Voir la source de Fonction itérée

{{Confusion|Fonction récursive}}
{{à recycler|date=octobre 2024}}
En  [[mathématiques]], une '''fonction itérée''' est une [[Fonction (mathématiques)|fonction]] obtenue par [[Composition de fonctions|composition]] répétée d’une fonction de départ donnée avec elle-même un certain nombre de fois.

On dit encore que la fonction est obtenue par [[itération]] de la fonction de départ, ou que l'on a '''itérer''' cette fonction.
La procédure consistant à appliquer la même fonction à plusieurs reprises s’appelle  [[itération]].

Les fonctions itérées apparaissent en [[informatique]], dans les [[système dynamique|systèmes dynamiques]], les [[groupe de renormalisation|groupes de renormalisation]], sont à la base des [[fractale]]s…

== Définition, conventions, énonciations ==
La fonction {{mvar|f}} à itérer est supposée définie définie sur un [[ensemble]] {{mvar|X}} et à valeurs dans ce même ensemble {{mvar|X}}. La  [[composition de fonctions]] se note « ○ » et, par définition, pour {{math|''x'' ∈ ''X''}} :
: <math>(f\circ f)(x) = f(f(x))</math>
c'est-à-dire que cette valeur est obtenue en itérant deux fois {{mvar|f}} sur {{mvar|x}}. La fonction {{mvar|f ○ f}} est la fonction {{mvar|f}} itérée {{nobr|2 fois}} et se note également :
: <math>f\circ f = f^2\,.</math>
Plus généralement, ''n'' étant un entier positif ou nul, la ''n''-ième itérée de  {{mvar|f}}, se [[définition par récurrence|définit par récurrence]] par :
:<math>f^0=\operatorname{id}_X\; ;\  f^{n+1} =f \circ f^{n}\ (n\in\N).</math>
où <math>\operatorname{id}_X</math> est la [[Application identité|fonction identité]] sur {{mvar|''X''}}. Ainsi :
: <math>f^0=\operatorname{id}_X\; ;\ f^1=f\; ;\  f^2=f\circ f\; ;\  f^3=f\circ f\circ f\;;\dots</math> 
(l'opération de composition est [[associative]], il est inutile de parenthéser).

La notation {{mvar|f<sup> n</sup>}} peut être ambiguë, car elle est parfois aussi employée pour l’élévation à la puissance, en particulier en [[trigonométrie]]. Ainsi l'[[théorème de Pythagore|identité trigonométrique]] fondamentale :
:<math>\cos^2x +\sin^2x = 1</math> 
s'interprète par : 
:<math>(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1\,.</math>
Le contexte doit permettre de lever l'ambiguïté.

==Suites d’itération==
Les identités suivantes sont vérifiées pour tous les [[Entier naturel|entiers positifs]] ou nuls  {{mvar|m}} et {{mvar|n}} :

:<math>f^{m} \circ f^{n} =   f^{n} \circ f^{m} = f^{m+n}\,.</math>

:<math>(f^m )^n(x) =  (f^n )^m (x) = f^{mn} (x).</math>

Pour un élément {{mvar|x}} de {{mvar|X}}, la [[Suite (mathématiques)|suite]] des valeurs  <math>f^n (x)</math> est nommée l'''orbite'' de {{mvar|x}}{{refsou}}.

Si <math>x =  f^{m}(x)</math>  pour un entier {{mvar|m}} non nul, on a alors <math>f^n (x) =  f^{n+m}(x)</math> (pour tout {{mvar|n}}), l’orbite est dite périodique et le plus petit entier {{mvar|m}}
pour un {{mvar|x}} donné est la période de l’orbite correspondante ; le point  {{mvar|x}} lui-même est un point dit périodique. En informatique, le problème de détection de cycles est le [[problème algorithmique]] qui consiste à trouver le premier [[point périodique]] d’une orbite et la période de l’orbite.

==Points fixes==
Si ''f''(''x'') = ''x'' pour un élément ''x'' de ''X'' (autrement dit, la période de l’orbite de ''x'' est 1), alors ''x'' est un ''[[point fixe]]'' de la suite itérée.  L’ensemble des points fixes se note '''Fix'''(''f'').  Divers [[Théorèmes de point fixe|théorèmes]] garantissent l’existence  de points fixes dans certaines situations, comme le [[théorème du point fixe de Banach]] ou le [[théorème du point fixe de Brouwer]].

