Voir la source de Formule d'Euler-Maclaurin

{{Voir homonymes|Maclaurin}}
{{Confusion|texte=Ne doit pas être confondue avec [[Liste_de_sujets_nommés_d%27après_Leonhard_Euler#Formules|d'autres formules dues à Euler]], comme [[Formule_d'Euler|celle définissant l'exponentielle complexe]].}}
[[Fichier:Colin Maclaurin color.jpg|vignette|Portrait de Colin Maclaurin]]
En [[mathématiques]], la '''formule d'Euler-Maclaurin''' (appelée parfois '''formule sommatoire d'Euler''') est une relation entre [[Somme (arithmétique)|sommes discrètes]] et [[Intégration (mathématiques)|intégrales]]. Elle fut découverte indépendamment, aux alentours de [[1735]], par le [[mathématicien]] [[suisse]] [[Leonhard Euler]] (pour accélérer le calcul de limites de séries lentement convergentes) et par l'[[Écosse|Écossais]] [[Colin Maclaurin]] (pour calculer des valeurs approchées d'intégrales)<ref>{{Lien web
   | url=http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./e/eulermaclaurin.html
   | titre       = Formule d'Euler-MacLaurin [sic<!--au lieu d'un "l" minuscule à "laurin"-->]
   | site        =bibmath.net/dico
   | consulté le =<!--6/6/2017-->
}}.</ref>.

== Introduction : comparaison entre série et intégrale ==
{{Loupe|Comparaison série-intégrale}}
Soit {{mvar|f}} une fonction infiniment dérivable sur {{math|[1, +∞[}} et ''n'' un [[entier naturel]] non nul.

On veut obtenir un développement asymptotique de la somme <math>\sum_{i=1}^n f(i)=f(1)+f(2)+\cdots+f(n)</math> en la comparant à l'intégrale <math>\int_1^n f(x)~{\rm d}x</math>.

La formule d'Euler-Maclaurin donne une expression de la différence <math>f(1)+f(2)+\cdots+f(n)-\int_1^n f(x)~{\rm d}x</math> en fonction des valeurs de la fonction et de ses dérivées aux extrémités 1 et ''n'' et d'un reste :
<center><math>\sum_{i=1}^n f(i)-\int_1^n f(x)~{\rm d}x=\frac{f(1)+f(n)}2+\frac16\frac{f'(n)-f'(1)}{2!}-\frac1{30}\frac{f'''(n)-f'''(1)}{4!}+\cdots+b_{2k}\frac{f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(1)}{(2k)!}+R_{k,n}.</math></center>

Les nombres <math>b_2= \frac16, \quad b_4= -\frac1{30},\quad b_6= \frac1{42},\quad b_8=-\frac1{30},\quad\ldots b_{2k}</math> qui apparaissent dans la formule sont les [[Nombre de Bernoulli|nombres de Bernoulli]].

La série obtenue n'est en général pas convergente mais on connaît plusieurs expressions du reste {{math|''R''{{ind|''k'',''n''}}}} de la formule qui permettent de majorer l'erreur ainsi faite.

== Énoncé ==
=== Formule d'Euler-Maclaurin ===
Soient ''p'' et ''q'' deux [[Entier relatif|entiers relatifs]] (''p'' < ''q''), {{mvar|f}} une [[Continuité (mathématiques)|fonction continue]] complexe définie sur [''p'', ''q''].
L'énoncé qui suit exprime la somme  <math>{f(p)}+f(p+1)+ \cdots+{f(q)}=\sum_{i=p}^{q}f\left(i\right)</math> avec l'intégrale <math>\int_p^q f(x)~{\rm d}x</math>, les valeurs de {{mvar|f}} (ainsi que de ses dérivées) aux extrémités {{math|''f''(''p'')}} et {{math|''f''(''q'')}} et d'un reste.

Si {{mvar|f}} est une fonction complexe continûment dérivable une fois sur le segment [''p'', ''q''], la formule d'Euler-Maclaurin s'énonce ainsi :

<center><math>\sum_{i=p}^q f\left(
i\right) = \frac{f(p) +f(q) }2+\int_p^q f(x)~{\rm d}x
+ R_0</math> avec <math> R_0 = \int_p^q f'(x)\left(x-\lfloor x \rfloor-\frac12\right)~{\rm d}x</math></center>
où <math>\lfloor x \rfloor</math> est la [[Partie entière et partie fractionnaire|partie entière]] de ''x'', notée aussi E(''x''), et <math>x-\lfloor x \rfloor</math> est la partie fractionnaire de ''x''.

