl]], qui projettent les fonctions de l'espace des phases vers des opérateurs de l'[[espace de Hilbert]] (voir l'article en anglais [[:en:Weyl quantization|quantification de Weyl]].

Ainsi, la fonction de Wigner est-elle la pierre angulaire de la [[mécanique quantique dans l'espace des phases]].

En 1949, [[José Enrique Moyal]] a établi comment la fonction de Wigner permet de définir l'[[espérance mathématique]] (la mesure) dans l'espace des phases (de manière analogue à celle avec une fonction de [[Variable aléatoire à densité|densité de probabilité]]) ; cette mesure produit la valeur moyenne attendue  d'observables {{Formule|''Ĝ''}} représentées par des fonctions de variables réelles dans l'espace des phases {{Formule|''g''(''x'', ''p'')}} ; les fonctions {{Formule|''g''(''x'', ''p'')}} sont associées de manière unique aux opérateurs {{Formule|''Ĝ''}} (convenablement ordonnés) par la transformée de Weyl (voir la quantification de Weyl et la propriété 7 ci-dessous), d'une manière qui évoque la [[Théorie des probabilités|théorie classique des probabilités]].

Plus précisément, la valeur moyenne mesurable d'une observable quantique représentée par un opérateur {{Formule|''Ĝ''}} est une "moyenne dans l'espace des phases" de la transformée de Wigner de cet opérateur :

: <math>\langle \hat{G} \rangle = \int dx\,dp\, W(x, p) g(x, p).</math>

== Propriétés mathématiques ==
[[Fichier:Wigner_functions.jpg|vignette|599x599px| La distribution de quasi-probabilité de Wigner pour différents états propres d'énergie de l'[[oscillateur harmonique quantique]] : a) ''n'' = 0 (état fondamental), b) ''n'' = 1, c) ''n'' = 5]]
1. {{Formule|''W''(''x'',''p'')}} est une fonction à valeurs réelles.

2. Les distributions de probabilité ''x'' et ''p'' sont données par les [[Loi de probabilité marginale|lois marginales]] ; en général :

:: <math>\int_{-\infty}^\infty dp\, W(x, p) = \langle x|\hat{\rho}|x \rangle.</math> Si le système peut être décrit par un [[État quantique|état pur]], on obtient :<math>\int_{-\infty}^\infty dp\, W(x, p) = |\psi(x)|^2.</math>
:: <math>\int_{-\infty}^\infty dx\, W(x, p) = \langle p|\hat{\rho}|p \rangle.</math> Si le système peut être décrit par un [[État quantique|état pur]], on a <math>\int_{-\infty}^{\infty} dx\, W(x, p) = |\varphi(p)|^2.</math>
:: 
:: Et :
:: <math>\int_{-\infty}^\infty dx \int_{-\infty}^\infty dp\, W(x, p) = \operatorname{Tr}(\hat{\rho}).</math>
: Typiquement la trace de la matrice densité ''<math>\hat{\rho}</math>'' est égale à 1 ; la fonction ''W'' (''x'',''p'') est normée à l'unité.

3. {{Formule|''W''(''x'',''p'')}} a les symétries de réflexion suivantes :

:* Symétrie temporelle : <math>\psi(x) \to \psi(x)^* \Rightarrow W(x, p) \to W(x, -p).</math>
:* Symétrie spatiale : <math>\psi(x) \to \psi(-x) \Rightarrow W(x, p) \to W(-x, -p).</math>

4. {{Formule|''W''(''x'',''p'')}} est compatible avec la [[transformation de Galilée]] :

:: <math>\psi(x) \to \psi(x + y) \Rightarrow W(x, p) \to W(x + y, p).</math>
: Elle n'est pas compatible avec la [[transformation de Lorentz]]

, et donc pas compatible avec les relativités restreinte et générale 

5. L'équation du mouvement pour chaque point de l'espace des phases est classique en l'absence de forces :

:: <math>\frac{\partial W(x, p)}{\partial t} = \frac{-p}{m} \frac{\partial W(x, p)}{\partial x}.</math>
: En fait, elle est classique même en présence de potentiels harmoniques.

