Voir la source de Fonction linéaire (analyse)

{{À désacadémiser|date=novembre 2024}}
{{Confusion|Application linéaire}}
{{Infobox Fonction mathématique
 | nom = Fonction linéaire
 | image = Linear functions 01.svg
 | légende = [[Courbe représentative|Courbes représentatives]] des fonctions <math>x \mapsto 2x</math>, <math>x \mapsto 0,5x</math> et <math>x \mapsto -0,2x</math>.
 | notation = <math>ax</math>
 | réciproque = <math>\frac{1}{a}x</math> si <math>a \neq 0</math>
 | dérivée = <math>a</math>
 | primitives = <math>\frac{a}{2}x^2+C</math>
 | ensemble de définition = <math>\R</math>
 | ensemble image = <math>\R</math> si <math>a \neq 0</math>
 | parité = impaire
 | périodicité = 
 | zéro = 0
 | plusinf = 
 | moinsinf = 
 | maxima = 
 | minima = 
 | asymptotes = 
 | zéros = 0
 | points critiques = 
 | points d'inflexion = 
 | points fixes = 0
}}

Dans les [[mathématiques élémentaires]], les '''fonctions linéaires''' sont des [[Fonction (mathématiques)|fonctions]] [[nombres réels|réelles]] traduisant les situations de [[proportionnalité]]. Elles sont parmi les [[Fonction numérique|fonctions]] les plus simples, par leurs propriétés nécessitant peu de calculs longs.

'''Remarque''' : [[Faux-ami]] avec le français, les termes allemands ''{{lang|de|Lineare Funktion}}'' et anglais ''{{lang|en|Linear function}}'' désignent une [[fonction affine]].

== Définition ==
Une fonction linéaire est définie de la manière suivante :
:<math>f: x \mapsto y</math> avec {{math|1=''y = ax''}}
où le nombre {{math|''a''}} est un [[Nombre réel|réel]] quelconque.
Ce réel {{math|''a''}} s'appelle le ''coefficient de proportionnalité''.

En repartant de l'égalité {{math|1=''y = ax''}}, on voit que pour {{math|''x''}} différent de zéro, on peut diviser les deux membres par {{math|''x''}}. Il vient donc :
: <math>a=\frac yx.</math>
Il suffit donc d'une valeur {{math|''x''}} non nulle et de son image {{math|''y''}} pour déterminer la valeur du coefficient de proportionnalité.

== Représentation dans le plan ==
La représentation graphique d'une fonction est l'ensemble des points de [[Coordonnées cartésiennes|coordonnées]] {{math|(''x'', ''y'')}} tels que {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}}.

Les fonctions linéaires définies de ℝ dans ℝ se représentent dans le plan par une [[Droite (mathématiques)|droite]] passant par l'origine du repère. En effet, si ''M'' est un point de la représentation graphique tel que {{math|1=''x'' = 0}}, il vient nécessairement {{math|1=''y'' = 0}}.

L'élément graphique important est le [[Pente (mathématiques)|coefficient directeur (ou pente)]] de la droite. Il correspond au coefficient de proportionnalité de la fonction linéaire. On retrouve alors un moyen simple de calcul de ce coefficient directeur : si {{math|''M''(''x'', ''y'')}} est un point de la droite différent de l'origine, nous avons, comme précédemment {{math|1=''y = ax''}} puis, par division par {{math|''x''}} (non nul)
: <math>a=\frac yx.</math>

Il existe un moyen de lire sur le graphique la pente de la droite : c'est l'inclinaison de la droite par rapport à l'axe des abscisses.

[[Image:Droites lineaires.png|right]]
Par exemple :
* si {{math|''a'' > 0}}, la droite « monte » quand on la lit de gauche à droite ;
* si {{math|1=''a'' = 0}}, la droite est confondue avec l'axe des abscisses ;
* si {{math|''a'' < 0}}, la droite « descend » quand on la lit de gauche à droite.

Dans un repère orthonormé, le coefficient directeur correspond au nombre de carreaux parcourus sur l'axe des ordonnées lorsqu'on se déplace d'un seul carreau (vers la droite) sur celui des abscisses.

[[Image:Coefficient directeur.png]]

== Opérations ==
=== Somme ===
On considère deux fonctions linéaires {{math|''f''}} et {{math|''g''}} définies, pour tout réel {{math|''x''}}, par :
:<math>f(x)=ax,\qquad g(x)=bx.</math>
Alors, pour tout réel {{math|''x''}}, on a 
:<math>(f+g)(x)=ax+bx=(a+b)(x).</math>
Autrement dit, la somme de deux fonctions linéaires est une fonction linéaire.