Plusieurs techniques permettent par ailleurs d’[[Delta-2#Accélération de la convergence des procédés itératifs |accélérer la convergence]]  des suites produites par l’itération de points fixes<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=L.|nom1=Carleson|prénom2=T. D. W.|nom2=Gamelin|titre=Complex dynamics|lieu=Berlin/New York|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|collection=Universitext: Tracts in Mathematics|année=1993|pages totales=174|isbn=0-387-97942-5}}.</ref>. 

Au cours de l’itération, il peut y avoir des ensembles qui se contractent et convergent vers un seul point : dans ce cas, ce point est un point fixe attractif. L’itération peut aussi donner l’apparence de points s’éloignant d’un point fixe, qui  est alors appelé point fixe instable<ref>{{Ouvrage|prénom1=Vasile|nom1=Istratescu|titre=Fixed Point Theory, An Introduction|éditeur=D. Reidel|année=1981|isbn=90-277-1224-7}}.</ref>.  D’autres comportements limites sont aussi possibles.
Quand les points de l’orbite convergent vers une ou plusieurs limites, l’ensemble des points d’accumulation de l’orbite est appelé l’ensemble limite ou l’ensemble ω-limite.

Les idées d’attraction et de  répulsion se généralisent : on peut catégoriser les ensembles stables et instables selon le comportement de petits voisinages sous l’itération.

==Mesure invariante ==
Si l’on s’intéresse à l’évolution d’une distribution à densité, au lieu d’une distribution discrète ou d’un point individuel, le comportement limite est donné par la mesure invariante. Elle peut être visualisée comme le comportement d’un nuage de points ou de poussière sous une itération. La mesure invariante est un vecteur propre de l’opérateur de Ruelle-Frobenius-Perron ou [[opérateur de transfert]], correspondant à la [[valeur propre]] 1. De plus petites valeurs propres correspondent à des états instables, contractants.

En général, puisque l’itération correspond à un décalage, l’[[opérateur de transfert ]] et son [[Opérateur adjoint|adjoint]], l’opérateur de Koopman, peuvent être interprétés tous deux comme l’action d’un [[opérateur de décalage]] sur un système dynamique symbolique. La théorie des [[Dynamique symbolique|systèmes dynamiques symboliques]] fournit un cadre pour comprendre de nombreuses fonctions itérées, en particulier celles conduisant au [[théorie du chaos|chaos]].

== Itérées fractionnaires et négatives ==
Sous certaines hypothèses, il est possible de définir une itérée fractionnaire d’une fonction. Par exemple, la [[racine carrée fonctionnelle|demi-itérée]] d’une fonction {{mvar|f}} est une fonction {{mvar|g}} telle que <math>g(g(x)) = f(x)</math>. Cette fonction {{mvar|g}} peut s’écrire avec une notation exponentielle <math>f^{\frac{1}{2}}(x)</math>. De même, <math>f^{\frac{1}{3}}(x)</math> est la fonction telle que <math>f^{\frac{1}{3}}(f^{\frac{1}{3}}(f^{\frac{1}{3}}(x))) =f(x)</math>, et <math>f^{\frac{2}{3}}(x)</math> peut être définie comme <math>f^{\frac{1}{3}}(f^{\frac{1}{3}}(x))</math>, et ainsi de suite, à partir du principe  que <math>f^{m} \circ f^{n} =   f^{n} \circ f^{m} = f^{m+n}~.</math> L’idée peut se généraliser au cas où le nombre d’itérations {{mvar|n}} devient un paramètre continu ; le système  est alors un [[Flot (mathématiques)|flot]] lié à une [[équation de Schröder]].

Les itérées négatives correspondent aux [[bijection réciproque|réciproques]] de fonctions et à leurs compositions. Par exemple, <math> f^{-1}(x)</math> est la réciproque usuelle de la fonction  {{mvar|f}},  <math> f^{-2}(x)</math> est la réciproque composée avec elle-même, etc. Les itérées fractionnaires négatives sont définies de manière analogue aux fractionnaires positives. Par exemple, <math> f^{-\frac{1}{2}}(x)</math> est définie de telle sorte que  <math> f^{-\frac{1}{2}}(f^{-\frac{1}{2}}(x)) = f^{-1}(x)</math>.

