Voir la source de Forme quadratique

[[Fichier:Cone de lumière2.png|thumb|L'annulation d'une forme quadratique donne le [[cône de lumière]] de la [[relativité restreinte]], son signe fait la différence entre les événements accessibles ou inaccessibles dans l'espace-temps.]]
En [[mathématiques]], une '''forme quadratique''' est un [[polynôme homogène]] de [[Équation du second degré|degré 2]] avec un nombre quelconque de variables. Les formes quadratiques d'une, deux et trois variables sont données respectivement par les formules suivantes (''a,b,c,d,e,f'' désignant des [[coefficient]]s) :

: <math>Q(x)=ax^2</math>
: <math>Q(x,y)=ax^2+bxy+cy^2</math>
: <math>Q(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz.</math>

L'archétype de forme quadratique est la forme {{math|''x''{{2}} + ''y''{{2}} + ''z''{{2}}}} sur ℝ{{3}}, qui définit la [[espace euclidien|structure euclidienne]] et dont la [[racine carrée]] permet de calculer la norme d'un vecteur.
Un autre exemple très classique est la forme {{math|''x''{{2}} + ''y''{{2}} + ''z''{{2}} – ''t''{{2}}}} sur ℝ{{4}}, qui permet de définir l'[[espace de Minkowski]] utilisé en [[relativité restreinte]]. C'est pourquoi la théorie des formes quadratiques utilise le vocabulaire de la géométrie (orthogonalité). La géométrie est un bon guide pour aborder cette théorie, malgré quelques pièges, liés notamment aux questions de signes ou plus généralement au choix du [[corps commutatif|corps]] dans lequel varient les coefficients.

Les formes quadratiques interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : différents résultats de classification des [[conique]]s et plus généralement des [[quadrique]]s, recherche de [[Extremum|minimum ou maximum local]] d'une [[fonction de plusieurs variables]] à partir d'un [[développement limité]], introduction de la [[courbure]] des surfaces, [[analyse en composantes principales]] en [[statistique]]s. Les [[#Formes quadratiques entières|formes quadratiques entières]] interviennent en [[théorie des nombres]] et en [[topologie algébrique]]. 

On trouve également des formes quadratiques dans plusieurs domaines de la physique : pour définir l'[[ellipsoïde d'inertie]] en [[mécanique du solide]], en [[relativité restreinte]] ou générale…

== Généralités ==
=== Définition courante ===
Les exemples les plus simples de formes quadratiques sont donnés avec un certain nombre de variables et de coefficients, en commençant par les [[forme quadratique binaire|formes quadratiques binaires]]. La définition générale s'écrit dans un [[Module sur un anneau|module]] sur un [[anneau commutatif]].
On se limite dans un premier temps au cas d'un [[espace vectoriel]] {{mvar|V}} sur un [[corps commutatif]] {{mvar|K}} de [[caractéristique d'un anneau|caractéristique]] différente de 2 (ce qui permet la division par 2, comme pour [[Nombre réel|ℝ]] ou [[Nombre complexe|ℂ]]). On peut alors formuler une définition dérivée de celle des [[forme bilinéaire|formes bilinéaires]] :
{{énoncé|titre=Définition|1=Une ''forme quadratique'' sur {{mvar|V}} est une application {{math|''Q'' : ''V'' → ''K''}} telle qu'il existe  une [[forme bilinéaire symétrique]] {{math|''B'' : ''V'' × ''V'' → ''K''}} telle que
{{Centrer|<math>\forall u\in V, Q(u)=B(u,u).</math>}}
}}

La forme {{mvar|B}} est alors unique : on la retrouve par une [[identité de polarisation]], conséquence de la bilinéarité
{{Centrer|<math>B(u,v) = \frac12\left(Q(u+v) - Q(u) - Q(v)\right) </math>}}
où <math>B(u,v)</math> est symétrique.
Elle est appelée la ''forme bilinéaire associée à {{mvar|Q}}'', ou encore la ''forme polaire'' de {{mvar|Q}}. Ainsi, {{mvar|Q}} et {{mvar|B}} se déterminent mutuellement.