Pour une fonction {{mvar|f}} continûment dérivable 2''k'' fois sur le segment [''p'', ''q''] (avec ''k ''≥ 1), la formule d'Euler-Maclaurin s'énonce ainsi :

<center><math>\sum_{i=p}^q f\left(
i\right) = \frac{f\left( p\right) +f\left( q\right) }2+\int_p^q f(x)~{\rm d}x
+\sum_{j=1}^k\frac{b_{2j}}{(2j)!}\left(f^{(2j-1)}(q)-f^{(2j-1)}(p)\right)+R_k.</math></center>
Les nombres ''b''<sub>2''j''</sub> désignent les [[Nombre de Bernoulli|nombres de Bernoulli]] et le reste ''R<sub>k</sub>'' s'exprime à l'aide du [[polynôme de Bernoulli]] ''B''<sub>2''k''</sub> :
<center><math> R_k = - {1 \over (2k)!}\int_p^q f^{(2k)}(x) B_{2k}(x-\lfloor x \rfloor)~{\rm d}x</math>.</center>

La notation ''B''<sub>2''k''</sub> désigne le 2''k''-ième [[polynôme de Bernoulli]] et <math>B_{2k}(x-\lfloor x \rfloor)</math> en est une version [[fonction périodique|périodisée]], de période 1, égale à ''B''<sub>2''k''</sub>(''x'') si 0 < ''x'' < 1.

<center>
<math>B_2(x)=x^2-x+\frac16\qquad
B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac1{30}\qquad
B_6(x)=x^6-3x^5+\frac52x^4-\frac12x^2+\frac1{42}</math>.</center>
Les nombres de Bernoulli vérifient les égalités <math>b_{2k}=B_{2k}(0)=B_{2k}(1)</math>.

D'autres expressions du reste sont données plus loin si la fonction {{mvar|f}} est 2''k'' + 1 fois dérivable ou 2''k'' + 2 fois dérivable.

=== Formules sommatoires d'Euler-Maclaurin ===
Si l'on somme de ''p'' à ''q'' − 1 les nombres {{math|''f'' (''i'')}}, on a :
<center><math>\sum_{i=p}^{q-1}f(i) =\int_p^q f(x)~{\rm d}x+\frac{f(p) -f(q)}2 +\sum_{j=1}^k\frac{b_{2j}}{(2j)!}\left(f^{(2j-1)}(q)-f^{(2j-1)}(p)\right)+R_k</math>.</center>

Si l'on considère les nombres de Bernoulli d'indice impair : {{math|''b''{{ind|1}} {{=}} –{{sfrac|1|2}}}} et {{math|''b''{{ind|2''j'' +1}} {{=}} 0}} si ''j'' > 1, on peut énoncer la formule d'Euler-Maclaurin de la manière suivante<ref name="Cohen22" group="N">{{Harvsp|Cohen|2007|p=23}}. La formule avec son reste est donnée dans le cas, plus général, où les extrémités de l'intervalle sont des nombres réels ''a'' et ''a''+''N'' qui diffèrent d'un nombre entier naturel ''N''. Cette formule est un cas particulier d'une formule donnée page 22 où les nombres de Bernoulli {{mvar|b{{ind|j}}}} sont remplacés par les valeurs des polynômes de Bernoulli <math>B_r(x-\lfloor x \rfloor)</math> aux extrémités ''a'' et ''b''.</ref> : 

pour une fonction complexe {{mvar|f}} qui est ''r'' fois continûment dérivable (avec ''r'' > 0) :
<center><math>\sum_{i=p}^{q-1}f\left(
i\right) =\int_p^q f(x)~{\rm d}x+\sum_{j=1}^r\frac{b_j}{j!}\left(f^{(j-1)}(q)-f^{(j-1)}(p)\right)+R'_r</math></center>
On a <math>R'_r=R_{[\frac r2]},\qquad R_0=R'_1\qquad \text{et} \qquad R_k=R'_{2k}=R'_{2k+1}</math> si ''k'' > 0.
Avec les notations précédentes, l'expression du reste {{mvar|R'{{ind|r}}}} pour une fonction complexe ''r'' fois continûment dérivable (avec ''r'' > 0) est la suivante<ref group=N name=Cohen22/> : <center><math>R'_r= \frac{(-1)^{r-1}}{r!}\int_p^q f^{(r)}(x) B_r(x-\lfloor x \rfloor)~{\rm d}x</math>.</center>
La notation {{mvar|B{{ind|r}}}} désigne le ''r''-ème [[polynôme de Bernoulli]], et <math>B_r(x-\lfloor x \rfloor)</math> en est une version [[fonction périodique|périodisée]], de période 1, égale à {{math|''B{{ind|r}}''(''x'')}} si 0 < ''x'' < 1.
<center>
<math>B_0(x)=1\qquad
B_1(x)=x-\frac12\qquad
B_2(x)=x^2-x+\frac16\qquad
B_3(x)=x^3-\frac32x^2+\frac12x\qquad
B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac1{30}</math>.</center>

(Les polynômes et les nombres de Bernoulli sont reliés par les égalités {{math|''b{{ind|r}}'' {{=}} ''B{{ind|r}}''(0) {{=}} ''B{{ind|r}}''(1)}} si ''r'' > 1.).