[[File:Sine iterations.svg|vignette|upright=2|center|alt=Graphes des itérées de la fonction sinus depuis la 1/{{2e}} itérée jusqu'à la 1/{{64e}} et de la {{2e}} à la {{64e}}, ainsi qu'un graphe de la fonction arc sin qui est la fonction itérée -1|Itérations de la fonction sinus (en bleu) sur une demi-période : la 1/{{2e}} itérée est en jaune, les itérées fractionnaires suivantes (jusqu'à 1/64) au-dessus en noir ; la {{2e}} itérée est en rouge, les suivantes ({{4e}}, {{8e}}, etc., jusqu'à la 6'{{e}}) en-dessous en noir ; l'itérée -1, c'est-à-dire la fonction réciproque arc sin, est en pointillé]]

== Formules pour l’itération fractionnaire ==
Il existe plusieurs méthodes pour déterminer les itérées fractionnaires. Celle qui suit repose sur l’utilisation d’un point fixe. 

#  Déterminer un point fixe ''a'' de la fonction, autrement dit un point ''a'' tel que <math> f(a)=a</math>.
#  Fixer    <math>f^n (a)= a </math>, pour tout  ''n'' appartenant aux réels. Ceci correspond à la condition supplémentaire la plus naturelle à imposer aux itérées.
#  Écrire <math>f^n (x)</math>  au voisinage du point fixe ''a'' comme une [[série de Taylor]] :
#:<math>
f^n(x) = f^n(a) + (x-a)\frac{d}{dx}f^n(x)|_{x=a} + \frac{(x-a)^2}2\frac{d^2}{dx^2}f^n(x)|_{x=a} +\cdots
</math>
#  Développer :
#:<math>
f^n\left(x\right) = f^n(a) + (x-a) f'(a)f'(f(a))f'(f^2(a))\cdots f'(f^{n-1}(a)) + \cdots
</math>
#  En utilisant la condition fixée à l’étape 2   <math>f^k (a)= a </math>, pour tout ''k'', on obtient :
#:<math>
f^n\left(x\right) = a + (x-a) f'(a)^{n} + \frac{(x-a)^2}2(f''(a)f'(a)^{n-1})\left(1+f'(a)+\cdots+f'(a)^{n-1}  \right)+\cdots
</math>
#  Simplifier à l’aide de la [[progression géométrique]] : 
#:<math>
f^n\left(x\right) = a + (x-a) f'(a)^{n} + \frac{(x-a)^2}2(f''(a)f'(a)^{n-1})\frac{f'(a)^n-1}{f'(a)-1}+\cdots
</math>
#  Un cas particulier  est celui où <math>f'(a)=1 </math> ;  dans ce cas : 
#:<math>
f^n\left(x\right) = x  + \frac{(x-a)^2}2(n f''(a))+ \frac{(x-a)^3}6\left(\frac{3}{2}n(n-1) f''(a)^2 + n f'''(a)\right)+\cdots
</math>
# Si ''n'' n’est pas entier, on utilise la formule <math> y^n= \exp(n\ln(y))</math>.

Ce procédé peut être poursuivi indéfiniment, mais il n’est en général pas efficace, car les termes deviennent de plus en plus compliqués.

=== Exemple 1 ===
La fonction ''f'' est définie par  {{math|''f''(''x'') {{=}} ''Cx'' + ''D''}} , avec ''C'' ≠ 1, a un point fixe  {{math|''a'' {{=}} ''D''/(1–''C'')}}.

Le procédé expliqué ci-dessus donne :
:<math>
f^n(x)=\frac{D}{1-C} + (x-\frac{D}{1-C})C^n=C^nx+\frac{1-C^n}{1-C}D.
</math>

=== Exemple 2 ===
{{article détaillé|Tétration infinie}}
Il s’agit de trouver la valeur de <math>\sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} }</math>, pour {{mvar|n}} itérations. La fonction est ici définie par {{math|''f''(''x'') {{=}} {{sqrt|2}}<sup>''x''</sup>}}. Un point fixe est  <math>a =f (2)=2</math>.