On peut donner des exemples simples : lorsqu'on dispose d'un [[produit scalaire]], l'application qui à un vecteur associe le carré de sa norme est une forme quadratique. Ou encore, si {{math|(''e''{{ind|1}}, … , ''e{{ind|n}}'')}} est une [[base (algèbre linéaire)|base]] d'un [[Espace vectoriel de dimension finie|espace vectoriel de dimension ''n'']], en notant
{{math|(''v''{{ind|1}}, … , ''v{{ind|n}}'')}} les coordonnées de {{math|''v'' ∈ ''V''}} dans cette base, les applications {{math|''v'' ↦ ''v''{{ind|1}}{{2}}}} et {{math|''v'' ↦ 2''v''{{ind|1}}''v''{{ind|2}}}} sont des formes quadratiques. Les formes bilinéaires associées sont respectivement {{math|(''v'', ''w'') ↦ ''v''{{ind|1}}''w''{{ind|1}}}} et {{math|(''v'', ''w'') ↦ ''v''{{ind|1}}''w''{{ind|2}} + ''v''{{ind|2}}''w''{{ind|1}}}}.

=== Calculs algébriques ===

Deux vecteurs {{mvar|x}} et {{mvar|y}} sont dits [[Orthogonalité#Forme bilinéaire symétrique|orthogonaux]] par rapport à {{mvar|Q}} si {{math|''B''(''x'', ''y'') {{=}} 0}}, ce qui a bien un sens vu la correspondance entre {{mvar|Q}} et {{mvar|B}}.

* Pour tout [[Scalaire (mathématiques)|scalaire]] {{mvar|a}} et tout vecteur {{mvar|e}}, {{math|''Q''(''ae'') {{=}} ''a''{{2}}''Q''(''e'')}}.
* Deux vecteurs {{mvar|u}} et {{mvar|v}} sont orthogonaux par rapport à {{mvar|B}} si et seulement si {{nobr|''Q''(''u + v'') {{=}} ''Q''(''u'') + ''Q''(''v'').}}
* Plus généralement, pour tous vecteurs {{math|''e''{{ind|1}}, … , ''e{{ind|n}}''}} deux à deux orthogonaux par rapport à ''B'' et pour tous scalaires {{math|''a''{{ind|1}}, … , ''a{{ind|n}}''}}, <math>Q\left(\sum_{i=1}^na_ie_i\right)=\sum_{i=1}^na_i^2Q(e_i)</math>.
* {{mvar|Q}} obéit à la [[règle du parallélogramme]] : {{nobr|''Q''(''u + v'') + ''Q''(''u – v'') {{=}} 2''Q''(''u'') + 2''Q''(''v'').}}
* La somme de deux formes quadratiques, et plus généralement les [[Combinaison linéaire|combinaisons linéaires]] de formes quadratiques sont des formes quadratiques.

L'expression "quadratique" provient de "carré" et témoigne de l'apparition de coefficients au carré dans ces formules. Cela ne veut pas dire pour autant que ''Q''(''x'') est un réel positif, ce n'est pas toujours le cas.

=== Expression matricielle ===

Si {{mvar|V}} est de dimension ''n'', et si <math>e=(e_i)_{1\le i\le n}</math> est une base de {{mvar|V}}, on associe à {{mvar|B}} la [[matrice symétrique]] {{math|'''B'''}} définie par
{{Retrait|<math>\mathbf{B}_{ij}=B(e_i,e_j).</math>}}
La valeur de la forme quadratique {{mvar|Q}} est alors donnée par
{{retrait|<math>Q(u) = \mathbf{^Tu} \mathbf{Bu} = \sum_{i,j=1}^nB_{ij}u_i u_j</math>}}
où les {{mvar|u{{ind|j}}}} sont les coordonnées de {{mvar|u}} dans cette base, et {{math|'''u'''}} la [[Vecteur colonne|matrice colonne]] formée par ces coordonnées. On dit que {{math|'''B'''}} est la [[Matrice (mathématiques)|matrice]] de {{mvar|Q}} dans la base {{mvar|e}}.

L'expression de {{math|''Q''(''u'')}} est un polynôme homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de {{mvar|u}}, comme indiqué en introduction. Cependant les coefficients du polynôme dépendent du choix de base, alors que la définition formelle a l'avantage d'être totalement dégagée d'un tel choix. Précisément, si {{math|''e{{'}}'' {{=}} (''e'{{ind|i}}''){{ind|1 ≤ ''i'' ≤ ''n''}}}} est une autre base de {{mvar|V}}, et soit {{mvar|P}} la [[matrice de passage]] de {{mvar|e}} à {{mvar|e}}'. De la relation {{math|'''u''' {{=}} ''P'''''u''''}} on tire {{math|'''B{{'}}''' {{=}} {{exp|T}}''P'''''B'''''P''}} pour la matrice de {{mvar|B}} dans la nouvelle base. On dit que {{math|'''B'''}} et {{math|'''B{{'}}'''}} sont [[Matrice congruente|congruentes]].