Une autre formulation équivalente, où l'on somme de ''p'' + 1 à ''q'', est donnée par Tenenbaum<ref>{{Harvsp|Tenenbaum|2008|p=23}}.</ref> : pour une fonction complexe {{mvar|f}} qui est ''r'' + 1 fois continûment dérivable (avec ''r'' ≥ 0) :
<center><math>\sum_{p<n\leqslant q}f\left(
n\right) =\int_p^q f(x)~{\rm d}x+\sum_{j=0}^r\frac{(-1)^{j+1}b_{j+1}}{(j+1)!}\left(f^{(j)}(q)-f^{(j)}(p)\right)+R'_{r+1}</math>.</center>
Le coefficient {{math|(–1){{exp|''j''+1}}}} n'intervient dans la formule que pour ''j'' = 0. Son rôle est de remplacer le nombre de Bernoulli d'indice 1, {{math|''b''{{ind|1}} {{=}} –{{sfrac|1|2}}}}, par {{math|''b'''{{ind|1}} {{=}} +{{sfrac|1|2}}}}.

=== Expressions du reste ===

Si {{mvar|f}} est 2''k'' fois continûment dérivable sur le segment [''p'', ''q''] (avec ''k ''≥ 1), le reste {{mvar|R{{ind|k}}}} s'exprime de la manière suivante :

<center><math> R_k = - {1 \over (2k)!}\int_p^q f^{(2k)}(x) B_{2k}(x-\lfloor x \rfloor)~{\rm d}x.</math></center>

Si {{mvar|f}} est 2''k ''+ 1 fois continûment dérivable sur le segment [''p'', ''q''] (avec ''k ''≥ 0), le reste {{mvar|R{{ind|k}}}} s'exprime comme suit<ref group=N >{{Harvsp|Dieudonné|1980|p=303}}. Selon Dieudonné, il suffit que {{mvar|f}} admette une dérivée (2''k'' + 1)-ème continue par morceaux.</ref> :

<center><math> R_k = {1 \over (2k+1)!}\int_p^q f^{(2k+1)}(x) {B_{2k+1}(x-\lfloor x \rfloor)}~{\rm d}x.</math></center>

Si {{mvar|f}} est une fonction réelle 2''k ''+ 2 fois continûment dérivable sur le segment [''p'', ''q''] (avec ''k ''≥ 0), le reste peut s'écrire des manières suivantes<ref>{{Harvsp|Rombaldi|2005|p=527}} ; {{Harvsp|Hardy|1949|p=325}}.</ref> :

<center><math>\begin{align} R_k &=- {1 \over (2k+2)!}\int_p^q f^{(2k+2)}(x) (B_{2k+2}(x-\lfloor x \rfloor) -b_{2k+2})~{\rm d}x\\
&= {q-p \over (2k+2)!} b_{2k+2} f^{(2k+2)}(\xi),\qquad \text{ avec }\quad\xi\in\left]p,q\right[.\end{align}</math></center>

Si l'on considère les nombres de Bernoulli sans leur signe (on a <math>b_{2k}=(-1)^{k-1}|b_{2k}|</math>), la dernière formule s'écrit<ref>{{Harvsp|Deheuvels|1980|p=185-187 et p. 195}}.</ref> :
<center><math>R_k= (-1)^k{q-p \over (2k+2)!} |b_{2k+2}| f^{(2k+2)}(\xi),\qquad \text{ avec }\quad\xi\in\left]p,q\right[.</math></center>

Remarque : le reste {{mvar|R{{ind|k}}}} est nul pour tout polynôme de degré au plus 2''k'' + 1.

