Voir la source de Fonction de transfert optique

{{Voir homonymes|FTO|FTM}}

[[Fichier:Illustration of the optical transfer function and its relation to image quality..svg|vignette|330x330px|(a) Fonction de transfert d'un système avec une bonne mise au point. (d) Idem mais mal mis au point. (b,e) Images d'un point source. (c,f) Images d'une cible.]]

La '''fonction de transfert optique''' ou '''FTO''' d'un [[système optique]] est une [[Fonction (mathématiques)|fonction]] [[Nombre complexe|complexe]] qui relie la luminance de l'espace objet à l'éclairement de l'espace image. Elle permet de modéliser l'influence du système optique sur la distribution de l'[[énergie lumineuse]] dans l'espace image.  

La fonction de transfert optique est souvent considérée uniquement dans les plans objets et images [[Relation de conjugaison|conjugués]] mais est tridimensionnelle dans le cas général. Cette fonction [[Nombre complexe|complexe]] est décomposée en une [[amplitude]] dite fonction de transfert de modulation et une [[phase (onde)|phase]] dite fonction de transfert de phase. 

*La '''fonction de transfert de modulation''' ou '''FTM''' est une [[Fonction (mathématiques)|fonction]] qui permet de caractériser la capacité du système optique à restituer du [[contraste]] en fonction de la finesse des détails de l'objet ; autrement dit, sa capacité à transmettre les [[Fréquence spatiale|fréquences spatiales]] de l'objet. Elle est utilisée pour évaluer la qualité du système optique, notamment en [[photographie]] et [[cinématographie]]. 

*La '''fonction de transfert de phase''' caractérise les déphasages introduits par le système optique. Elle intervient surtout en champ proche, dans l'hypothèse d'une diffraction de Fresnel<ref>{{Google livres|wea1XRa1-QcC|titre = Le champ proche optique: Théorie et applications|page = 104}} - Daniel Courjon et Claudine Bainier (2001)</ref>.

La notion de fonction de transfert optique possède des analogues dans d'autres domaines de la [[physique]], notamment en [[électronique (technique)|électronique]] et en [[acoustique]].

== Définition ==

[[Fichier:Point_Spread_Function_02.gif|vignette|330x330px|Représentation de la [[fonction d'étalement du point]] ou réponse impulsionnelle spatiale.]]Le système optique forme l'[[Objet et image (optique)|image]] d'un [[Objet et image (optique)|objet]] plan dans le plan image.

On désigne par :

*<math>M_o(a,b)</math> la distribution de l'[[Exitance lumineuse|exitance]] dans la direction de la pupille d'entrée du système optique dans le plan objet ;
*<math> \mathcal H(a,b,x,y)</math> la [[fonction d'étalement du point]] (« ''point spread function'' » en anglais), ou réponse impulsionnelle spatiale, c'est-à-dire la répartition de l'[[Éclairement lumineux|éclairement]] pour un point lumineux objet située en <math>(a,b)</math> ;
*<math>E_i (x,y)</math> la distribution de l'[[Éclairement lumineux|éclairement]] reçu dans le plan image.

Moyennant quelques hypothèses, parmi lesquelles l'[[Système invariant|invariance]] du système optique et l'incohérence de la lumière émise par la source, on peut les mettre en relation de la façon suivante et faire apparaître un [[produit de convolution]]<ref name=":0">{{Ouvrage |langue=fr |prénom1=Eugene |nom1=Hecht |titre=Optique |éditeur=Pearson |date=2005-09-19 |pages totales=724 |passage=571 |isbn=978-2-7440-7063-1 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=Nt-fPAAACAAJ&dq=eugene+hecht+optique |consulté le=2017-12-17}}</ref> :

:<math>E_i (x,y)= \int \!\!\!\! \int_{S_o} \mathcal H(x-a,y-b)\, M_o(a,b) \, \mathrm d a\, \mathrm d b</math>,
:<math>E_i (x,y)= (\mathcal H * M_o)(x,y)</math>.

Dans ce cas, si on effectue une [[transformation de Fourier]], on peut écrire{{Bloc emphase|texte=<math>\hat E_i (\nu_x,\nu_y)=  \hat \mathcal H(\nu_x,\nu_y)  \, \hat M_o(\nu_x,\nu_y)</math>,}}où

