Voir la source de Fonction monotone

[[Image:Monotonicity example1.png|droite|vignette|Figure 1. Graphe d'une fonction monotone (fonction croissante).]]
[[Image:Monotonicity example2.png|droite|vignette|Figure 2. Graphe d'une fonction monotone (fonction décroissante).]]
[[Image:Monotonicity example3.png|droite|vignette|Figure 3. Graphe d'une fonction qui n'est pas monotone.]]

En [[mathématiques]], une '''fonction monotone''' est une [[fonction (mathématiques)|fonction]] entre [[relation d'ordre|ensembles ordonnés]] qui préserve ou renverse l'ordre. Dans le premier cas, on parle de '''fonction croissante''' et dans l'autre de '''fonction décroissante'''. Ce concept est tout d'abord apparu en [[analyse réelle]] pour les [[fonction numérique|fonctions numériques]] et a été généralisé ensuite dans le cadre plus abstrait de la [[Relation d'ordre|théorie des ordres]].

== Monotonie en analyse réelle ==
Intuitivement (voir les figures ci-contre), la représentation graphique d'une fonction monotone sur un intervalle est une courbe qui « monte » constamment ou « descend » constamment. Si cet aspect graphique est immédiatement parlant, ce n'est cependant pas la seule forme sous laquelle la propriété de monotonie se révèle : une fonction monotone est une fonction qui a toujours le même effet sur la [[relation d'ordre]]. Pour une fonction croissante, l'ordre qui existe entre deux variables se retrouve dans l'ordre de leurs [[image (mathématiques)|images]], pour une fonction décroissante, l'ordre des images est inversé par rapport à l'ordre des [[antécédent (mathématiques)|antécédents]].

Pour une fonction [[dérivée|dérivable]] sur un [[intervalle (mathématiques)|intervalle]], l'étude de la monotonie est liée à l'étude du signe de la dérivée, qui est constant : toujours positif ou toujours négatif.

=== Définition ===
Soient <math>I</math> un intervalle de <math>\mathbb R</math> et <math>f</math> une [[Fonction (mathématiques)|fonction]] à valeurs réelles, dont le [[domaine de définition]] contient cet intervalle <math>I</math>.

'''Monotonie au sens large.''' On dit que <math>f</math> est<ref>{{Bourbaki-Ensembles}}, [https://books.google.fr/books?id=VDGifaOQogcC&pg=PA7 {{p.|III.7}}].</ref> :
* '''croissante''' (ou : croissante au sens large) sur <math>I</math> si{{retrait|pour tout couple <math>(x,y)\in I^2</math> tels que ''<math>x<y</math>'', on a <math>f(x)\leqslant f(y)</math> ;}}
* '''décroissante''' (ou : décroissante au sens large) sur <math>I</math> si{{retrait|pour tout couple <math>(x,y)\in I^2</math> tels que <math>x<y</math>, on a <math>f(x)\geqslant f(y)</math> ;}}
* '''monotone''' (ou : monotone au sens large) sur <math>I</math> si elle est croissante sur <math>I</math> ou décroissante sur <math>I</math>.

'''Exemple''' : pour tout réel <math>x</math>, notons ici <math>E(x)</math> la [[partie entière]] de <math>x</math> (c'est l'unique [[entier relatif]] <math>k</math> tel que <math>k\leqslant x<k+1</math>). La fonction <math>E: \mathbb R\to \mathbb R</math> est croissante sur <math>\mathbb R</math> mais pas strictement croissante (cf. ''infra''), car elle est constante sur chaque intervalle <math>[i,i+1[</math> d'extrémités entières.

'''Monotonie stricte.''' On dit que <math>f</math> est :
* '''strictement croissante''' sur <math>I</math> si {{retrait|pour tout couple <math>(x,y)\in I^2</math> tels que <math>x<y</math>, on a <math>f(x)<f(y)</math>;}}
* '''strictement décroissante''' sur ''I'' si{{retrait|pour tout couple <math>(x,y)\in I^2</math> tels que <math>x<y</math>, on a <math>f(x)>f(y)</math>;}}
* '''strictement monotone''' sur <math>I</math> si elle est strictement croissante sur <math>I</math> ou strictement décroissante sur <math>I</math>.

