Voir la source de Fonction polylogarithme

{{Confusion|texte=Les polylogarithmes ne doivent pas être confondus avec les fonctions [[polylogarithmique]]s, ni avec l'[[Logarithme intégral|écart du logarithme intégral]] qui possède une notation similaire.}}

La '''fonction polylogarithme''' (aussi connue sous le nom de fonction de Jonquière) est une [[fonction spéciale]] qui peut être définie pour tout {{mvar|s}} et {{math|{{!}}''z''{{!}} < 1}} par :
<center><math>
\operatorname{Li}_s(z)=\sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}.
</math></center>

Le paramètre {{mvar|s}} et l'argument {{mvar|z}} sont pris sur l'ensemble ℂ des [[nombre complexe|nombres complexes]]. Les cas particuliers {{math|''s'' {{=}} 2}} et {{math|''s'' {{=}} 3}} sont appelés le polylogarithme d'ordre 2 ou '''[[Fonction de Spence|dilogarithme]]''' et le polylogarithme d'ordre 3 ou '''trilogarithme''' respectivement. Le polylogarithme apparaît aussi dans la forme fermée de l'intégrale de la [[Statistique de Fermi-Dirac|distribution de Fermi-Dirac]] et la [[Statistique de Bose-Einstein|distribution de Bose-Einstein]] et est quelquefois connue comme l'intégrale de Fermi-Dirac ou l'intégrale de Bose-Einstein.

Par [[prolongement analytique]], on peut également donner un sens au polylogarithme pour {{math|{{!}}''z''{{!}} ≥ 1}}.

<center>
{|  style="text-align:center"
|+ '''Différentes fonctions polylogarithmes dans le plan complexe :'''
|[[Image:Complex polylogminus3.jpg|1000x140px|néant]]
|[[Image:Complex polylogminus2.jpg|1000x140px|néant]]
|[[Image:Complex polylogminus1.jpg|1000x140px|néant]]
|[[Image:Complex polylog0.jpg|1000x140px|néant]]
|[[Image:Complex polylog1.jpg|1000x140px|néant]]
|[[Image:Complex polylog2.jpg|1000x140px|néant]]
|[[Image:Complex polylog3.jpg|1000x140px|néant]]
|-
|{{math|Li{{ind|–3}}(''z'')}}
|{{math|Li{{ind|–2}}(''z'')}}
|{{math|Li{{ind|–1}}(''z'')}}
|{{math|Li{{ind|0}}(''z'')}}
|{{math|Li{{ind|1}}(''z'')}}
|{{math|Li{{ind|2}}(''z'')}}
|{{math|Li{{ind|3}}(''z'')}}
|}
</center>

== Propriétés ==

Dans le cas important où le paramètre {{mvar|s}} est un [[Entier relatif|nombre entier]], il sera représenté par {{mvar|n}} (ou {{mvar|–n}} lorsqu'il est négatif). Il est souvent pratique de définir {{math|μ {{=}} ln(''z'')}}
où {{math|ln}} est la [[branche principale (mathématiques)|branche principale]] du [[logarithme naturel]], c’est-à-dire <math>- \pi < \Im(\mu) \le \pi</math>. Ainsi, toute l'exponentiation sera supposée être à valeur unique. (e.g. {{math|''z{{exp|s}}'' {{=}} e{{exp|''s'' ln(''z'')}}}}).

Dépendant du paramètre {{mvar|s}}, le polylogarithme peut être à valeurs multiples.
La branche principale du polylogarithme est celle pour laquelle {{math|Li{{ind|''s''}}(''z'')}} est [[nombre réel|réel]] pour {{mvar|z}} réel,
{{math|0 ≤ ''z'' ≤ 1}} et est continu excepté sur l'axe des réels positifs, où une coupure est faite de {{math|''z'' {{=}} 1}} à l'infini telle que la coupure place l'axe réel sur le demi-plan le plus bas de {{mvar|z}}. En termes de {{math|μ}}, ceci s'élève à {{math|–π < arg(–μ) < π}}. Le fait que le polylogarithme puisse être discontinu en {{math|μ}} peut causer une certaine confusion.

Pour {{mvar|z}} réel et supérieur ou égal à 1, la partie imaginaire du polylogarithme est {{harv|Wood|1992}} :
<center><math>\Im(\operatorname{Li}_s(z)) = -{{\pi \mu^{s-1}}\over{\Gamma(s)}}.</math></center>

En traversant la coupure :
<center><math>\lim_{\delta\rightarrow 0^+}\Im(\operatorname{Li}_s(z+\mathrm{i}\delta)) = {{\pi \mu^{s-1}}\over{\Gamma(s)}}.</math></center>

Les dérivées du polylogarithme s'expriment également avec le polylogarithme :
<center><math>z{\partial \operatorname{Li}_s(z) \over \partial z} = \operatorname{Li}_{s-1}(z),\qquad{\partial \operatorname{Li}_s(\mathrm{e}^\mu) \over \partial \mu} = \operatorname{Li}_{s-1}(\mathrm{e}^\mu).</math></center>

== Valeurs particulières ==
[[File:Polylogarithm plot negative.svg|right]]
Voir aussi la section « [[#Relation de parenté avec les autres fonctions|Relation de parenté avec les autres fonctions]] » ci-dessous.