*<math>\nu_x</math> et <math>\nu_y</math> sont les [[Fréquence spatiale|fréquences spatiales]] verticales et horizontales de l'image formée ;
*<math>\nu_a</math> et <math>\nu_b</math> sont les fréquences spatiales verticales et horizontales de l'objet ;
*<math>\hat E_i (\nu_x,\nu_y)=  \mathcal F(E_i(x,y))</math> représente la répartition de l'éclairement en fonction des fréquences spatiales ;
*<math>\hat M_o(\nu_x,\nu_y) = \mathcal F (M_0(a,b))</math> représente la répartition de l'exitance en fonction des fréquences spatiales ;
*<math>\hat \mathcal H(\nu_x,\nu_y) = \mathcal F(\mathcal H(x,y))</math> est la '''fonction de transfert optique'''<ref name=":0" />{{,}}<ref name=":1">[https://depozit.isae.fr/theses/2004/2004_Estribeau_Magali.pdf Thèse : Analyse et modélisation de la fonction de transfert de modulation des capteurs d'images à pixels actifs CMOS] - Magali Estribeau (2004)</ref>{{,}}<ref name=":2">[https://www.iso.org/standard/56069.html Norme ISO 15529 révision 2010]</ref> (FTO) : il s'agit dans ce cas de la [[transformée de Fourier]] de la [[réponse impulsionnelle spatiale|fonction d'étalement du point]].

Cette fonction peut être réécrite pour faire intervenir un terme d'[[amplitude]] et un terme de [[phase (onde)|phase]] selon <math>\hat \mathcal H(\nu_x,\nu_y) = \mathcal M(\nu_x,\nu_y)\,\mathrm e^{\mathrm j \Phi(\nu_x,\nu_y)}</math>où :

*<math>\mathcal M(\nu_x,\nu_y) = \left \vert \hat \mathcal H(\nu_x,\nu_y) \right \vert </math> est la '''fonction de transfert de modulation''' (FTM, ou « ''modulation transfert function'' », MTF, en anglais), module de la FTO ;
*<math>\Phi(\nu_x,\nu_y) = \arg \left(\hat \mathcal H(\nu_x,\nu_y)\right) </math> est la '''fonction de transfert de phase''' (FTP), argument de la FTO.

La ''fonction de transfert optique normalisée'' présente une valeur unité pour les fréquences spatiales nulles. 

{{Démonstration | titre= Détails des hypothèses permettant d'obtenir la relation | contenu = 
On désigne par <math>M_o(a,b)</math> la distribution de l'exitance dans le plan objet. Pour l'exitance comme pour les autres grandeurs dans la suite, il peut aussi bien s'agir de grandeurs photométriques que de grandeurs énergétiques.

{{Énoncé|Hypothèse 1 : l'objet est supposé être une [[source lumineuse orthotrope|source orthotrope]] si bien que son [[exitance lumineuse]] dans la direction de la [[pupille d'entrée]] du système optique est proportionnelle à sa [[luminance]] selon la [[loi de Lambert]].}}Le plan image est décomposé en surfaces élémentaires <math>\mathrm d^2 S_o = \mathrm d a\, \mathrm d b</math> qui émettent dans la direction de la pupille d'entrée du système optique. L'angle solide élémentaire est <math>\mathrm d^2 \Omega_l = \frac{\mathrm d^2 S_l \cos \theta}{\delta_o^2}</math> où <math>\delta_o</math> est la distance entre les points <math> (a,b)</math> et <math> (X,Y)</math> et <math>\mathrm d^2 S_l</math> un élément de surface de la pupille. Le flux élémentaire émis par un élément de surface du plan objet dans l'angle solide élémentaire <math>\mathrm d^2 \Omega_l</math> s'exprime :

:<math>\mathrm d^4\Phi_o(a,b,X,Y) 
= \mathrm d^2 I_o (a,b)\, \mathrm d^2 \Omega_l(a,b,X,Y) 
= L_o(a,b) \, \cos \theta \ \mathrm d^2 S_o \, \mathrm d^2 \Omega_l(a,b,X,Y)
= \mathrm d^2 M_o(a,b,X,Y)\, \mathrm d^2 S_o</math>,

où <math>\theta</math> est l'angle entre le rayon et la normale aux différents plans étudiés.

{{Énoncé|Hypothèse 2 : l'objet et l'image sont petits face à la distance <math>D_o</math>.}}On peut négliger les variations du facteur <math>\cos \theta</math> qui sera pris égal à 1, ce qui revient à négliger le phénomène de [[Vignettage|vignettage naturel]] qui se manifeste par un assombrissement de l'image lorsqu'on s'éloigne de l'axe optique. De plus, on pourra prendre <math>\delta_o \simeq D_o</math>, distance entre le plan objet et la pupille. Alors, l'angle solide qui embrasse la pupille  :

:<math>\Omega_l
= \int \!\!\!\! \int_{S_l} d^2\Omega_l(a,b,X,Y)
= \frac {S_l}{D_o^2}</math>.

