Voir la source de Forme quadratique binaire

En [[mathématiques]], une '''forme quadratique binaire''' est une [[forme quadratique]] — c'est-à-dire un [[polynôme homogène]] de degré 2 — en deux [[Variable (mathématiques)|variables]] :
<center><math> q(x,y)=ax^2+bxy+cy^2.</math></center>

Les propriétés d'une telle forme dépendent de façon essentielle de la nature des coefficients ''a'', ''b'', ''c'', qui peuvent être par exemple des [[nombres réels]] ou [[Nombre rationnel|rationnels]] ou, ce qui rend l'étude plus délicate, [[Entier relatif|entiers]].

==Histoire==
[[Fermat]] considérait déjà des formes quadratiques binaires entières, en particulier pour son [[théorème des deux carrés]]. La résolution d'autres [[équations diophantiennes]] comme [[Équation de Pell-Fermat|celle de Pell-Fermat]] fait aussi partie de leur théorie, dont l'étude systématique a été entreprise par [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]]<ref>Joseph-Louis Lagrange, « Recherches d'arithmétique, ''Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres de Berlin'', reproduit dans Joseph-Louis Lagrange, ''Œuvres'', [http://sites.mathdoc.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_LAGRANGE__3_695_0 vol. III, {{p.|695-795}}].</ref> en 1773 et 1775 et poursuivie en 1801 par [[Gauss]]<ref>{{Ouvrage |prénom1=Carl Friedrich |nom1=Gauss |traducteur=[[Antoine Charles Marcelin Poullet-Delisle]] |titre=Recherches arithmétiques |titre original=[[Disquisitiones Arithmeticae]] |éditeur= |année=1807 |passage=118-428 |lire en ligne=https://archive.org/details/recherchesarithm00gaus}}, en particulier chap. V.</ref>, après des contributions de [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]]. Gauss étudia comme Lagrange les questions d'équivalence et de réduction, et introduisit la composition des formes quadratiques binaires. Ces recherches de Gauss ont fortement influencé à la fois la théorie [[arithmétique]] des formes quadratiques en plus de deux variables et le développement de la [[théorie algébrique des nombres]], où l'étude des [[corps quadratique]]s est étendue à celle des [[corps de nombres]].

==Formes entières==
Une forme quadratique binaire ''q''(''x'', ''y'') = ''ax''{{2}} + ''bxy'' + ''cy''{{2}} est dite entière si les coefficients ''a'', ''b'' et ''c'' sont des [[entiers relatifs]]. Il revient au même de dire que les [[Image d'une application|valeurs ''représentées'' par ''q'']] — c'est-à-dire les {{nobr|''q''(''x'', ''y'')}} lorsque (''x'', ''y'') parcourt ℤ{{2}} — [[polynôme à valeurs entières|sont toutes entières]]<ref name=Clark/>{{,}}<ref>C'est le choix initial de Lagrange et traditionnel depuis [[Gotthold Eisenstein|Eisenstein]], tandis qu'entre-temps, Gauss se plaçait dans le cadre où l'entier ''b'' est pair, c'est-à-dire où les coefficients antidiagonaux ''b''/2 de la [[matrice symétrique]] associée sont entiers, comme les coefficients diagonaux ''a'' et ''c''.</ref>. Une question classique est de décrire l'ensemble des entiers représentés par une forme donnée et, pour un tel entier, le nombre de ses représentations.

Une ''représentation primitive'' d'un entier est une représentation de la forme ''q''(''x'', ''y'') avec ''x'' et ''y'' [[premiers entre eux]]. Par exemple, ''a'' et ''c'' sont primitivement représentés par ''q'', et toute représentation d'un [[nombre premier]] est primitive.

L'entier ''D = b''{{2}} – 4''ac'' est appelé le [[Discriminant#Forme quadratique en dimension 2|''discriminant'']] de la forme<ref name=Clark>Voir par exemple {{Lien web|langue=en|auteur=Pete L. Clark|url=http://math.uga.edu/~pete/8430notes3.pdf|titre=Topics in Arithmetic Geometry II, Handout 3: Elementary Theory of Quadratic Forms}}.</ref>{{,}}<ref>Cette définition diffère de celle du [[Forme quadratique#Discriminant|discriminant d'une forme quadratique binaire à coefficients dans un corps]], qui est ''ac'' – (''b''/2){{2}} modulo les carrés d'éléments non nuls.</ref>. Il est [[Résidu quadratique|congru à 0 ou 1 modulo 4]].