6. Le recouvrement de 2 états <math>\hat{\psi}</math> et  <math>\hat{\theta}</math> est calculé comme suit

:: <math>|\langle \psi|\theta \rangle|^2 = 2\pi\hbar \int_{-\infty}^\infty dx \int_{-\infty}^\infty dp\, W_\psi(x, p) W_\theta(x, p).</math>

7. Les valeurs moyennes mesurables d'un opérateur <math>\hat{G}</math> sont calculées comme des moyennes dans l'espace des phases des transformées de Wigner respectives :

:: <math>g(x, p) \equiv \int_{-\infty}^\infty dy\, \left\langle x - \frac{y}{2} \right| \hat{G} \left| x + \frac{y}{2} \right\rangle e^{ipy/\hbar},</math>
:: <math>\langle \psi|\hat{G}|\psi\rangle = \operatorname{Tr}(\hat{\rho} \hat{G}) = \int_{-\infty}^\infty dx \int_{-\infty}^\infty dp\, W(x, p) g(x, p).</math>

8. Pour que {{Formule|''W''(''x'',''p'')}} représente des matrices de densité de systèmes physiques (positives), elle doit satisfaire la relation

:: <math>\int_{-\infty}^\infty dx\, \int_{-\infty}^\infty dp\, W(x, p) W_\theta(x, p) \ge 0</math>
: pour tout état pur |θ⟩.

9. En vertu de l'[[inégalité de Cauchy-Schwarz]], pour un état pur, elle est bornée :

:: <math>-\frac 2 h \leq W(x, p) \leq \frac 2 h.</math>
: Cette borne disparaît dans la limite classique, ''ħ'' → 0. Dans cette limite, {{Formule|''W''(''x'',''p'')}} se réduit à la densité de probabilité dans l'espace de coordonnées ''x'', généralement très localisée, multipliée par des [[Distribution de Dirac|fonctions-δ]] en quantité de mouvement : la limite classique est une structure en forme de «peigne». Aussi, en raison du principe d'incertitude, cette limite de la mécanique quantique exclut une fonction de Wigner qui serait une fonction-δ parfaitement localisée dans l'espace des phases.

10. La transformation de Wigner est simplement la [[Transformation de Fourier|transformée de Fourier]] des [[Diagonale principale|antidiagonales]] de la matrice de densité, lorsque cette matrice est exprimée dans l'espace des positions<ref>{{Ouvrage|prénom1=Peter W.|nom1=Hawkes|titre=Advances in Imaging and Electron Physics|éditeur=[[Academic Press]]|année=2018|pages totales=47|isbn=9780128155424|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=1-JgDwAAQBAJ&printsec=frontcover}}</ref>.

=== Exemples ===
Soit un état <math>|m\rangle \equiv \frac{a^{\dagger m}}{\sqrt{m!}} |0\rangle</math>, qui est le <math>m</math>-ième [[:en:Fock state|état de Fock]] d'un [[oscillateur harmonique quantique]]. Groenewold (1946) a montré que sa fonction de Wigner associée, avec des variables sans dimension s'écrit :

: <math>W_{|m\rangle}(x, p) = \frac{(-1)^m}{\pi} e^{-(x^2 + p^2)} L_m\big(2(p^2 + x^2)\big),</math>

où <math>L_m(x)</math> désigne le <math>m</math>-ième [[polynôme de Laguerre]].

Cette relation découle de l'expression des fonctions d'onde des états propres stationnaires,

: <math>u_m(x) = \pi^{-1/4} H_m(x) e^{-x^2/2},</math>

où <math>H_m</math> est le <math>m</math>-ième [[polynôme d'Hermite]]. D'après la définition ci-dessus de la fonction de Wigner, lors d'un changement de variables d'intégration,

: <math>W_{|m\rangle}(x, p) = \frac{(-1)^m}{\pi^{3/2} 2^m m!} e^{-x^2 - p^2} \int_{-\infty}^\infty d\zeta\, e^{-\zeta^2} H_m(\zeta - ip + x) H_m(\zeta - ip - x).</math>

On retrouve l'expression de Groenewold à partir de la relation intégrale entre les polynômes d'Hermite et de Laguerre<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Wolfgang P.|nom1=Schleich|titre=Quantum Optics in Phase Space|date=2001-02-09|numéro d'édition=1|pages totales=695|passage=105|isbn=978-3-527-29435-0|doi=10.1002/3527602976|lire en ligne=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/book/10.1002/3527602976}}</ref>.