Pour les valeurs entières de {{mvar|s}}, on peut écrire les expressions explicites suivantes :

:<math>\operatorname{Li}_{1}(z)  = -\ln(1-z)</math>
:<math>\operatorname{Li}_{0}(z)  = {z \over 1-z}</math>
:<math>\operatorname{Li}_{-1}(z) = {z \over (1-z)^2}</math>
:<math>\operatorname{Li}_{-2}(z) = {z(1+z) \over (1-z)^3}</math>
:<math>\operatorname{Li}_{-3}(z) = {z(1+4z+z^2) \over (1-z)^4}.</math>

Le polylogarithme, pour toutes les valeurs entières négatives de {{mvar|s}}, peut être exprimé comme une [[fraction rationnelle]] en {{mvar|z}} (voir les représentations en série ci-dessus). Certaines expressions particulières pour les demi valeurs entières de l'argument sont :

:<math>\operatorname{Li}_{1}\left(\frac12 \right) = \ln(2)</math>
:<math>\operatorname{Li}_{2}\left(\frac12 \right) = {\pi^2 \over 12}-{1\over2}\ln^2 2</math>
:<math>\operatorname{Li}_{3}\left(\frac12 \right) = {1 \over 24}[4(\ln 2)^3-2\pi^2\ln 2+21\,\zeta(3)]</math>

où <math>\zeta</math> est la [[fonction zêta de Riemann]].
De plus, on a :
:<math>\operatorname{Li}_{s}(1) = \zeta(s),\ \operatorname{Li}_{s}(-1) = (2^{1-s}-1)\zeta(s),\ \operatorname{Li}_{s}(\mathrm{i}) = 2^{-s}(2^{1-s}-1)\zeta(s)+\mathrm{i}\beta(s)</math>
où <math>\beta</math> est la [[fonction bêta de Dirichlet]].

Aucune formule similaire de ce type n'est connue pour des ordres plus élevés {{harv|Lewin|1991|p=2}} ; par ailleurs, les seules valeurs connues de {{math|Li{{ind|2}}}} exprimables à l'aide des fonctions élémentaires sont les huit valeurs suivantes<ref>{{harvsp|Zagier|2006}} {{p.|6}}</ref> :
:<math>\operatorname{Li}_{2}(0) = 0\ ; \ \operatorname{Li}_{2}(1) = \dfrac{\pi^2}6 \ ; \ \operatorname{Li}_{2}(-1) = \dfrac{-\pi^2}{12} \ ; \ \operatorname{Li}_{2}(1/2) = {\pi^2 \over 12}-{1\over2}\ln^2 2</math>
ainsi que
:<math>\operatorname{Li}_{2}\left({3-\sqrt5\over2}\right) = \dfrac{\pi^2}{15}-\ln^2\left({1+\sqrt5\over2}\right) \ ; \ \operatorname{Li}_{2}\left({-1+\sqrt5\over2}\right) = \dfrac{\pi^2}{10}-\ln^2\left({1+\sqrt5\over2}\right)</math> ;
:<math>\operatorname{Li}_{2}\left({1-\sqrt5\over2}\right) = -\dfrac{\pi^2}{15}+{1\over2}\ln^2\left({1+\sqrt5\over2}\right)\ ; \ \operatorname{Li}_{2}\left({-1-\sqrt5\over2}\right) = -\dfrac{\pi^2}{10}+{1\over2}\ln^2\left({1+\sqrt5\over2}\right)</math>.

== Expressions alternatives ==

* L'intégrale de la [[Statistique de Bose-Einstein|distribution de Bose-Einstein]] est exprimée en termes de polylogarithme :
:<math>\operatorname{Li}_{s+1}(z) \equiv {1 \over \Gamma(s+1)} \int_0^\infty {t^s \over \mathrm{e}^t/z-1}~\mathrm dt  \equiv {(-1)^s \over \Gamma(s+1)} \int_0^1 {\ln(y)^s \over y - 1/z}~\mathrm dy
</math>
:Celle-ci converge pour <math>\Re(s) > 0</math> et tous les {{mvar|z}} excepté pour les {{mvar|z}} réels et supérieurs ou égaux à 1. Le polylogarithme dans ce contexte est quelquefois connu comme l'[[Fonction de Bose|intégrale de Bose]] ou de Bose-Einstein.
* L'intégrale de la [[Statistique de Fermi-Dirac|distribution de Fermi-Dirac]] est aussi exprimée en termes de polylogarithme :
:<math>
-\operatorname{Li}_{s+1}(-z) \equiv {1 \over \Gamma(s+1)}
\int_0^\infty {t^s \over \mathrm{e}^t/z+1}~\mathrm dt.
</math>
:Celle-ci converge pour <math>\Re(s) > 0</math> et tous les {{mvar|z}} excepté pour les {{mvar|z}} réels et strictement inférieurs à –1. Le polylogarithme dans ce contexte est quelquefois connu comme l'intégrale de Fermi ou l'intégrale de Fermi-Dirac. (GNU)