Deux formes entières sont dites ''équivalentes'' si elles sont dans la même [[Action de groupe (mathématiques)#Orbite|orbite]] pour l'[[Action de groupe (mathématiques)|action]] naturelle du [[Groupe linéaire#Sur les entiers relatifs|groupe linéaire GL(2, ℤ)]] des matrices 2×2 à coefficients entiers de [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] égal à ±1, c'est-à-dire si l'une est la [[Composition des applications|composée]] de l'autre par le [[Changement de variable (simplification algébrique)|changement de variables]] [[Matrice d'une application linéaire|associé à une telle matrice]]. Le discriminant, l'ensemble des entiers représentés, et l'ensemble des entiers primitivement représentés, sont donc [[invariant]]s par équivalence. Toute [[Relation d'équivalence|classe d'équivalence]] est la réunion d'une ou deux classes d'''équivalence propre'', définie de même en considérant l'action du [[sous-groupe]] [[Groupe linéaire#Groupe spécial linéaire|spécial linéaire SL(2, ℤ)]] des matrices de déterminant égal à +1.

{{énoncé|Un entier ''A'' est primitivement représenté par ''q'' si et seulement si ''q'' est équivalente à ''Ax''{{2}} + ''Bxy'' + ''Cy''{{2}} pour certains entiers ''B'' et ''C'', qui peuvent alors être choisis tels que l'équivalence soit propre.}}

{{Démonstration/début}}
L'écriture générale d'une forme équivalente à ''q''(''x'', ''y'') = ''ax''{{2}} + ''bxy'' + ''cy''{{2}} est ''a''(αx + βy){{2}} + ''b''(α''x'' + β''y'')(γ''x'' + δ''y'') + ''c''(γ''x'' + δ''y''){{2}} avec α, β, γ, δ entiers tels que αδ – βγ = ±1 (+1 pour une équivalence propre), et le coefficient de son terme en ''x''{{2}} est ''q''(α, γ). Le [[théorème de Bachet-Bézout]] permet de conclure.
{{Démonstration/fin}}

L'entier ''N'' est donc primitivement représenté par une forme de discriminant ''D'' (si et) seulement si ''D'' est un carré modulo ''4N''. La seconde propriété étant stable par diviseurs (c'est-à-dire vraie pour tout diviseur de ''N'' lorsqu'elle l'est pour ''N''), il s'ensuit que la première aussi.

Pour tout entier ''D'', le ''nombre de classes de D'', c'est-à-dire le nombre de classes d'équivalence de formes quadratiques de discriminant ''D'', est fini : on le démontre par ''réduction'', en construisant pour chaque classe au moins un représentant appelé une ''forme réduite'', dont les coefficients sont « les plus petits possibles » (en un sens adéquat).

La forme est dite ''dégénérée'' si ''D'' = 0, ''définie'' (positive ou négative, selon le signe de ''a'' et ''c'') si ''D'' < 0 et ''indéfinie'' si ''D'' > 0 (ceci correspond à la [[Forme quadratique#Discriminant|classification des formes réelles]] associées). Lorsque ''D'' est un [[carré parfait]], la forme est dite ''[[Vecteur isotrope|isotrope]]'' et elle représente 0 une infinité de fois. On exclut généralement de l'étude des formes indéfinies ce cas, qui est celui des formes quadratiques produits de deux [[Forme linéaire|formes linéaires]] à coefficients entiers<ref>Il est cependant possible de le traiter de même, en décrétant par exemple qu'une telle forme est réduite si ''c'' = 0 et 0 ≤ ''a'' < |''b''| : {{Lien web|langue=en|url=http://www.math.ntu.edu.tw/~hchu/Number/ElementaryNumberTheory%5B3-2%5D.pdf|titre=Elementary Number Theory –
Section 3.2 Binary Quadratic Forms}}.</ref>.

{{Démonstration/début|titre=Réduction des formes définies}}
Il suffit de traiter le cas des formes définies positives.

Une forme définie positive ''Q''(''x'', ''y'') = ''ax''{{2}} + ''bxy'' + ''cy''{{2}} est dite ''réduite'' si |''b''| ≤ ''a'' ≤ ''c'' et si de plus, ''b'' ≥ 0 dès que ''a'' est égal à |''b''| ou à ''c''.

