Voir la source de Fonction zêta multiple

En [[mathématiques]], les '''fonctions zêta multiples''' sont des généralisations de la [[fonction zêta de Riemann]], définie par

: <math>
\zeta(s_1, \ldots, s_k) = \sum_{n_1 > n_2 > \cdots > n_k > 0} \ \frac{1}{n_1^{s_1} \cdots n_k^{s_k}} = \sum_{n_1 > n_2 > \cdots > n_k > 0} \ \prod_{i=1}^k \frac{1}{n_i^{s_i}},
\!</math>

et converge lorsque {{math|Re(''s''<sub>1</sub>) + . . . + Re(''s<sub>i</sub>'') > ''i''}} pour tout {{math|''i''–1 < ''k''}}. Comme la fonction zêta de Riemann, les fonctions zêta multiples peuvent être prolongée analytiquement en des fonctions [[Fonction méromorphe|méromorphes]] (voir, par exemple, Zhao (1999)). Lorsque ''s''<sub>1</sub>..., ''s''<sub>''k''</sub> sont des entiers positifs (avec ''s''<sub>1</sub> > 1) ces sommes sont souvent appelées '''valeurs zêta multiples''' (VZM) ou '''sommes d'Euler'''<ref name="Zhao2010">{{Article|lang=en|auteur1=Zhao|prénom1=Jianqiang|titre=Standard relations of multiple polylogarithm values at roots of unity|périodique=Documenta Mathematica|volume=15|année=2010|arxiv=0707.1459|pages=1–34}}</ref>.

Dans la définition ci-dessus, ''k'' est nommé la « profondeur » d'une VZM, et ''n'' = ''s''<sub>1</sub> + ... + ''s''<sub>''k''</sub> est le « poids »<ref name="Hofmann">{{Lien web |lang=en |auteur=Hoffman |prénom=Mike |titre=Multiple Zeta Values |url=http://www.usna.edu/Users/math/meh/mult.html |série=Mike Hoffman's Home Page |éditeur=U.S. Naval Academy |consulté le=8 juin 2012}}</ref>.

== Définition ==
Les fonctions zêta multiples apparaissent comme des cas particuliers des ''fonctions polylogarithmes multiples''

<math display=inline>\mathrm{Li}_{s_1,\ldots,s_d}(\mu_1,\ldots,\mu_d) = \sum\limits_{k_1>\cdots>k_d>0}\frac{\mu_1^{k_1}\cdots\mu_d^{k_d}}{k_1^{s_1}\cdots k_d^{s_d}}</math>

qui sont des généralisations des [[Fonction polylogarithme|fonctions polylogarithmes]]. Quand les <math>\mu_i </math> sont les n<sup>ièmes</sup> [[Racine de l'unité|racines de l'unité]] et les <math>s_i</math> sont tous des entiers positifs, les valeurs du polylogarithme multiple sont appelées '''valeurs zêta multiples colorées de niveau {{mvar|n}}'''.

<math display=block>\zeta(s_1, \ldots, s_d;\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_d) = \sum\limits_{k_1> \cdots > k_d > 0} \frac{\varepsilon_1^{k_1}\cdots \varepsilon^{k_d}}{k_1^{s_1}\cdots k_d^{s_d}}
</math>

Pour ''n''=2, les sommes d'Euler s'écrivent

<math display=block>\int_0^x f_1(t) \cdots f_d(t) \mathrm{d}t = \int_0^x f_1(t_1)\left(\int_0^{t_1}f_2(t_2)\left(\int_0^{t_2} \cdots \left( \int_0^{t_d} f_d(t_d) \mathrm{d}t_d\right)\right)\mathrm{d}t_2\right)\mathrm{d}t_1 </math>

où <math>\varepsilon_i = \pm 1</math> . Parfois, il est indiqué une barre sur <math>s_i</math> correspondant à un <math>\varepsilon_i</math> égal à <math>-1</math>, donc par exemple <math>\zeta(\overline{a},b) = \zeta(a,b;-1,1) </math> .

