Voir la source de Fonction trigonométrique

[[Fichier:Circle-trig6.svg|thumb|upright=1.35|Toutes les valeurs des fonctions trigonométriques d'un angle ''θ'' peuvent être représentées géométriquement.]]
Les  '''fonctions trigonométriques''' sont des [[fonction (mathématiques)|fonctions mathématiques]] définies originellement pour relier les [[longueur]]s des côtés d'un [[triangle]] à la mesure de ses [[angle]]s aux [[sommet (géométrie)|sommets]]. Ces [[fonction (mathématiques)|fonctions]] sont importantes en [[géométrie]] pour étudier les [[polygone]]s et les [[cercle]]s (on les appelle aussi '''fonctions circulaires'''), en [[géodésie]] et en [[navigation]] maritime ou aérienne pour les calculs de position et de distance, et en [[physique]] pour [[Modèle mathématique|modéliser]] les [[Phénomène périodique|phénomènes périodiques]].

Les trois fonctions trigonométriques les plus utilisées sont le [[Sinus (mathématiques)|sinus]] (noté {{math|sin}}), le [[cosinus]] ({{math|cos}}) et la [[Tangente (trigonométrie)|tangente]] ({{math|tan}}, {{math|tang}} ou {{math|tg}}). D'autres fonctions sont aussi utilisées : [[cotangente]], [[#sécante|sécante]], [[#cosécante|cosécante]], [[sinus verse]], [[Formule de haversine|haversine]], {{lien| trad=Exsecant| exsécante}}{{etc.}} Les relations entre les différentes fonctions trigonométriques constituent les [[formule de trigonométrie|identités trigonométriques]]. Ces relations servent dans les disciplines susmentionnées mais aussi en [[analyse (mathématiques)|analyse mathématique]], par exemple pour l'[[intégration par changement de variable]].

Les fonctions trigonométriques peuvent aussi être définies comme les sommes de [[série entière|séries entières]] ou comme les solutions d'[[équation différentielle|équations différentielles]], ce qui permet de les généraliser à des [[nombre complexe|nombres complexes]].

Par ailleurs, sur le modèle des fonctions trigonométriques, on définit aussi des [[Fonction hyperbolique|fonctions hyperboliques]] dont le nom dérive des premières : [[sinus hyperbolique]] ({{math|sinh}}), [[cosinus hyperbolique]] ({{math|cosh}}), [[tangente hyperbolique]] ({{math|tanh}}){{etc.}}

== Histoire ==
{{Article détaillé|Histoire des fonctions trigonométriques}}

Les traces les plus anciennes d'utilisation de sinus seraient apparues dans les [[Śulba-Sūtras]] écrits en [[Sanskrit|sanskrit védique]] dans la période des {{-sp|VIII|au|VI|s}}

Les fonctions trigonométriques furent plus tard étudiées par [[Hipparque (astronome)|Hipparque]] de [[Nicée]] (185-125 av. J.-C.), [[Âryabhata]] (476-550), [[Varahamihira]], [[Brahmagupta]], [[Al-Khawarizmi]], [[Abu l-Wafa]], [[Omar Khayyam]], [[Al-Battani]] (858-929), [[Bhāskara II]], [[Nasir ad-Din at-Tusi]], [[Regiomontanus]] (1464), [[Al-Kachi|Al-Kashi]] ({{s-|XIV|e}}), [[Ulugh Beg]] ({{s-|XIV|e}}), [[Madhava de Sangamagrama|Madhava]] (1400), [[Georg Joachim Rheticus|Rheticus]] et son disciple  [[Valentin Otho]].

L'ouvrage ''[[Introductio in analysin infinitorum]]'' (1748) de [[Leonhard Euler]] fut en grande partie à l'origine des considérations analytiques des fonctions trigonométriques en Europe en les définissant à partir de développements en séries, et présenta les [[formule d'Euler|formules d'Euler]].

== Lignes trigonométriques ==
Un [[triangle]] quelconque rectiligne (ou [[Trigonométrie sphérique|sphérique]]) possède six parties : trois côtés et trois [[angle]]s. Toutes ces parties ne sont pas utiles à la construction du triangle, par exemple les seules données de la longueur de deux de ses côtés et de l'angle entre ces côtés permet de compléter le triangle. Mais connaissant seulement les trois angles, il est impossible de retrouver le triangle, puisqu'il existe une infinité de triangles ayant les trois mêmes angles ([[triangle semblable|triangles semblables]]). En fait, sauf dans un seul cas, il suffit de connaître trois de ces parties dont au moins un côté pour construire un triangle. Le cas où deux côtés sont connus mais l'angle connu n'est pas celui porté par les deux côtés peut définir deux triangles non semblables.

Le problème de la détermination avec exactitude des parties manquantes du triangle fut étudié en particulier en [[Histoire de l'Europe|Europe à partir]] du [[Moyen Âge]].
Les méthodes [[géométrique]]s ne donnant, à l'exception des cas simples, que des constructions approximatives et insuffisantes à cause de l'imperfection des instruments utilisés, les recherches s'orientèrent plutôt vers des méthodes numériques afin d'obtenir des constructions avec un degré de précision voulu.

Et l'un des objectifs de la trigonométrie fut donc de donner des méthodes pour calculer toutes les parties d'un triangle, c'est-à-dire pour [[Résolution d'un triangle|résoudre un triangle]].
Pendant longtemps les géomètres cherchèrent en vain des relations entre les angles et les côtés des triangles. Une de leurs plus grandes idées fut de se servir des arcs plutôt que des angles pour effectuer leurs mesures.

Ces  [[arc de cercle|arcs de cercle]] ont pour centre un sommet du triangle et sont compris entre les côtés se rapportant à ce sommet. Ces considérations menèrent tout naturellement les géomètres à remplacer les arcs par les [[segment (mathématiques)|segment]]s de droites dont ils dépendent.