Inversement, le polynôme ''Q'' étant donné, le [[formule de Taylor|développement de Taylor]] en 0 de {{mvar|Q}} montre que 
<center><math>B_{i,j} = {1\over 2}{\partial^2 Q\over \partial x_i\partial x_j}.</math></center>

== Orthogonalité, isotropie, dégénérescence ==

=== Orthogonalité des espaces ===
 
Plus généralement, si {{mvar|W}} est un sous-espace vectoriel de {{mvar|V}}, '''l'orthogonal''' de {{mvar|W}} est le sous-espace
{{Centrer|<math>
W^\perp = \{x\in V\mid\forall y\in W\quad B(x,y)= 0\}
</math>.}}

Ces notions généralisent l'orthogonalité dans les espaces euclidiens, mais il y a quelques pièges. Par exemple sur {{math|''K'' × ''K''}}, pour la forme quadratique {{math|''Q''(''x'', ''y'') {{=}} ''xy''}}, chacun  des sous-espaces {{math|''K'' × {0}<nowiki/>}} et {{math|{0} × ''K''}} est son propre orthogonal.

{{théorème|Pour toute forme quadratique sur un espace de dimension finie, il existe une base formée de vecteurs deux à deux orthogonaux.}}

Il existe deux démonstrations classiques de ce résultat. La première consiste en une [[démonstration par récurrence]]<ref>C'est par exemple la démonstration proposée dans {{harvsp|Serre|1970|loc=théorème 1}}</ref> sur la dimension de l'espace. Pour établir l'hérédité on considère un vecteur {{mvar|v}} tel que {{math|''Q''(''v'') ≠ 0}} (s'il en existe, sinon la forme quadratique est nulle et la démonstration est terminée) et on applique l'hypothèse de récurrence dans l'[[hyperplan]] noyau de la forme linéaire non nulle {{math|''x'' ↦ ''B''(''x'',''v'')}}.
La deuxième méthode est un algorithme explicite en composantes, la [[réduction de Gauss]], qui fait apparaître {{mvar|Q}} comme combinaison linéaire de carrés de formes linéaires. Il suffit alors d'introduire une [[base duale]].

Plus généralement, si {{mvar|Q}} est non dégénérée, on a bien {{math|dim(''W'') + dim(''W''{{exp|⊥}}) {{=}} dim(''V'')}}, comme dans le cas euclidien. Mais l'intersection {{math|''W'' ∩ ''W''{{exp|⊥}}}} n'est pas nécessairement réduite à zéro.

=== Radical, dégénérescence et rang ===
Le '''noyau''' d'une forme quadratique {{mvar|Q}} (on dit aussi ''radical'') est par définition l'orthogonal de l'espace {{mvar|V}} tout entier.
<!--
{{Centrer|
<math>\operatorname{rad}{(Q)}=\{x\in V,\forall y\in V, B(x,y)=0\}</math>
}} -->
Cet espace est le [[Noyau (algèbre)#Noyau d'une application linéaire|noyau de l'application linéaire]] de {{mvar|V}} dans l'[[espace dual]] {{math|''V''*}} qui associe à {{mvar|x}} la forme linéaire {{math|''y'' ↦ ''B''(''x'', ''y'')}}. Si {{math|(''e{{ind|i}}''){{ind|''i''}}}} est une base orthogonale de {{mvar|V}}, {{math|rad(''Q'')<nowiki/>}} est le [[sous-espace vectoriel engendré]] par les {{mvar|e{{ind|i}}}} tels que {{math|''Q''(''e{{ind|i}}'') {{=}} 0}}.

Une forme quadratique est dite '''non dégénérée''' si {{math|rad(''Q'') {{=}} 0}}, autrement dit si l'[[application linéaire]] ci-dessus est [[Injection (mathématiques)|injective]].