== Structure intégrale et identités ==
Il a été remarqué par Kontsevich qu'il est possible d'exprimer une  valeur zêta multiple colorée comme certaines intégrales multivariables. Ce résultat est souvent énoncé avec l'utilisation d'une convention pour les intégrales itérées, laquelle est:
<math display=block>\int_0^x f_1(t) \cdots f_d(t) \mathrm{d}t = \int_0^x f_1(t_1)\left(\int_0^{t_1}f_2(t_2)\left(\int_0^{t_2} \cdots \left( \int_0^{t_d} f_d(t_d) \mathrm{d}t_d\right)\right)\mathrm{d}t_2\right)\mathrm{d}t_1</math>

En utilisant cette convention, le résultat peut être énoncé comme suit<ref name="Zhao2016">{{Ouvrage|lang=en|prénom1=Jianqiang|nom1=Zhao|titre=Multiple Zeta Functions, Multiple Polylogarithms and Their Special Values|volume=12|éditeur=World Scientific Publishing|collection=Series on Number Theory and its Applications|date=2016|isbn=978-981-4689-39-7|doi=10.1142/9634}}</ref> :<blockquote><math>\mathrm{Li}_{s_1,\ldots,s_d}(\mu_1,\ldots,\mu_d) = \int_0^1 \left(\frac{\mathrm{d}t}{t}\right)^{s_1-1}\frac{dt}{a_1-t}\cdots \left(\frac{\mathrm{d}t}{t}\right)^{s_d-1} \frac{\mathrm{d}t}{a_d-t}</math> </blockquote>où <math>a_j = \prod\limits_{i=1}^j \mu_i^{-1}</math> pour <math>j = 1,2,\ldots,d</math> .

Ce résultat est très utile en raison d'un résultat bien connu concernant les produits d'intégrales itérées, à savoir que

<math display=inline>\left(\int_0^x f_1(t)dt \cdots f_n(t) \mathrm{d}t \right)\left(\int_0^x f_{n+1}(t)\mathrm{d}t\cdots f_{m}(t)\mathrm{d}t\right) = 
\sum\limits_{\sigma \in \mathfrak{Sh}_{n,m}}\int_0^x f_{\sigma(1)}(t)\cdots f_{\sigma(m)}(t) </math> où <math>\mathfrak{Sh}_{n,m}=\{\sigma \in S_m \mid \sigma(1)<\cdots<\sigma(n), \sigma(n+1)<\cdots<\sigma(m)\} </math>
et <math>S_m
 </math> est le groupe de permutation sur <math>m </math> symboles.

Pour l'utiliser dans le contexte de plusieurs valeurs zêta, soit <math> X = \{a,b\} </math>, <math> X^* </math> le [[monoïde]] [[Groupe libre|libre]] engendré par <math> X</math> et <math>\mathfrak{A}</math> le <math>\Q</math>-espace vectoriel libre engendré par <math>X^*</math>. <math> \mathfrak{A}
 </math> peut être muni du [[Algèbre de mélange|produit de mélange]], donnant une [[Structure algébrique|algèbre]]. Alors la fonction zêta multiple peut être considérée comme une fonction d'évaluation, où nous identifions <math> a = \frac{dt}{t} </math>, <math> b = \frac{dt}{1-t} </math>, par <math> \zeta(\mathbf{w}) = \int_0^1 \mathbf{w} </math> pour tout <math> \mathbf{w} \in X^* </math>,<math> \zeta(a^{s_1-1}b\cdots a^{s_d-1}b) = \zeta(s_1,\ldots,s_d) </math>.