Ces segments s'appellent les '''lignes trigonométriques'''. Il s'agit en fait d'un autre vocable pour désigner les fonctions trigonométriques ({{math|sin}}, {{math|cos}}, {{math|tan}}…) appelées aussi fonctions circulaires. Des relations entre les côtés et certaines lignes liées aux arcs s'établissent de manière que les lignes puissent être déterminées à partir de certains arcs et réciproquement. Une convention fondamentale oblige alors à ne considérer que les lignes trigonométriques rapportées à des cercles de rayon 1. Ces lignes trigonométriques définissent les fonctions trigonométriques modernes.

Les fonctions trigonométriques mathématiques sont celles qui s'appliquent à des mesures d'angles données en [[radian]]s. Mais il est encore d'usage de garder les mêmes noms de fonctions pour les autres unités de mesure comme les [[Degré (angle)|degré]]s ou les [[Grade (angle)|grade]]s.

== Définitions dans un triangle rectangle ==
[[Fichier:Triangle rectangle trigo.svg|thumb|right]]

Pour définir les [[fonction (mathématiques)|fonction]]s trigonométriques d'un [[angle]] {{mvar|Â}}, considérons un [[triangle rectangle]] dont {{mvar|Â}} est l'un des deux [[angle aigu|angles aigus]].

Les côtés du triangle rectangle sont appelés :
* l'''[[hypoténuse]]'' : c'est le côté opposé à l'angle droit, constituant une jambe de l'angle {{mvar|Â}} et le côté le plus long du triangle ;
* le ''côté adjacent'' : c'est le côté joignant l'angle droit depuis {{mvar|Â}}, constituant une jambe de l'angle {{mvar|Â}}, qui n'est pas l'hypoténuse ;
* le ''côté opposé'' : c'est le côté opposé à l'angle {{mvar|Â}}, joignant l'angle droit, qui n'est pas l'hypoténuse.

On notera :
: {{mvar|h}} : la longueur de l'hypoténuse ;
: {{mvar|a}} : la longueur du côté adjacent ;
: {{mvar|o}} : la longueur du côté opposé.

{{triple image|right|sinus de A.svg|160|cosinus de A.svg|160|tangente de A.svg|160|Les rapports des longueurs des côtés du triangle donnent son sinus, son cosinus et sa tangente.}}
Les différents rapports de ces trois longueurs ne dépendent pas du triangle choisi (du moment qu'il comporte l'angle {{mvar|Â}} et un angle droit) puisque tous ces triangles sont [[Triangles semblables|semblables]].

*{{Ancre|sinus}}Le '''[[Sinus (mathématiques)|sinus]]''' d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé par la longueur de l'hypoténuse :
{{retrait|1=<math>\sin(\widehat A) = \frac \mathrm{c\hat{o}t\acute{e}\;oppos\acute{e}} \mathrm{hypot\acute{e}nuse} = \frac{o}{h}</math>.}}
*{{Ancre|cosinus}}Le '''[[cosinus]]''' d'un angle est le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse :
{{retrait|1=<math>\cos(\widehat A) = \frac \mathrm{c\hat{o}t\acute{e}\;adjacent} \mathrm{hypot\acute{e}nuse} = \frac{a}{h}</math>.}}
*{{Ancre|tangente}}La '''[[Tangente (trigonométrie)|tangente]]''' d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé à la longueur du côté adjacent :
{{retrait|1=<math>\tan(\widehat A) = \frac \mathrm{c\hat{o}t\acute{e}\;oppos\acute{e}} \mathrm{c\hat{o}t\acute{e}\;adjacent} = \frac{o}{a}</math>.}}
Notons que l'on a : <math>\tan=\frac{\sin}{\cos}</math>.

Les trois fonctions restantes sont définies en utilisant les trois fonctions ci-dessus :
*{{Ancre|cosécante}}La '''cosécante''' de {{mvar|Â}}, notée {{math|csc(''Â'')}} ou {{math|cosec(''Â'')}}, est l'[[inverse]] {{math|1/sin(''Â'')}} du sinus de {{mvar|Â}}, c'est-à-dire le rapport de la longueur de l'hypoténuse par la longueur du côté opposé :
{{retrait|1=<math>\csc(\widehat A) = \frac \mathrm{hypot\acute{e}nuse} \mathrm{c\hat{o}t\acute{e}\;oppos\acute{e}}= \frac{h}{o}</math>.}}
*{{Ancre|sécante}}La '''sécante''' de {{mvar|Â}}, notée {{math|sec(''Â'')}}, est l'inverse {{math|1/cos(''Â'')}} du cosinus de {{mvar|Â}}, c'est-à-dire le rapport de la longueur de l'hypoténuse par la longueur du côté adjacent :
{{retrait|1=<math>\sec(\widehat A) = \frac \mathrm{hypot\acute{e}nuse} \mathrm{c\hat{o}t\acute{e}\;adjacent} = \frac{h}{a}</math>.}}
*{{Ancre|cotangente}}La '''[[cotangente]]''' de {{mvar|Â}}, notée {{math|cot(''Â'')}}, est l'inverse {{math|1/tan(''Â'')}} de la tangente de {{mvar|Â}}, c'est-à-dire le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur du côté opposé :
{{retrait|1=<math>\cot(\widehat A) = \frac \mathrm{c\hat{o}t\acute{e}\;adjacent} \mathrm{c\hat{o}t\acute{e}\;oppos\acute{e}} = \frac{a}{o}</math>.}}
Notons que l'on a : <math>\cot=\frac{\cos}{\sin}</math>.