=== Majorations du reste ===
Si {{mvar|f}} est une fonction complexe 1 fois continûment dérivable sur le segment [''p'', ''q''], le maximum
<math>\sup_{t\in  [0\,;\,1]} |B_1(t)| = \frac{1}{2}</math>
du polynôme de Bernoulli {{math|''B''{{ind|1}}(''t'')}} permet d'obtenir la majoration   :
<center> <math>|R_0|\leqslant\frac{1}{2}\int_p^q\left|f' (t)\right|\mathrm{d}t</math>.</center>

Si {{mvar|f}} est une fonction complexe 2''k '' fois continûment dérivable sur le segment [''p'', ''q''] (avec ''k ''≥ 1), on peut majorer le reste (ou « terme d'erreur ») de la formule d'Euler-Maclaurin en utilisant la majoration des polynômes de Bernoulli d'indice pair<ref group="N" name="D301">{{Harvsp|Dieudonné|1980|p=301}}. Dieudonné note {{mvar|B{{ind|k}}}} les coefficients <math>|b_{2k}|</math>.</ref> : <math>\sup_{t\in  [0\,;\,1]} |B_{2k}(t)| = |b_{2k}|</math> :
<center> <math>|R_k|\leqslant\frac{|b_{2k}|}{(2k)!}\int_p^q\left|f^{(2k)}(x)\right|\mathrm{d}x</math>.</center>
Par exemple, avec <math>b_2=\frac16</math>, on a : <math>|R_1|\leqslant \frac1{12}\int_p^q\left|f''(x)\right|\mathrm{d}x</math>.

L'inégalité<!-- , comme celles qui suivent, --> peut être réécrite en utilisant la formule due à Euler (pour ''k ''≥ 1) : <math>\frac{|b_{2k}|}{(2k)!}=\frac2{(2\pi)^{2k}}\sum_{i=1}^{\infty}\frac1{i^{2k}} =\frac2{(2\pi)^{2k}}\zeta(2k)</math>. On déduit que <math>\frac{|b_{2k}|}{(2k)!}\leqslant \frac{2\zeta(2)}{(2\pi)^{2k}}</math> 
(on a l'équivalent : <math>\frac{|b_{2k}|}{(2k)!}  \sim \frac{2}{(2\pi)^{2k}}</math>).
<center> <math>|R_k|\leqslant\frac{2\zeta(2)}{(2\pi)^{2k}}\int_p^q\left|f^{(2k)}(t)\right|\mathrm{d}t</math>.</center>

Si {{mvar|f}} est une fonction complexe 2''k ''+ 1 fois continûment dérivable sur le segment [''p'', ''q''] (avec ''k ''≥ 1), en utilisant la majoration des polynômes de Bernoulli d'indice impair : <math>|B_{2k+1}(t)|\leqslant \frac{2(2k+1)!}{(2\pi)^{2k+1}}</math> (si <math>t\in [0\,;\,1]</math>) démontrée par [[Derrick Lehmer]], on obtient l'inégalité<ref group="N">{{Article|nom=Lehmer|prénom1=Derrick|lien auteur1=Derrick Lehmer |langue=en|titre=On the maxima and minima of Bernoulli polynomials | date=1940 | périodique=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=47|numéro=8|pages=533–538 |doi=10.2307/2303833|jstor=2303833}}.</ref> : <center> <math>|R_k|\leqslant \frac{2}{(2\pi)^{2k+1}} \int_p^q\left|f^{(2k+1)}(x)\right|\mathrm{d}x </math></center>

Pour le polynôme de Bernoulli {{math|''B''{{ind|3}}(''t'')}}, on a le maximum <math>\sup_{t\in  [0\,;\,1]} |B_3(t)| = \frac{\sqrt3}{36}</math> qui permet d'obtenir la majoration :
<center> <math>|R_1|\leqslant\frac{\sqrt3}{216}\int_p^q\left|f^{(3)}(t)\right|\mathrm{d}t</math>.</center>

=== Signe du reste ===
Si {{mvar|f}} est une fonction réelle 2''k ''+ 2 fois continûment dérivable sur le segment [''p'', ''q''] (avec ''k ''≥ 0), dont la dérivée d'ordre 2''k'' + 2 est de signe constant<ref group=N>Selon {{Harvsp|Bourbaki, FVR|p=VI.26}}, il suffit que {{mvar|f}} soit 2''k'' + 1 fois dérivable et que la dérivée d'ordre 2''k'' + 1 soit monotone.</ref>, le reste {{mvar|R{{ind|k}}}} a le même signe que le « premier terme négligé<ref name=Cohen25>{{Harvsp|Cohen|2007|p=25}}.</ref> » : <center> <math>R_k\approx\frac{b_{2k+2}}{(2k+2)!}\left(f^{(2k+1)}(q)-f^{(2k+1)}(p)\right)\approx (-1)^k\left(f^{(2k+1)}(q)-f^{(2k+1)}(p)\right)</math>.</center>
De plus on a les majorations suivantes<ref name=Cohen25/> :
<center> <math>|R_k|\leqslant2\left(1-2^{-(2k+2)}\right)\frac{|b_{2k+2}|}{(2k+2)!}\left|f^{(2k+1)}(q)-f^{(2k+1)}(p)\right|</math>.</center>
et <center> <math>|R_{k+1}|\leqslant\frac{|b_{2k+2}|}{(2k+2)!}\left|f^{(2k+1)}(q)-f^{(2k+1)}(p)\right|</math>.</center> (le reste suivant {{math|''R''{{ind|''k'' + 1}}}} n'excède pas (en valeur absolue) le « dernier terme retenu »<ref>{{Harvsp|Tenenbaum|2008|p=26}}.</ref>).