Si {{mvar|F}} est un [[sous-espace supplémentaire]] de {{math|rad{(''Q'')}<nowiki/>}}, la [[Application (mathématiques)#Opérations sur les applications|restriction]] de {{mvar|Q}} à {{mvar|F}} est non dégénérée, et {{mvar|Q}} donne par [[Théorème de factorisation#Le cas des espaces vectoriels|passage au quotient]] une forme quadratique non dégénérée sur l'[[Espace vectoriel quotient|espace quotient]] ''V''/rad(''Q'').

Si {{mvar|Q}} est non dégénérée, {{math|dim(''W'') + dim(''W''{{exp|⊥}}) {{=}} dim(''V'')}}, mais {{mvar|V}} n'est pas toujours la [[Somme directe#Somme directe de deux sous-espaces vectoriels|somme directe]] de {{mvar|W}} et de son orthogonal, comme la situation euclidienne pourrait le faire croire.

Le '''rang''' de {{mvar|Q}} est par définition le [[Rang (mathématiques)#Rang d'une application linéaire|rang de l'application]] de {{mvar|V}} dans {{math|''V''*}} définie ci-dessus. D'après le [[théorème du rang]], on a donc : {{math|rg(''Q'') + dim(rad(''Q'')) {{=}} dim(''V'')}}. Si {{mvar|V}} est de dimension finie, {{math|rg(''Q'')}} est aussi le [[Rang (mathématiques)#Rang d'une matrice|rang de la matrice]] de {{mvar|Q}} dans n'importe quelle base.

=== Isotropie ===

Un vecteur {{mvar|v}} non nul est dit ''[[Vecteur isotrope|isotrope]]'' si {{math|''Q''(''v'') {{=}} 0}}.

Un sous-espace vectoriel {{mvar|W}} de {{mvar|V}} est dit ''totalement isotrope'' si la restriction de {{mvar|Q}} à {{mvar|W}} est la forme nulle.

'''Exemple'''. Sur ''K''{{exp|2''n''}}, soit {{mvar|Q}} la forme quadratique donnée par
{{Centrer|<math>
Q(v)=\sum_{i=1}^n v_iv_{i+n}.
</math>}}
Le sous-espace <math>\{v\in V\mid v_i=0\ \mathrm{si}\ 1\le i\le n\}</math> est totalement isotrope. Tous les sous-espaces totalement isotropes maximaux ont même dimension<ref> R. Goblot, ''Algèbre linéaire'', Masson, Paris 1995, ch. 10, par. 4.</ref>. Cette dimension s'appelle l'''indice d'isotropie''.

'''Exemples'''. Il est nul pour le carré de la norme euclidienne, et vaut ''n'' dans l'exemple précédent, ainsi que pour la forme quadratique sur ℂ{{exp|2''n''}} donnée par
{{Centrer|<math>\sum_{i=1}^{2n} z_i^2.</math>}}
Plus généralement, l'indice d'isotropie d'une forme quadratique non dégénérée sur un espace vectoriel ''complexe'' est égal à {{math|⌊dim''V''/2⌋}} (partie entière).

=== Discriminant ===
Soit {{mvar|Q}} une forme quadratique et {{math|'''B'''}} sa matrice dans une base de {{mvar|V}}.

Si l'on effectue un changement de base de matrice {{mvar|P}} (cf. § « Expression matricielle » [[#Expression matricielle|ci-dessus]]), la matrice de {{mvar|Q}} dans la nouvelle base sera {{math|'''B{{'}}''' {{=}} {{exp|T}}''P'''''B'''''P''}}.

D'après les propriétés élémentaires des [[déterminant (mathématiques)|déterminants]], 
{{retrait|<math>\det{\rm B}^\prime=(\det P)^2\det{\rm B}.</math>}}
Si {{mvar|Q}} est non dégénérée, l'image du déterminant dans le [[groupe quotient]] {{math|''K''*/(''K''*){{2}}}} ne dépend pas de la base ; c'est cet élément que l'on appelle le '''discriminant''' de la forme quadratique.

Si {{mvar|Q}} est dégénérée, on convient que le discriminant est nul.