== Définitions à partir du cercle unité ==
[[Fichier:Cercle trace sinus cosinus anim.gif|vignette|Tracé des fonctions sinus et cosinus à partir du cercle unité.]]
[[Fichier:Unit circle angles color.svg|vignette|upright=1.3|right|Valeurs exactes placées sur le cercle unité.]]
Les six fonctions trigonométriques peuvent également être définies à partir du [[cercle unité]]. La définition géométrique ne fournit presque pas de moyens pour le calcul pratique ; en effet elle se fonde sur des triangles rectangles pour la plupart des angles. 
Le [[cercle trigonométrique]], en revanche, permet la définition des fonctions trigonométriques pour tous les réels positifs ou négatifs, pas seulement pour des angles de mesure en radians comprise entre 0 et {{math|π/2}}.

Dans un plan muni d'un [[repère orthonormé]] <math>(O;\vec{i},\vec{j})</math>, le cercle trigonométrique est le [[cercle]] de centre ''O'' et de rayon 1.
Si l'on considère un point ''A''(''x<sub>A</sub>'', ''y<sub>A</sub>'') sur le cercle, alors on a :
{{retrait|<math>\cos \widehat{(\vec{i},\vec{OA})} = x_A\text{ et }\sin \widehat{(\vec{i},\vec{OA})} = y_A.</math>}}

Sur le cercle ci-contre, nous avons représenté certains angles communs, et nous avons indiqué leurs mesures en radians figurant dans l'intervalle {{math|[–2π, 2π]}}, soit deux mesures par angle et même trois pour l'angle nul.

Notez que nous mesurons les angles positifs dans le sens trigonométrique, contraire à celui des aiguilles d'une horloge, et les angles négatifs dans le sens horaire. 
Une demi-droite qui fait un angle {{mvar|θ}} avec la demi-droite positive ''Ox'' de l'axe des abscisses coupe le cercle en un point de coordonnées {{math|(cos ''θ'', sin ''θ'')}}. 
Géométriquement, cela provient du fait que l'hypoténuse du triangle rectangle ayant pour sommets les points de coordonnées {{math|(0 , 0)}}, {{math|(cos ''θ'', 0)}} et {{math|(cos ''θ'', sin ''θ'')}} est égale au rayon du cercle donc à 1. Le cercle unité peut être considéré comme une façon de regarder un nombre infini de triangles obtenus en changeant les longueurs des côtés opposés et adjacents mais en gardant la longueur de leur hypoténuse égale à 1.

On a donc :
{{retrait|<math>\sin\theta={y\over1}=y,\quad\cos\theta={x\over1}=x\quad\text{et}\quad\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}</math>}}
ainsi que
{{retrait|<math>\sec\theta=\frac1{\cos\theta},\quad\csc\theta=\frac1{\sin\theta}\quad\text{et}\quad\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin \theta}.</math>}}

Le cercle unité a pour équation :
{{retrait|<math>x^2+y^2=1.</math>}}
Cela donne immédiatement la relation
: <math>\cos^2\theta+\sin^2\theta=1.</math>

== Définition à partir du produit scalaire ==

En [[géométrie vectorielle]], le cosinus est défini à partir du [[produit scalaire]] de deux vecteurs ''u'' et ''v'' et de leurs normes ||''u''|| et ||''v''|| par : 
{{retrait|<math>\cos(u,v) = \frac{\langle u , v \rangle}{ \|u \| \times \| v \|}.</math>}}

== Définitions à partir des séries entières ==

Ici, et généralement en [[analyse (mathématiques)|analyse]], il est de la plus grande importance que tous les angles soient mesurés en [[radian]]s. On peut alors définir {{math|sin}} et {{math|cos}} à l'aide de [[série entière|séries entières]] :

{{retrait|<math>\sin x=x - \frac{x^{3}}{3!}  + \frac{x^{5}}{5!} + \cdots + (-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} +\cdots = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}  {( - 1)^n } \frac{{x^{2n + 1} }}{{(2n + 1)!}},</math>}}

{{retrait|<math>\cos x=1 - \frac{x^2}{2!}  + \frac{x^{4}}{4!} + \cdots + (-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!} + \cdots = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}  {( - 1)^n } \frac{{x^{2n} }}{{(2n)!}}.</math>}}

Ces définitions sont équivalentes à celles données ci-dessus ; on peut le justifier avec la théorie des [[série de Taylor|séries de Taylor]], et avec le fait que [[Identité trigonométrique#Dérivées|la dérivée du sinus est le cosinus et que celle du cosinus est l'opposé du sinus]].

Ces définitions sont souvent utilisées comme point de départ des traités rigoureux d'[[analyse (mathématiques)|analyse]] et de la définition du [[pi|nombre {{math|π}}]] puisque la théorie des [[Série (mathématiques)|séries]] est bien connue. 
La [[dérivabilité]] et la [[Continuité (mathématiques)|continuité]] sont alors faciles à établir, de même que les [[Formule d'Euler|formules d'Euler]] en [[analyse complexe]] reliant les fonctions trigonométriques à la [[fonction exponentielle]], ainsi que l'[[identité d'Euler]]. 
Les définitions utilisant les séries ont l'avantage supplémentaire de permettre de prolonger les fonctions sinus et cosinus en des [[fonction analytique|fonctions analytiques]] dans tout le [[plan complexe]].

Il n'est pas possible d'obtenir des séries aussi simples pour les autres fonctions trigonométriques, mais on a, par exemple 
: <math>
\begin{align}
\tan x & {} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\
& {} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots, \qquad \text{pour } |x| < \frac {\pi} {2}
\end{align}
</math>
où  ''B''<sub>''n''</sub> est le  ''n''-ème [[nombre de Bernoulli]]. Ces expressions se traduisent sous forme de [[Fraction continue généralisée|fractions continues généralisées]] ; elles ont permis à [[Johann Heinrich Lambert|Lambert]] de démontrer l'[[Nombre irrationnel|irrationalité]] du nombre {{math|π}} (cf. l'article « [[Fraction continue et approximation diophantienne]] »).