Alors, l'identité intégrale sur les produits donne<ref name="Zhao2016" /><blockquote><math> \zeta(w)\zeta(v) = \zeta(w \text{ ⧢ } v) </math>.</blockquote>

== Exemples ==

=== Cas de deux paramètres ===
Dans le cas particulier de seulement deux paramètres on a (avec ''s'' >1 et ''n'',''m'' entier)<ref name="Carca6">{{Lien web |lang=en|auteur=Borwein |prénom=David |auteur2=Borwein |prénom2=Jonathan |auteur3=Bradley |prénom3=David |titre=Parametric Euler Sum Identities |url=http://carma.newcastle.edu.au/MZVs/parasums.pdf |série=CARMA, AMSI Honours Course |éditeur=The University of Newcastle |date=September 23, 2004 |consulté le=3 juin 2012}}</ref> :

: <math>\zeta(s,t) = \sum_{n > m \geq 1} \ \frac{1}{n^{s} m^{t}} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} \sum_{m=1}^{n-1} \frac{1}{m^t} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^{s}} \sum_{m=1}^{n} \frac{1}{m^t}</math>

: <math>\zeta(s,t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{H_{n,t}}{(n+1)^s}</math> où <math>H_{n,t}</math> sont les [[Nombre harmonique|nombres harmoniques généralisés]].

Les fonctions zêta multiples sont connues pour satisfaire ce que l'on appelle la ''dualité VZM'', dont le cas le plus simple est la fameuse identité d'[[Leonhard Euler|Euler]] :

: <math>
\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{(n+1)^2} = \zeta(2,1) = \zeta(3) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3},
\!</math>

où ''H<sub>n</sub>'' sont les [[Nombre harmonique|nombres harmoniques]].

Plus généralement, pour ''s'' > 0 pair, ''t'' >  impair, et ''s''+''t''=2''N''+1 (en prenant si nécessaire ''ζ'' (0) = 0)<ref name="Carca6" />:

: <math>\zeta(s,t)=\zeta(s)\zeta(t)+\tfrac{1}{2}\left[\tbinom{s+t}{s}-1\right]\zeta(s+t)-\sum_{r=1}^{N-1}\left[\tbinom{2r}{s-1}+\tbinom{2r}{t-1}\right]\zeta(2r+1)\zeta(s+t-1-2r)
</math>

{| class="wikitable sortable"
! ''s''
! ''t''
! valeur approximative
! formules explicites
! [[Encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers|OEIS]]
|-
| 2
| 2
| 0,811742425283353643637002772406
| <math>\tfrac{3}{4}\zeta(4)</math>
| A197110
|-
| 3
| 2
| 0,228810397603353759768746148942
| <math>3\zeta(2)\zeta(3)-\tfrac{11}{2}\zeta(5)</math>
| A258983
|-
| 4
| 2
| 0,088483382454368714294327839086
| <math>\left (\zeta(3)\right )^2-\tfrac{4}{3}\zeta(6)</math>
| A258984
|-
| 5
| 2
| 0,038575124342753255505925464373
| <math>5\zeta(2)\zeta(5)+2\zeta(3)\zeta(4)-11\zeta(7)</math>
| A258985
|-
| 6
| 2
| 0,017819740416835988
|
| A258947
|-
| 2
| 3
| 0,711566197550572432096973806086
| <math>\tfrac{9}{2}\zeta(5)-2\zeta(2)\zeta(3)</math>
| A258986
|-
| 3
| 3
| 0,213798868224592547099583574508
| <math>\tfrac{1}{2}\left (\left (\zeta(3)\right )^2 -\zeta(6)\right )</math>
| A258987
|-
| 4
| 3
| 0,085159822534833651406806018872
| <math>17\zeta(7)-10\zeta(2)\zeta(5)</math>
| A258988
|-
| 5
| 3
| 0,037707672984847544011304782294
| <math>5\zeta(3)\zeta(5)-\tfrac{147}{24}\zeta(8)-\tfrac{5}{2}\zeta(6,2)</math>
| A258982
|-
| 2
| 4
| 0,674523914033968140491560608257
| <math>\tfrac{25}{12}\zeta(6)-\left (\zeta(3)\right )^2</math>
| A258989
|-
| 3
| 4
| 0,207505014615732095907807605495
| <math>10\zeta(2)\zeta(5)+\zeta(3)\zeta(4)-18\zeta(7)</math>
| A258990
|-
| 4
| 4
| 0,083673113016495361614890436542
| <math>\tfrac{1}{2}\left (\left (\zeta(4)\right )^2 -\zeta(8)\right )</math>
| A258991
|}
Notez que si <math>s+t=2p+2</math> ces VZM ne peuvent pas être écrites en fonction de <math>\zeta(a)</math> seulement<ref name="Broadhurst">{{Lien arXiv|titre=On the enumeration of irreducible k-fold Euler sums and their roles in knot theory and field theory |auteur= D.J. Broadhurst |eprint= hep-th/9604128 |année=1996}}</ref>.