'''Exemples''' : soit <math>n</math> un [[Entier naturel|entier strictement positif]].
* La fonction <math>f: \mathbb R_+\to \mathbb R: x\mapsto x^n</math>, est strictement croissante sur <math>\mathbb R_+</math>.<br />En effet, si <math>a, b, a'</math> et <math>b'</math> sont des réels tels que <math>0\leqslant a<b</math> et <math>0\leqslant a'<b'</math>, alors <math>aa'<bb'</math>. ''On en déduit par récurrence sur l'entier <math>n</math> que pour tout couple <math>(x,y)</math> de réels positifs ou nuls tels que <math>x<y</math>, on a <math>x^n<y^n</math>.
* Lorsque <math>n</math> est impair, la fonction <math>f: \mathbb R\to \mathbb R: x\mapsto x^n</math>, est strictement croissante sur <math>\mathbb R</math>.<br />En effet, elle est strictement croissante sur <math>\mathbb R_+</math> (''cf. ''l'exemple précédent) et impaire.

'''Remarque 1''' : pour qu'une fonction <math>f</math> soit croissante (respectivement strictement croissante) sur <math>I</math>, il faut et il suffit que <math>-f</math> soit décroissante (resp. strictement décroissante) sur <math>I</math>.

<span id="Monotonie non stricte">'''Remarque 2'''</span> : pour qu'une fonction monotone <math>f: I\to \mathbb R</math> ne le soit pas strictement, il faut (et bien sûr il suffit) que <math>I</math> contienne un [[intervalle non trivial]] (c'est-à-dire non vide et non réduit à un point) sur lequel <math>f</math> est constante<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Logique formelle/Exercices/Quantificateurs et connecteurs logiques#Exercice 1-2|cet exercice corrigé|début=Pour une démonstration, voir par exemple}}</ref>.

=== Propriétés élémentaires ===
==== Opérations algébriques ====
Soient deux fonctions croissantes sur <math>I</math>. Alors :
* leur somme est croissante ;
* si elles sont à valeurs positives, leur produit est croissant.
On a une propriété analogue pour les fonctions strictement croissantes.

==== Composition ====
Soient deux fonctions <math>f: I\to \mathbb R</math> et <math>g: J\to \mathbb R</math>, où <math>I</math> et <math>J</math> sont deux intervalles réels tels que <math>f(I)\subset J</math>; on peut définir la fonction composée <math>g\circ f: I\to \mathbb R</math>.

Si <math>f</math> est monotone sur <math>I</math> et <math>g</math> monotone sur <math>J</math>, alors <math>g\circ f</math> est monotone sur <math>I</math>. Plus précisément :
* si <math>f</math> et <math>g</math> sont toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes, alors <math>g\circ f</math> est croissante ;
* si l'une des deux fonctions <math>f</math> ou <math>g</math> est croissante et l'autre décroissante, alors <math>g\circ f</math> est décroissante.
On a une propriété analogue pour les fonctions strictement monotones.

==== Injectivité ====
Une fonction strictement monotone sur un intervalle <math>I</math> est [[Injection (mathématiques)|injective]], c'est-à-dire que deux éléments de <math>I</math> distincts ont des images distinctes.
{{retrait|En effet, si <math>x, y</math> sont deux éléments de <math>I</math> distincts on a (en supposant par exemple <math>f</math> strictement croissante)
{{retrait|si <math>x<y</math> alors <math>f(x)<f(y)</math>,<br />si <math>x>y</math> alors <math>f(x)>f(y)</math>,}}
donc dans les deux cas, <math>f(x)</math> et <math>f(y)</math> sont distincts.}}
Cette propriété, associée au [[théorème des valeurs intermédiaires]], se révèle utile pour la recherche du nombre de [[Zéro d'une fonction|zéros d'une fonction]].