== Équation d'évolution pour la fonction de Wigner ==
Comme vu précédemment, la transformation de Wigner est une transformation inversible d'un opérateur {{Formule|''Ĝ''}} sur un [[espace de Hilbert]] en une fonction <math>g(x,p)</math> dans l'[[espace des phases]] et est donnée par

: <math>g(x, p) = \int_{-\infty}^\infty ds\, e^{ips/\hbar} \left\langle x - \frac s2\right| \hat G \left|x + \frac s2\right\rangle.</math>

Les opérateurs hermitiens se transforment en des fonctions réelles. L'inverse de cette transformation, de l'espace des phases à l'espace de Hilbert, s'appelle la transformation de Weyl :  :

: <math>\langle x | \hat G | y \rangle = \int_{-\infty}^\infty \frac{dp}{h} e^{ip(x - y)/\hbar} g\left(\frac{x + y}{2}, p\right)</math>

(à ne pas confondre avec la [[Algèbre de Weyl|transformation de Weyl]]  en géométrie différentielle).

La fonction de Wigner {{Formule|''W''(''x'', ''p'')}} discutée ici est donc considérée comme la transformée de Wigner de l'opérateur de [[Matrice densité|matrice de densité]] <math>\hat{\rho}</math>. Ainsi, la trace d'un opérateur avec la matrice de densité se transforme en l'intégrale dans l'espace des phases du produit de {{Formule|''g''(''x'', ''p'')}} avec la fonction de Wigner.

L'équation d'évolution de la fonction de Wigner se déduit de l'[[Matrice densité#Propriétés|équation d'évolution]] de la matrice densité de von Neumann dans la [[représentation de Schrödinger]] ; c'est l'équation d'évolution de Moyal pour la fonction de Wigner :

<math>\frac{\partial W(x, p, t)}{\partial t} = - \{\{W(x, p, t), H(x, p)\}\},</math>

<math>H(x,p)</math> est l'hamiltonien du système, et <nowiki>{{⋅, ⋅}}</nowiki> est le [[:en:Moyal bracket|crochet de Moyal]]. De manière plus explicite, en introduisant les dérivées partielles à gauche <math>\overset{_\gets}\partial_x</math>et <math>\vec\partial_x</math> à droite, on obtient

<math> \frac{\partial W}{\partial t} = -\{\{W, H\}\} = -\frac{2}{\hbar} W \sinh \left(\frac{\hbar}{2} (\overset{_\gets}\partial_x
\vec\partial_p - \overset{_\gets}\partial_p \vec\partial_x)\right) H =
 -\{W, H\} + O(\hbar^2).</math>

Dans la limite classique, {{Formule|''ħ'' → 0}}, le crochet de Moyal se réduit au [[crochet de Poisson]], et l'équation d'évolution se réduit à l'[[Théorème de Liouville (hamiltonien)|équation de Liouville]] de la mécanique statistique classique.

Formellement, l'équation classique de Liouville peut être résolue en termes de trajectoires de particules dans l'espace des phases qui sont des solutions des équations classiques de Hamilton. Cette technique de résolution d'équations aux dérivées partielles est connue sous le nom de [[méthode des caractéristiques]]. Cette méthode se transpose aux systèmes quantiques, où les "trajectoires" des caractéristiques déterminent désormais l'évolution des fonctions de Wigner. La solution de l'équation d'évolution de Moyal pour la fonction de Wigner est représentée formellement par

: <math>W(x, p, t) = W\big(\star\big(x_{-t}(x, p), p_{-t}(x, p)\big), 0\big),</math>