=== Cas de trois paramètres ===
Dans le cas particulier de seulement trois paramètres on a (avec a>1 et n,j,i entier) :

: <math>\zeta(a,b,c) = \sum_{n > j > i \geq 1} \ \frac{1}{n^{a} j^{b} i^{c}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2)^{a}} \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{(j+1)^b} \sum_{i=1}^{j} \frac{1}{(i)^c} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2)^{a}} \sum_{j=1}^{n} \frac{H_{i,c}}{(j+1)^b} </math>

== Formule de réflexion d'Euler ==
Les VZM ci-dessus satisfont la formule de réflexion d'Euler :

: <math>\zeta(a,b)+\zeta(b,a)=\zeta(a)\zeta(b)-\zeta(a+b)</math> pour <math>a,b>1</math>

En utilisant les relations de mélange, il est facile de prouver que :

: <math>\zeta(a,b,c)+\zeta(a,c,b)+\zeta(b,a,c)+\zeta(b,c,a)+\zeta(c,a,b)+\zeta(c,b,a)=\zeta(a)\zeta(b)\zeta(c)+2\zeta(a+b+c)-\zeta(a)\zeta(b+c)-\zeta(b)\zeta(a+c)-\zeta(c)\zeta(a+b)</math> pour <math>a,b,c>1</math>

== Sommes symétriques en fonction de zêta ==
Soit <math> S(i_1,i_2,\cdots,i_k)=\sum_{n_1\geq n_2\geq\cdots n_k\geq1}\frac{1}{n_1^{i_1} n_2^{i_2}\cdots n_k^{i_k}}</math>, et étant donné une partition <math>\Pi=\{P_1, P_2, \dots,P_l\}</math> de l'ensemble <math>\{1,2,\dots,k\}</math>, posons <math>c(\Pi)=(\left|P_1\right|-1)!(\left|P_2\right|-1)!\cdots(\left|P_l\right|-1)!</math>. Enfin, étant donné un tel <math>\Pi </math> et un ''k''-uplet <math>i=\{i_1,...,i_k\}</math>, on définit <math>\zeta(i,\Pi)=\prod_{s=1}^l \zeta (\sum_{j \in P_s} i_j)</math>.

Les relations entre les <math>\zeta</math> et <math>S</math> sont données par: <math> S(i_1,i_2)=\zeta(i_1,i_2)+\zeta(i_1+i_2)</math>et<math> S(i_1,i_2,i_3)=\zeta(i_1,i_2,i_3)+\zeta(i_1+i_2,i_3)+\zeta(i_1,i_2+i_3)+\zeta(i_1+i_2+i_3)</math>

{{Théorème|énoncé=
Pour tout réel <math> i_1,\cdots,i_k >1,</math><math>\sum_{{\sigma \in S_{k}}}S(i_{\sigma(1)}, \dots, i_{\sigma(k)}) = \sum_{\text{partitions } \Pi \text{ de }  \{1,\dots,k\}}c(\Pi)\zeta(i,\Pi)</math>.
|nom=Théorème (Hoffman)}}

{{Démonstration|contenu = Supposons, sans perte de généralités, que le <math>i_j</math> soient tous distincts. Le membre de gauche peut s'écrire <math>\sum_{\sigma}\sum_{n_1\geq n_2 \geq \cdots \geq n_k \geq1} \frac{1}{{n^{i_1}}_{\sigma(1)}{n^{i_2}}_{\sigma(2)} \cdots {n^{i_k}}_{\sigma(k)} }</math>. Le groupe de symétrie agit sur le sur le k-uplet <math> n = (1,\cdots,k)</math> d'entiers positifs.