=== Propriétés relatives à la [[Continuité (mathématiques)|continuité]] et aux [[Limite (mathématiques élémentaires)|limites]] ===
==== Théorème de la limite monotone pour une fonction ====
{{article détaillé|Théorème de la limite monotone}}
Soient <math>]a,b[</math> un intervalle ouvert (borné ou non) et une fonction croissante <math>f: ]a,b[\to \mathbb R</math>. Alors :
* <math>f</math> admet en tout point <math>x</math> de <math>]a,b[</math> une limite à gauche et une [[Limite (mathématiques)|limite à droite]], finies, qu'on note respectivement<ref>{{Ouvrage |auteur1=C. Deschamps |auteur2=F. Moulin |auteur3=[[André Warusfel|A. Warusfel]] |et al.=oui |titre=Mathématiques tout-en-un [[MPSI]] |éditeur=[[Dunod]] |année=2015 |numéro d'édition=4 |passage=507 |isbn= |lire en ligne={{Google Livres|caH1CQAAQBAJ|page=507}}}}.</ref> <math>f(x^{-})</math> et <math>f(x^{+})</math> ; elles vérifient la double inégalité <math>f(x^{-})\leqslant f(x)\leqslant f(x^{+})</math> ;
* <math>f</math> admet une limite à gauche en <math>b</math>, finie ou égale à <math>+\infty</math> ; cette limite est finie si et seulement si <math>f</math> est majorée.
* <math>f</math> admet une limite à droite en <math>a</math>, finie ou égale à <math>-\infty</math> ; cette limite est finie si et seulement si <math>f</math> est minorée.
Un théorème analogue pour les fonctions décroissantes s'en déduit immédiatement en remplaçant <math>f</math> par <math>-f</math>.

Un [[Corollaire (mathématiques)|corollaire]] de ce théorème est la [[Théorème de la bijection#Réciproques du théorème|continuité de toute surjection monotone d'un intervalle sur un intervalle]].

Une autre application classique concerne les [[fonction de répartition|fonctions de répartition]] des [[variable aléatoire réelle|variables aléatoires réelles]].

==== Points de discontinuité ====
[[Théorème de Froda]] (1929) : l'ensemble <math>D</math> des points de discontinuité d'une fonction monotone est [[ensemble fini|fini]] ou [[ensemble dénombrable|dénombrable]] (on dit qu'il est ''au plus dénombrable'').
En effet, en notant <math>\varepsilon_x=f(x^{+})-f(x^{-})</math>, la famille <math>\left(\varepsilon_x\right)_{x\in D\cap [c,d]}</math> de réels strictement positifs est [[famille sommable|sommable donc au plus dénombrable]] pour tout <math>[c,d]</math> inclus dans l'intervalle de monotonie. [[Alexandru Froda|Froda]] a en fait démontré que pour une [[fonction réelle]] ''quelconque'', l'ensemble des points de discontinuité ''[[Classification des discontinuités|de première espèce]]'' est au plus dénombrable. Or pour une fonction monotone, le [[théorème de la limite monotone]] dit exactement que ce type de discontinuité est le seul possible.

=== Monotonie et signe de la dérivée ===
Une utilisation classique et importante du [[calcul différentiel]] est la caractérisation, parmi les fonctions [[dérivable]]s (d'une variable réelle, et à valeurs réelles), de celles qui sont monotones (au sens large ou au sens strict) sur un intervalle.

{{théorème||énoncé=Soient <math>I</math> un intervalle réel et <math>f: I\to \mathbb R</math> une application dérivable.
#<math>f</math> est :
#*croissante si et seulement si pour tout <math>x\in I, f'(x)\geqslant 0</math> ;
#*décroissante si et seulement si pour tout <math>x\in I,f'(x)\leqslant 0</math> ;
#*constante si et seulement si pour tout <math>x\in I,f'(x)=0</math>.
#<math>f</math> est strictement croissante si et seulement si pour tout <math>x\in I,f'(x)\geqslant 0</math> et de plus l'ensemble des points où la dérivée <math>f'</math> s'annule est d'[[Intérieur (topologie)|intérieur]] vide (c'est-à-dire qu'il ne contient aucun intervalle non trivial). Un théorème analogue caractérise, parmi les fonctions dérivables, celles qui sont strictement décroissantes.}}

{{Démonstration/début}}
Le point 1 est classique<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité#Dérivée et sens de variation|« Dérivée et sens de variation »|début=Voir}}</ref> (on utilise le passage à la limite dans les inégalités et le [[théorème des accroissements finis]]).