;Exemples
*[[Corps quadratiquement clos]]
:Si {{mvar|K}} est quadratiquement clos (en particulier s'il est [[Corps algébriquement clos|algébriquement clos]], comme le corps des [[Nombre complexe|complexes]]), le quotient ''K''*/(''K''*){{2}} est le [[groupe trivial]] et le discriminant est sans intérêt.
*[[Corps des réels]]
:Le quotient ℝ*/(ℝ*){{2}} s'identifie à {± 1}, vu comme sous-groupe multiplicatif de ℝ*. On peut donc parler de formes quadratiques à discriminant positif ou négatif. Par exemple, le discriminant de la forme quadratique {{math|''ax''{{2}} + 2''bxy + cy''{{2}}}} sur ℝ{{2}}, supposée non dégénérée, est donnée par le signe de {{math|''ac – b''{{2}}}}. S'il est positif, la forme est [[Forme bilinéaire#Définitions associées au cas où E est égal à F|définie positive ou définie négative]] ; s'il est négatif, la [[réduction de Gauss]] sera de la forme {{math|(''ux + vy''){{2}} – (''u{{'}}x + v{{'}}y''){{2}}}}. On retrouve, ce qui n'est pas surprenant, la théorie de l'équation du second degré.
*[[Corps fini]]s
:Si {{mvar|K}} est un corps fini de caractéristique différente de 2, le groupe {{math|''K''*}} est [[Groupe cyclique|cyclique]] d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] pair et {{math|''K''*/(''K''*){{2}}}} est encore d'ordre 2.
*[[Nombre rationnel|Corps des rationnels]]
:La décomposition d'un entier en facteurs premiers permet de voir que ℚ*/(ℚ*){{2}} est infini.

== Classification des formes quadratiques ==
On dira que deux formes quadratiques {{mvar|Q}} et {{mvar|Q'}} sont ''équivalentes'' (certains auteurs disent ''isométriques'') s'il existe une application linéaire inversible {{mvar|ϕ}} telle que <math>\,Q^\prime=Q\circ\phi</math>.
Cela revient à dire que l'expression de {{mvar|Q'}} dans une base {{math|(''e{{ind|i}}''){{ind|1 ≤ ''i'' ≤ ''n''}}}} est identique (en tant que polynôme par rapport aux coordonnées) à celle de {{mvar|Q}} dans la base {{math|(''ϕ''(''e{{ind|i}}'')){{ind|1 ≤ ''i'' ≤ ''n''}}}}. 
Cela équivaut aussi à dire que leurs matrices dans une même base sont congruentes.

Classer les formes quadratiques sur un espace vectoriel {{mvar|V}}, c'est :
* déterminer les classes d'équivalence de la relation précédente (qui est clairement une [[relation d'équivalence]]) ;
* ou, ce qui revient au même, déterminer les [[Action de groupe (mathématiques)#Orbite|orbites]] de l'ensemble des formes quadratiques sous l'[[Action de groupe (mathématiques)|action]] du [[groupe linéaire]] {{math|GL(''V'')}} donnée par
{{retrait|<math> (\phi,Q)\mapsto Q\circ\phi</math>}}

(ce sont deux façons d'exprimer la même chose).

Sur {{mvar|K{{exp|n}}}} (où {{mvar|K}} est un corps de caractéristique différente de 2) :
*deux formes équivalentes ont même rang et même discriminant (et même indice d'isotropie) ;
*toute forme quadratique de rang ''r'' est équivalente à <math>\sum_{i=1}^rc_iv_i^2</math> pour certaines constantes non nulles {{mvar|c{{ind|i}}}} {{supra|Orthogonalité}}.

On en déduit les résultats suivants :
* si {{mvar|K}} (de caractéristique différente de 2) est quadratiquement clos, deux formes quadratiques sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang ;
* si {{math|''K'' {{=}} ℝ}}, deux formes quadratiques sont équivalentes si et seulement si elles ont même signature ([[loi d'inertie de Sylvester]]) ;
* si {{mvar|K}} (de caractéristique différente de 2) est un corps fini, toute forme quadratique non dégénérée sur {{mvar|K{{exp|n}}}} de discriminant {{math|''a'' ≡ (''K''*){{2}}}} est équivalente à {{math|''x''{{indexp|1|2}} + ... + ''x''{{indexp|''n''–1|2}} + ''ax''{{indexp|''n''|2}}}} (par récurrence, il suffit de le démontrer pour ''n'' = 2, ce qui revient à trouver, pour tous scalaires non nuls {{math|''λ'', ''μ''}}, un vecteur {{math|(''x'',''y'')}} de ''K''{{2}} tel que {{math|''λx''{{2}} + ''μy''{{2}} {{=}} 1}} ; il en existe, d'après le [[principe des tiroirs]]). Sachant que {{math|''K''*/(''K''*){{2}}}} a deux éléments, cela montre qu'il y a exactement deux classes d'équivalence de formes quadratiques non dégénérées sur {{mvar|K{{exp|n}}}} ;
* si {{math|''K'' {{=}} ℚ}}, dès la dimension 1, il existe une infinité de formes quadratiques deux à deux non équivalentes.
<!--
== Isométries et similitudes ==
=== Isométries ===
=== Similitudes ===
=== Groupes liés aux formes quadratiques ===