Soit <math>\Lambda</math> l'ensemble des classes d'équivalence de la relation donnée par <math>i\sim j </math> ssi <math>n_i=n_j</math>. Alors le stabilisateur de (''n'') est<math>\mathrm{Stab}_{(n)}=\{\sigma \in S_{k}; \, \forall i,\, \sigma(i) \sim i\}</math>. Le terme <math> \frac{1}
{{n^{i_1}}_{\sigma(1)}{n^{i_2}}_{\sigma(2)} \cdots {n^{i_k}}_{\sigma(k)}}</math> apparait dans la somme <math>\sum_{{\sigma \in S_{k}}}S(i_{\sigma(1)}, \dots, i_{\sigma(k)})</math> exactement <math>\left|\mathrm{Stab}_{(n)} \right|</math> fois. 

Dans le terme de droite, ce dernier apparait autant qu'il y a de partition <math>\Pi</math> plus fine que <math>\Lambda</math>. Par conséquent, l'égalité du théorème suivra si pour tout ''k''-tuple <math>n=\{n_1,\cdots,n_k\}</math> et partition associée <math>\Lambda</math> : <math>\left| \mathrm{Stab}_{(n)} \right| =\sum_{\Pi\succeq\Lambda}c(\Pi)</math>. Mais <math>c(\Pi)</math> compte le nombre de permutations de type cyclique donné par <math>\Pi</math>, et tout élément de <math>\mathrm{Stab}_{(n)}</math>a un unique type cyclique donné par une partition plus fine que <math>\Lambda</math><ref name="hof">{{Article|auteur1=Hoffman|prénom1=Michael|titre=Multiple Harmonic Series|périodique=Pacific Journal of Mathematics|volume=152|numéro=2|année=1992|doi=10.2140/pjm.1992.152.275|math reviews=1141796|zbl=0763.11037|lire en ligne=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102636166|accès url=libre|pages=276–278}}</ref>.}}

Pour <math>k=3</math>, le théorème énonce :<math>\sum_{{\sigma \in \sum_{3}}}S(i_{\sigma(1)},i_{\sigma(2)},i_{\sigma(3)})=\zeta(i_1)\zeta(i_2)\zeta(i_3)+\zeta(i_1+i_2)\zeta(i_3)+\zeta(i_1)\zeta(i_2+i_3)+\zeta(i_1+i_3)\zeta(i_2)+2\zeta(i_1+i_2+i_3)</math> pour <math>i_1,i_2,i_3>1</math><ref>{{Article|lang=en|auteur1=Ramachandra Rao|prénom1=R. Sita|auteur2=M. V. Subbarao|titre=Transformation formulae for multiple series|périodique=Pacific Journal of Mathematics|volume=113|numéro=2|année=1984|doi=10.2140/pjm.1984.113.471|accès url=libre|pages=417–479}}</ref>.

Pour énoncer l'analogue du théorème 1 pour <math>\zeta</math>, on définit la quantité suivante : pour <math>\Pi = \{P_1,\cdots,P_l\}</math> ou <math>\{1,2\cdots,k\}</math>, soit <math>\tilde{c}(\Pi)=(-1)^{k-l}c(\Pi)</math>.