À défaut de série entière simple, il existe pour la fonction cotangente une [[Convergence absolue|série absolument convergente]], obtenue comme limite de sommes d'[[Décomposition en éléments simples|éléments simples]] correspondant à des [[Pôle (mathématiques)|pôles]] opposés<ref>{{Ouvrage |auteur1=[[Martin Aigner]] |prénom2=Günter M. |nom2=Ziegler |lien auteur2=Günter M. Ziegler |titre=[[Raisonnements divins]] |éditeur=[[Springer Verlag|Springer]] |année=2002 |pages totales=245 |passage=139-142 |isbn=978-2-287-59723-7 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=0p4z8ptz6GkC&pg=PA139 |numéro chapitre=19 |titre chapitre=La fonction cotangente et l'astuce de [[Gustav Herglotz|Herglotz]]}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=[[Reinhold Remmert]] |titre=Theory of Complex Functions |éditeur=Springer |collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]] |numéro dans collection=122 |année=1991 |pages totales=453 |passage=327 |isbn=978-0-387-97195-7 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=uP8SF4jf7GEC&pg=PA327}}.</ref> :
{{retrait|<math>\pi\cot(\pi x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^N\frac1{x+n}=\frac1x+\sum_{n=1}^\infty\frac{2x}{x^2-n^2}.</math>}}
On en déduit<ref>{{Harvsp|Remmert|1991|p=329-330}}. Voir aussi {{Article|auteur=[[Matyáš Lerch|M. Lerch]]|titre=Démonstration élémentaire de la formule : <math>\frac{\pi^2}{\sin^2{\pi x}}=\sum_{\nu=-\infty}^\infty\frac1{(x+\nu)^2}</math>|date=1903|revue=[[L'Enseignement mathématique]]|vol=5|p.=450-453|url=https://www.e-periodica.ch/digbib/view?pid=ens-001:1903:5::636}}.</ref> :
{{retrait|<math>\begin{align}\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi x)}&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac1{(x+n)^2},\quad&\pi\tan\left(\frac{\pi x}2\right)&=\sum_{n=0}^\infty\frac{4x}{(2n+1)^2-x^2},\\\frac{\pi}{\sin(\pi x)}&=\frac1x+\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{2x}{x^2-n^2},\quad&\frac{\pi}{\cos(\pi x)}&=2\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{n+\tfrac12}{(n+\tfrac12)^2-x^2}.\end{align}</math>}}

== Représentations graphiques ==

Les [[Courbe représentative|courbes]] des fonctions sinus et cosinus sont appelées [[sinusoïde]]s.
{{triple image|center|sinus.svg|280|cosinus.svg|280|Tangente.svg|280|Représentations graphiques des fonctions sinus, cosinus et tangente.}}

== Propriétés des fonctions trigonométriques ==

=== Valeurs remarquables ===
 
{{Article détaillé|Table de lignes trigonométriques exactes}}

{{Article connexe|Polynôme minimal des valeurs spéciales trigonométriques}}

Il existe des tables de valeurs des fonctions trigonométriques, mais ces valeurs peuvent également être calculées par une calculatrice. Pour quelques angles simples, les valeurs peuvent être calculées exactement à la main : elles sont indiquées dans le tableau suivant. Exemples :

[[Fichier:triangle 45.svg|thumb|left|Triangle rectangle isocèle : c = {{racine|2}}]]

[[Fichier:30-60-90.svg|thumb|right|Triangle équilatéral divisé en 2 pour calcul du sin, du cos, et de la tan pour 30° et 60°]]

* Pour 45 degrés ([[Pi|{{math|π}}]]/4 [[radian]]s) : les deux angles du triangle rectangle sont égaux ; les longueurs {{mvar|a}} et {{mvar|b}} étant égales, on peut choisir {{math|''a'' {{=}} ''b'' {{=}} 1}}. On détermine alors le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle de 45 degrés en utilisant le [[théorème de Pythagore]] (voir figure à gauche) :{{retrait|<math>c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2}.</math>}}
* Pour 30 degrés ({{math|π/6}} radians) et 60 degrés ({{math|π/3}} radians) : on considère un triangle équilatéral de longueur latérale 2. Tous ses angles internes sont de 60 degrés. En le divisant en deux parties égales, on considère un des deux triangles rectangles obtenus ayant un angle de 30° et un angle de 60°. Le petit côté de ce triangle rectangle est égal au demi-côté du triangle équilatéral : il vaut 1. Le troisième côté de ce triangle rectangle est d'une longueur {{mvar|c}} telle que (voir figure à droite) :{{retrait|<math>2 = \sqrt{c^2 + 1^2},\text{ soit }c = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}.</math>}}

{|class="wikitable" cellpadding="8" cellspacing="0"
|-----
! style="background:#ffdead;" colspan="2"| [[Angle]]
! style="background:#ffdead;" colspan="2"| [[Sinus (mathématiques)|Sinus]]
! style="background:#ffdead;" colspan="2"| [[#cosinus|Cosinus]]
! style="background:#ffdead;" colspan="2"| [[#tangente|Tangente]]
|-----
| style="background:#efefef;" align="Center"| [[Degré (angle)|Degrés]]
| style="background:#efefef;" align="Center"| [[Radian]]s
| style="background:#efefef;" align="Center"| Exact
| style="background:#efefef;" align="Center"| Décimal
| style="background:#efefef;" align="Center"| Exact
| style="background:#efefef;" align="Center"| Décimal
| style="background:#efefef;" align="Center"| Exacte
| style="background:#efefef;" align="Center"| Décimale
|-----
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| align="Center"| <math>{150^\circ}</math>|| align="Center"| <math>\frac{5\pi}{6}</math>
| align="Center"| <math>\frac{\sqrt{1}}{2}</math>|| align="Center" | 0,5
| align="Center"| <math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>|| align="Center"|–0,8660…
| align="Center"| <math>-\frac{1}{\sqrt{3}}</math>|| align="Center"|–0,5773…
|-----
| align="Center"| <math>{180^\circ}</math>|| align="Center"| {{math|π}}
| align="Center"| <math>\frac{\sqrt{0}}{2}</math>|| align="Center"| 0
| align="Center"| <math>-\frac{\sqrt{4}}{2}</math>|| align="Center"| –1
| align="Center"| 0|| align="Center"| 0
|-----
|}
On trouvera davantage de valeurs [[Sinus (mathématiques)#Valeurs particulières|ici]].