* On a aussi la relation :
:<math>\operatorname{Li}_n\left(\prod_{k=1}^na_k\right)=\int_{0}^{a_1}\int_{0}^{a_2}\dots \int_{0}^{a_n}\frac{1}{1-\prod_{k=1}^{n}x_k}\text{d}x_1\text{d}x_2\dots\text{d}x_n</math>  où <math>n</math> est un entier naturel non nul, <math>a_1,\dots,a_n</math> sont des complexes et<math>\left|\prod_{k=1}^na_k\right|\le1</math>

* Le polylogarithme peut plutôt être généralement représenté par une intégrale sur un {{Lien|trad=Hankel contour|contour de Hankel}} {{harv|Whittaker|Watson|1927}}.
** Tant que le pôle {{math|''t'' {{=}} μ}} de l'intégrande n'est pas relié à l'axe réel positif, et <math>s \ne 1,2,3\ldots</math>, on a :
**: <math>
\operatorname{Li}_s(\mathrm{e}^\mu)={{-\Gamma(1-s)}\over{2\pi \mathrm{i}}}\oint_H {{(-t)^{s-1}}\over{\mathrm{e}^{t-\mu}-1}}\text{d}t
</math>
**: où {{mvar|H}} représente le contour de Hankel. L'intégrande possède une coupure le long de l'axe réel de zéro à l'infini, l'axe réel étant sur la moitié inférieure de la feuille (<math>\Im(t) \le 0</math>).
**Pour le cas où {{math|μ}} est réel et positif, nous pouvons simplement ajouter la contribution limitante du pôle :
**: <math>
\operatorname{Li}_s(\mathrm{e}^\mu)=-{{\Gamma(1-s)}\over{2\pi \mathrm{i}}}\oint_H {{(-t)^{s-1}}\over{\mathrm{e}^{t-\mu}}-1}dt
+ 2\pi \mathrm{i} R
</math>
**: où {{mvar|R}} est le [[Résidu (analyse complexe)|résidu]] du pôle :
**: <math>R = {{\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1}}\over{2\pi}}</math>
* La relation carrée est facilement vue à partir de l'équation (voir aussi {{harvsp|Clunie|1954}} et {{harvsp|Schrödinger|1952}})
*:<math>
\operatorname{Li}_s(-z) + \operatorname{Li}_s(z) = 2^{1-s} ~ \operatorname{Li}_s(z^2)
</math>
:La [[fonction de Kummer]] obéit à une [[Relation de duplication|formule de duplication]] très similaire.