Si {{mvar|f}} est une fonction réelle 2''k ''+ 4 fois continûment dérivable sur le segment [''p'', ''q''] (avec ''k ''≥ 0), dont les dérivées d'ordre 2''k'' + 2 et 2''k'' + 4 sont de signe constant et de même signe, alors les restes {{mvar|R{{ind|k}}}} et {{math|''R''{{ind|''k'' + 1}}}} sont de signes opposés et le reste {{mvar|R{{ind|k}}}} est majoré (en valeur absolue) par le premier terme négligé<ref name=Cohen25/> :
<center> <math> |R_k|\leqslant \frac{|b_{2k+2}|}{(2k+2)!}\left|f^{(2k+1)}(q)-f^{(2k+1)}(p)\right|</math>.</center>

== Démonstration ==

On démontre la formule
<center><math> R_k = - {1 \over (2k)!}\int_p^q f^{(2k)}(x) B_{2k}(x-\lfloor x \rfloor)~{\rm d}x.</math></center>
sur l'intervalle [''n'', ''n ''+ 1], avec ''n ''∈ ℤ, puis on déduit la formule précédente par sommation sur ''n ''∈ ℤ (''p ''≤ ''n ''≤ ''q ''– 1).
{{Démonstration|contenu=
Soit ''g'' une fonction continûment dérivable sur [''n'', ''n ''+ 1]. En utilisant la propriété des polynômes de Bernoulli : <math> \forall m \in \N\quad B_{m+1}' = \left(m+1\right)B_m</math>, on trouve en faisant une intégration par parties : 

:<math>\int_n^{n+1} g (t) B_m (t-n)~{\rm d}t = \left[g (t) \frac{ B_{m+1} (t-n)}{m+1} \right]_n^{n+1} - \int_n^{n+1} g' (t) \frac{B_{m+1} (t-n)}{m+1}~{\rm d}t.</math>

Or, sachant que pour ''m ''≥ 1, on a <math>B_{m+1} (1) = B_{m+1}(0) = b_{m+1} </math>, on en déduit : 

:pour ''m ''≥ 1 : <math>\int_n^{n+1} g (t) B_m (t-n)~{\rm d}t=\frac{b_{m+1}}{m+1} \left( g (n+1) - g(n) \right) - \frac1{m+1} \int_n^{n+1} g'(t) B_{m+1} (t-n)~{\rm d}t.</math>

Sachant que (pour ''m'' = 0) on a<center><math>B_0 (t)=1\text{ et }B_1(1) = \frac12\text{ et }B_1 (0) = -\frac12,</math></center>on en déduit si ''g'' est dérivable continûment deux fois : 

<math>\begin{align}\int_n^{n+1} g (t)~{\rm d}t&=\int_n^{n+1} g (t) B_0 (t-n)~{\rm d}t\\&=\frac12 \left( g (n+1) + g(n) \right) - \int_n^{n+1} g'(t) B_1(t-n)~{\rm d}t\\
&= \frac{ g(n+1) + g(n)}2- \frac{b_2}2\left( g' (n+1) - g'(n) \right) + \frac12\int_n^{n+1} g''(t) {B_2(t-n)}~{\rm d}t.\end{align}</math>

Soit {{mvar|f}} une fonction continûment dérivable 2''k'' fois (''k'' > 0). Par récurrence sur ''k'', on montre :

:<math>\int_n^{n+1} f ( t)~{\rm d}t=\frac{f(n) +f (n+1) }2+\sum_{i=2}^{2k} \frac{\left( -1 \right)^{i-1} b_i}{i!} \left( f^{(i-1)}(n+1) - f^{(i-1)}(n) \right) + \frac1{(2k)!} \int_n^{n+1} f^{(2k)} (t) B_{2k} (t-n)~{\rm d}t.</math>