== Adjoint d'un endomorphisme ==

== Isotropie ==
=== Vecteur isotrope ===
=== Sous-espace isotrope ===
=== Indice de Witt ===

== Structure des formes quadratiques ==
=== Base orthogonale ===
=== Formes quadratiques hyperboliques ===
=== Décomposition de Witt ===

== Groupe de Witt ==
== Résumé des propriétés des formes quadratiques sur certains corps ==
=== Corps algébriquement clos ===
=== Corps des nombres réels ===
=== Corps fini ===

-->

== Géométrie des formes quadratiques ==
=== Théorème de Witt ===
{{Article détaillé|contenu=Article détaillé : [[Théorème de Witt]].}}
<!--
=== Exemples d'orbites et de stabilisateurs ===
-->
=== Forme quadratique duale d'une forme quadratique de rang maximum ===
Si {{mvar|Q}} est de rang maximum sur l'espace vectoriel {{mvar|V}}, la forme bilinéaire associée {{mvar|B}} définit un isomorphisme entre {{mvar|V}} et son dual {{math|''V''*}} : à {{math|''v'' ∈ ''V''}} on associe la [[forme linéaire]] {{math|''ϕ{{ind|B}}''(''v'')}} définie par 
{{Centrer|<math>
\forall w\in V, \phi_B(v)(w)= B(v,w). 
</math>}}
On définit alors une forme quadratique {{math|''Q''*}} sur {{math|''V''*}} en posant
{{Centrer|<math>
\forall \xi\in V^\ast, Q^\ast(\xi)= Q\left(\phi_B^{-1}(\xi)\right). 
</math>}}
Si {{mvar|A}} est la matrice de {{mvar|Q}} dans une base de {{mvar|V}}, la matrice de {{math|''Q''*}} dans la base duale de {{math|''V''*}} est {{math|''A''{{-1}}}}.

'''Application aux [[quadriques]]'''
Si l'on considère {{math|''Q''(''v'') {{=}} 0}} comme l'équation d'une quadrique projective de l'espace projectif {{math|''P''(''V'')}}, la forme {{math|''Q''*}} donne l'équation tangentielle de la quadrique considérée.

== Cas d'un anneau quelconque ==
La théorie des formes quadratiques sur un anneau quelconque est légèrement différente, essentiellement parce que la division par 2 n'est pas possible. Il n'est plus vrai non plus que chaque forme quadratique est de la forme {{math|''Q''(''u'') {{=}} ''B''(''u'',''u'')}} pour une forme bilinéaire symétrique {{mvar|B}}. En outre, en caractéristique 2, même lorsque {{mvar|B}} existe, elle n'est pas unique : puisque les [[forme alternée|formes alternées]] sont aussi symétriques en caractéristique 2, on peut ajouter toute forme alternée à {{mvar|B}} et obtenir la même forme quadratique.

Une définition plus générale d'une forme quadratique sur un [[anneau commutatif]] {{mvar|R}} quelconque est la suivante<ref>{{harvsp|Serre|1970|loc=§ 1.1.}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|langue=en|format=pdf|nom=Rick Miranda et {{Lien|trad=David R. Morrison (mathematician)|David Morrison (mathématicien)|texte=David R. Morrison}}|titre=Embeddings of Integral Quadratic Forms|url=http://www.math.ucsb.edu/~drm/manuscripts/eiqf.pdf|année=2009}}.</ref>.

Une forme quadratique sur un [[Module sur un anneau|''R''-module]] {{mvar|V}} est une application {{math|''Q'' : ''V'' → ''R''}} telle que :
* {{math|''Q''(''au'') {{=}} ''a''{{2}}''Q''(''u'')}} pour tout scalaire {{mvar|a}} et tout vecteur {{mvar|u}} ;
* {{math|(''u'', ''v'') ↦ ''Q''(''u + v'') – ''Q''(''u'') – ''Q''(''v'')}} est une [[forme bilinéaire]] sur {{mvar|V}}.