== Relation de parenté avec les autres fonctions ==

* Pour {{math|''z'' {{=}} 1}}, le polylogarithme se réduit à la [[fonction zêta de Riemann]]
::<math>\operatorname{Li}_s(1) = \zeta(s)\quad (\textrm{Re}(s)>1) </math>
* Le polylogarithme est relié à la [[fonction êta de Dirichlet]] et la [[fonction bêta de Dirichlet]] :
::<math>\operatorname{Li}_s(-1) = -\eta(s)</math>
:où {{math|η(''s'')}} est la [[fonction êta de Dirichlet]].
: Pour des arguments [[Nombre imaginaire pur|imaginaires purs]], nous avons :
::<math>\operatorname{Li}_s(\pm \mathrm{i}) = 2^{-s}\eta(s)\pm \mathrm{i} \beta(s)</math>
:où {{math|β(''s'')}} est la [[fonction bêta de Dirichlet]].
* Le polylogarithme est équivalent à l'intégrale de Fermi-Dirac (GNU)
::<math>
F_s(\mu)=-\operatorname{Li}_{s+1}(-\mathrm{e}^\mu)\,
</math>
* Le polylogarithme est un cas particulier de la [[Fonction zêta de Lerch|fonction transcendante de Lerch]] ({{harvsp|Erdélyi ''et al.'' 1981}}, § 1.11-14)
::<math>\operatorname{Li}_s(z)=z~\Phi(z,s,1)</math>
* Le polylogarithme est relié à la [[fonction zêta de Hurwitz]] par :
::<math>\operatorname{Li}_s(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i} x})+(-1)^s \operatorname{Li}_s(\mathrm{e}^{-2\pi \mathrm{i} x})={(2\pi \mathrm{i})^s \over \Gamma(s)}~\zeta\left(1-s,x\right)</math>
:où {{math|Γ(''s'')}} est la [[Fonction gamma|fonction Gamma d'Euler]]. Ceci est valable pour <math>\textrm{Re}(s)>1, \textrm{Im}(x)\ge 0, 0 \le \textrm{Re}(x) < 1</math>
et aussi pour <math>\textrm{Re}(s)>1, \textrm{Im}(x)\le 0, 0 <   \textrm{Re}(x) \le 1.</math>
:(l'équation équivalente d'{{harvsp|Erdélyi ''et al.'' 1981}}, § 1.11-16 n'est pas correcte si on suppose que les branches principales du polylogarithme et le logarithme sont utilisés simultanément).
:Cette équation fournit le prolongement analytique de la représentation en série du polylogarithme au-delà de son cercle de convergence {{math|{{!}}''z''{{!}} {{=}} 1}}.
* En utilisant la relation entre la fonction zêta de Hurwitz et les [[polynôme de Bernoulli|polynômes de Bernoulli]] :
::<math>\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}</math>
:qui reste valable pour tous les {{mvar|x}} réels et {{mvar|n}} [[Entier naturel|entier positif]], il peut être remarqué que :
::<math>\operatorname{Li}_{n}(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i} x})+ (-1)^n \operatorname{Li}_{n}(\mathrm{e}^{-2\pi \mathrm{i} x}) = -{(2 \pi \mathrm{i})^n\over n!} B_n(x)</math>
:sous les mêmes contraintes sur {{mvar|s}} et {{mvar|x}} que ci-dessus. (L'équation correspondante d'{{harvsp|Erdélyi ''et al.'' 1981}}, § 1.11-18 n'est pas correcte). Pour les valeurs entières négatives du paramètre, on a pour tous les {{mvar|z}} ({{harvsp|Erdélyi ''et al.'' 1981}}, § 1.11-17) :
::<math>\operatorname{Li}_{-n}(z)+ (-1)^n \operatorname{Li}_{-n}\left(\frac1z\right)=0,\ n=1,2,3\ldots</math>
* Le polylogarithme avec un {{math|μ}} imaginaire pur peut être exprimé en termes de [[fonction de Clausen|fonctions de Clausen]] {{math|Ci{{ind|''s''}}(θ)}} et {{math|Si{{ind|''s''}}(θ)}} ({{harvsp|Lewin|1958}}, ch. VII, § 1.4 et {{harvsp|Abramowitz|Stegun|texte=Abramowitz & Stegun}}, § 27.8)
::<math>
\operatorname{Li}_s(\mathrm{e}^{\pm \mathrm{i} \theta}) = \operatorname{Ci}_s(\theta) \pm \mathrm{i} \operatorname{Si}_s(\theta)
</math>
* L'[[arc tangente intégral]] {{math|Ti{{ind|''s''}}(''z'')}} ({{harvsp|Lewin|1958}}, ch. VII, § 1.2) peut être exprimé en termes de polylogarithmes :
::<math>
\operatorname{Li}_s(\pm iy)=2^{-s}\operatorname{Li}_s(-y^2)\pm \mathrm{i}\,\operatorname{Ti}_s(y)
</math>
* La [[fonction chi de Legendre]] {{math|χ{{ind|''s''}}(''z'')}} ({{harvsp|Lewin|1958}}, ch VII, § 1.1 et {{harvsp|Boersma|Dempsey|1992}}) peut être exprimée en termes de polylogarithmes :
::<math>
\chi_s(z)={1 \over 2}~[\operatorname{Li}_s(z)-\operatorname{Li}_s(-z)]
</math>
* Le polylogarithme peut être exprimé comme une série de [[Fonction de Debye|fonctions de Debye]] {{math|''Z{{ind|n}}''(''z'')}} ({{harvsp|Abramowitz|Stegun|texte=Abramowitz & Stegun}}, § 27.1)
::<math>
\operatorname{Li}_{n}(\mathrm{e}^\mu)=\sum_{k=0}^{n-1}Z_{n-k}(-\mu){\mu^k \over k!}~~~~~~(n=1,2,3,\ldots)
</math>
:Une expression remarquablement similaire relie la fonction de Debye au polylogarithme :
::<math>
Z_n(\mu)=\sum_{k=0}^{n-1}\operatorname{Li}_{n-k}(\mathrm{e}^{-\mu}){\mu^k \over k!}~~~~~~(n=1,2,3,\ldots)
</math>