Enfin, avec la propriété : <math>\forall j \ge 1 , b_{2j+1} = 0 </math>, on en déduit (avec {{math|''i'' {{=}} 2''j''}}) :

:<math>\int_n^{n+1} f (t)~{\rm d}t=\frac{f(n) +f (n+1) }2-\sum_{j=1}^{{k}} \frac{b_{2j}}{(2j)!} \left( f^{(2j-1)}(n+1) - f^{(2j-1)}(n) \right) + \frac1{(2k)!} \int_n^{n+1} f^{(2k)}(t) B_{2k} (t-n)~{\rm d}t</math>

donc, avec {{math|''n ''{{=}} ⌊''t''⌋}}
:<math>\frac{f(n) +f (n+1) }2= \int_n^{n+1} f (t)~{\rm d}t+\sum_{j=1}^{k} \frac{b_{2j}}{(2j)!} \left( f^{(2j-1)}(n+1) - f^{(2j-1)}(n) \right) - \frac1{(2k)!} \int_n^{n+1} f^{(2k)}(t) B_{2k} \left( t-\lfloor t\rfloor\right)~{\rm d}t.</math>
D'où par sommation sur sommation sur ''n ''∈ ℤ (''p ''≤ ''n ''≤ ''q ''– 1) :
:<math>\sum_{n=p}^{q-1}\frac{f(n) +f (n+1) }2= \int_p^{q} f (t)~{\rm d}t+\sum_{j=1}^{k} \frac{b_{2j}}{(2j)!} \left( f^{(2j-1)}(q) - f^{(2j-1)}(p) \right) - \frac1{(2k)!} \int_p^{q} f^{(2k)}(t) B_{2k} \left( t-\lfloor t\rfloor\right)~{\rm d}t.</math>
}}

== Application à l'intégration numérique ==
=== Intégration numérique ===
{{Loupe|Calcul numérique d'une intégrale}}
La formule sommatoire peut être utilisée pour approcher des intégrales par un procédé discret, par exemple dans la [[méthode des trapèzes]] ou celle de [[méthode de Romberg|Romberg]], ou à l'inverse pour transformer une somme discrète (finie ou non) et lui appliquer les techniques du [[calcul infinitésimal]].

La formule d'Euler-Maclaurin peut aussi être utilisée pour une estimation précise de l'erreur commise dans le [[calcul numérique d'une intégrale]] ; en particulier, c'est sur elle que reposent les méthodes d'extrapolation. La [[méthode de quadrature de Clenshaw-Curtis]] est essentiellement un changement de variables ramenant une intégrale arbitraire à l'intégration de fonctions périodiques, pour lesquelles la formule sommatoire est très précise (dans ce cas, elle prend la forme d'une [[transformée en cosinus discrète]]).

=== Formules d'intégration d'Euler-Maclaurin ===
==== Intégration entre deux entiers ====
Dans la [[méthode des trapèzes]], on approxime l'intégrale <math>\int_n^{n+1} f(x)~{\rm d}x</math> par [[interpolation linéaire]] sur chaque intervalle [''n'', ''n'' + 1] : <math>\int_n^{n+1} f(x)~{\rm d}x\approx \frac{f(n)+f(n+1)}2</math>.

En sommant sur tous les intervalles de longueur 1, on approxime l'intégrale <math>\int_p^q f(x)~{\rm d}x </math> par la somme
<center><math>\frac{f(p)}{2} + f(p+1) + f(p+2) + \ldots + f(q-1) + \frac{f(q)}{2} =\frac{f\left( p\right) +f\left( q\right) }2+\sum_{i=p+1}^{q-1}f\left(i\right) </math></center>

La formule d'Euler-Maclaurin peut s'écrire :
<center><math>\int_p^q f(x)~{\rm d}x=\frac{f\left( p\right) +f\left( q\right) }2+\sum_{i=p+1}^{q-1}f\left(
i\right)
-\sum_{j=1}^k\frac{b_{2j}}{(2j)!}\left(f^{(2j-1)}(q)-f^{(2j-1)}(p)\right)-R_k</math></center>

==== Intégration sur un intervalle quelconque ====
Un simple [[Intégration par changement de variable|changement de variable]] permet d'obtenir une formule analogue pour une fonction définie sur un segment à bornes non entières. Les restes sont donnés avec le « point moyen » <math>\;\xi\in~]a,b[</math> pour une fonction dérivable {{math|2''k''&nbsp;+&nbsp;2}} fois.