où <math>x_t(x, p)</math> et <math>p_t(x, p)</math> sont les trajectoires caractéristiques soumises aux [[:en:Method of quantum characteristics|équations quantiques de Hamilton]] avec des conditions initiales <math>x_{t=0}(x, p) = x</math> et <math>p_{t=0}(x, p) = p</math>, et où le produit-<math>\star</math> de composition des fonctions est complètement non local (le "fluide de probabilité quantique" diffuse, comme l'a observé Moyal), les traces des trajectoires locales dans les systèmes quantiques sont à peine perceptibles dans l'évolution de la fonction de distribution de Wigner<ref>Les caractéristiques quantiques ne doivent pas être confondues avec les trajectoires de la formulation de l'[[intégrale de chemin]] de Feynman, ou les trajectoires de la [[Théorie de De Broglie-Bohm]]. Cette triple ambiguïté permet de mieux comprendre la position de [[Niels Bohr]], qui s'oppose vigoureusement mais contre productivement à la notion de trajectoire en physique atomique. Lors de la conférence Pocono de 1948, par exemple, il a dit à [[Richard Feynman]] : "... on ne pouvait pas parler de la trajectoire d'un électron dans l'atome, car c'était quelque chose d'inobservable". Des arguments de ce genre ont été largement utilisés dans le passé par [[Ernst Mach]] dans sa critique d'une théorie atomique de la physique et plus tard, dans les années 1960, par [[Geoffrey Chew]] et d'autres pour motiver le remplacement de la théorie quantique locale des champs par la théorie  de la [[Matrice S]]. Aujourd'hui, la physique statistique entièrement basée sur des concepts atomistiques est incluse dans les cours standards, la théorie de la matrice S est passée de mode, tandis que la méthode de l'intégrale de chemin de Feynman a été reconnue comme la méthode la plus efficace en [[théorie de jauge]].</ref>. Dans la représentation intégrale des produits-<math>\star</math>, leurs actions successives ont été adaptées à une intégrale de chemin dans l'espace de phase, pour résoudre l'équation d'évolution de la fonction de Wigner <ref>
{{Article|langue=anglais|auteur1=B. Leaf|titre=Weyl transform in nonrelativistic quantum dynamics|périodique=J. Math. Phys.|volume=9|numéro=5|année=1968|date=1968|doi=10.1063/1.1664640|bibcode=1968JMP.....9..769L|pages=769–781}}
</ref> (voir aussi <ref>
{{Article|langue=anglais|auteur1=P. Sharan|titre=Star-product representation of path integrals|périodique=Phys. Rev. D|volume=20|numéro=2|année=1979|date=1979|doi=10.1103/PhysRevD.20.414|bibcode=1979PhRvD..20..414S|pages=414–418}}
</ref>{{,}}<ref>
{{Article|langue=Anglais|auteur1=M. S. Marinov|titre=A new type of phase-space path integral|périodique=Phys. Lett. A|volume=153|numéro=1|année=1991|date=1991|doi=10.1016/0375-9601(91)90352-9|bibcode=1991PhLA..153....5M|pages=5–11}}
</ref>{{,}}<ref name="OlshanetskyVainshtein2002">B. Segev: ''Evolution kernels for phase space distributions''. In: {{Ouvrage|nom1=M. A. Olshanetsky (ed.)|nom2=Arkady Vainshtein (ed.)|titre=Multiple Facets of Quantization and Supersymmetry|sous-titre=Michael Marinov Memorial Volume|éditeur=[[World Scientific]]|année=2002|pages totales=68–90|isbn=978-981-238-072-2|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=_pwmuPF1DY4C&pg=PA68|consulté le=26 October 2012}} See especially section 5. "Path integral for the propagator" on [https://books.google.com/books?id=_pwmuPF1DY4C&pg=PA86 pages 86–89].
Also [http://homepages.spa.umn.edu/~vainshte/Marinov/Segev/segev.pdf online].</ref> ). Cette caractéristique non locale de l'évolution temporelle de Moyal <ref>{{Article|auteur1=M. Oliva, D. Kakofengitis, and O. Steuernagel|titre=Anharmonic quantum mechanical systems do not feature phase space trajectories|périodique=Physica A|volume=502|année=2018|doi=10.1016/j.physa.2017.10.047|bibcode=2018PhyA..502..201O|arxiv=1611.03303|pages=201–210|s2cid=53691877}}</ref> est illustrée dans la galerie de figures ci-dessous, pour des hamiltoniens plus complexes que l'oscillateur harmonique. A la limite classique, l'évolution temporelle des fonctions de Wigner ayant l'aspect de trajectoires devient de plus en plus distinct. A ''ħ'' = 0, les trajectoires des caractéristiques se réduisent aux trajectoires classiques des particules dans l'espace des phases.{{Gallery|File:Wigner function propagation for morse potential.ogv|État pur dans un [[potentiel de Morse]]. Les lignes représentent les courbes de niveau de l'[[opérateur hamiltonien|Hamiltonien]].|File:Wigner function for quartic potential.ogv|État pur dans un potentiel quartique. Les lignes représentent les courbes de niveau de l'[[opérateur hamiltonien|Hamiltonien]].|7=File:Hamiltonian flow quantum.webm|8=Évolution d'un état mixte dans un potentiel anharmonique ; à droite distribution marginale pour "p", en haut pour "x".|title=Exemples d'évolutions au cours du temps de fonctions de Wigner.|align=center}}