On peut se souvenir de certaines de ces valeurs en construisant la table suivante :
en mettant dans l'ordre 0, {{math|π/6}} (30°), {{math|π/4}} (45°), {{math|π/3}} (60°) et {{math|π/2}} (90°), le sinus prend les valeurs {{sqrt|''n''}}/2, et pour le cosinus, on prend l'ordre inverse.

* Autres valeurs remarquables :
:<math>\left.\begin{matrix}\cos \left(\frac{\pi}{5}\right) =\sin\left(\frac{3\pi}{10}\right)=\frac{1+\sqrt5}4=\frac{\varphi}{2}
\\\cos \left(\frac{2\pi}{5}\right) =\sin\left(\frac{\pi}{10}\right) =\frac{\sqrt5-1}4=\frac{1}{2\varphi}\end{matrix}\right\}</math> avec {{mvar|φ}} désignant le [[nombre d'or]].
: Les valeurs des <math>\cos \left(\frac{{k}\pi}{7}\right)</math> sont décrites [[Formules_trigonométriques_en_kπ/7|à cette page Wikipédia]].
: Celles des <math>\cos \left(\frac{{k}\pi}{9}\right)</math> le sont [[Formules trigonométriques en kπ/9|à cette adresse]].
: Des formules de calcul plus générales sont décrites [[Polynôme minimal des valeurs spéciales trigonométriques|à cette page]].

=== Zéros ===
Les [[Zéro d'une fonction|zéros]] de {{math|sin}} sont les [[Nombre réel|réels]] qui s'écrivent ''k''{{math|π}} (pour un certain [[entier relatif]] ''k''). Ceux de {{math|cos}} sont les {{math|π}}/2 + ''k''{{math|π}}.

=== Relations entre sinus et cosinus ===
[[File:Sine cosine one period.svg|thumb|Les fonctions sinus et cosinus tracées dans le [[Coordonnées cartésiennes|plan cartésien]].]]
[[File:Circle cos sin.gif|thumb|Animation montrant la relation entre le [[cercle unité]] et les fonctions sinus et cosinus.]]
''NB : Les valeurs d'angles sont en radians.''

Pour définir les angles strictement plus grands que {{math|2π}} ou strictement négatifs, il suffit d'effectuer des rotations autour du cercle. De cette façon, le sinus et le cosinus deviennent des [[fonction périodique|fonctions périodiques]] de période {{math|2π}}, c'est-à-dire que pour tout angle θ et tout [[nombre entier relatif|entier]] ''k'' :

{{retrait|<math>\cos(\theta+2k\pi)=\cos\theta\text{ et }\sin(\theta+2k\pi)=\sin\theta.</math>}}

Grâce au cercle, et avec des considérations géométriques simples, on peut voir que

{{retrait|<math>\begin{matrix}1.&\cos(\theta + \pi)&=&-\cos\theta&\text{et}&\sin(\theta + \pi)&=&-\sin\theta,\\
2.&\cos\left(\frac{\pi}2-\theta\right)&=&\sin\theta&\text{et}&\sin\left(\frac{\pi}2-\theta\right)&=&\cos\theta,\\
3.&\cos\left(\theta+\frac{\pi}2\right)&=&-\sin\theta&\text{et}&\sin\left(\theta+\frac{\pi}2\right)&=&\cos\theta,\\
4.&\cos(\pi-\theta)&=&-\cos\theta&\text{et}&\sin(\pi-\theta)&=&\sin\theta,\\
5.&\cos(-\theta)&=&\cos\theta&\text{et}&\sin(-\theta)&=&-\sin\theta.\end{matrix}</math>}}

{{Démonstration|
#car {{math|θ + π}} et {{math|θ}} sont diamétralement opposés sur le cercle ;
#car {{math|π/2 – θ}} est le point symétrique de {{math|θ}} par rapport à la [[bissectrice]] de <math>(\vec{i},\vec{j})</math> ;
#car {{math|θ + π/2}} se déduit de {{math|θ}} par rotation d'un quart de tour.
#car {{math|π – θ}} est le symétrique de {{math|θ}} par rapport à <math>(O,\vec{j})</math> ;
#car {{math|–θ}} est le symétrique de {{math|θ}} par rapport à <math>(O,\vec{i}).</math>
}}

Ces formules font partie des [[identité trigonométrique|identités trigonométriques]].

=== Relations trigonométriques ===
À partir des [[Identité trigonométrique#Formules d'addition et de différence|formules d'addition (dont se déduisent celles de différence)]] :
:<math>\begin{cases}\cos(a+b)&= \cos a\cos b-\sin a\sin b\\
\sin(a+b)&=\sin a\cos b+\cos a\sin b\\
\tan(a+b)&=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\end{cases}</math>

on démontre les [[Identité trigonométrique#Formules de Simpson|formules de Simpson]] :
:<math>\begin{cases}\cos a\cos b&=\dfrac12[\cos(a+b)+\cos(a-b)]\\
\sin a\sin b&=\dfrac12[\cos(a-b)-\cos(a+b)]\\
\sin a\cos b&=\dfrac12[\sin(a+b)+\sin(a-b)]\end{cases}\quad</math> et, réciproquement, <math>\quad\begin{cases}\cos p+\cos q&=2\cos\dfrac{p+q}2\cos\dfrac{p-q}2\\
\cos p-\cos q&=-2\sin\dfrac{p+q}2\sin\dfrac{p-q}2\\
\sin p+\sin q&=2\sin\dfrac{p+q}2\cos\dfrac{p-q}2\\
\sin p-\sin q&=2\cos\dfrac{p+q}2\sin\dfrac{p-q}2\end{cases}\ </math>

ainsi que [[Identité trigonométrique#Formules impliquant la « tangente de l'arc moitié »|celles impliquant la « tangente de l'arc moitié »]], <math>t=\tan\frac a2</math> :
:<math>\cos a=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad\sin a=\frac{2t}{1+t^2},\quad\tan a=\frac{2t}{1-t^2}.</math>