Ainsi, le flux élémentaire en provenance de <math>(a,b)</math> vers l'ouverture de la pupille d'entrée est

:<math>\mathrm d^2\Phi_o(a,b) 
= \int \!\!\!\! \int_{S_l} d^4\Phi_o(a,b,X,Y)</math>,

:<math>\mathrm d^2\Phi_o(a,b)
= L_o(a,b)\, \Omega_l\,\mathrm d^2 S_o
= M_o(a,b)\, \mathrm d^2 S_o</math>

Au passage du système optique, la majorité du flux ressort du système optique en direction du point image déterminé couramment dans les conditions du stigmatisme approché assurées par l'hypothèse 2. Mais une partie du flux ne converge pas vers ce point du fait de la [[diffraction]] (impossible à corriger) et des [[Aberration (optique)|aberrations]] du système optique. La répartition de l'éclairement reçu par une surface élémentaire du plan image est obtenu par le biais de la ''réponse impulsionnelle spatiale'' <math>\mathcal H(a,b,x,y)</math> du système optique, c'est-à-dire à son comportement face à un objet ponctuel. <math>\mathcal H</math> est aussi nommée ''fonction d'étalement du point'', ce qui est plus imagé. Le flux élémentaire reçu par un élément de surface du plan image en provenance d'une surface élémentaire du plan objet est :

:<math>\mathrm d^4\Phi_i (a,b,x,y)
= \mathcal H(a,b,x,y)\, \mathrm d^2\Phi_o(a,b)
= \mathcal H(a,b,x,y)\,  M_o(a,b)\, \mathrm d^2 S_0\, \mathrm d^2 S_i
= \mathrm d^2 E_i (a,b,x,y)\, \mathrm d^2 S_i</math>.

{{Énoncé|Hypothèse 3 : le système optique n'absorbe pas le [[flux lumineux]] : il est parfaitement transparent.}}Il n'y a pas de flux absorbé et

:<math>\mathrm d^2\Phi_o(a,b) 
= \int\!\!\!\!\int_{S_i}\mathrm d^4\Phi_i (a,b,x,y)
= \int\!\!\!\!\int_{S_i} \mathrm d^2 E_i (a,b,x,y)\, \mathrm d^2 S_i</math>.

{{Énoncé|Hypothèse 4 : les éléments de surface du plan objet émettent des lumières incohérentes, c'est-à-dire qui n'interfèrent pas entre elles. }}Le flux total reçu par un élément de surface image est la somme des flux élémentaires :

:<math>\mathrm d^2\Phi_i(x,y) 
= \int\!\!\!\!\int_{S_o}\mathrm d^4\Phi_i(a,b,x,y) 
= \int\!\!\!\!\int_{S_o} \mathcal H(a,b,x,y)\,M_o \,\mathrm d^2 S_o\, \mathrm d^2 S_i
= \int\!\!\!\!\int_{S_o} \mathrm d^2 E_i (a,b,x,y)\, \mathrm d^2 S_i </math>,

ou encore

:<math>E_i (x,y)
= \int \!\!\!\! \int_{S_o}  \mathrm d ^2E_i (a,b,x,y)
= \int \!\!\!\! \int_{S_o}  \frac{\mathrm d ^4 \Phi_i}{\mathrm d^2 S_i} 
= \int \!\!\!\! \int_{S_o} \mathcal H(a,b,x,y)\, M_o(a,b) \, \mathrm d ^2 S_o</math>

:<math>E_i (x,y)= \int \!\!\!\! \int_{S_o} \mathcal H(a,b,x,y)\, M_o(a,b) \, \mathrm d a\, \mathrm d b</math>.

{{Énoncé|Hypothèse 5 : le système est invariant dans l'espace, c'est-à-dire qu'un déplacement de l'objet dans le plan objet se traduit par un déplacement de l'image dans le plan image.}}Alors, la réponse impulsionnelle ne dépend que de la différence entre la position étudiée et la position du centre de l'image formée : <math> \mathcal H(a,b,x,y) = \mathcal H(x+\gamma_t a,y+\gamma_t b)</math>. En effet, dans le cas d'un point objet <math> (a,b)</math>, la majorité du flux converge vers un point image <math> (\gamma_t a,\gamma_t b)</math> tandis qu'une partie vient s'étaler à son voisinage plus ou moins proche.

On pose <math>a' = -\gamma_t a</math> et <math>b' = -\gamma_t b</math>, puis on introduit une distribution fictive correspondant à l'image idéale (y compris sans diffraction) <math>E_o(a',b') = \frac{1}{\gamma_t^2} M_o(a,b)</math>.