=== Evolution temporelle de l'oscillateur harmonique ===
Dans le cas particulier de l'[[oscillateur harmonique quantique]], cependant, l'évolution est simple et apparaît identique au mouvement classique : une rotation rigide dans l'espace des phases avec une fréquence donnée par la fréquence de l'oscillateur. Ceci est illustré dans la galerie ci-dessous. Cette même évolution temporelle se produit avec les [[Optique quantique|états quantiques des modes de la lumière]], qui sont des oscillateurs harmoniques.

{{Gallery|File:SmallDisplacedGaussianWF.gif|Un [[état cohérent]]<ref name=Curtright>Curtright, T. L., [http://www.physics.miami.edu/~curtright/TimeDependentWignerFunctions.html Time-dependent Wigner Functions].</ref>.|File:TwoStateWF.gif|Superposition du niveau fondamental et du premier niveau excité<ref name=Curtright/>.|File:Wigner_function_of_a_Schrödinger_cat_state.gif|État du [[chat de Schrödinger]]; distributions marginales à droite pour "p", en bas pour "x".|title=Exemples d'évolutions de la fonction de Wigner pour un oscillateur harmonique quantique}}

La fonction de Wigner permet d'étudier la [[limite classique]], permettant la comparaison de la dynamique classique et de la dynamique quantique dans l'espace des phases<ref>See, for example: [[Wojciech H. Zurek]], ''Decoherence and the transition from quantum to classical – revisited'', Los Alamos Science, 27, 2002, [[arxiv:quant-ph/0306072|arXiv:quant-ph/0306072]], pp. 15 ff.</ref>{{,}}<ref>See, for example: C. Zachos, D. Fairlie, T. Curtright, ''Quantum mechanics in phase space: an overview with selected papers'', World Scientific, 2005. {{ISBN|978-981-4520-43-0}}.</ref>.

L'approche de la fonction de Wigner peut être considérée comme une analogie quantique à la formulation opératoire de la mécanique classique introduite en 1932 par [[:en:Bernard Koopman|Bernard Koopman]] et [[John von Neumann]] : l'évolution temporelle de la fonction de Wigner, à la limite ''ħ'' → 0, tend vers l'évolution temporelle de la fonction d'[[:en:Koopman–von Neumann classical mechanics|onde de Koopman-von Neumann]] d'une particule classique<ref name="BondarCabrera2013">{{Article|langue=Anglais|auteur1=Bondar|prénom1=Denys I.|auteur2=Cabrera|prénom2=Renan|auteur3=Zhdanov|prénom3=Dmitry V.|auteur4=Rabitz|prénom4=Herschel A.|titre=Wigner phase-space distribution as a wave function|périodique=Physical Review A|volume=88|numéro=5|année=2013|date=2013|issn=1050-2947|doi=10.1103/PhysRevA.88.052108|arxiv=1202.3628|pages=052108|s2cid=119155284}}</ref>.

=== Positivité de la fonction de Wigner ===
Comme cela a déjà été noté, la fonction de Wigner de l'état quantique prend généralement des valeurs négatives. En effet, pour un état pur à une variable, si <math>W(x, p) \ge 0</math> pour tous <math>x</math> et <math>p</math>, alors la fonction d'onde doit avoir la forme

: <math>\psi(x) = e^{-ax^2+bx+c}\,,</math>

fonction de nombres complexes <math>a, b, c</math> , avec <math>\operatorname{Re}(a) > 0</math> (Théorème d'Hudson <ref name="Hudson1974">{{Article|auteur1=Hudson, Robin L.|titre=When is the Wigner quasi-probability density non-negative?|périodique=Reports on Mathematical Physics|volume=6|numéro=2|année=1974|doi=10.1016/0034-4877(74)90007-X|bibcode=1974RpMP....6..249H|pages=249–252}}</ref> ). Noter que <math>a</math> peut être complexe, de sorte que <math>\psi</math> n'est pas nécessairement un paquet d'ondes gaussiennes au sens habituel. Ainsi, les états purs avec des fonctions de Wigner non négatives ne sont pas nécessairement des états d'incertitude minimale au sens de l'[[Principe d'incertitude|inégalité de Heisenberg]] ; ces états donnent plutôt l'égalité dans la formule, qui comprend un terme anti-commutateur en plus du commutateur. (Avec une définition soigneuse des variances respectives, toutes les fonctions de Wigner à l'état pur conduisent tout de même à l'inégalité de Heisenberg).