=== Parité des fonctions ===
Les fonctions sinus et tangente sont [[Parité d'une fonction|impaires]] : pour tout réel {{math|''x''}},
:<math>\sin(-x)=-\sin x</math></center>

et (si {{math|''x''}} appartient au [[domaine de définition]] de {{math|tan}}, c'est-à-dire s'il n'est pas de la forme {{math|π/2 + ''k''π}} avec {{math|''k''}} ∈ [[Entier relatif|ℤ]]) :
:<math>\tan(-x)=-\tan x</math>.

La fonction cosinus est [[Parité d'une fonction|paire]] : pour tout réel {{math|''x''}},
:<math>\cos(-x)=\cos x</math>.

=== Dérivées ===
{| class="wikitable centre"
|-
!scope="row"|Fonction
|align="center"|[[#sinus|{{math|sin}}]]
|align="center"|[[#cosinus|{{math|cos}}]]
|align="center"|[[#tangente|{{math|tan}}]]
|align="center"|[[#cotangente|{{math|cot}}]]
|align="center"|[[#Fonctions réciproques|{{math|arcsin}}]]
|align="center"|[[#Fonctions réciproques|{{math|arccos}}]]
|align="center"|[[#Fonctions réciproques|{{math|arctan}}]]
|align="center"|[[#sécante|{{math|sec}}]]
|align="center"|[[#cosécante|{{math|csc}}]]
|-
!scope="row"|[[Identité trigonométrique#Dérivées|Dérivée]]
|<math>\cos</math>
|<math>-\sin</math>
|<math>1+\tan^2=\frac1{\cos^2}</math>
|<math>-1-\cot^2=\frac{-1}{\sin^2}</math>
|<math>x\mapsto\frac1{\sqrt{1-x^2}}</math>
|<math>x\mapsto\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|<math>x\mapsto\frac1{x^2+1}</math>
|<math>{\sin\over\cos^2}</math>
|<math>{-\cos\over\sin^2}</math>
|}

On trouvera d'autres relations sur la [[Identité trigonométrique#En analyse|page consacrée aux identités trigonométriques]].

=== Limites ===
Les fonctions trigonométriques étant périodiques non constantes, elles ne possèdent pas de [[Limite (mathématiques élémentaires)#Limite d'une fonction en ±∞|limite à l'infini]].

La fonction tangente, non définie en {{math|π/2 + ''k''π}}, possède une limite infinie [[Limite (mathématiques élémentaires)#Limites à gauche, à droite|à gauche et à droite]] en ces points :
{{retrait|<math>\lim_{x\to\pi/2^-}\tan x =+\infty\text{ et }\lim_{x\to\pi/2^+}\tan x =-\infty.</math>}}

=== Relations avec la fonction exponentielle et les nombres complexes ===
{{article détaillé|Trigonométrie complexe}}

On peut montrer à partir de la définition des séries que les fonctions sinus et cosinus sont respectivement la [[partie imaginaire]] et la [[partie réelle]] de la [[fonction exponentielle]] quand son argument est [[Nombre imaginaire pur|imaginaire pur]] :
:<math>\forall x\in\R\quad\cos x =  \mbox{Re } ({\rm e}^{{\rm i}x})\text{ et }\sin x = \mbox{Im } ({\rm e}^{{\rm i}x})</math>
où [[Unité imaginaire|{{math|i}}{{2}}&nbsp;=&nbsp;–1]],
ou encore :
:<math>{\rm e}^{{\rm i}x} = \cos x+{\rm i}\sin x.</math>

Cette relation est généralement connue sous le nom de  [[formule d'Euler]]. On en déduit :
: <math>\sin z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = {{\rm e}^{{\rm i}z}-{\rm e}^{-{\rm i}z}\over 2{\rm i}} = \frac{\operatorname{sinh} \left({\rm i}z\right)}{\rm i}.</math>

: <math>\cos z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = {{\rm e}^{{\rm i}z}+{\rm e}^{-{\rm i}z}\over2} = \operatorname{cosh} \left({\rm i}z\right).</math>

== Fonctions réciproques : fonctions cyclométriques ==
Les fonctions trigonométriques ne sont pas [[bijection|bijectives]]. En les [[Application (mathématiques)#Opération sur les applications|restreignant]] à certains [[intervalle (mathématiques)|intervalles]], les fonctions trigonométriques réalisent des bijections.
Les [[Application (mathématiques)|applications]] [[Bijection réciproque|réciproques]] appelée fonctions cyclométriques ([[Arc sinus|arcsin]], [[Arc cosinus|arccos]], [[Arc tangente|arctan]], [[Arc cosécante|arccsc]], [[Arc sécante|arcsec]] et [[Arc cotangente|arccot]]) sont habituellement définies par (pour tous réels ''x'' et ''y'') :
*''y'' = [[Arc sinus|arcsin]] ''x'' si et seulement si {{math|–π/2}} ≤ ''y'' ≤ {{math|π/2}} et ''x'' = sin ''y'',
*''y'' = [[Arc cosinus|arccos]] ''x'' si et seulement si 0 ≤ ''y'' ≤ {{math|π}} et ''x'' = cos ''y'',
*''y'' = [[Arc tangente|arctan]] ''x'' si et seulement si {{math|–π/2}} < ''y'' < {{math|π/2}} et ''x'' = tan ''y'',
*''y'' = arccsc ''x'' si et seulement si {{math|–π/2}} ≤ ''y'' ≤ {{math|π/2}}, ''y'' ≠ 0 et ''x'' = [[#cosécante|csc]] ''y'',
*''y'' = arcsec ''x'' si et seulement si 0 ≤ ''y'' ≤ {{math|π}}, ''y'' ≠ {{math|π/2}} et ''x'' = [[#sécante|sec]] ''y'',
*''y'' = arccot ''x'' si et seulement si 0 < ''y'' < {{math|π}} et ''x'' = [[#cotangente|cot]] ''y''.