:<math>E_i (x,y)= \int \!\!\!\! \int_{S_o} \mathcal H(x-a',y-b')\, E_o(a',b') \, \mathrm d a'\, \mathrm d b'</math>,

:<math>E_i (x,y)= (\mathcal H * E_o)(x,y)</math>

{{Énoncé|Hypothèse 6 : le [[grandissement transversal]] vaut <math>\gamma_t = -1 </math>. }}On obtient <math> \mathcal H(a,b,x,y) = \mathcal H(x-a,y-b)</math>, et

:<math>E_i (x,y)= \int \!\!\!\! \int_{S_o} \mathcal H(x-a,y-b)\, M_o(a,b) \, \mathrm d a\, \mathrm d b</math>,

:<math>E_i (x,y)= (\mathcal H * M_o)(x,y)</math>.Compte tenu des propriétés des de la [[transformation de Fourier]],

:<math>\hat E_i (\nu_x,\nu_y)=  \hat \mathcal H(\nu_x,\nu_y)  \, \hat M_o(\nu_x,\nu_y)</math>.
}}

=== Extension de la FTM au cas tridimensionnel ===

La [[fonction d'étalement du point]] d'un système optique, c'est-à-dire l'image d'un point objet, est une distribution d'éclairement à trois dimensions présentant un maximum dans le plan conjugué du plan objet. Il est donc possible de définir une fonction de transfert optique tridimensionnelle et la fonction de transfert de modulation associée<ref>[https://www.osapublishing.org/oe/abstract.cfm?uri=oe-20-2-1060 Fast vectorial calculation of the volumetric focused field distribution by using a three-dimensional Fourier transform] - J. Lin, O. G. Rodríguez-Herrera, F. Kenny, D. Lara, and J. C. Dainty, Optics Express (2012)</ref>.

== Système optique limité par la diffraction ==

Il est utile de connaître le comportement d'un système optique idéal, dans le sens où il est dépourvu d'aberration, afin de le comparer à un système optique réel. En pratique, un système est dit limité par la [[diffraction]] si les [[Aberration_(optique)|aberrations]] qui l'affectent ont une [[fonction d'étalement du point]] plus petite que la [[tache d'Airy]] créée par la diffraction. La fonction d'étalement du point correspond, à un changement de variable près, à la transformée de Fourier en deux dimensions de la forme de l'ouverture <math>t(X,Y)</math> : 

:<math>\mathcal H (x,y)
=\left | 
-\frac{1}
{\lambda^2 D_i D_o}
\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty} 
t(X,Y)
\ \mathrm e^{\frac { -2\mathrm{i}\pi }{\lambda D_i} 
\left ( x X +  y Y \right )}
\ \mathrm d X\ \mathrm d Y
\right |^2</math>,

Alors la fonction de transfert optique s'exprime très simplement comme le produit d'[[autocorrélation]] de la forme de l'ouverture :

{{Bloc emphase|texte=<math>\hat \mathcal H(\nu_x,\nu_y) 
=  \gamma_t^2 \  t(\lambda D_i \nu_x,\lambda D_i \nu_y)\otimes t(\lambda D_i \nu_x,\lambda D_i \nu_y)
</math>,}}
où <math>\gamma_t</math> est le [[grandissement transversal]]. 

Les fréquences maximales enregistrées par le système imageant sont soit limitées par le système optique par effet de diffraction, soit par le [[capteur]] à cause de la taille des pixels par exemple<ref name=":3">{{Ouvrage |titre=Éléments de Conception Optique |éditeur= |année= |passage=8 |isbn= |lire en ligne=https://books.google.com/books?id=lrEjCsbrPfMC}}</ref>. Dans de nombreux cas, si l'objet est suffisamment éloigné, on considère que l'image se forme au voisinage du plan focal de sorte que <math>D_i \simeq f'</math>.

{{Démonstration|titre=Démonstration|contenu=
L'étude de la diffraction pour une lentille mince à l'aide de l'approximation de Fresnel aboutit à une expression de la fonction d'étalement du point en amplitude qui correspond à la figure de diffraction de Fraunhofer : 

:<math>h(x,y)=-\frac{1}{\lambda^2 D_i D_o}\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty} 
t(X,Y)\ \mathrm e^{\frac { -\mathrm i\, 2\pi }{\lambda D_i} \left ( x X +  y Y \right )}
\ \mathrm d X\ \mathrm d Y</math>. 

En introduisant les variable réduites <math>X' = \frac{-X}{\lambda D_i}</math> et <math>Y' = \frac{-Y}{\lambda D_i}</math>, alors <math>\mathrm dX = -\lambda D_i \mathrm dX' </math>, et sachant que <math>\gamma_t = -D_i/D_o
</math>, il vient :

:<math>h(x,y)=\gamma_t\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty} 
t\left(-\lambda D_i X',-\lambda D_i Y' \right)\ \mathrm e^{\mathrm i\, 2\pi 
\left ( x X' +  y Y' \right )}\ \mathrm d X'\ \mathrm d Y'
</math>,
:<math>h(x,y)=\gamma_t\ \mathcal F^{-1} \left \{ t(-\lambda D_i X',-\lambda D_i Y') \right \}</math>

La fonction d'étalement du point est donnée par : <math>\mathcal H(x,y) = |h(x,y)|^2</math>.