Pour des dimensions supérieures, la caractérisation des états purs avec des fonctions de Wigner non négatives est similaire ; la fonction d'onde doit avoir la forme

: <math>\psi(x) = e^{-(x,Ax)+b\cdot x+c},</math>

où <math>A</math> est une matrice complexe symétrique dont la partie réelle est définie positive, <math>b</math> est un vecteur complexe et {{Mvar|c}} est un nombre complexe<ref name=":0">{{Article|langue=Anglais|auteur1=F. Soto|auteur2=P. Claverie|titre=When is the Wigner function of multidimensional systems nonnegative?|périodique=[[Journal of Mathematical Physics]]|volume=24|date=1983|pages=97–100.}}</ref>. La fonction de Wigner d'un tel état est une distribution gaussienne sur l'espace des phases.

Soto et Claverie <ref name=":0" /> donnent une preuve élégante de cette caractérisation, en utilisant la [[:en:Segal-Bargmann|transformée de Segal-Bargmann]]. Le raisonnement est le suivant. La fonction Husimi Q de <math>\psi</math> peut être calculée comme l'amplitude au carré de la transformée de Segal – Bargmann de <math>\psi</math>, multiplié par une gaussienne. Or la fonction Husimi Q est la convolution de la fonction Wigner avec une gaussienne. Si la fonction de Wigner de <math>\psi</math> est non négative partout dans l'espace des phases, alors la fonction Husimi Q<ref name="x1">{{Lien web |titre=Représentations du champ dans l’espace des phases : la fonction Q et la fonction W de Wigner |url=https://www.college-de-france.fr/media/serge-haroche/UPL54874_SHaroche_191102.pdf |format=pdf |site=www.college-de-france.fr |date=2002 |consulté le=23 mai 2022}}</ref> sera strictement positive partout dans l'espace des phases. Et donc, la transformée de Segal-Bargmann <math>F(x + ip)</math> de <math>\psi</math> ne sera nulle en aucun point. Ainsi, par un résultat standard d'analyse complexe, on a

: <math>F(x + ip) = e^{g(x+ip)}</math>

pour une fonction holomorphe <math>g</math>. Mais pour que <math>F</math> appartienne à l'espace de Segal-Bargmann, c'est-à-dire pour que <math>F</math> soit de carré intégrable par rapport à une mesure gaussienne, <math>g</math> doit avoir au plus une croissance quadratique à l'infini. À partir de là, une [[analyse complexe]] élémentaire peut être utilisée pour montrer que <math>g</math> doit en fait être un polynôme quadratique. Ainsi, nous obtenons une forme explicite de la transformée de Segal-Bargmann de tout état pur dont la fonction de Wigner est positive. Nous pouvons alors inverser la transformée de Segal-Bargmann pour obtenir la forme revendiquée de la fonction d'onde de position.

Il ne semble pas y avoir de caractérisation simple des [[Matrice densité|états mixtes]] avec des fonctions de Wigner non négatives.