Remarquons qu'alors, ''Q''(''x'', ''y'') ≥ (''a'' – |''b''| + ''c'')min(''x''{{2}}, ''y''{{2}}) donc la plus petite valeur non nulle prise par ''Q'' est ''a'', et elle l'est seulement 2 fois si ''a'' < ''c'' (la plus petite valeur suivante étant alors ''c''), 4 fois si ''c = a'' > ''b'' (≥ 0) et 6 fois si {{nobr|1=''c = a = b''.}} De plus, lorsque ''a'' et ''c'' sont connus ainsi que le discriminant, ''b'' est connu au signe près.

{{énoncé|Toute forme définie positive ''q'' est proprement équivalente à une unique forme réduite.}}

*Unicité. Soit ''Q'' réduite comme ci-dessus, montrons qu'aucune autre forme réduite ne lui est proprement équivalente. D'après la remarque sur la plus petite valeur, c'est immédiat si ''a = c'' ou si ''b = a'' < ''c'', et dans le cas restant |''b''| < ''a'' < ''c'', il reste à montrer que si ''ax''{{2}} + ε''bxy'' + ''cy''{{2}} est proprement équivalente à ''Q'' avec ε = ±1, alors elle lui est égale. Soient α, β, γ, δ entiers tels que αδ – βγ = 1 et ''ax''{{2}} + ε''bxy'' + ''cy''{{2}} = ''a''(αx + βy){{2}} + ''b''(α''x'' + β''y'')(γ''x'' + δ''y'') + ''c''(γ''x'' + δ''y''){{2}}. Par identification des coefficients de ''x''{{2}} et de ''y''{{2}}, ''a = Q''(α, γ) et ''c = Q''(β, δ) donc — d'après la remarque sur les plus petites valeurs — γ = β = 0, et le coefficient du terme en ''xy'' donne alors : ε''b'' = ''b''αδ = ''b'', ce qui conclut.
*Existence. Soit ''Q''(''x'', ''y'') = ''ax''{{2}} + ''bxy'' + ''cy''{{2}} une forme proprement équivalente à ''q'' pour laquelle |''b''| est minimum. En composant si nécessaire par (''x'', ''y'') ↦ (–''y'', ''x''), on peut de plus supposer {{nobr|''c'' ≥ ''a''}} et, dans le cas ''c = a'', ''b'' ≥ 0. Dans ''Q''(''x + ky'', ''y''), le coefficient de ''xy'' est 2''ak + b''. On en déduit que |''b''| ≤ |2''ak + b''| pour tout entier ''k'', c'est-à-dire que ''a'' ≥ |''b''|. Ainsi, ''Q'' est réduite, sauf si ''b = –a''. Mais dans ce cas, ''Q''(''x + y'', ''y'') = ''ax''{{2}} + ''axy'' + ''cy''{{2}} est réduite.

{{énoncé|Pour tout ''D'' < 0, le nombre de formes définies positives réduites de discriminant ''D'' est fini.}}
En effet, si |''b''| ≤ ''a'' ≤ ''c'', alors |''D''| = 4''ac'' – ''b''{{2}} ≥ 3''a''{{2}} donc 0 < ''a'' ≤ {{sqrt|{{!}}''D''{{!}}/3}}. Une fois ''a'' choisi, le nombre des valeurs possibles pour ''b'' (compris entre –''a'' et ''a'' et de même parité que ''D'') est majoré par ''a'' + 1. Enfin, ''c'' est entièrement déterminé par ''D'', ''a'' et ''b''.
{{Démonstration/fin}}

{{Démonstration/début|titre=Réduction des formes indéfinies anisotropes}}
Soit ''D'' un entier positif non carré. Une forme ''ax''{{2}} + ''bxy'' + ''cy''{{2}} de discriminant ''D'' est dite réduite si 0 < {{sqrt|''D''}} – ''b'' < 2|''a''| < {{sqrt|''D''}} + ''b'', ce qui équivaut à la même suite d'inégalités avec ''a'' remplacé par ''c''<ref>{{Ouvrage |langue=en |prénom1=Leonard Eugene |nom1=Dickson |lien auteur1=Leonard Eugene Dickson |titre=Introduction to the Theory of Numbers |éditeur=[[Dover Publications|Dover]] |année=1957 |année première édition=1929 |numéro chapitre=VII}}.</ref>. On a donc :