:<math>E_i(x,y)=\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty} E_o(a,b) \, \mathcal H(x-a',y-b')\ \mathrm d a'\ \mathrm d b'</math>

:<math>E_i(x,y)=\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty} 
E_o(a,b) \, |h(x-a',y-b')|^2\ \mathrm d a'\ \mathrm d b'</math>

La fonction de transfert optique est :

:<math>\hat \mathcal H(\nu_x,\nu_y) 
= \mathcal F \left \{|h(x,y)|^2\right \}
= \mathcal F \left \{h(x,y)\right \} * \mathcal F \left \{h^*(x,y)\right \}
= \hat h(\nu_x,\nu_y)\otimes \hat h(\nu_x,\nu_y)</math>,

:<math>\hat \mathcal H(\nu_x,\nu_y) =  \gamma_t^2 \  t(-\lambda D_i \nu_x,-\lambda D_i \nu_y)\otimes t(-\lambda D_i \nu_x,-\lambda D_i \nu_y)</math>.

Compte-tenu de la symétrie des systèmes étudiés, les signes – peuvent être supprimés (toutes les fonctions sont paires).

:<math>\hat h(\nu_x,\nu_y) = \gamma_t \  t(\lambda D_i \nu_x,\lambda D_i \nu_y)</math>

La fonction de transfert optique normalisée est :

:<math>\hat \mathcal H_1(\nu_x,\nu_y) = \frac {\mathcal F \left \{|h(x,y)|^2\right \}}{\int\!\int^\infty_{-\infty}|h(x,y)|^2 \mathrm dx\mathrm dy}</math>
}} 

=== Ouverture circulaire ===

[[Fichier:Diffraction_MTF_05_MtfHF.gif|330x330px|Simulation des effets de la diffraction pour une pupille circulaire. À gauche, l'image idéale sans diffraction, à droite l'image perturbée par la diffraction seule (simulée). En bas, représentations spectrales. Au milieu, représentations spatiales pour la ligne centrale de l'image.|vignette]]

Dans le cas d'un système optique de distance focale image <math>f'</math> et muni d'une pupille d'entrée d'ouverture circulaire de diamètre <math>d</math>, le [[nombre d'ouverture]] est noté <math>N = f'/ d</math>. On considère également que l'image se forme au voisinage du plan focal : <math>D_i \simeq f'</math>. La symétrie du problème permet d'exprimer la fonction de transfert optique normalisée en fonction des fréquences spatiales selon n'importe quel axe radial de l'ouverture :

:<math>\hat \mathcal H_1 (\nu)  = \frac 2 \pi \left(\arccos \left(\frac{\nu}{\nu_c}\right)  - {\frac{\nu}{\nu_c} \sqrt {1-\left(\frac{\nu}{\nu_c}\right)^2} }  \right)</math>,

où la fréquence de coupure, au-delà de laquelle il n'y a plus aucun contraste, est donnée par : <math>\nu_c = \frac 1 {\lambda N}</math>.

{{Démonstration | contenu = 
Le facteur de transmission correspond à la forme de l'ouverture :

:<math>t(X,Y) 
=\begin{cases} 1, & \text{si }  \sqrt{X^2 + Y^2}\le \frac d 2
\\ 0, & \text{sinon } \end{cases}</math>,

Sachant que <math>\hat \mathcal H(\nu_x,\nu_y) 
=  \gamma_t^2 \  t(\lambda D_i \nu_x,\lambda D_i \nu_y)\otimes t(\lambda D_i \nu_x,\lambda D_i \nu_y)</math>, l'autocorrélation, incidemment l'autoconvolution car la fonction est réelle et paire, peut être calculée en déterminant la surface d'intersection de deux disques de rayon <math>\nu_\mathrm{max}</math> vérifiant <math>\sqrt{(\lambda D_i\nu_x)^2 + (\lambda D_i\nu_y)^2}\le d/2</math>, d'où <math>\sqrt{\nu_x^2 + \nu_y^2} = \nu_\mathrm{max} \le \frac{d}{2\lambda f'} </math>.

On observe dès lors qu'il existe une certaine fréquence de coupure <math>\nu_c</math>, au-delà de laquelle les deux disques ne s'interceptent plus et la fonction devient nulle : <math>\nu_c = 2\cdot \nu_\mathrm{max} = \frac d {\lambda f'} = \frac 1 {\lambda N}</math>.

Au vu de la symétrie de révolution, on peut se contenter d'étudier sur un axe quelconque.
On s'intéresse d'abord au cas des fréquences positives <math>\nu>0</math> uniquement. 