=== Multiplication par un réel ===
On considère la fonction linéaire {{math|''f''}} définie pour tout réel {{math|''x''}} par {{math|1=''f''(''x'') = ''ax''}} et {{math|''k''}} un réel quelconque. Alors, pour tout réel {{math|''x''}}, on a 
:<math>(kf)(x)=kf(x)=kax.</math>
Par conséquent, le produit d'une fonction linéaire par une [[Fonction constante|constante]] est une fonction linéaire.

=== Produit ===
On considère deux fonctions linéaires {{math|''f''}} et {{math|''g''}} définies, pour tout réel {{math|''x''}}, par :
:<math>f(x)=ax,\qquad g(x)=bx.</math>
On a alors :
:<math>(f\times g)(x)=ax\times bx=abx^2.</math>
Autrement dit, le produit de deux fonctions linéaires non nulles n'est pas une fonction linéaire mais une [[fonction du second degré]].

=== Dérivée ===
{{article connexe|Dérivée}}

Soit {{math|''f''}} une fonction linéaire. La [[Tangente (géométrie)|tangente]] à la droite représentative de la fonction {{math|''f''}} est en tout point de cette droite elle-même, si bien que pour tout réel {{math|''x''}}, on a :
:<math>f'(x)=a.</math>
La fonction dérivée de {{math|''f''}} est donc la fonction constante définie sur ℝ par cette équation.

=== Intégrale ===
{{article détaillé|Méthode des trapèzes}}
[[File:LinearFunctionIntegral.svg|thumb|440px|Intégrale d'une fonction linéaire]]
Soit {{math|''f''}}  une fonction linéaire, positive sur l'intervalle {{math|[''a'', ''b'']}}. On peut calculer l'intégrale de {{math|''f''}} sur {{math|[''a'', ''b'']}} en utilisant la formule de l'aire d'un trapèze (somme des bases multipliée par la hauteur et divisée par 2) :
:<math>T=(b-a)\frac{f(a) + f(b)}2</math>
soit, pour <math>f(x)=k x</math> :
:<math>T=k (b-a)\frac{a+b}2.</math>

{{clr}}

=== Primitives ===
{{article connexe|Primitive}}

Soit {{math|''f''}} une fonction linéaire définie par {{math|1=''f''(''x'') = ''ax''}}. Alors il existe une infinité de primitives de cette fonction ; elles sont toutes définies par des expressions de la forme :
:<math>g(x)=\frac{ax^2}2+C</math>
où {{math|''C''}} est une constante réelle quelconque.

== Parité ==
{{article connexe|Fonctions paires et impaires}}

Soit {{math|''f''}} une fonction linéaire définie par {{math|1=''f''(''x'') = ''ax''}}. Pour tout réel {{math|''x''}}, on a :
:<math>f(-x)=-ax=-f(x).</math>
Donc une fonction linéaire est toujours impaire. Il existe une seule fonction linéaire qui soit de plus paire : c'est la [[fonction nulle]], qui est [[fonction constante|constante]].

== Propriétés caractéristiques ==
Une fonction linéaire vérifie toujours la propriété :
{{retrait| Pour tout réel <math>x</math> et tout réel <math>\lambda</math>, <math>f(\lambda x)=\lambda f(x)</math>}}
Cette propriété est caractéristique de la fonction linéaire, c'est-a-dire qu'une fonction numérique vérifiant cette propriété est une fonction linéaire, son coefficient de proportionnalité {{math|''a''}} vaut alors {{math|''f''(1)}}.

Une fonction linéaire vérifie toujours la propriété :
{{retrait| Pour tout réel <math>x</math> et tout réel <math>y</math>, <math>f(x + y)=f(x)+ f(y)</math>}}
Cette propriété, étudiée dans l'[[équation fonctionnelle de Cauchy]], est caractéristique de la fonction linéaire pour peu qu'on la complète avec une condition de régularité ([[Continuité (mathématiques)|fonction continue]] en un point ou fonction majorée sur un intervalle de longueur non nulle ou [[fonction monotone]] sur un intervalle de longueur non nulle...).
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== Notes et références ==	
{{Références}}
-->

== Voir aussi ==
{{Autres projets
 | wikiversity = Fonctions affines et linéaires
}}

* {{Mathworld |nom_url=LinearFunction |titre=Linear Function}}

{{Palette|Mathématiques élémentaires|Polynômes}}
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Fonction de référence|Lineaire]]
[[Catégorie:Propriété de fonction|Lineaire]]