== Représentations en séries ==
On peut représenter le polylogarithme comme une série de puissances pour {{math|μ {{=}} 0}} comme suit {{harv|Robinson|1951}}. On considère la [[transformation de Mellin]] :
:<math>
M_s(r)
=\int_0^\infty \textrm{Li}_s(f\mathrm{e}^{-u})u^{r-1}~\mathrm du
={1 \over \Gamma(s)}\int_0^\infty\int_0^\infty
{t^{s-1}u^{r-1} \over \mathrm{e}^{t+u}/f-1}~\mathrm dt~\mathrm du
</math>
Le changement de variables {{math|''t'' {{=}} ''ab'', ''u'' {{=}} ''a''(1-''b'')}} permet à l'intégrale d'être séparée :
:<math>
M_s(r)={1 \over \Gamma(s)}\int_0^1 b^{r-1}(1-b)^{s-1}~\mathrm db\int_0^\infty{a^{s+r-1} \over \mathrm{e}^a/f-1}~\mathrm da= \Gamma(r)\textrm{Li}_{s+r}(f)
</math>
pour {{math|''f'' {{=}} 1}} on a, à travers la transformation inverse de Mellin :
:<math>\operatorname{Li}_{s}(\mathrm{e}^{-u})={1 \over 2\pi \mathrm{i}}\int_{c-\mathrm{i}\infty}^{c+\mathrm{i}\infty}\Gamma(r)\zeta(s+r)u^{-r}~\mathrm dr</math>
où {{mvar|c}} est une constante à droite des [[pôle (mathématiques)|pôles]] de l'intégrande.