Ces fonctions peuvent s'écrire sous forme d'intégrales indéfinies :
:<math>\begin{align}
\forall x\in[-1,1],\quad &\arcsin x&=&\int_0^x\frac1{\sqrt{1-t^2}}\,\mathrm dt&\quad\text{  et  }\quad&\arccos x&=&\int_x^1 \dfrac1{\sqrt{1-t^2}}\,\mathrm dt,\\[4pt]
\forall x\in\R,\quad &\arctan x&=&\int_0^x \dfrac1{1+t^2}\,\mathrm dt&\quad\text{  et  }\quad&\arccot x&=&\int_x^\infty\dfrac1{1+t^2}\,\mathrm dt,
\end{align}</math>
:<math>\arcsec x=\begin{cases}\displaystyle\int_1^x\dfrac1{t\sqrt{t^2-1}}\,\mathrm dt&\text{si }x\ge1\\[4pt]
\displaystyle \pi+\int_x^{-1}\frac1{t\sqrt{t^2-1}}\,\mathrm dt&\text{si }x\le-1\end{cases}\quad\text{et}\quad\arccsc x=\begin{cases}\displaystyle\int_x^\infty\frac1{t\sqrt{t^2-1}}\,\mathrm dt&\text{si }x\ge1\\ \displaystyle\int_{-\infty}^x \frac1{t\sqrt{t^2-1}}\,\mathrm dt&\text{si }x\le-1.\end{cases}
</math>

Égalités pratiques :
:<math>\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2},\quad\tan(\arcsin x)=\frac x{\sqrt{1-x^2}}</math> ;
:<math>\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2},\quad\tan(\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}x</math> ;
:<math>\cos(\arctan x)=\frac1{\sqrt{1+x^2}},\quad\sin(\arctan x)=\frac x{\sqrt{1+x^2}}</math>.

Pour plus de résultats, voir les [[Formule de trigonométrie#Fonctions trigonométriques réciproques|compositions de fonctions trigonométriques]].

== Applications ==
{{Article détaillé|Applications de la trigonométrie}}
 
Les fonctions trigonométriques, comme leur nom le suggère, ont une importance cruciale en  [[trigonométrie]], mais interviennent aussi dans l'étude des fonctions périodiques.

=== En trigonométrie ===
En trigonométrie, elles fournissent des relations intéressantes entre les longueurs des côtés et les angles d'un triangle quelconque.

[[Fichier:Triangle avec hauteur.svg|thumb|upright=2]]
Considérons un triangle quelconque : la ''[[loi des sinus]]'' s'écrit : 
:<math>\frac{\sin \widehat{A}}{a}= \frac{\sin \widehat{B}}{b}=\frac{\sin \widehat{C}}{c}</math>.
Cette relation peut être démontrée en divisant le triangle en deux triangles rectangles  et en utilisant la définition ci-dessus du sinus.

Le nombre commun <math display=inline>\frac{\sin(\widehat{A})}{a}</math> apparaissant dans le théorème est l'inverse du diamètre du [[cercle circonscrit]] au triangle (cercle passant par les trois points ''A'', ''B'' et ''C''). 
La loi des sinus est utile pour calculer des longueurs inconnues des côtés dans un triangle quelconque si deux angles et un côté sont connus. 
C'est une situation courante survenant  dans la  [[triangulation]], une technique pour déterminer des distances inconnues en mesurant deux angles et une distance.
* la ''loi des cosinus'' ou [[théorème d'Al-Kashi]] est une généralisation du [[théorème de Pythagore]]
:<math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\widehat{C})</math>
À nouveau, ce théorème peut être démontré en divisant le triangle en deux triangles rectangles. 
La ''loi des cosinus'' est utile pour déterminer les données inconnues d'un triangle si deux des côtés et un angle sont connus. Remarquons que l'angle connu doit être contenu dans les deux côtés dont nous connaissons la longueur.
* Il y a également la '''[[loi des tangentes]]''' :
:<math>\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\left(\frac{\widehat{A}-\widehat{B}}{2}\right)}{\tan\left(\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}\right)},</math>
ainsi que la [[loi des cotangentes]] et les [[Formule de Mollweide|formules de Mollweide]].

L'utilisation des fonctions trigonométriques ne se limite pas seulement à l'étude des triangles. Les fonctions trigonométriques sont des fonctions périodiques dont les représentations graphiques correspondent à des modèles caractéristiques d'ondes, utilisés pour modéliser des phénomènes oscillatoires tels que le bruit ou les ondes de la lumière. Chaque signal peut être écrit comme une somme (en général infinie) de fonctions de sinus et de cosinus de différentes fréquences : ce sont les [[série de Fourier|séries de Fourier]].

=== En analyse harmonique ===
[[Fichier:Synthesis square.gif|thumb|upright=2.5|Animation montrant la décomposition additive d'un [[signal carré]] lorsque le nombre d'harmoniques s'accroît]]

Les fonctions sinus et cosinus apparaissent aussi dans la description d'un [[mouvement harmonique simple]], un concept important en physique. Dans ce contexte les fonctions sinus et cosinus sont utilisées pour décrire les projections sur un espace à une dimension d'un [[mouvement (mécanique)|mouvement circulaire uniforme]], le mouvement d'une masse au bout d'un ressort, ou une approximation des oscillations  de faible écart angulaire d'un pendule.