En développant {{math|''f<sup> n</sup>'' (''x'')}} comme expliqué plus haut au voisinage de 2, et en posant {{math|''x'' {{=}} 1}}, on obtient,
:<math>
\sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} } = f^n(1) = 2  - (\ln 2)^n +  \frac{(\ln 2)^{n+1}((\ln 2)^n-1)}{4(\ln 2-1)} \cdots.
</math>
Pour ''n'' entier positif, les trois premiers termes donnent la première décimale correcte : {{math|''f''<sup>''n''</sup>(1) {{=}} <sup>''n''</sup>{{sqrt|2}}}}. 

(On remarque que si on utilise à la place du point fixe 2 l’autre point fixe {{math|''a'' {{=}} ''f''(4) {{=}} 4}},  la série diverge.)

Pour {{math| ''n'' {{=}} −1}}, la série calcule la fonction réciproque, <math> 2 \ln x /\ln 2</math>.

=== Exemple 3 ===
En développant au voisinage du point fixe 1 la  fonction   {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>''b''</sup>}}, on obtient la série
: <math>
f^n(x) = 1 + b^n(x-1) + \frac{1}2b^{n}(b^n-1)(x-1)^2 + \frac{1}{3!}b^n (b^n-1)(b^n-2)(x-1)^3 + \cdots,
</math>
qui est simplement la [[série de Taylor]] de ''x''<sup>(''b''<sup>''n''</sup>)</sup> au voisinage de 1.

== Conjugaison ==
{{Article détaillé|Conjugaison topologique}}
Si {{mvar|f}} et {{mvar|g}} sont deux fonctions itérées, et s’il existe un [[homéomorphisme]] {{mvar|h}} tel que  <math> g =h^{-1}\circ f \circ h</math>,  on dit que {{mvar|f}} et {{mvar|g}} sont conjuguées topologiquement.

L’itération préserve la conjugaison topologique : en effet, <math>g^n=h^{-1}\circ f^n \circ h</math>.  Donc, si on sait déterminer un système de fonctions itérées, on sait aussi déterminer tous les systèmes topologiquement conjugués. 

Par exemple, la [[fonction triangulaire]] est topologiquement conjuguée à la  [[suite logistique]]. Un cas particulier est  {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''+1}}, qui donne comme itération de <math>g(x)=h^{-1}(h(x)+1)</math> 
:<math>g^n(x) = h^{-1} (h(x) +n),</math>

pour n’importe quelle fonction {{mvar|h}}.

En faisant la substitution <math>x=h^{-1}(y) = \phi(y)</math>, on obtient 
:<math>g(\phi(y))=\phi(y+1)</math>,  autrement dit  l’équation d’Abel. 

En l’absence d’un véritable homéomorphisme global, il est souvent possible de résoudre<ref>{{Article|auteur1=Tosihusa Kimura |année= 1971|titre=On the Iteration of Analytic Functions|périodique= Funkcialaj Ekvacioj| url=http://www.math.sci.kobe-u.ac.jp/~fe/ |volume=14|pages=197-238}}.</ref> l’[[équation de Schröder]] au voisinage d’un point fixe pour une fonction {{mvar|Ψ}}. En prenant par exemple {{mvar|x}} = 0, {{mvar|f}}(0) = 0,  {{math|''f''(''x'')}} est localement conjugué à une  dilation, {{math|''g''(''x'') {{=}} ''f'' '(0) ''x''}}, autrement dit  
:<math>f(x)=\psi^{-1}(f(0)\psi(x)).</math> 

L’orbite d’itération, ou flot, sous des conditions adéquates (par exemple {{math|''f'' '(0) ≠ 1}}), devient la conjuguée de l’orbite du monôme :
:<math>\psi^{-1}(f'(0)^n \psi(x)),</math>  
où {{mvar|n}} dans cette expression est un exposant ordinaire : autrement dit, l’itération fonctionnelle a été réduite à une simple multiplication. L’exposant {{mvar|n}} peut n’être ni positif, ni entier ; il correspond alors à un temps continu d’évolution pour l’orbite<ref>{{Article |author1=Thomas Curtright|author2=Cosmas Zachos | année=2009|titre=Evolution Profiles and Functional Equations |périodique=Journal of Physics A |volume=42|numéro=48 |pages=485208|doi=10.1088/1751-8113/42/48/485208|arxiv=0909.2424|bibcode=2009JPhA…42V5208C}}.</ref>.