Le point 2 s'en déduit en utilisant la [[#Monotonie non stricte|remarque 2 ''supra'']]. Détail : dans le sens direct : si <math>f'</math> s'annule sur un intervalle non trivial alors <math>f</math> est constante sur cet intervalle donc n'est pas strictement monotone. Réciproquement supposons que <math>f</math> est monotone mais pas strictement. D'après la remarque 2, il existe un intervalle non trivial sur lequel <math>f</math> est constante ; sur un tel intervalle, <math>f'</math> est nulle.
{{Démonstration/fin}}

;Remarques
:* Il en résulte qu'une condition '''suffisante''' pour qu'une fonction dérivable <math>f: I\to \mathbb R</math> soit strictement croissante sur <math>I</math> est que pour tout <math>x\in I,f'(x)>0</math>. Mais cette condition n'est nullement nécessaire, comme le montrent l'énoncé du théorème et les deux exemples suivants.
:* Ce théorème se généralise aux fonctions continues sur un intervalle mais dérivables seulement sur le complémentaire d'un sous-[[ensemble dénombrable]] : {{cf.}} [[Inégalité des accroissements finis]].

;Exemple 1
:La fonction <math>f: \mathbb R\to \mathbb R: x\mapsto x^3</math>, est strictement croissante sur <math>\mathbb R</math> ({{cf.}} Exemples dans le [[#Monotonie stricte|§ Monotonie stricte]]). Le critère ci-dessus permet de le redémontrer :
:* elle est dérivable, et pour tout réel <math>x,f'(x)=3x^2</math> ;
:* de plus, l'ensemble des points où sa dérivée s'annule est <math>\{0\}</math> ; il est d'intérieur vide.

;Exemple 2
:La fonction <math>f: \mathbb R\to \mathbb R: x\mapsto \cos x+x</math>, est strictement croissante sur <math>\mathbb R</math>. En effet :
:* elle est dérivable, et pour tout réel <math>x,\; f'(x)=1-\sin x\geqslant 0</math> ;
:* de plus, l'ensemble des points où sa dérivée s'annule est <math>\left(\dfrac \pi 2\right)+2\pi \mathbb Z=\left\{x\in \mathbb R\mid \exists k\in \mathbb Z,x=\left(\dfrac \pi 2\right)+2k\pi\right\}</math>, qui est d'intérieur vide (il est même dénombrable).

;Exemple 3
:La fonction <math>f: [-1, 1]\to \mathbb R: x\mapsto \arccos x+\arcsin x</math> est constante. En effet, les dérivées de <math>\arccos</math> et <math>\arcsin</math>, définies sur <math>]-1,1[</math>, sont opposées l'une de l'autre donc sur <math>]-1,1[,f'</math> est nulle et <math>f</math> est constante. Ainsi, pour tout <math>x</math> dans <math>]-1,1[</math> (et même dans <math>[-1,1]</math>, par continuité), <math>f(x)=f(0)=\dfrac \pi 2</math>.

=== Propriétés liées à la théorie de l'intégration ===

Une fonction croissante est dérivable [[presque partout]] (on montre d'abord – grâce à l'[[Fonction maximale de Hardy-Littlewood#Inégalité maximale de Hardy-Littlewood|inégalité maximale de Hardy-Littlewood]] – que ses quatre [[dérivées de Dini]] sont finies presque partout, puis – grâce au [[théorème de recouvrement de Vitali]] – qu'elles sont égales<ref>{{Ouvrage |langue=en |prénom1=Russel A. |nom1=Gordon |titre=The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock |éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]] |année=1994 |pages totales=395 |passage=55-56 |isbn=978-0-8218-3805-1 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=nTHUVsVeaPsC&pg=PA55}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage |langue=en |nom1={{Lien|Andrew M. Bruckner}} |prénom2=Judith B. |nom2=Bruckner |prénom3=Brian S. |nom3=Thomson |titre=Real Analysis |éditeur= |année=1997 |pages totales=713 |passage=269 |isbn=978-0-13-458886-5 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=1WY6u0C_jEsC&pg=PA269}}</ref> ; une autre méthode pour cette seconde étape<ref>{{Ouvrage |langue=en |prénom1=Terence |nom1=Tao |lien auteur1=Terence Tao |titre=An Introduction to Measure Theory |éditeur=AMS |année=2011 |passage=129-135 |isbn= |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=4_wqWCfZCA0C&pg=PA129}}</ref> est de la démontrer dans le cas où la fonction est continue – grâce au [[lemme du soleil levant]] – puis de remarquer que toute fonction croissante est [[#Points de discontinuité|somme d'une fonction croissante continue et d'une « fonction de saut »]] et que cette dernière [[Théorème de différentiation de Fubini#Cas d'une fonction de saut|est presque partout de dérivée nulle]]).