{{énoncé|Pour tout entier positif non carré ''D'', il n'existe qu'un nombre fini de formes réduites de discriminant ''D''.}}

Contrairement au cas des formes définies, on n'a plus unicité, mais seulement :
{{énoncé|Toute forme indéfinie anisotrope est proprement équivalente à au moins une forme réduite.}}
L'[[algorithme]] de réduction<ref>{{Ouvrage |langue=en |prénom1=Duncan A. |nom1=Buell |titre=Binary Quadratic Forms : Classical Theory and Modern Computations |éditeur=Springer |année=1989 |passage=22-23 |isbn= |lire en ligne={{Google Livres|qMa8-FDOR8YC|page=22}}}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|langue=en|url=http://www.numbertheory.org/php/reduce.html|titre=Reduction of an indefinite binary quadratic form|site=numbertheory.org}}.</ref>{{,}}<ref>Pour une version optimisée, voir {{Cohen1}}, § 5.6.1.</ref>{{,}} consiste à remplacer la forme ''q''(''x'', ''y'') = ''ax''{{2}} + ''bxy'' + ''cy''{{2}} (si elle n'est pas déjà réduite) par ''a{{'}}x''{{2}} + ''b{{'}}xy'' + ''c{{'}}y''{{2}} := ''q''(–''y'', ''x + ty'') (donc ''a{{'}} = c'' et ''b{{'}} = –b'' + 2''ct''), l'entier ''t'' étant déterminé par : {{nobr|1={{sqrt|''D''}} – 2{{!}}''c''{{!}} < ''b{{'}}'' < {{sqrt|''D''}}}} (comme ''q'' n'est pas réduite, un tel ''t'' est unique). Tant qu'on obtient |''c{{'}} ''| < |''c''| et ''q{{'}}'' non réduite, on recommence. D'après cette clause, l'algorithme [[Terminaison d'un algorithme|termine]]. Puisque ''a{{'}} = c'', le triplet (''A'', ''B'', ''C'') final est réduit ou vérifie |''A''| ≤ |''C''| et {{sqrt|''D''}} – 2|''A''| < ''B'' < {{sqrt|''D''}}. Montrons qu'il est aussi réduit dans le second cas. On a 0 < {{sqrt|''D''}} – ''B'' < 2|''A''| donc 0 < ({{sqrt|''D''}} – ''B'')|{{sqrt|''D''}} + ''B''| = ''D – B''{{2}} = –4''AC'', donc –4''AC'' = 4|''AC''| et |{{sqrt|''D''}} + ''B''| > 2|''C''| ≥ 2|''A''| > {{sqrt|''D''}} – ''B'' donc {{nobr|''B'' > 0}} et {{sqrt|''D''}} + ''B'' > 2|''A''|, ce qui conclut.

On peut de plus démontrer<ref>{{Harvsp|Buell|1989|p=23-24}}.</ref> que les formes réduites de chaque classe d'équivalence propre s'organisent en un ''unique'' cycle de « formes adjacentes », la forme adjacente à droite d'une forme réduite ''q'' étant ''q''(–''y'', ''x + ty''), pour l'unique entier ''t'' tel que cette dernière soit réduite.

;Exemple
:Les seules formes quadratiques réduites de discriminant 20 sont, à interversion près de ''x'' et ''y'' : 2(''x''{{2}} + ''xy – y''{{2}}) et (''x'' + 2''y''){{2}} – 5''y''{{2}}.
{{Démonstration/fin}}

L'une des découvertes les plus profondes de Gauss fut celle de l'existence d'une [[loi de composition]] naturelle sur l'ensemble des classes (d'équivalence propre) de formes quadratiques binaires de discriminant donné, et qui en fait un [[groupe abélien fini]] appelé le ''groupe des classes'' de discriminant ''D''. Le groupe des classes d'un {{Lien|trad=Fundamental discriminant|discriminant fondamental}} ''D'' est [[Isomorphisme de groupes|isomorphe]] au {{Lien|trad=Narrow class group|groupe des classes au sens restreint}} du [[corps quadratique]] ℚ({{sqrt|''D''}}) de [[Forme trace#Discriminant d'un anneau|discriminant]] ''D''<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=[[Albrecht Fröhlich]] |auteur2=[[Martin J. Taylor]] |titre=Algebraic Number Theory |éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]] |collection=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |numéro dans collection=27 |année=1993 |pages totales=355 |isbn=978-0-521-43834-6 |lire en ligne=https://books.google.com/books?id=xaQu26m0vjAC&printsec=frontcover}}, {{lang|en|Theorem 58}}.</ref>. Ce dernier est le [[groupe des classes d'idéaux]] si ''D'' est négatif, mais peut être deux fois plus gros si ''D'' est positif.