L'exemple 2 ci-dessus revient par exemple à <math>f^n(x)= \psi^{-1}((\ln 2)^n \psi(x))</math>, pour ''tout n'' (pas nécessairement entier), où {{mvar|''Ψ''}} est la solution de l'[[équation de Schröder]] correspondante, <math>\psi(\sqrt{2}^x)= \ln 2 \psi(x)</math>. Cette solution est aussi la limite, pour ''m'' tendant vers l'infini, de <math>\frac{f^m(x)-2}{(\ln 2)^m}</math>.

Cette méthode est équivalente à l'algorithme décrit dans la section précédente, mais plus puissante et systématique en pratique.

== Exemples ==
Pour des exemples de fonctions itérées, voir aussi l’[[ensemble de Mandelbrot]] et les [[système de fonctions itérées|systèmes de fonctions itérées]].

[[Ernst Schröder]]<ref name="schr">{{article|langue=de|nom=Schröder |prénom=Ernst |lien auteur=Ernst Schröder |année=1870 |titre=Ueber iterirte Functionen|périodique=Mathematische Annalen |volume=3 |numéro= 2|pages=296-322 | doi=10.1007/BF01443992 }}.</ref> a étudié en 1870 des cas particuliers de la [[suite logistique]] :

*  (cas chaotique) : <math>f(x)=4x(1-x)</math> donne <math>\psi(x)=\arcsin^2(\sqrt{x})</math>, d’où <math>f^n(x)= \sin^2(2^n \arcsin(\sqrt{x}))</math>.

* (cas non chaotique) : <math>f(x)=2x(1-x)</math> donne  <math>\psi(x)= -\frac{1}{2} \ln(1-2x)</math>, et donc  <math>f^n(x)=-\frac{1}{2} ((1-2x)^{2^n}-1)</math>.

== Itérées de fonctions ayant une expression fermée ==
Pour la plupart des fonctions, il n’y a pas d’expression fermée pour la ''n''{{e}} itérée. La table ci-dessous liste quelques fonctions<ref name="schr"/>  pour lesquelles une telle expression existe. Toutes ces expressions sont valides pour des  ''n'', négatifs ou fractionnaires, aussi bien que des entiers positifs.

{| class=wikitable largeur=100%
!<math>f(x)</math>
!<math>f^n(x)</math>
|-
|<math>x+b</math>
|<math>x+nb</math>
|-
|<math>ax+b \ (a\ne 1)</math>
|<math>a^nx+\frac{a^n-1}{a-1}b</math>
|-
|<math>ax^b \ (b\ne 1)</math>
|<math>a^{\frac{b^n-1}{b-1}}x^{b^n}</math>
|-
|<math>ax^2 + bx + \frac{b^2 - 2b}{4a}</math><br>
|<math>\frac{2\alpha^{2^n} - b}{2a}</math><br>
où :
:<math>\alpha = \frac{2ax + b}{2}</math>
|-
|<math>ax^2 + bx + \frac{b^2 - 2b - 8}{4a}</math>  <br>
|<math>\frac{2\alpha^{2^n} + 2\alpha^{-2^n} - b}{2a}</math><br>
où :
:<math>\alpha = \frac{2ax + b \pm \sqrt{(2ax + b)^2 - 16}}{4}</math>
|-
|<math>\frac{ax + b}{cx + d}</math> &nbsp;<ref>{{Article|auteur1=Louis Brand|titre=A sequence defined by a difference equation|périodique= [[American Mathematical Monthly]]|volume=62|date=septembre 1955|pages=489–492|url=https://www.jstor.org/discover/10.2307/2307362}}.</ref>
|<math>\frac{a}{c} + \frac{bc - ad}{c} \left [ \frac{(cx - a + \alpha)\alpha^{n - 1} - (cx - a + \beta)\beta^{n - 1}}{(cx - a + \alpha)\alpha^{n} - (cx - a + \beta)\beta^{n}} \right ]</math><br>
où :
:<math>\alpha = \frac{a + d + \sqrt{(a - d)^2 + 4bc}}{2}</math>
:<math>\beta = \frac{a + d - \sqrt{(a - d)^2 + 4bc}}{2}</math>
|-
|<math>\sqrt{x^2 + b}</math>
|<math>\sqrt{x^2 + bn}</math>
|-
|<math>\sqrt{ax^2 + b} \ (a \ne 1)</math>
|<math>\sqrt{a^nx^2 + \frac{a^n - 1}{a - 1}b}</math>
|-
|<math>g^{-1}\Big(f\bigl(g(x)\bigr)\Big)</math>
|<math>g^{-1}\Bigl(f^n\bigl(g(x)\bigr)\Bigr)</math>
|-
|<math>g^{-1}\bigl(g(x)+b\bigr)</math> &nbsp; (équation d’Abel générique)
|<math>g^{-1}\bigl(g(x)+nb\bigr)</math>
|-
|<math>g^{-1}\Bigl(a\ g(x)+b\Bigr) \ (a\ne 1)</math>
|<math>g^{-1}\Bigl(a^ng(x)+\frac{a^n-1}{a-1}b\Bigr)</math>
|-
|<math>T_m (x)=\cos (m \arccos x)</math> ([[polynôme de Tchebychev]] d'ordre ''m'')
|<math>T_{m^n}=\cos(m^n \arccos x)</math>
|}