{{Théorème|énoncé=
Pour tout réel <math>i_1,\cdots,i_k>1</math>, <math>\sum_{{\sigma \in S_{k}}}\zeta(i_{\sigma(1)}, \dots, i_{\sigma(k)})=\sum_{\text{partitions } \Pi \text{ de } \{1,\dots,k\}}\tilde{c}(\Pi)\zeta(i,\Pi)</math>.|nom=Théorème (Hoffman)}}

{{Démonstration|contenu = Nous suivons le même raisonnement que dans la démonstration précédente. Le côté gauche est maintenant <math>\sum_{\sigma}\sum_{n_1 > n_2 > \cdots > n_k \geq1} \frac{1}{{n^{i_1}}_{\sigma(1)}{n^{i_2}}_{\sigma(2)} \cdots {n^{i_k}}_{\sigma(k)} }</math>, et un terme <math>\frac{1}{n^{i_1}_{1}n^{i_2}_{2} \cdots n^{i_k}_{k}}</math> apparait à gauche si et seulement si tous les <math>n_i</math> sont distincts. Ainsi, il suffit de montrer <math>\sum_{\Pi\succeq\Lambda}\tilde{c}(\Pi)=\begin{cases} 1,\text{ si } \left| \Lambda \right|=k \\ 0, \text{ sinon}. \end{cases}</math> (1)

Pour le prouver, remarquons d'abord que le signe de <math>\tilde{c}(\Pi)</math> est positif si les permutations de type cyclique <math>\Pi</math> sont paires, et négatif si elles sont impaires : ainsi, le membre de gauche de (1) est la somme signée du nombre de permutations paires et impaires dans le stabilisateur de (''n''). Mais un tel groupe a un nombre égal de permutations paires et impaires à moins qu'il ne soit trivial, c'est-à-dire à moins que la partition associée <math>\Lambda</math> soit <math>\{\{1\},\{2\},\cdots,\{k\}\}</math><ref name="hof"/>.}}

== Les conjectures liées aux sommes d'Euler ==

{{Théorème|énoncé=Pour tous entiers positifs ''k'' et ''n'', <math>\sum_{i_1+\cdots+i_k=n, i_1>1}\zeta(i_1,\cdots,i_k)=\zeta(n)</math>, où la somme est étendue sur des ''k''-uplets <math>i_1,\cdots,i_k</math> d'entiers positifs avec <math>i_1>1</math>.|nom =Conjecture de la somme (Hoffman<ref name="hof"/>)}}

Trois remarques concernant cette [[conjecture]] s'imposent.

* Premièrement, cela implique <math>\sum_{i_1+\cdots+i_k=n, i_1>1}S(i_1,\cdots,i_k)={n-1\choose k-1}\zeta(n)</math>.

* Deuxièmement, dans le cas <math>k=2</math>, cela s'écrit<math>\zeta(n-1,1)+\zeta(n-2,2)+\cdots+\zeta(2,n-2)=\zeta(n)</math>, ou encore <math>2S(n-1,1)=(n+1)\zeta(n)-\sum_{k=2}^{n-2}\zeta(k)\zeta(n-k).</math>

Cela a été prouvé par Euler<ref>{{Article|lang=la|auteur1=Euler|prénom1=L.|titre=Meditationes circa singulare serierum genus|périodique=Novi Comm. Acad. Sci. Petropol|volume=15|numéro=20|année=1775|pages=140–186}}</ref> et a été redécouvert plusieurs fois, notamment par Williams<ref>{{Article|auteur1=Williams|prénom1=G. T.|titre=On the evaluation of some multiple series|périodique=Journal of the London Mathematical Society|volume=33|numéro=3|année=1958|doi=10.1112/jlms/s1-33.3.368|pages=368–371}}</ref>.
* Enfin, C. Moen<ref name="Moen">{{en}} Moen C., ''Sums of Simple Series'', Preprint</ref> a prouvé la conjecture dans le cas ''k=3'' par des arguments longs mais élémentaires.

Pour la conjecture de la dualité, nous définissons d'abord une involution <math>\tau</math> sur l'ensemble <math>\Im</math> des suites finies d'entiers positifs dont le premier élément est supérieur à 1. Soit <math>\Tau</math> l'ensemble des suites finies strictement croissantes d'entiers positifs, et soit <math> \Sigma : \Im \rightarrow \Tau </math> la fonction qui envoie une suite de <math>\Im</math> à la suite de ses sommes partielles.