[[Fichier:Autoconvolution_disk.gif|vignette|Autoconvolution d'un disque|lien=https://fr.wikiversity.org/wiki/Fichier:Autoconvolution_disk.gif|300x300px]]

En paramétrant les fréquences positives par l'angle <math>\theta</math>, tel que <math>\cos\theta=\frac{\nu/2}{\nu_c/2}=\frac{\nu}{\nu_c}</math>, et en calculant l'aire comme somme de deux [[Segment circulaire|segments circulaires]] symétriques sous-tendus par l'angle <math>2\theta</math>, on a :
:<math>A = 2\left(\frac{(\nu_c/2)^2} 2 (2\theta - \sin2\theta) \right)</math>
:<math>A = \frac{\nu_c^2}{4}\left(2\theta - 2\cos\theta\,\sin\theta \right)</math>

Or :
:<math>\cos \theta = \frac {\nu}{\nu_c}</math>      et      <math>\sin^2\theta = 1 - \left(\frac{\nu}{\nu_c}\right)^2</math>
D'où :
:<math>A = \frac{\nu_c^2}{2} \left(\arccos \left(\frac{\nu}{\nu_c}\right) - {\frac{\nu}{\nu_c} \sqrt {1-\left(\frac{\nu}{\nu_c}\right)^2} }  \right)</math>

Au maximum, l'aire vaut <math>A_\mathrm{max} = \pi\, (\nu_c/2)^2 = \pi\,\nu_c^2/4</math>.

En normalisant par <math>A_\mathrm{max}</math> pour obtenir une valeur maximale de 1 = 100 %, et en observant la symétrie qui impose que la fonction soit paire, on obtient  :

:<math>\hat \mathcal H_1 (\nu) = \frac{2}{\pi} \left(\arccos \left(\frac{|\nu|}{\nu_c}\right) - {\frac{|\nu|}{\nu_c} \sqrt {1-\left(\frac{\nu}{\nu_c}\right)^2} }  \right)</math>.
}}

=== Ouverture carrée ===
Dans le cas d'une ouverture carrée de côté <math>d</math>, le facteur de transmission est :

: <math>t(X,Y) =\Pi_{{d} /2 , d/2}(X,Y)
=\begin{cases} 1, & \text{si }-\frac d 2\le X\le \frac d 2 \text{ et si }-\frac d 2\le Y\le \frac d 2\\ 0, & \text{sinon } \end{cases}</math>,

où <math>\Pi</math> représente la [[fonction porte]]. Le nombre d'ouverture étant encore défini comme <math>N = f'/D</math>, la fréquence de coupure garde la même expression, mais la fonction de transfert optique est modifiée :

: <math>H_1(\nu_x, \nu_y) 
= \Lambda \!\left (\frac {\nu_x} {\nu_c}\right )\Lambda \!\left (\frac {\nu_y} {\nu_c}\right )</math>,

où <math>\Lambda \!\left (x\right )</math> est la [[Fonction triangulaire|fonction triangle]].

== Système optique réel ==

Un système  réel souffre d'[[aberration_(optique)|aberrations optiques]]. L'effet de ces aberrations est de réduire le taux de contraste en fonction des fréquences spatiales, ce qui se traduit par une baisse de la FTM par rapport au cas limité par la diffraction<ref>[http://perso.ensta-paristech.fr/~manzaner/Cours/Ese23/JLMeyzonnette.pdf Formation, Capture et Restitution des images] p. 78 - Jean-Louis Meyzonnette, Ecole Supérieure d’Optique</ref>. Cette baisse du contraste peut s'accompagner d'une diminution de la [[fréquence de coupure]] du système optique, information indispensable permettant de déterminer la capacité d'un système à transmettre les détails fins d'une image<ref name="Boreman2001">{{Ouvrage |langue=en |auteur1=Glenn D. Boreman |titre=Modulation Transfer Function in Optical and Electro-optical Systems |éditeur=SPIE Press |date=1 janvier 2001 |pages totales=110 |passage=16 |isbn=978-0-8194-4143-0 |lire en ligne=https://books.google.com/books?id=57MqyPorTQMC}}</ref>. Les aberrations optiques qui dégradent la performance des systèmes ne sont pas invariantes spatialement ce qui interdit l'utilisation du produit de convolution et réduit les possibilités de calculs simples. De plus, elles ne sont pas toutes à [[symétrie de rotation]]. Alors, la fonction de transfert optique n'est pas à symétrie de rotation et en particulier la FTM varie suivant la position étudiée dans le plan image. Pour connaître la FTM, il est nécessaire de procéder à des mesures. 

