Voir la source de Fonction indicatrice (analyse convexe)

{{Voir homonymes|Fonction caractéristique}}

En [[mathématiques]], et plus précisément en [[analyse convexe]], la '''fonction indicatrice''' d'une partie <math>P</math> d'un ensemble <math>\mathbb{E}</math> est la fonction qui s'annule sur <math>P</math> et prend la valeur <math>+\infty</math> sur le complémentaire de <math>P</math> dans <math>\mathbb{E}</math>.

== Définition ==

La '''fonction indicatrice''' (ou simplement l''''indicatrice''') d'une partie <math>P</math> d'un ensemble <math>\mathbb{E}</math> est la fonction notée <math>\mathcal{I}_P</math> et définie par
{{Centrer|
<math>
\mathcal{I}_P:\mathbb{E}\to\R\cup\{+\infty\}:x\mapsto\mathcal{I}_P(x)=
\left\{\begin{array}{lll}
0 & \mbox{si} & x\in P\\
+\infty & \mbox{si} & x\notin P.
\end{array}\right.
</math>
}}
Cette fonction diffère de l'''indicatrice ou [[Fonction caractéristique (théorie des ensembles)|fonction caractéristique]] d'un ensemble'' commune aux autres domaines des mathématiques, comme l'[[Analyse (mathématiques)|analyse]] (en particulier la [[théorie de la mesure]]), et son introduction en analyse convexe et en optimisation est motivée par les considérations suivantes.
* En [[analyse convexe]], il est utile que cette fonction soit convexe lorsque l'ensemble l'est. Si c'est le cas de la fonction indicatrice définie ici, ce n'est pas le cas de la fonction caractéristique usuelle, laquelle obéit à d'autres motivations.
* En [[Optimisation (mathématiques)|optimisation]], cette fonction indicatrice permet également de représenter un problème de minimisation d'une fonction <math>f</math> sur un ensemble <math>P</math>, par le problème de minimisation équivalent de <math>f+\mathcal{I}_P</math> sans contrainte.

== Convexité et fermeture ==

Si <math>P</math> est une partie non vide d'un espace vectoriel <math>\mathbb{E}</math>, alors
* <math>\mathcal{I}_P</math> est [[Fonction propre (analyse convexe)|propre]] si et seulement si <math>P\ne\varnothing</math> ;
* <math>\mathcal{I}_P</math> est propre et [[Fonction convexe|convexe]] si et seulement si <math>P</math> est non vide et [[ensemble convexe|convexe]] ;
* <math>\mathcal{I}_P</math> est propre et [[Semi-continuité#Semi-continuité inférieure|fermée]] si et seulement si <math>P</math> est non vide et [[Fermé (topologie)|fermé]].

== Conjuguée ==

On suppose ici que <math>\mathbb{E}</math> est un [[espace euclidien]].

La [[Fonction conjuguée|conjuguée]] de l'indicatrice d'une partie <math>P</math> de <math>\mathbb{E}</math> est sa [[fonction d'appui]] :
{{Centrer|
<math>
\mathcal{I}_P^*=\sigma_P.
</math>
}}
En particulier, si <math>K</math> est un cône de <math>\mathbb{E}</math>, la [[Fonction conjuguée|conjuguée]] de <math>\mathcal{I}_K</math> est l'indicatrice de son [[Cône dual|cône dual négatif]] <math>K^-</math> :
{{Centrer|
<math>
\mathcal{I}_K^*=\mathcal{I}_{K^-}.
</math>
}}

== Sous-différentiel ==

On suppose ici que <math>\mathbb{E}</math> est un [[espace euclidien]] et que <math>C</math> est un [[ensemble convexe|convexe]] de <math>\mathbb{E}</math>.

Le [[sous-différentiel]] de <math>\mathcal{I}_C</math> est le [[Cône tangent#Cône normal|cône normal]] <math>N_C</math> de <math>C</math> :
{{Centrer|
<math>
\partial\,\mathcal{I}_C=N_C.
</math>
}}

== Bibliographie ==
*{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Jonathan Borwein|J. M. Borwein]]|auteur2=A. S. Lewis|titre=Convex Analysis and Nonlinear Optimization|lieu=New York|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|numéro d'édition=2|année=2006|année première édition=2000|url={{Google Livres|TXWzqEkAa7IC}}}}
*{{Ouvrage|auteur=J.-B. Hiriart-Urruty|titre=Optimisation et analyse convexe|éditeur=[[EDP Sciences]]|année=2009|année première édition=1998, [[PUF]]}}
*{{Ouvrage|lang=en|auteur=Jean-Baptiste Hiriart-Urruty|auteur2=Claude Lemaréchal|titre=Fundamentals of Convex Analysis|lieu=Berlin|éditeur=Springer|année=2004|année première édition=2001|url={{Google Livres|hIYKBwAAQBAJ}}}}
*{{Ouvrage|lang=en|lien auteur=Ralph Tyrrell Rockafellar|prénom=R. Tyrrell|nom=Rockafellar|titre=Convex Analysis|lieu=Princeton, New Jersey|éditeur=[[Princeton University Press]]|collection=Princeton Mathematical Series|numéro dans collection=28|année=1970|url={{Google Livres|1TiOka9bx3sC}}}}

{{Portail|mathématiques|analyse}}

[[Catégorie:Analyse convexe]]
[[Catégorie:Fonction associée|Indicatrice (analyse convexe)]]