On dira que les suites <math>(i_1,\cdots,i_k)</math> et <math>\tau(i_1,\cdots,i_k)</math> sont duales l'une de l'autre<ref name="hof"/>.

{{Théorème|énoncé=Si <math>(h_1,\cdots,h_{n-k})</math> est dual de <math>(i_1,\cdots,i_k)</math>, alors <math>\zeta(h_1,\cdots,h_{n-k})=\zeta(i_1,\cdots,i_k)</math>.|nom =Conjecture de la somme (Hoffman)}}

Cette conjecture peut être exprimée comme suit : la valeur zêta de Riemann d'un entier ''n'' ≥ 2 est égal à la somme de toutes les VZMs des [[Partition d'un entier|partitions]] de profondeur ''k'' et de poids ''n'', avec 1 ≤ ''k'' ''≤n'' − 1. Dans la formule<ref name="Hofmann"/> :

: <math>\sum_\stackrel{s_1 + \cdots + s_k=n}{s_1>1}\zeta(s_1, \ldots, s_k) = \zeta(n)</math>

Par exemple avec une profondeur ''k'' = 2 et un poids ''n'' = 7 :

: <math>\zeta(6,1)+\zeta(5,2)+\zeta(4,3)+\zeta(3,4)+\zeta(2,5) = \zeta(7)</math>

== Valeurs zêta de Mordell – Tornheim ==
La fonction zêta de Mordell–Tornheim, introduite par Matsumoto (2003) motivé par les articles Mordell (1958) et Tornheim (1950), est définie par

: <math>\zeta_{MT,r}(s_1,\dots,s_r;s_{r+1})=\sum_{m_1,\dots,m_r>0}\frac{1}{ m_1^{s_1}\cdots m_r^{s_r}(m_1+\dots+m_r)^{s_{r+1}}}</math>

C'est un cas particulier de la [[Fonction zêta shintani|fonction zeta de Shintani]].