En posant <math>h=\frac{b-a}{N}</math>, on a<ref>{{Harvsp|Rombaldi|2005|p=330}}.</ref> :
<center><math>\int_a^b f(x)~{\rm d}x= h\frac{f\left( a\right) +f\left( b\right) }2+h\sum_{m=1}^{N-1}f\left(
a+mh\right) -\sum_{j=1}^k\frac{b_{2j}}{(2j)!}h^{2j}\left(f^{(2j-1)}(b)-f^{(2j-1)}(a)\right)-(b-a)\frac{b_{2k+2}}{(2k+2)!}f^{(2k+2)}(\xi)h^{2k+2}</math>.</center>

Le « terme d'erreur » peut également s'écrire : <math> -R_k=-(b-a)\frac{b_{2k+2}}{(2k+2)!}f^{(2k+2)}(\xi)h^{2k+2}=-\frac{b_{2k+2}(b-a)^{2k+3}}{(2k+2)!N^{2k+2}}f^{(2k+2)}(\xi)</math>.

Si {{math|''N''&nbsp;{{=}}&nbsp;1}}, on a une formule où n'interviennent que les extrémités ''a'' et ''b''<ref>{{Harvsp|Deheuvels|1980|p=188}}.</ref> :
<center><math>\int_a^b f(x)~{\rm d}x=(b-a)\frac{f( a) +f( b)}2
-\sum_{j=1}^k\frac{(b-a)^{2j}}{(2j)!} b_{2j}\left(f^{(2j-1)}(b)-f^{(2j-1)}(a)\right)-(b-a)^{2k+3}\frac{b_{2k+2}}{(2k+2)!}f^{(2k+2)}(\xi)</math></center>

== Expressions du reste pour ''k'' = 0 et  pour ''k'' = 1 ==
=== Expressions de ''R''{{ind|0}} et erreur de la méthode des trapèzes ===
Les premiers polynômes de Bernoulli sont :
:<math>B_0(y)=1,\quad B_1(y)=y-\frac12,\quad B_2(y)=y^2-y+\frac16</math>.

<center><math>R_0=\frac{f\left( p\right) +f\left( q\right) }2+\sum_{n=p+1}^{q-1}f\left(
n\right) -\int_p^q f(x)~{\rm d}x</math>.</center>

{{math|(-''R''{{ind|0}})}} est l'erreur faite en approximant l'intégrale <math>\int_n^{n+1} f(x)~{\rm d}x\approx \frac{f(n)+f(n+1)}2</math> par la méthode des trapèzes sur chaque intervalle [''n'', ''n'' + 1].

Si {{mvar|f}} est continûment dérivable une fois (on pose <math>y=x-\lfloor x \rfloor</math><ref name=Hardy>{{Harvsp|Hardy|1949|p=318}}.</ref>) :
:<math>R_0 = \int_p^q f'(x) {B_1(y)}~{\rm d}x = \int_p^q f'(x)\left(y-\tfrac12\right)~{\rm d}x</math>
<!--<math>= \int_p^q f'(x) y~{\rm d}x -\frac{f(q)-f(p)}2.\end{align} </math>-->
Si {{mvar|f}} est une fonction réelle continûment dérivable deux fois<ref>{{Harvsp|Hardy|1949|p=319}}.</ref> :
:<math>\begin{align} R_0 =-\frac1{2!} \int_p^q f''(x)\left(B_2(y)-\tfrac16\right)~{\rm d}x&= -\frac12\int_p^q f''(x) (y^2-y)~{\rm d}x\\
&=\frac{q-p}{12}f''(\xi) \qquad (\text{avec }\; \xi\in\left]p,q\right[).\end{align} </math>

=== Formule de quadrature et terme d'erreur  pour ''k'' = 1 ===
Les polynômes de Bernoulli qui interviennent sont<ref group="N">{{Harvsp|Deheuvels|1980|p=189}}. Noter que dans la notation de Deheuvels, les nombres de Bernoulli sont considérés sans leur signe (<math>B_{2k}=|b_{2k}|</math>).</ref> :
:<math>B_2(y)=y^2-y+\frac16,\quad B_3(y)=y^3-\frac32y^2+\frac12y=y(y-1)\left(y-\tfrac12\right),\quad B_4(y)=y^4-2y^3+y^2-\frac1{30}=(y^2-y)^2-\frac1{30}</math>.