Note :  les deux exemples de {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}} sont les seuls cas qui ont une solution sous forme fermée. En choisissant respectivement ''b'' = 2 = –''a'' and ''b'' = 4 = –''a'', ils se réduisent d’ailleurs aux cas non-chaotique et chaotique discutés plus haut.

Certains de ces exemples sont liés entre eux par des conjugaisons simples<ref>Pour d’autres exemples, essentiellement des conjugués des exemples de Schröter, voir {{article|auteur1 = S. Katsura | auteur2 = W. Fukuda | doi = 10.1016/0378-4371(85)90048-2 | titre = Exactly solvable models showing chaotic behavior | périodique = Physica A: Statistical Mechanics and its Applications | volume = 130 | numéro = 3 | pages = 597 | année = 1985}}.</ref>.

== Chaînes de Markov ==
Si la fonction est linéaire et peut être décrite par une [[matrice stochastique]], c’est-à-dire une matrice où la somme des entrées d’une ligne (ou d’une colonne) est toujours égale à 1, alors le système des itérées est appelé une [[chaîne de Markov]].

== En informatique ==
En [[informatique]], les fonctions itérées apparaissent comme des cas particuliers de [[Algorithme récursif|fonctions récursives]]  et interviennent dans le [[lambda calcul]], ou dans des sujets plus spécialisés, comme la [[sémantique dénotationnelle]] des programmes informatiques.

== Définitions basées sur des fonctions itérées ==
Deux [[fonctionnelle]]s importantes, la sommation et le produit correspondant, peuvent être définies en termes de fonctions itérées. 
La sommation est définie par :

:<math>
\left\{b+1,\sum_{i=a}^b g(i)\right\} \equiv \left( \{i,x\} \rightarrow \{ i+1 ,x+g(i) \}\right)^{b-a+1} \{a,0\}
</math>

et le produit par :

:<math>
\left\{b+1,\prod_{i=a}^b g(i)\right\} \equiv \left( \{i,x\} \rightarrow \{ i+1 ,x g(i) \}\right)^{b-a+1} \{a,1\}.
</math>

== Dérivée fonctionnelle ==
La [[dérivée fonctionnelle]] d’une fonction itérée est donnée par la formule de récurrence :

:<math>\frac{ \delta f^N(x)}{\delta f(y)} = f'( f^{N-1}(x) ) \frac{ \delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)} + \delta( f^{N-1}(x) - y ). </math>

==Références==
{{Traduction/Référence|en|Iterated function|846644663}}
<references />

{{Portail|Mathématiques|Informatique théorique}}

[[Catégorie:Systèmes dynamiques]]
[[Catégorie:Fractale]]
[[Catégorie:Suite]]
[[Catégorie:Fonction associée|Iteree]]