Les fonctions trigonométriques sont aussi importantes dans d'autres domaines que celui de l'étude des triangles. Elles sont [[fonction périodique|périodiques]] et leurs représentations graphiques sont des sinusoïdes et peuvent servir à modéliser des phénomènes périodiques comme le son, les [[onde]]s de lumière. Tout signal, vérifiant certaines propriétés, peut être décrit par une somme (généralement infinie) de fonctions sinus et cosinus de différentes fréquences ; c'est l'idée de base de l'[[analyse de Fourier]], dans laquelle les séries trigonométriques sont utilisées pour résoudre de nombreux [[conditions aux limites|problèmes aux valeurs limites]] dans des [[Équation aux dérivées partielles|équations aux dérivées partielles]]. Par exemple un [[signal carré]], peut être décrit par une [[série de Fourier]] :
:<math> x_{\text{carré}}(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty {\sin{\bigl ( (2k-1)t \bigr )}\over(2k-1)}.</math>

=== Fonctions de transition ===
Lorsque ''x'' parcourt {{math|[–π/2 ; π/2]}}, la fonction sinus passe de la valeur –1 à la valeur 1. Elle est continue et dérivable, et ses tangentes sont horizontales aux extrémités de l'intervalle (les dérivées s'annulent en {{math|–π/2}} et {{math|π/2}}). Cela en fait donc une fonction de choix pour remplacer une [[fonction de Heaviside]], qui n'est elle pas continue.

Par exemple, si l'on veut qu'un dispositif passe d'une valeur {{nobr|''y'' {{=}} ''a''}} à une valeur ''b'' à l'instant ''t''<sub>0</sub>, on peut le piloter par une loi de type
: <math>y(t) = a + \frac{b - a}{2} \sin \left ( \frac{\pi \cdot t}{\tau} - t_0 \right )</math>
où {{math|τ}} est la durée de la transition. Ce type de loi de pilotage permet d'éviter un trop grand écart entre la valeur visée et la valeur instantanée, et des phénomènes de type [[oscillations amorties]].

Par exemple, si un mobile doit subir une phase d'accélération puis une phase de décélération, on peut utiliser des lois sinusoïdales pour les transitions de vitesse. On s'assure ainsi que l'accélération est continue.

{{loupe|À-coup#Loi sinusoïdale en vitesse}}

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{références| groupe=alpha}}

=== Références===
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets| wikibooks=Liste de mnémoniques#Trigonométrie| wikibooks titre=Mnémoniques de trigonométrie
| wikiversity=Fonctions circulaires| wikiversity titre=Fonctions circulaires}}

=== Bibliographie ===
* [[Adrien Guilmin]], [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k201335h.notice ''Cours élémentaire de trigonométrie rectiligne''] (1863), sur [[Gallica]]
* [[Étienne-Louis Lefébure de Fourcy]], [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k26778p.notice ''Elémens de trigonométrie''] (1836), sur Gallica
* {{en}} [[Eli Maor]], ''[http://www.pupress.princeton.edu/books/maor/ Trigonometric Delights]'', Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (2002) {{ISBN|0-691-09541-8}}
* {{en}} {{Lien|Tristan Needham}}, [http://www.usfca.edu/vca/PDF/vca-preface.pdf Preface]" to ''[http://www.usfca.edu/vca/ Visual Complex Analysis]''. [[Oxford University Press]], 1999 {{ISBN|0-19-853446-9}}
* {{MacTutor|class=history|id=HistTopics/Trigonometric_functions|title=The trigonometric functions}}
* {{Chapitre
 |langue=en
 |nom1=Ian Pearce
 |auteurs ouvrage=John J. O'Connor et Edmund F. Robertson
 |lire en ligne=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Projects/Pearce/chapter-18/
 |titre chapitre=Madhava of Sangamagramma
 |titre ouvrage=MacTutor History of Mathematics archive
 |éditeur=université de St Andrews}}
* {{MathWorld|nom_url=Tangent|titre=Tangent}}

=== Articles connexes ===
* [[Base (géométrie)]]
* [[Hauteur d'un triangle]] 
* [[Pente (mathématiques)]]
* [[Identité trigonométrique pythagoricienne]]
* [[Trigonométrie]]
* [[Table trigonométrique]]
* [[Formule de trigonométrie]]
* [[CORDIC]] (algorithme de calcul)
* [[Similarité cosinus]]
* [[Sinus cardinal]]
* [[Trigonométrie complexe]]
* [[Fonction hyperbolique]], notamment le [[Fonction_hyperbolique#Formulaire|formulaire]] qui contient par exemple <math>\sin x = \tfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,x}}{2\,\mathrm{i}}</math> ou encore <math>\sin \left(\mathrm{i}x\right) = \mathrm{i} \operatorname{sinh} x</math>.

=== Liens externes ===
* [http://cer1se.free.fr/principia/index.php/gros-plan-sur-le-sinus/ Étymologie du mot « sinus »] sur le site « Principia » d'[[épistémologie|histoire et philosophie des sciences]]
* [http://xavier.hubaut.info/coursmath/var/sinus.htm Isométries de la sinusoïde et morphisme] : note pour lycéens (étudiants du secondaire), sur le site de X. Hubaut, professeur à l'Université libre de Bruxelles

{{Palette|Trigonométrie|Fonctions mathématiques usuelles}}
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Cercle]]
[[Catégorie:Géométrie du triangle]]
[[Catégorie:Fonction trigonométrique| ]]
[[Catégorie:Analyse harmonique]]
[[Catégorie:Fonction de référence|Trigonometrique]]