=== Mesure de la FTM ===

[[Fichier:FTM 1.png|vignette|Mire classique simple utilisée pour évaluer la FTM d'un système optique tel qu'un objectif.|220x220px]]
{{...}}
=== Méthodes utilisant des mires ===

[[Fichier:FTM 4.png|vignette|Courbe de densité de la mire objet (A<sub>o</sub>) et image (A), une amplitude positive indique une bande blanche, une amplitude négative indique une bande noire. La courbe du rapport entre les densités de la mire objet et de son image en dessous montre la dégradation du contraste avec l'augmentation de la fréquence spatiale de la mire.]]

La fonction de transfert de modulation peut être mesurée à l'aide de mires constituées de bandes noires et blanches alternant à différentes fréquences spatiales<ref>{{Google livres|9bVlw51dyrEC|titre=Introduction to Optical Testing|page=45}} - Joseph M. Geary</ref>. Pour chaque fréquence spatiale, le contraste <math>C(f)</math> est mesuré sur l'image et divisé par le contraste de la mire. 

:<math>C(f) = \frac{L_{\max}-L_{\min}}{L_{\max}+L_{\min}} </math><ref>[http://www.imatest.com/docs/sharpness/#mtf Documentation MTF] - Imatest</ref>,  

avec <math>L_{\min}</math> et <math>L_{\max}</math> les luminances minimales et maximales mesurées sur l'image de la mire. Ce rapport est la valeur de la fonction de transfert de modulation pour cette fréquence spatiale.

=== Méthodes utilisant la fonction d'étalement du point ===

==== Méthodes de mesure directe ====

Si le [[détecteur]] a une [[Pouvoir de résolution|résolution]] suffisante et qu'une source lumineuse de taille suffisamment petite peut être utilisée, il est possible de mesurer directement la [[fonction d'étalement du point]] du système optique<ref>[http://paristech.institutoptique.fr/site.php?id=1038&fileid=14427 Mesure de la Fonction de Transfert de Modulation d’un système optique] - Travaux Pratiques, Institut d'Optique</ref>. La [[fonction d'étalement du point]] permet ensuite de calculer la fonction de transfert de modulation par une [[transformation de Fourier]]. 

Alternativement, en l'absence de détecteur, une mesure de la baisse de l'[[intensité lumineuse]] en présence d'un [[couteau de Foucault]] permet de calculer la fonction de transfert de modulation. Cette méthode est souvent utilisée dans les domaines où les capteurs ne disposent pas d'une résolution suffisante, comme pour l'[[infrarouge]].

==== Méthodes utilisant des analyseurs de front d'onde ====

L'utilisation d'un [[analyseur de front d'onde]] permet d'analyser la déformation du [[front d'onde]] par un système optique. En particulier, de tels systèmes permettent de mesurer la réponse impulsionnelle d'un système optique. La fonction de transfert optique étant la [[Transformation_de_Fourier|transformée de Fourier]] de cette réponse impulsionnelle, il est ainsi possible d'obtenir la fonction de transfert de modulation<ref>[http://www.directindustry.fr/prod/imagine-optic-spain-sl/product-54207-1102221.html Capteur de front d'onde HASO] - Imagine Optic</ref>{{,}}<ref>[http://www.optophase.com/Copie%20de%20Analyseur%20de%20front%20d%27onde.html Analyseur de front d'onde Shack-Hartmann] - OptoPhase</ref>.

[[Fichier:Comparison MTF for aberrations.png|vignette|Comparaison des courbes de FTM pour deux doublets de focale 10 mm et d'ouverture f/5.6. L'image du dessus représente un système souffrant d'aberration sphérique et la FTM associée. L'image du dessous représente un système corrigé pour l'ensemble des aberrations et la FTM limitée par la diffraction qui est associée.]]

=== Facteurs influençant la FTM ===

La FTM d'un système optique dépend évidemment de l'[[Ouverture (photographie)|ouverture]] et de sa forme, ainsi que de la [[longueur d'onde]] du fait de la diffraction, mais d'autres phénomènes interviennent pour la dégrader.

La plupart des [[Aberration (optique)|aberrations]] [[Aberration géométrique|géométriques]] et [[Aberration chromatique|chromatiques]] qui affectent le système optique, en plus des défauts de fabrication ou de soin, réduisent la valeur de la FTM : aberration sphérique, aberration de coma, astigmatisme, [[courbure de champ]], trèfle. Les réflexions internes au système optique peuvent réduire la FTM sur la totalité de l'image par diminution du contraste par effet de ''[[flare]]''. Le [[vignetage|vignettage]] et la [[distorsion (optique)|distorsion]] n'ont pas d'influence sur la FTM. Les [[aberration chromatique|aberrations chromatiques]] n'ont pas d'influence en lumière quasi-monochromatique.
La distance à l'objet peut changer les aberrations optiques présentes dans le système optique et modifier la FTM associée à celui-ci. La [[polarisation (optique)|polarisation]] de la lumière incidente peut, plus rarement, avoir une influence. 