=== La fonction de Wigner en relation avec d'autres interprétations de la mécanique quantique ===
On peut montrer que la fonction de distribution de quasi-probabilité de Wigner peut être considérée comme une [[:en:deformation (geometry)|déformation]] selon le paramètre {{Mvar|ħ}} d'une autre fonction de distribution dans l'espace des phases, qui décrit un ensemble de trajectoires causales selon la théorie [[Théorie de De Broglie-Bohm|de Broglie-Bohm]]<ref>{{Article|langue=Anglais|prénom1=Nuno Costa|nom1=Dias|prénom2=Joao Nuno|nom2=Prata|titre=Bohmian trajectories and quantum phase space distributions|périodique=Physics Letters A|volume=302|numéro=5-6|date=2002-09|doi=10.1016/S0375-9601(02)01175-1|lire en ligne=http://arxiv.org/abs/quant-ph/0208156|consulté le=2023-04-01|pages=261–272}}</ref>. [[:en:Basil Hiley|Basil Hiley]] a montré que la distribution de quasi-probabilité peut être interprétée comme la [[Matrice densité|matrice de densité]] réexprimée en termes de position et d'impulsion moyennes d'une "cellule" dans l'espace des phases, et l'interprétation de de Broglie-Bohm permet de décrire la dynamique des centres de telles "cellules"<ref>B. J. Hiley: ''Phase space descriptions of quantum phenomena'', in: A. Khrennikov (ed.): ''Quantum Theory: Re-consideration of Foundations–2'', pp. 267–286, Växjö University Press, Sweden, 2003 ([http://www.birkbeck.ac.uk/tpru/BasilHiley/ShadowPhaseVajxo03.pdf PDF]).</ref>{{,}}<ref>B. Hiley: ''Moyal's characteristic function, the density matrix and von Neumann's idempotent'' ([http://www.bbk.ac.uk/tpru/BasilHiley/Moyal&DensityMatrix.pdf preprint]).</ref>.

== Utilisations de la fonction de Wigner en dehors de la mécanique quantique ==
[[Fichier:Chirpedpulse.jpg|vignette| Un tracé de contour de la distribution Wigner – Ville pour une impulsion lumineuse [[Chirp|modulée]]. Le graphique montre clairement que la fréquence est une fonction linéaire du temps.]]

* Dans la modélisation de [[Système optique|systèmes optiques]] tels que les télescopes ou les dispositifs de télécommunications à fibre, la fonction de Wigner est utilisée pour combler le fossé entre le simple [[:en:raytracing|traçage de rayons]] et l'analyse des ondes complètes du système. Ici {{Formule|''p''/''ħ''}} est remplacé par {{Formule|''k'' {{=}} {{!}}''k''{{!}} sin ''θ'' ≈ {{!}}''k''{{!}}''θ''}} dans l'approximation aux petits angles. Dans ce contexte, la fonction de Wigner est la plus proche que l'on puisse obtenir pour décrire le système en termes de rayons à la position {{Mvar|x}} et à l'angle {{Mvar|θ}} tout en incluant les effets des interférences <ref>{{Article|langue=Anglais|prénom1=Ivan V.|nom1=Bazarov|titre=Synchrotron radiation representation in phase space|périodique=Physical Review Special Topics - Accelerators and Beams|volume=15|numéro=5|date=2012-05-03|doi=10.1103/PhysRevSTAB.15.050703|lire en ligne=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevSTAB.15.050703|consulté le=2023-04-01|pages=050703}}</ref>. S'il devient négatif à un moment donné, un simple lancer de rayons ne suffira pas à modéliser le système. C'est-à-dire que les valeurs négatives de cette fonction sont un [[symptôme]] de la [[Principe d'incertitude|limite de Gabor]] du signal lumineux classique et non des caractéristiques quantiques de la lumière associées à {{Mvar|ħ}}.
* Dans le [[traitement du signal]], un [[signal électrique]] variable dans le temps, une vibration mécanique ou une [[Son (physique)|onde sonore]] sont représentés par une [[Distribution de Wigner-Ville|fonction de Wigner]]. Ici, {{Mvar|x}} est remplacé par le temps, et {{Formule|''p''/''ħ''}} est remplacé par la fréquence angulaire {{Formule|''ω'' {{=}} 2π''f''}}, où {{Mvar|f}} est la fréquence habituelle.
* En [[:en:ultrashort pulse|optique ultrarapide]], les impulsions laser courtes sont caractérisées par la fonction de Wigner utilisant les mêmes substitutions {{Mvar|f}} et {{Mvar|t}} que ci-dessus. Les défauts d'impulsion tels que le [[chirp]] (le changement de fréquence avec le temps) peuvent être visualisés avec la fonction de Wigner.
* En optique quantique, {{Mvar|x}} et {{Formule|''p''/''ħ''}} sont remplacés par les quadratures {{Mvar|X}} et {{Mvar|P}}, les composantes réelle et imaginaire du champ électrique (voir [[état cohérent]] ).