Le chemin d'intégration peut être [[Méthodes de calcul d'intégrales de contour|converti en un contour fermé]], et les pôles de l'intégrande sont ceux de {{math|Γ(''r'')}} à {{math|''r'' {{=}} 0 , –1, –2, …}} et de {{math|ζ(''s+r'')}} à {{math|''r'' {{=}} 1–''s''}}. Sommer les [[résidu (analyse complexe)|résidus]] donne, pour <math>|\mu|<2\pi</math> et <math>s \ne 1,2,3,\ldots</math>
:<math>\operatorname{Li}_s(\mathrm{e}^\mu) =\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1} + \sum_{k=0}^\infty {\zeta(s-k) \over k!}~\mu^k </math>
Si le paramètre {{mvar|s}} est un entier positif {{mvar|n}}, ainsi que le {{math|''k'' {{=}} ''n''–1{{e}}}} terme, la fonction gamma devient infinie, bien que leur somme ne l'est pas. Pour un entier {{math|''k'' > 0}}, on a :
:<math>\lim_{s\rightarrow k+1}\left[{\zeta(s-k)\mu^k \over k!}+\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1}\right]
= {\mu^k \over k!}\left(\sum_{m=1}^k{1 \over m}-\ln(-\mu)\right)
</math>
et pour {{math|''k'' {{=}} 0}} :
:<math>
\lim_{s\rightarrow 1}\left[\zeta(s)+\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1}\right]
= -\ln(-\mu)
</math>
Ainsi, pour {{mvar|s {{=}} n}} où {{mvar|n}} est un entier positif et <math>|\mu|<2\pi</math>, on a :
:<math>\operatorname{Li}_{n}(\mathrm{e}^\mu) = {\mu^{n-1} \over (n-1)!}\left(H_{n-1}-\ln(-\mu)\right) + 
 \sum_{k=0,k\ne n-1}^\infty {\zeta(n-k) \over k!}~\mu^k, \ (n=2,3,4,\ldots)
</math>
:<math>\operatorname{Li}_{1}(\mathrm{e}^\mu) =-\ln(-\mu)+\sum_{k=1}^\infty {\zeta(1-k) \over k!}~\mu^k 
~~~~~~~~~~(n=1)
</math>
où {{math|''H''{{ind|''n''–1}}}} est un [[nombre harmonique]] :
:<math>H_{n-1}=\sum_{k=1}^{n-1}{1\over k}</math>
Le problème des termes contient maintenant {{math|-ln(-μ)}} qui, lorsqu'ils sont multipliés par {{math|μ{{exp|''k''}}}}, tendront vers zéro quand {{math|μ}} tend vers zéro, excepté pour {{math|''k'' {{=}} 0}}. Ceci reflète le fait qu'il existe une vraie [[Singularité (mathématiques)|singularité]] logarithmique en {{math|Li{{ind|''s''}}(''z'')}} en {{math|''s'' {{=}} 1}} et {{math|''z'' {{=}} 1}}, puisque :
:<math>\lim_{\mu\rightarrow 0}\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1}=0~~~~~(\textrm{Re}(s)>1) </math>
En utilisant la parenté entre la fonction zêta de Riemann et les [[nombre de Bernoulli|nombres de Bernoulli]] {{mvar|B{{ind|k}}}}
:<math>\zeta(-n)=(-1)^n{B_{n+1} \over n+1}~~~~~~~~~~~(n=0,1,2,3,\ldots)</math>
on obtient pour les valeurs entières négatives de {{mvar|s}} et <math>|\mu|<2\pi</math> :
:<math>\operatorname{Li}_{-n}(z) =  {n! \over (-\mu)^{n+1}}-
\sum_{k=0}^{\infty} { B_{k+n+1}\over k!~(k+n+1)}~\mu^k,\ (n=1,2,3,\ldots)
</math>
puisque, excepté pour {{math|''B''{{ind|1}}}}, tous les nombres de Bernoulli impairs sont égaux à zéro. On obtient le terme {{math|''n'' {{=}} 0}} en utilisant <math>\zeta(0)=B_1=-\frac12</math>. Encore, l'équation équivalent d'{{harvsp|Erdélyi ''et al.'' 1981}}, § 1.11-15 n'est pas correcte si on suppose que les branches principales du polylogarithme et le logarithme sont utilisées simultanément, puisque <math>\ln\left(\frac1z \right)</math> n'est pas uniformément égal à {{math|–ln(''z'')}}.

L'équation définie peut être étendue aux valeurs négatives du paramètre {{mvar|s}} en utilisant une intégrale sur un {{Lien|trad=Hankel contour|contour de Hankel}} ({{harvsp|Wood|1992}} et {{harvsp|Gradshteyn|Ryzhik|1980}}) :
:<math>\operatorname{Li}_s(\mathrm{e}^\mu)=-{\Gamma(1-p) \over 2\pi \mathrm{i}}\oint_H{(-t)^{s-1} \over \mathrm{e}^{t-\mu}-1}dt</math>
où {{mvar|H}} est le contour de Hankel qui peut être modifié pour qu'il entoure les pôles de l'intégrande, à {{math|''t'' – μ {{=}} 2''k''iπ}}, l'intégrale peut être évaluée comme la somme des résidus :
:<math>\operatorname{Li}_s(\mathrm{e}^\mu)=\Gamma(1-s)\sum_{k=-\infty}^\infty (2k\pi \mathrm{i}-\mu)^{s-1}
</math>
Ceci restera valable pour <math>\textrm{Re}(s)<0</math> et tous les {{mvar|z}} excepté pour {{math|''z'' {{=}} 1}}.

Pour les entiers négatifs {{mvar|s}}, le polylogarithme peut être exprimé comme une série impliquent les [[Nombre eulérien|nombres eulériens]]
:<math>\operatorname{Li}_{-n}(z) = {1 \over (1-z)^{n+1}} \sum_{i=0}^{n-1}\left\langle{n\atop i}\right\rangle z^{n-i},\ (n=1,2,3,\ldots)
</math>
où <math>\left\langle{n\atop i}\right\rangle</math> sont les nombres eulériens.