Une forme ''q''(''x'', ''y'') = ''ax''{{2}} + ''bxy'' + ''cy''{{2}} est dite ''primitive'' si le [[PGCD]](''a'', ''b'', ''c'') (qui est le PGCD de toutes les valeurs qu'elle représente) est égal à 1. C'est bien sûr le cas si son discriminant ''D'' est [[Entier sans facteur carré|sans facteur carré]] ou si ''q'' représente un entier premier avec ''D'', mais aussi si ''D'' est un discriminant fondamental<ref>{{Cohen1}}, § 5.2.</ref>.

Gauss étudia aussi une relation d'équivalence moins fine, qui [[Partition (mathématiques)|partitionne]] le groupe des classes en ''{{Lien|trad=Genus of a quadratic form|Genre d'une forme quadratique|texte=genres}}''.

==Notes et références==
{{Traduction/Référence|en|Binary quadratic form|544009649|type=note}}
{{Références}}

==Voir aussi==
===Articles connexes===
*[[Entier quadratique#Conjugué et norme|Norme sur un corps quadratique]]
*[[Symbole de Legendre]]
*[[Théorème de Stark-Heegner]]
*[[Loi de composition de Gauss]]

===Liens externes===
*{{Lien web|langue=en|prénom1=Peter|nom1=Luschny|url=http://oeis.org/wiki/User:Peter_Luschny/BinaryQuadraticForms|titre=Positive numbers represented by a binary quadratic form|site=OEIS Wiki}}
*{{EncycloMath|id=b/b016370|prénom1=A. V.|nom1=Malyshev|titre=Binary quadratic form}}
*{{Lien web|langue=en|url=http://www.numbertheory.org/php|titre=Some BCMath/PHP number theory programs|auteur=Keith Matthews}} (§ 11 : Binary quadratic forms and quadratic fields: Positive discriminants, Negative discriminants)

===Bibliographie===
*{{Ouvrage |langue=en |auteur1={{Lien|lang=de|Johannes Buchmann}} |auteur2=Ulrich Vollmer |titre=Binary Quadratic Forms |éditeur=[[Springer Verlag|Springer]] |année=2007 |isbn=978-3-540-46367-2 |isbn2=3-540-46367-4 |lire en ligne={{Google Livres|umGYD5jfDOcC}}}}
*{{Ouvrage |langue=en |auteur1=[[John Horton Conway|J. H. Conway]] |auteur2=[[Neil Sloane|N. J. A. Sloane]] |titre=Sphere Packings, Lattices and Groups |éditeur= |collection=[[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|Grund. math. Wiss]] |numéro dans collection=290 |année=1999 |numéro d'édition=3 |année première édition=1993 |isbn= |lire en ligne={{Google Livres|upYwZ6cQumoC|page=352}} |numéro chapitre=15 |titre chapitre=On the classification of integral quadratic forms}}
*{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[David A. Cox]]|titre=Primes of the Form {{math|x{{2}} + ny{{2}}}}|éditeur=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|année première édition=1989|année=2011|isbn=978-1-11803100-1|url={{Google Livres|tlTZC-k-l2EC}}}}
*{{Dickson1}}, [https://books.google.fr/books?id=C8kqAwAAQBAJ& vol. 3]
*{{Chapitre|lang=en|auteur=Gilles Lachaud|titre=Continued fractions, binary quadratic forms, quadratic fields, and zeta functions|titre ouvrage=Algebra and Topology 1988|page=1-56|lien éditeur=Institut coréen des sciences et de la technologie|éditeur=Korea Inst. Tech.|lieu=[[Taejon]]|année=1988|url=http://iml.univ-mrs.fr/editions/biblio/files/lachaud/1988e.pdf}}
*{{Article|auteur=[[Joseph Oesterlé]]|titre=Le problème de Gauss sur le nombre de classes|revue=[[L'Enseignement mathématique]]|vol=34|date=1988|p.=43-67|url=https://www.e-periodica.ch/digbib/view?pid=ens-001:1988:34::27#241}}

{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Forme quadratique]]