[[Fichier:Trefoil aberration PSF OTF and example image.svg|vignette|Simulation de l'aberration du trèfle, un point objet va donner une image en forme d'étoile à trois branches (a). Représentation à deux dimensions de la fonction de transfert optique (b) : la hauteur des points de la surface indique la valeur absolue (FTM) et la teinte l'argument de la fonction (FTP). L'image d'une cible par un tel système donne le résultat illustré par la simulation (c). Cette fonction de transfert (à une dimension) est ici la même que la fonction de transfert optique.|centré|503x503px]]{{Clr}}

== Utilisation en Photographie et Cinéma ==

[[Fichier:MTF lens.svg|vignette|Courbes FTM d'un objectif photographique.]][[Fichier:Courbes FTM.png|vignette|Courbes de FTM schématiques. La courbe A est celle d'un objectif capable de restituer un contraste élevé malgré un pouvoir séparateur moyen. La courbe B caractérise au contraire un objectif dont le pouvoir séparateur est très bon mais qui donnera cependant à l'usage des images beaucoup plus « molles » que le premier.]]

La fonction de transfert de modulation permet de caractériser la qualité d'un [[Objectif photographique|objectif]].  

=== Courbe de FTM en photographie ===

Les courbes de FTM caractérisant un objectif photographique comportent au moins deux courbes<ref>[https://www.stemmer-imaging.de/media/uploads/zeiss/SI/SISE-2015_2_9-Zeiss-How-to-interpret-optical-performance-data.pdf The Interpretation of Optical Data Sheets] - Carl Zeiss</ref>{{,}}<ref>[https://www.focus-numerique.com/comprendre/dossiers/la-fonction-de-transfert-de-modulation-mtf-ou-ftm-21021.html Comprendre la fonction de transfert de modulation] - FocusNumérique</ref>:
 
* La courbe supérieure correspond à l'évolution du [[contraste]] d'une [[fréquence spatiale]] faible (souvent 10 cycles par millimètre) en fonction de la distance au centre de l'image. 
* La courbe inférieure correspond à l'évolution du [[contraste]] d'une [[fréquence spatiale]] plus élevée (souvent 30 cycles par millimètre) en fonction de la distance au centre de l'image. 

Ces courbes sont dédoublées en fonction de l'orientation [[Astigmatisme_(optique)|sagittale]] ou [[Astigmatisme_(optique)|tangentielle]], permettant de rendre compte d'aberrations n'ayant pas de symétrie de rotation<ref>[https://www.sigma-global.com/fr/lenses/cas/product/popups/mtf/ Comment lire les courbes de MTF] - Sigma France</ref>.

Les objectifs photographiques présentent une FTM maximale pour les ouvertures moyennes (f/5,6). La FTM est plus faible pour les grandes ouvertures (f/1,4, f/2)  du fait des aberrations, et pour les petites ouverture du fait de la diffraction. Les fabricants d'objectifs limitent généralement l'ouverture à f/16 ou f/22 (f/32 pour les grands formats). La diffraction affecte moins les grands capteurs (à définition égale) car les pixels sont plus grands et que la taille de la tache de diffraction ne dépend que de l'ouverture.

== Notions analogues à la fonction de transfert optique ==

=== En électronique ===

En [[électronique (technique)|électronique]], la notion de [[fonction de transfert]] d'un [[circuit électrique]] est en particulier utilisée pour analyser la [[réponse en fréquence]] du système, qui correspond au gain du système en fonction de la [[fréquence]] du [[signal électrique]] en entrée. Il est possible de faire l'analogie entre fonction de transfert optique et [[fonction de transfert]] d'une part et entre fonction de transfert de modulation et [[réponse en fréquence]] d'autre part.


=== En acoustique ===

En [[acoustique]], la fonction de transfert de modulation est utilisée pour évaluer comment les modulations en amplitude du signal sont affectées au cours de la diffusion d'un signal. La fonction de transfert de modulation pour un signal à bande étroite est calculée par le rapport des contrastes (signal modifié - signal d'origine) pour des modulations d'amplitude allant de 1 à 12 Hz. La FTM est à la base de plusieurs mesures d'intelligibilité de la parole et en particulier du ''[[Speech Transmission Index]]'' (STI)<ref>[http://www.nti-audio.com/Portals/0/data/en/NTi-Audio-AppNote-AL1-Introducing-STIPA.pdf ''Introducing speech intelligibility'' nti-audio.com]</ref>.

== Voir aussi ==

* [[Fonction d'étalement du point]]
* [[Aberration (optique)]]
* [[Conception optique]]

* [[Objectif photographique]]
== Notes et références ==

{{Références|colonnes=2}}

{{Portail|Photographie|Optique}}

[[Catégorie:Instrument optique]]
[[Catégorie:Optique appliquée à la photographie]]
[[Catégorie:Optique]]