Voir la source de Fonction numérique

{{voir homonyme|texte=Pour la notion de fonction numérique en informatique, voir « [[Fonction informatique]] » et « [[Type de données]] ».}}
[[Fichier:R-Exemple Climatologie Brest.png|vignette|Trois fonctions numériques représentant les précipitations, la température minimale et la température maximale au long de l'année à Brest]]
En [[mathématiques]], une '''fonction numérique''' est une [[fonction (mathématiques)|fonction]] à valeurs [[nombre réel|réelles]]<ref>Définition de Bouvier-George citée par le ''Trésor de la langue française informatisé'' à l'entrée {{CNRTL|numérique|display=compact}}.</ref>{{,}}<ref>{{Bourbaki-Topologie}}, TG IV.17, §5 N°1.</ref>, c'est-à-dire qu'elle associe à toute valeur possible de ses [[variable (mathématiques)|variables]] un résultat [[nombre|numérique]]. Le terme est souvent employé pour désigner une [[fonction réelle d'une variable réelle]], notamment dans l'enseignement secondaire, mais il recouvre aussi les notions de [[fonction de plusieurs variables]] ou de fonctions définies sur d’autres [[espace topologique|espaces topologiques]] comme les [[variété différentiable|variétés différentiables]], ou sur des structures [[espace discret|discrètes]]<ref>Stella Baruk, « Fonction », ''Dictionnaire de mathématiques élémentaires'', Éditions du Seuil 1992 : « Une variable peut être discrète, c'est-à-dire par exemple varier dans <math>\N</math>, comme c'est le cas pour les suites. »</ref> comme les [[graphe non orienté|graphes]].

Une telle fonction peut représenter l'évolution d'une [[grandeur physique|grandeur]] dans le temps ou décrire une grandeur qui dépend de la position de mesure dans un espace, comme la température ou la pression en [[météorologie]]. Elle peut aussi modéliser l'influence d'un ou plusieurs paramètres sur un résultat, comme le [[chiffre d'affaires]] d'une entreprise de production dépend du prix des produits et du nombre de produits vendus.

L'étude des fonctions numériques est motivée principalement par plusieurs grands types de problèmes :
* la détermination du [[domaine de définition|domaine]] et l’[[approximation]] des valeurs ;
* la localisation des antécédents d'une valeur donnée, qui correspond à une résolution d'[[équation]] ;
* la recherche d'un maximum ou d'un minimum, qui constitue un problème d'[[optimisation (mathématiques)|optimisation]] ;
* une mesure globale des valeurs, qui se ramène à une question d'[[intégration (mathématiques)|intégration]].
Cette étude repose en général sur l'analyse des [[variations d'une fonction|variations]], la [[représentation graphique d'une fonction mathématique|représentation graphique]], l'[[approximation de fonction|approximation]], l'[[interpolation numérique|interpolation]] ou le calcul de [[limite (mathématiques)|limites]].

== Domaine de définition et valeurs ==
Pour une fonction définie par une expression combinant les [[fonction de référence|fonctions de référence]] à partir d’une ou plusieurs variables réelles, le domaine de définition est contraint par les valeurs interdites. En particulier, le dénominateur des fractions doit être non nul, le [[racine carrée|radicande]] doit être positif et l’argument du [[logarithme]] doit être strictement positif.

Pour une [[équation différentielle ordinaire]], le [[théorème de Cauchy-Lipschitz]] assure que des conditions initiales définissent une unique solution maximale sous une hypothèse de régularité. Pour une [[équation aux dérivées partielles]], il n’y a pas de méthode générale de résolution mais certains procédés permettent d’approcher les solutions.

Pour une [[série entière]], le domaine de définition est défini par son [[rayon de convergence]] mais peut être étendu dans le [[plan complexe]] par [[prolongement analytique]].

== Analyse des variations ==
La variation d'une fonction {{mvar|f}} entre deux points {{mvar|a}} et {{mvar|b}} de son domaine de définition est la différence {{math|''f''(''b'') – ''f''(''a'')}}. Le [[signe (arithmétique)|signe]] de cette différence permet donc de savoir en lequel de ces deux points la fonction admet sa plus grande valeur.