Une autre formule explicite pour les entiers négatifs {{mvar|s}} est {{harv|Wood|1992}} :
:<math>\operatorname{Li}_{-n}(z) = \sum_{k=1}^{n+1}{(-1)^{n+k+1}(k-1)!S(n+1,k) \over (1-z)^k},\ (n=1,2,3,\ldots)
</math>
où {{math|''S''(''n'',''k'')}} sont les [[Nombre de Stirling#Nombre de_Stirling de seconde espèce|nombres de Stirling de deuxième espèce]].

== Comportement aux limites ==

Les [[limite (mathématiques)|limites]] suivantes restent valables pour le polylogarithme {{harv|Wood|1992}} :
:<math>
\lim_{|z|\rightarrow 0} \operatorname{Li}_s(z) = \lim_{s \rightarrow \infty} \operatorname{Li}_s(z) = z
</math>
:<math>
\lim_{\mathrm{Re}(\mu) \rightarrow \infty} \operatorname{Li}_s(\mathrm{e}^\mu) = -{\mu^s \over \Gamma(s+1)}, \ (s\ne -1, -2,-3,\ldots)
</math>
:<math>\lim_{\mathrm{Re}(\mu) \rightarrow \infty} \operatorname{Li}_{-n}(\mathrm{e}^\mu) = -(-1)^n\mathrm{e}^{-\mu},\ (n=1,2,3,\ldots)
</math>
:<math>\lim_{|\mu|\rightarrow 0} \operatorname{Li}_s(\mathrm{e}^\mu) =  \Gamma(1-s)(-\mu)^s,\ (s<1)
</math>

== Échelles de polylogarithmes ==
[[Leonard Lewin]] a découvert une remarquable généralisation d'un grand nombre de relations classiques sur les polylogarithmes pour des valeurs particulières. 
En effet, on peut prouver par dérivation les relation suivantes pour le dilogarithme :
:<math>\forall x \in]0;1[,\ L_2(x) + L_2(1-x) = \frac{\pi^2}{6}-\ln(x)\ln(1-x)</math> (Euler)
:<math>\forall x \in[-1,\frac{1}{2}],\ L_2(x) + L_2\left(\frac{x}{x-1}\right) = -\frac12 \ln(1-x)^2</math> (Landen)
En particulier, pour <math>x = \frac{1}{\varphi^2}</math>, on peut déduire :
:<math>L_2\left(\frac{1}{\varphi}\right) = \frac{\pi^2}{10} - \ln(\varphi)^2,\ L_2\left(\frac{1}{\varphi^2}\right) = \frac{\pi^2}{15} - \ln(\varphi)^2</math> 
De même, pour le trilogarithme, on a :
:<math>\forall x \in]0;1[,\ L_3\left(\frac{x}{x-1}\right) + L_3(x) + L_3(1-x) = \zeta(3) + \frac{\pi^2}{6}\ln(1-x) -\frac{1}{2}\ln(x)^2\ln(1-x)+\frac{1}{2}\ln(1-x)^3</math>  (Landen)
dont on peut déduire :
:<math>L_3\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{7}{8}\zeta(3) - \frac{\pi^2}{12}\ln(2) +\frac{1}{6}\ln(2)^3</math> 
:<math>L_3\left(\frac{1}{\varphi^2}\right) = \frac{4}{5}\zeta(3) - \frac{\pi^2}{15}\ln(\varphi)+\frac{2}{3} \ln(\varphi)^3</math>
 
Les échelles de polylogarithmes apparaissent naturellement et profondément en [[K-théorie]].

== Notes et références ==
{{Références}}
* {{Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun)}}
* {{article|lang=en|nom1=Boersma|prénom1=J.|nom2=Dempsey|prénom2=J. P.|titre=On the evaluation of Legendre's chi-function|revue=Math. Comp.|volume=59|numéro=199|p.=157-163|année=1992}}
* {{article|lang=en|nom1=Clunie|prénom=J.|titre=On Bose-Einstein functions|lien périodique=Proceedings of the Physical Society|revue=Proc. Phys. Soc. Section A|volume=67|p.=632-636|année=1954}}
* {{ouvrage|id=Erdélyi ''et al.'' 1981|lang=en|auteur={{Lien|Arthur Erdélyi|texte=A. Erdélyi}}|auteur2=[[Wilhelm Magnus|W. Magnus]]|auteur3={{Lien|langue=de|Fritz Oberhettinger|texte=F. Oberhettinger}}|auteur4=[[Francesco Tricomi|F. G. Tricomi]]|titre=Higher Transcendental Functions|volume=1|lieu=New York|éditeur=Krieger|année=1981}}
* {{ouvrage|lang=en|nom1=Gradshteyn|prénom1=I. S.|nom2=Ryzhik|prénom2=I. M.|titre=[[Gradshteyn-Ryzhik|Tables of Integrals, Series, and Products]]|éditeur=Academic Press|lieu=New York|année=1980}}, § 9.553
* {{ouvrage|lang=en|nom1=Lewin|prénom=L.|titre=Dilogarithms and Associated Functions|lieu=London|éditeur=Macdonald|année=1958}}
* {{ouvrage|lang=en|nom1=Lewin|prénom=L.|titre=Polylogarithms and Associated Functions|éditeur=Elsevier Science Ltd|isbn=978-0444005502}}
* {{Structural Properties of Polylogarithms (Lewin)}}
* {{article|lang=en|url=http://prola.aps.org/abstract/PR/v83/i3/p678_1|nom=Robinson|prénom=J. E.|titre=Note on the Bose-Einstein integral functions|revue=Physical Review|série=2|volume=83|p.=678-679|année=1951}}
* {{ouvrage|lang=en|nom1=Schrödinger|prénom=E.|lien auteur=Erwin Schrödinger|titre=Statistical Thermodynamics|lieu=Cambridge|année=1952}}
* {{ouvrage|lang=en|nom1=Whittaker|prénom1=E. T.|lien auteur1=Edmund Taylor Whittaker|nom2=Watson|prénom2=G. N.|lien auteur2=George Neville Watson|titre=A Course of Modern Analysis|lieu=Cambridge|année=1927}}, § 12.22 et 13.13