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|lang1=en|art1=Multiple zeta function|id1=1078975808}}
{{Références}}
{{sources à lier|date=avril 2022}}
*{{article |lang=en |nom1=Tornheim | prénom1=Leonard | titre=Harmonic double series | doi=10.2307/2372034 | mr=0034860 | année=1950 | journal=[[American Journal of Mathematics]] | issn=0002-9327 | volume=72 | numéro=2 | pages=303–314| jstor=2372034 }}
*{{article |lang=en | nom1=Mordell | prénom1=Louis J. | lien auteur1=Louis Mordell| titre=On the evaluation of some multiple series | doi=10.1112/jlms/s1-33.3.368  | mr=0100181 | année=1958 | journal=Journal of the London Mathematical Society <!--| collection = Second Series-->| issn=0024-6107 | volume=33 | numéro=3 | pages=368–371}}
*{{article  |lang=en | nom1=Apostol | prénom1=Tom M. | lien auteur1=Tom M. Apostol | nom2=Vu | prénom2=Thiennu H.| titre=Dirichlet series related to the Riemann zeta function | doi=10.1016/0022-314X(84)90094-5 | année=1984 | périodique=[[Journal of Number Theory]] | issn=0022-314X | volume=19 | numéro=1 | mr=0751166
| pages=85–102| accès doi=libre}}
* {{article  |lang=en  |prénom1=Richard E.|nom1=Crandall|prénom2=Joe P.|nom2= Buhler|titre=On the evaluation of Euler Sums|année=1994|journal=Experimental Mathematics|volume=3|numéro=4|url=http://www.emis.de/journals/EM/expmath/volumes/3/3.html|page=275|mr=1341720|doi=10.1080/10586458.1994.10504297}}
* {{article  |lang=en  |prénom1=Jonathan M.|nom1=Borwein|prénom2=Roland|nom2=Girgensohn|titre=Evaluation of Triple Euler Sums|année=1996|journal=Electron. J. Comb.|volume=3|numéro=1|pages=#R23|doi=10.37236/1247|mr=1401442|url=http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v3i1r23}}
*{{article  |lang=en |prénom1=Philippe|nom1=Flajolet| prénom2=Bruno|nom2=Salvy|titre=Euler Sums and contour integral representations|journal=Exp. Math.|année=1998|volume=7|pages=15–35|url=http://www.emis.de/journals/EM/expmath/volumes/7/7.html|doi=10.1080/10586458.1998.10504356|citeseerx=10.1.1.37.652}}
*{{article  |lang=en | nom=Zhao | prénom=Jianqiang| titre=Analytic continuation of multiple zeta functions | doi=  10.1090/S0002-9939-99-05398-8  | année=1999 | journal=Proceedings of the American Mathematical Society| numéro=5 | volume=128 | pages=1275–1283|mr=1670846| accès doi=libre}}
*{{Ouvrage  |lang=en  | nom=Matsumoto|prénom= Kohji|chapter=On Mordell–Tornheim and other multiple zeta-functions|titre= Proceedings of the Session in Analytic Number Theory and Diophantine Equations|collection=Bonner Math. Schriften|volume= 360|éditeur= Univ. Bonn|lieu= Bonn| mr=2075634|année= 2003}} 
*{{lien arXiv|prénom1=Olivier|nom1=Espinosa|prénom2=Victor Hugo|nom2=Moll|lien auteur2=Victor Hugo Moll |titre=The evaluation of Tornheim double sums|année=2008|eprint=math/0505647}}
*{{article |lang=en |prénom1=Olivier|nom1=Espinosa|prénom2=Victor Hugo|nom2=Moll|lien auteur2=Victor Hugo Moll |titre=The evaluation of Tornheim double sums II|journal=Ramanujan J.|année=2010|volume=22|pages=55–99|mr=2610609|doi=10.1007/s11139-009-9181-1|arxiv=0811.0557|s2cid=17055581}}
*{{article |lang=en | nom1=Borwein | prénom1=J.M. | lien auteur1=J.M. Borwein | nom2=Chan | prénom2=O-Y.| titre=Duality in tails of multiple zeta values | année=2010|doi = 10.1142/S1793042110003058|journal= Int. J. Number Theory|volume=6|numéro=3|mr=2652893|pages=501–514| citeseerx=10.1.1.157.9158 }}
*{{article |lang=en  |prénom1=Ankur | nom1=Basu|titre=On the evaluation of Tornheim sums and allied double sums|année=2011|doi=10.1007/s11139-011-9302-5|journal=Ramanujan J.|volume=26|pages=193–207|numéro=2|mr=2853480| s2cid=120229489}}

== Liens externes ==
* {{lien web |lang=en |prénom1=Jonathan|nom1=Borwein|prénom2=Wadim|nom2=Zudilin|url=http://carma.newcastle.edu.au/MZVs/|titre=Lecture notes on the Multiple Zeta Function}}
*{{lien web |lang=en |prénom1=Michael|nom1=Hoffman|url=http://www.usna.edu/Users/math/meh/mult.html|titre=Multiple zeta values|année=2012}}
*{{ouvrage |lang=en |prénom1=Jianqiang |nom1=Zhao |date=2016 |titre=Multiple Zeta Functions, Multiple Polylogarithms and Their Special Values |volume=12 |éditeur=World Scientific Publishing |isbn=978-981-4689-39-7 |doi=10.1142/9634 |collection=Series on Number Theory and its Applications }}
*{{lien web |lang=en |prénom1=José Ignacio|nom1=Burgos Gil|prénom2=Javier|nom2=Fresán|titre=Multiple zeta values: from numbers to motives|url=http://javier.fresan.perso.math.cnrs.fr/mzv.pdf}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Fonction zêta]]