== Formes quadratiques entières ==
Les formes quadratiques entières (c'est-à-dire à coefficients [[Entier relatif|entiers]]) les plus étudiées ont d'abord été les [[Forme quadratique binaire|formes quadratiques binaires]], classifiées par [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] puis [[Gauss]], pour la résolution d'[[équation diophantienne|équations diophantiennes]] comme le [[théorème des deux carrés de Fermat]].

Les formes entières jouent aussi un rôle primordial en [[théorie de l'intersection]].

== Formes quadratiques réelles ==
Les formes quadratiques réelles (pour lesquelles <math>K = \mathbb{R}</math>) sont les plus utilisées en physique et possèdent des propriétés supplémentaires permettant notamment de plus facilement les classer. On suppose dans la suite de cette partie que <math>V</math> est un espace vectoriel réel de dimension <math>n</math>.

=== Signature d'une métrique, forme quadratique, matrice ===
La signature d'une forme quadratique réelle <math>Q</math> sur <math>V</math> est la signature de la forme bilinéaire symétrique <math>B</math> associée à <math>Q</math>, ou encore la signature de la matrice symétrique réelle {{Math|§='''B'''}} associée à <math>B</math>. On peut la définir de deux façons, soit avec la notion de dimension maximale des sous-espaces négatifs et positifs (comme [[Loi d'inertie de Sylvester|ici]]), soit de manière équivalente avec les valeurs propres :

'''Définition.''' La signature de {{Math|§='''B'''}} est le couple <math>(v,p)</math>, où <math>v</math> (respectivement <math>p</math>) est le nombre de valeurs propres (comptées avec leur multiplicité) strictement positives (respectivement négatives) de {{Math|§='''B'''}}.

Autrement dit, pour une famille <math>\{\lambda_k\}_{1 \leq k \leq n}</math> de valeurs propres de {{Math|§='''B'''}}, <math>v</math> est le cardinal de <math>\{k \in \{1, 2, ..., n\} \, \, | \, \, \lambda_k > 0\}</math>, et <math>p</math> le cardinal de <math>\{k \in \{1, 2, ..., n\} \, \, | \, \, \lambda_k < 0\}</math>.

Cette définition est clairement invariante par changement de base de {{Math|§='''B'''}} et la [[loi d'inertie de Sylvester]] et le [[théorème spectral]] donnent l'équivalence avec l'autre définition. On peut noter que le rang de {{Math|§='''B'''}} est alors égal à <math>v + p</math>. La signature de <math>Q</math> est bien définie car elle est indépendante du choix de la base utilisée pour obtenir la matrice {{Math|§='''B'''}} associée à <math>B</math> (et donc à <math>Q</math>) selon cette même loi d'inertie de Sylvester. 

On trouve plusieurs versions différentes de l'écriture de cette signature dans la littérature scientifique. On peut par exemple souvent voir apparaitre le choix de noter la multiplicité <math>n_0</math> de <math>0</math> ce qui donne le triplet <math>(v, p, n_0)</math>, mais c'est en principe inutile car on sait déjà avec le [[théorème du rang]] que <math>n_0 = n - (v + p)</math>. On trouve aussi la notation avec un nombre <math>v</math> de <math>+</math> et un nombre <math>p</math> de <math>-</math> utilisée par les physiciens, qui précisent également en général l'orientation de l'écoulement du temps (qui peut être inversé à condition de rester consistant avec ce choix de convention).

'''Exemples.'''