* {{ouvrage|lang=en|prénom=David C.|nom1=Wood|url=http://www.cs.kent.ac.uk/pubs/1992/110/|titre=Technical Report 15-92|éditeur=[[Université du Kent|University of Kent]] Computing Laboratory|lieu=Canterbury, UK|mois=6|année=1992}}
{{Traduction/Référence|en|Polylogarithm|11335643}}

== Bibliographie ==

* {{article|lang=en|url=http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf|auteur=[[David H. Bailey|David Bailey]]|auteur2=[[Peter Borwein]]|auteur3=[[Simon Plouffe]]|titre=On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants|revue=Math. Comp.|volume=66|numéro=218|année=1997|p.=903–913}}
* {{en}} David H. Bailey et David J. Broadhurst, « A Seventeenth-Order Polylogarithm Ladder », 1999, {{arxiv|math.CA/9906134}}
* {{article|lang=en|auteur=[[Jonathan Borwein|Jonathan M. Borwein]]|prénom2=David M.|nom2=Bradley|prénom3=David J.|nom3=Broadhurst|prénom4=Petr|nom4=Lisonek|titre=Special Values of Multidimensional Polylogarithms|revue=Trans. Amer. Math. Soc.|volume=353|année=2001|p.=907-941|url=http://www.ams.org/journals/tran/2001-353-03/S0002-9947-00-02616-7/home.html}}, {{arxiv|math.CA/9910045}}
* {{ouvrage|lang=en|auteur=[[Bruce Berndt|B. C. Berndt]]|titre=Ramanujan's Notebooks, Part IV|éditeur=Springer|passage=323-326|année=1994}}
* {{article|lang=en|prénom1=B.|nom1=Fornberg|prénom2=K. S.|nom2=Kölbig|titre=Complex zeros of the Jonquiére or polylogarithm function|revue=Math. Comp.|volume=29|numéro=130|p.=582-599|année=1975}}
* {{en}} [[GNU Scientific Library]], ''[http://www.gnu.org/software/gsl/manual/gsl-ref.html#SEC117 Reference Manual]''
* {{ouvrage|lang=en|auteur=[[Eugen Jahnke]]|auteur2={{Lien|langue=de|Fritz Emde}}|titre=Tables of Functions with Formulae and Curves|éditeur=Dover|année=1945}}
* {{article|lang=en|nom1=Kölbig|prénom1=K. S.|prénom2=J. A.|nom2=Mignaco|prénom3=E.|nom3=Remiddi|titre=On Nielsen's generalized polylogarithms and their numerical calculation|revue=BIT|volume=10|p.=38-74|année=1970}}
* {{article|lang=en|nom1=Kölbig|prénom1=K. S.|titre=Nielsen's Generalized Polylogarithms|revue=SIAM J. Math. Anal.|volume=17|p.=1232-1258|année=1986}}
* {{ouvrage|lang=en|nom1=Lewin|prénom=L.|titre=Polylogarithms and Associated Functions|éditeur=North-Holland|année=1981}}
* {{article|lang=en|prénom1=J.|nom1=McDougall|auteur2={{Lien|Edmund Clifton Stoner|texte=E. C. Stoner}}|titre=The computation of Fermi-Dirac functions|lien périodique=Philosophical Transactions of the Royal Society|revue=Philos. Trans. Royal Soc., Series A|volume=237|p.=67-104|année=1939|url=http://rsta.royalsocietypublishing.org/content/237/773/67}}
* {{article|lang=en|prénom=B.|nom=Markman|titre=The Riemann Zeta Function|revue=BIT|volume=5|p.=138-141|année=1965}}
* {{article|lang=de|auteur={{Lien|langue=de|Niels Nielsen|texte=N. Nielsen}}|titre=Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen|revue=Nova Acta [[Leopoldina]]|volume=90|p.=123-211|année=1909}}
* {{ouvrage|lang=en|nom1=A. P. Prudnikov|auteur2={{Lien|langue=de|Oleg Igorevich Marichev|texte=O. I. Marichev}}|auteur3=Yu. A. Brychkov|titre=The Generalized Zeta Function, Bernoulli Polynomials, Euler Polynomials, and Polylogarithms, Vol. 3: More Special Functions|éditeur=Gordon and Breach|passage=23-24|année=1990}}, § 1.2
* {{article|lang=en|lien auteur=Clifford Truesdell|prénom=C.|nom=Truesdell|titre=On a function which occurs in the theory of the structure of polymers|revue=Ann. of Math.|lien périodique=Annals of Mathematics|série=2|volume=46|numéro=1|p.=144-1457|année=1945}}
* {{chapitre|lang=en|prénom=Don|nom=Zagier|lien auteur=Don Zagier|titre=Appendix A : Special Values and Functional Equations of Polylogarithms|titre ouvrage=Structural Properties of Polylogarithms|auteurs ouvrage=L. Lewin (éd.)|éditeur=AMS|année=1991}}
* {{chapitre|lang=en|prénom=Don|nom=Zagier|lien auteur=Don Zagier|titre=The Dilogarithm Function|titre ouvrage=Frontiers in Number Theory, Physics and Geometry II|auteurs ouvrage=P. Cartier, B. Julia, P. Moussa, P. Vanhove  (éds.)|éditeur=Springer-Verlag|année=2006|url=http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.1007/978-3-540-30308-4_1/fulltext.pdf}}

== Liens externes ==
* {{mathworld|nom_url=Polylogarithm|titre=Polylogarithm}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse complexe]]
[[Catégorie:Fonction remarquable|Polylogarithme]]