On en déduit deux corollaires :
* Toute [[fonction à variation bornée]] d'un intervalle réel dans ℝ est dérivable presque partout (comme différence de deux fonctions croissantes).
* [[Théorème de différentiation de Fubini]]<ref>{{Ouvrage |langue=en |prénom1=Norman B. |nom1=Haaser |prénom2=Joseph A. |nom2=Sullivan |titre=Real Analysis |éditeur=Dover |année=1971 |numéro d'édition=2 |pages totales=341 |passage=235-236 |isbn=978-0-486-66509-2 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=JypBdruvTjYC&pg=PA235}}</ref> : une [[Suite et série de fonctions|série de fonctions]] croissantes est presque partout dérivable terme à terme.

== Monotonie en topologie ==

Une application <math>f: X \rightarrow Y</math> entre deux [[espace topologique|espaces topologiques]] est dite '''monotone''' si chacune de ses fibres est connexe c'est-à-dire que pour tout <math>y</math> dans <math>Y</math> l'ensemble <math>f^{-1}(y)</math> (qui peut être [[ensemble vide|vide]]) est connexe.

== Monotonie en analyse fonctionnelle ==
{{article détaillé|Opérateur monotone}}

En [[analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]], un opérateur <math>T: X \rightarrow X^*</math> sur un [[espace vectoriel topologique]] <math>X</math> (qui peut être non linéaire) est appelé '''opérateur monotone''' si
:<math>(Tu - Tv, u - v) \geq 0 \quad \forall u,v \in X.</math>

Le {{Lien|langue=en|trad=Kachurovskii's theorem|fr=théorème de Kachurovskii}} montre que les dérivées des [[fonction convexe|fonctions convexes]] sur les [[espace de Banach|espaces de Banach]] sont des opérateurs monotones.

== Monotonie en théorie des ordres ==
{{article détaillé|Relation d'ordre}}

La [[théorie des ordres]] traite des [[ensemble partiellement ordonné|ensembles partiellement ordonnés]] et des [[préordre|ensembles préordonnés]] généraux, en plus des intervalles de réels. La définition ci-dessus de la monotonie est également pertinente dans ces cas. Par exemple, considérons une application <math>f</math> d'un [[ensemble ordonné]] <math>(A,\leqslant_A)</math> dans un ensemble ordonné <math>(B,\leqslant_B)</math>.
* <math>f</math> est appelée une '''application croissante''' (resp. '''application strictement croissante''') si elle préserve l'ordre (resp. strictement l'ordre), c'est-à-dire que si deux éléments <math>x</math> et <math>y</math> de <math>A</math> vérifient <math>x\leqslant _A y</math> (resp. <math>x<_A y</math>), alors leurs images respectives par <math>f</math> vérifient <math>f(x)\leqslant _B f(y)</math> (resp. <math>f(x)<_B f(y)</math>).
* <math>f</math> est appelée une '''application décroissante''' (resp. '''application strictement décroissante''') si elle renverse l'ordre (resp. strictement l'ordre), c'est-à-dire que si deux éléments <math>x</math> et <math>y</math> de <math>A</math> vérifient <math>x\leqslant _A y</math> (resp. <math>x<_A y</math>), alors leurs images respectives par <math>f</math> vérifient <math>f(x)\geqslant_B f(y)</math> (resp. <math>f(x)>_B f(y)</math> )

Les applications monotones sont centrales dans la théorie des ordres. Certaines applications monotones remarquables sont les [[Plongement#Théorie des ensembles ordonnés|plongements d'ordres]] (applications pour lesquelles <math>x\leqslant y</math> [[si et seulement si]] <math>f(x)\leqslant f(y)</math> et les [[Isomorphisme d'ordres|isomorphismes d'ordre]] (les plongements d'ordres qui sont surjectifs).

== Notes et références ==
{{Références}}

== Articles connexes ==
* [[Opérateur monotone]] : extension de la notion de monotonie aux [[multifonction]]s
* [[Théorème de Bernstein sur les fonctions totalement monotones]]

{{Portail|mathématiques|analyse}}

[[Catégorie:Analyse réelle]]
[[Catégorie:Théorie des ordres]]
[[Catégorie:Analyse fonctionnelle]]