=== Mesures de la fonction de Wigner ===
* [[:en:quantum tomography|Tomographie quantique]]
* [[Frequency-Resolved Optical Gating|Gating optique résolu en fréquence]]

== Autres distributions de quasi-probabilité associées ==
La distribution de Wigner a été la première distribution de quasi-probabilité à être formulée, mais de nombreuses autres ont suivi, formellement équivalentes et transformables les unes dans les autres (voir l'article en anglais [[:en:Transformation between distributions in time–frequency analysi|Transformation entre distributions dans l'analyse temps-fréquence]]). Comme dans le cas des systèmes de coordonnées, en raison de leurs propriétés particulières, plusieurs d'entre elles présentent des avantages pour des applications spécifiques :

* [[:en:Glauber P representation|Représentation de Glauber P]]
* Représentation Husimi Q<ref name="x1" />

Néanmoins, la distribution de Wigner occupe une position privilégiée parmi toutes ces distributions, car c'est la ''seule'' dont le produit en étoile requis disparait (s'intègre par parties jusqu'à l'unité ) dans l'évaluation des valeurs moyennes, comme illustré ci-dessus, et ''peut'' donc être visualisée comme une mesure de quasi-probabilité analogue aux mesures classiques.

== Remarque historique ==
Comme indiqué plus haut, la formule de la fonction de Wigner a été dérivée indépendamment plusieurs fois dans différents contextes. En fait, apparemment, [[Eugene Wigner|Wigner]] ignorait que même dans le contexte de la théorie quantique, elle avait été introduite précédemment par [[Werner Heisenberg|Heisenberg]] et [[Paul Dirac|Dirac]]<ref>[[Werner Heisenberg|W. Heisenberg]], "Über die inkohärente Streuung von Röntgenstrahlen", ''Physik. Zeitschr.'' '''32''', 737–740 (1931); [[Paul Dirac|P. A. M. Dirac]], "Note on exchange phenomena in the Thomas atom", ''Proc. Camb. Phil. Soc.'' '''26''', 376–395 (1930). {{Doi|10.1017/S0305004100016108}}.</ref>, bien que purement formellement : ces deux précurseurs n'ont pas compris sa signification, et celle de ses valeurs négatives, car ils ne la considéraient que comme une approximation de la description quantique complète d'un système tel que l'atome. Symétriquement, dans la plupart de sa correspondance légendaire de 18 mois avec [[José Enrique Moyal|Moyal]] au milieu des années 1940, Dirac ignorait que la fonction génératrice de moment quantique de Moyal était effectivement la fonction de Wigner, et c'est Moyal qui l'a finalement portée à son attention<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Ann|nom1=Moyal|titre=Maverick Mathematician|sous-titre=The Life and Science of J.E. Moyal|éditeur=ANU Press|année=2006|pages totales=212|isbn=978-1-920942-59-5|lire en ligne=https://press.anu.edu.au/publications/maverick-mathematician|consulté le=2023-04-01}}</ref>.

{{Traduction/Référence|lang1=en|art1=Quasiprobability Wigner transform}}

== Notes et références ==

{{Références}}

== A voir également ==

=== Articles connexes ===
* [[Espace des phases]]
* [[Mécanique quantique dans l'espace des phases]]
* [[Transformée de Wigner-Weyl]]
* [[Algèbre de Weyl]]
* [[Physique semi-classique]]
* [[Limite classique]]
* [[État cohérent]]

=== Bibliographie ===
* M. Levanda et V. Fleurov, "Fonction de quasi-distribution de Wigner pour les particules chargées dans les champs électromagnétiques classiques", ''Annals of Physics'', '''292''', 199–231 (2001). {{Arxiv|cond-mat/0105137}}   .

=== Liens externes ===
* [http://qutip.org/docs/latest/guide/guide-visualization.html#wigner-function wigner Implémentation] de la fonction Wigner dans QuTiP.
* [http://gerdbreitenbach.de/gallery/ Galerie d'optique quantique].
* Logiciel gratuit [https://github.com/Christoph-Lauer/Sonogram Sonogram Visible Speech] sous licence GPL pour la distribution de quasi-probabilité Wigner des fichiers de signaux.

{{Portail|physique}}

[[Catégorie:Optique quantique]]
[[Catégorie:Physique mathématique]]
[[Catégorie:Concept en physique]]
[[Catégorie:Mécanique quantique]]
[[Catégorie:Pages avec des traductions non relues]]