Dans certains cas, on peut définir une fonction [[dérivée]] qui mesure les variations locales. Lorsque la variable est définie sur une réunion d'intervalles réels, cette dérivée est la [[limite (mathématiques)|limite]] du [[taux d'accroissement]]. Lorsque la variable est [[nombre entier|entière]], la dérivée est simplement la différence entre deux termes consécutifs. Pour des fonctions de plusieurs variables réelles, ce rôle est rempli par les [[dérivée partielle|dérivées partielles]] et plus généralement les [[dérivée directionnelle|dérivées directionnelles]]. Sur un [[graphe non orienté|graphe]], on peut calculer les variations pour chaque couples de nœuds voisins.

Cette dérivée permet de localiser les extrema de la fonction. En effet, pour une fonction dérivable d'une ou plusieurs variables réelles, un extremum local est toujours atteint au bord du domaine ou en un [[point critique (mathématiques)|point critique]], c'est-à-dire en un point où la dérivée s'annule. Pour une suite numérique, les extrema locaux sont atteints aux points où la dérivée change de signe. Sur un graphe, les extrema locaux sont atteints aux nœuds en lesquels toutes les variations avec les nœuds voisins sont de même signe.

== Analyse du signe ==
Quitte à soustraire globalement une constante à la fonction, la recherche d'un antécédent revient à la recherche des [[zéro d'une fonction|zéros]], c'est-à-dire les antécédents de 0. De même, la résolution d'une [[inéquation]] se ramène à l'étude du signe d'une fonction.

En dehors des cas où l'équation {{math|''f''(''x'') {{=}} 0}} se résout algébriquement par factorisation, l'analyse des variations permet de tenter d'approcher des solutions.

Avec une seule variable réelle ou entière, le signe de la dérivée permet de décomposer le domaine de définition en intervalles sur lesquels la fonction est monotone. Par [[méthode de dichotomie|dichotomie]] ou à l'aide de méthodes plus sophistiquées (notamment la [[méthode de Newton]]), on détermine assez rapidement les intervalles sur lesquels la fonction est positive.

Pour une fonction de plusieurs variables, différents algorithmes comme la [[descente de gradient]] ou le [[recuit simulé]] peuvent aboutir à une localisation d'un zéro puis à l'approximation d'une [[ligne de niveau]].

== Ensemble des fonctions sur un espace donné ==
Étant donné un ensemble {{mvar|X}}, l’ensemble des fonctions numériques sur {{mvar|X}} est souvent noté <math>\mathcal F(X,\R)</math> ou <math>\R^X</math>. Il s’agit d’un [[espace vectoriel|espace vectoriel réel]] et même d’une [[algèbre commutative]].

Lorsque l’ensemble {{mvar|X}} est muni d’une topologie, l’espace <math>\mathcal F(X,\R)</math> admet plusieurs structures d’[[espace vectoriel topologique]] classiques, comme la [[topologie compacte-ouverte]].

L’ensemble des fonctions numériques [[Fonction bornée|bornées]] sur {{mvar|X}} constitue une [[sous-algèbre]] <math>\mathrm B(X,\R) \subset \mathcal F(X, \R)</math>, [[Espace complet|complète]] pour la norme ''infini'' <math>\|\cdot\|_\infty</math> de la [[convergence uniforme]]. Cette [[algèbre de Banach]] est parfois notée également [[Espace L∞|{{math|ℒ{{exp|∞}}(''X'')}}]] ou [[Espace de suites ℓp|{{math|ℓ{{exp|∞}}(''X'')}}]].

== Notes ==
{{références}}

{{autres projets | wikiversity = Généralités sur les fonctions | wikiversity titre = Généralités sur les fonctions}}
== Voir aussi ==
* [[Fonction (mathématiques élémentaires)]]
* [[Fonction (mathématiques)]]
*[[Fonction réelle d'une variable réelle]]
{{Palette|Mathématiques élémentaires}}
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse réelle]]
[[Catégorie:Propriété de fonction|Numérique]]