* La matrice identité <math>I_n \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})</math> et plus généralement toute matrice [[Matrice définie positive|définie positive]] a pour signature <math>(n, 0)</math>. 
* Soit <math>P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})</math> . <math>P</math>  est [[Matrice autoadjointe positive|semi-définie positive]] si et seulement si sa signature est <math>(r, 0)</math> où <math>r \in \mathbb{N}</math>. Dans ce cas, <math>r</math> est le rang de <math>P</math>.
* Les matrices <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}</math>, <math>\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}</math> et leurs opposées (<math>-A</math> pour une matrice <math>A</math>) ont toutes pour signature <math>(1, 1)</math> (ce sont des cas particuliers de [[Symétrie vectorielle|symétries vectorielles]]).
* La matrice de Minkowski <math>\hat{g} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> utilisée en physique relativiste pour représenter le [[tenseur métrique]] associé à l'[[espace de Minkowski]] a pour signature <math>(3, 1)</math>, notée <math>(3, 1, 0)^-</math> ou <math>(- + + +)</math> par les physiciens. Mais on peut également représenter (en changeant la convention) l'espace de Minkowski à l'aide de <math>- \hat{g}</math>, ce qui donne la signature "miroir" <math>(1, 3, 0)^+</math> ou <math>(+ - - -)</math>. Ce changement de convention n'a d'intérêt qu'en physique car c'est toujours le même espace qui est représenté. Cependant, cela permet de mettre en lumière les évènements qui ont lieu en même temps ("space-like" en anglais) avec <math>\hat{g}</math> ou qui ont la même localisation ("time-like" en anglais) avec <math>- \hat{g}</math>. Et avec <math>- \hat{g}</math>, on mesure directement le temps propre (cf. [[métrique de Minkowski]]).

Le lien entre une [[métrique pseudo-riemannienne]] et la matrice représentant le tenseur métrique associé fait qu'on appelle parfois signature de la métrique considérée la signature de la matrice associée à cette même métrique. Par exemple, la signature de la [[métrique de Minkowski]] est <math>(1, 3)</math> ou <math>(3, 1)</math>.

=== Calcul pratique de la signature ===
Pour calculer la signature, plusieurs algorithmes existent : 

* La [[réduction de Gauss]] donne directement la diagonalisation de la forme quadratique dans une [[Base orthonormée|base orthonormale]].
* La diagonalisation directe en passant par le [[polynôme caractéristique]] ou avec des outils numériques de calcul scientifique qui seront peut-être un peu plus rapides car certains exploitent la symétrie. Le problème des outils numériques est qu'en pratique, il est très difficile de certifier la nullité d'une [[valeur propre]] à cause de la sensibilité machine (on peut avoir <math>10^{-15}</math> à la place de <math>0</math> par exemple), ou même le signe des valeurs propres qui ont une [[valeur absolue]] non nulle mais très petite par rapport au [[rayon spectral]] (typiquement <math>0 < \lambda_i < 10^{-15} \rho(\bf{B})</math>).
* L'étude du [[polynôme caractéristique]] en soi peut aussi s'avérer fructueuse dans certains cas, notamment en utilisant des astuces comme la [[règle de signes de Descartes]].
* Le [[critère de Sylvester]] donne "rapidement" la définie positivité d'une matrice symétrique et donc si elle est définie positive, la signature est évidente (voir supra).

== Applications ==

Si {{math|''f'' : ℝ{{exp|''n''}} → ℝ}} est une fonction de [[Classe de régularité|classe C{{2}}]], la partie d'ordre 2 de son [[formule de Taylor|développement de Taylor]], disons en 0, définit une forme quadratique dont la représentation matricielle est, à un facteur 1/2 près, la [[matrice hessienne]] de {{mvar|f}} en 0. Si 0 est un [[point critique (mathématiques)|point critique]], cette forme, dans le cas où elle est non dégénérée, permet de décider si on a affaire à un point de maximum local, à un point de minimum local ou à un point selle.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Quadratic form|7866096|type=note}}
{{Références}}

== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===
* {{Berger2}}
* {{Serre1}}, chap. IV
* {{Ouvrage|lang=en|nom={{Lien|Burton Wadsworth Jones|texte=Burton W. Jones}}|titre=The Arithmetic Theory of Quadratic Forms|lien éditeur=Mathematical Association of America|éditeur=MAA|collection=The Carus Mathematical Monographs|numéro dans collection=10|année=1950|url=http://catalog.hathitrust.org/Record/000464678}}

=== Articles connexes ===
{{Colonnes|nombre=3|
* [[Réduction de Gauss]]
* [[Matrice définie positive]]
* [[Théorème de Davenport-Cassels]]
* [[Théorème des 15]]
* [[Théorème de Meyer]]
* [[Conjecture d'Oppenheim]]
* [[Principe local-global]]
* {{Lien|trad=Genus of a quadratic form|Genre d'une forme quadratique}}
}}

{{Palette|Algèbre linéaire|Algèbre bilinéaire}}
{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Forme quadratique]]