<center><math>R_1=\frac{f\left( p\right) +f\left( q\right) }2+\sum_{n=p+1}^{q-1}f\left(
n\right) -\int_p^q f(x)~{\rm d}x -\frac1{12} (f'(q)-f'(p))</math>.</center>
{{math|(–''R''{{ind|1}})}} est le terme d'erreur correspondant à la formule de quadrature<ref>{{Harvsp|Rombaldi|2005|p=328}}.</ref>, exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à trois :
<center><math>\int_p^q f(x)~{\rm d}x \approx \frac{f\left( p\right) +f\left( q\right) }2+\sum_{n=p+1}^{q-1}f\left(
n\right) +\frac{f'(p)-f'(q)}{12}</math></center>
(dans l'article [[Calcul numérique d'une intégrale]], il s'agit de la formule de Newton-Coates généralisée NC-2-2).

Si {{mvar|f}} est continûment dérivable deux fois (en posant <math>y=x-\lfloor x \rfloor</math><ref name=Hardy/>) :
:<math> R_1 =-\frac1{2!} \int_p^q f''(x) {B_2(y)}~{\rm d}x = -\frac12\int_p^q f''(x)\left(y^2-y+\tfrac16\right)~{\rm d}x. </math><!--= -\frac12\int_p^q f''(x) (y^2-y)~{\rm d}x-\frac{f'(q)-f'(p)}{12}-->
Si {{mvar|f}} est continûment dérivable trois fois :
:<math> R_1 = \frac1{3!}\int_p^q f'''(x) {B_3(y)}~{\rm d}x=\frac16\int_p^q f'''(x)\left(y^3-\tfrac32y^2+\tfrac12y\right)~{\rm d}x.</math>
Si {{mvar|f}} est une fonction réelle continûment dérivable quatre fois :
:<math> R_1 =-\frac1{4!} \int_p^q f^{(4)}(x)\left(B_4(y)+\tfrac1{30}\right)~{\rm d}x=-\frac1{24}\int_p^q f^{(4)}(x) (y^2-y)^2~{\rm d}x=-\frac{q-p}{720}f^{(4)}(\xi) \qquad (\text{avec }\; \xi\in\left]p,q\right[). </math>

== Autres applications ==

=== Le problème de Bâle ===
Le [[problème de Bâle]] demandait de déterminer la somme <math> 1 + \frac14 + \frac19 + \frac1{16} + \frac1{25} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}. </math>

Euler calcula cette somme à 20 décimales en utilisant seulement quelques termes de la formule d'Euler-Maclaurin. Ce calcul le convainquit probablement qu'elle valait {{sfrac|π{{exp|2}}|6}}, résultat qu'il publia en 1735 (mais avec des arguments incorrects ; il lui fallut six ans de plus pour trouver [[Problème de Bâle#La démonstration d'Euler|une démonstration rigoureuse]])<ref>{{Chapitre|lang=en|prénom=David J.|nom1=Pengelley|url=http://www.math.nmsu.edu/~davidp/euler2k2.pdf|titre=Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula|auteurs ouvrage=Robert Bradley et Ed Sandifer|titre ouvrage=Proceedings, Euler 2K+2 Conference (Rumford, Maine, 2002)|éditeur=Euler Society|année=2003}}.</ref>.

=== Sommes polynomiales ===
{{Article détaillé|formule de Faulhaber}}
Si {{mvar|f}} est un [[polynôme]] de degré ''d'' et si l'on applique la formule sommatoire avec ''p'' = 0, ''q'' = ''n'' et ''k'' choisi tel que {{math|''d'' ≤ 2''k'' +1}}, le reste  {{mvar|R{{ind|k}}}} disparaît.

Par exemple, si {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''{{exp|3}}}}, on peut prendre ''k'' = 1 pour obtenir
<center><math>\sum_{i=0}^ni^3=\int_0^n x^3 \mathrm{d}x+\frac{0^3+n^3}2+\frac16\frac{3n^2-0}{2!} =\frac{n^4}4+\frac{n^3}2+\frac{n^2}4=\frac{n^4+2n^3+n^2}4=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2</math>.</center>

=== Développements asymptotiques de fonctions définies par une série ===
Pour déterminer des [[Développement asymptotique|développements asymptotiques]] de sommes et de séries, la forme la plus utile de la formule sommatoire est sans doute (pour ''a'' et ''b'' entiers) :
<center><math>\sum_{n=a}^b f(n) \sim \int_a^b f(x)~{\rm d}x+\frac{f(a)+f(b)}2+ \sum_{j=1}^\infty \,\frac{B_{2j}}{(2j)!}\left(f^{(2j-1)}(b)-f^{(2j-1)}(a)\right)</math></center>

Ce développement reste souvent valide même lorsque l'on prend les limites quand {{math|''a ''→ –∞}} ou {{math|''b ''→ +∞}}, ou les deux. Dans de nombreux cas, l'intégrale de droite peut être calculée de manière exacte avec des fonctions élémentaires, alors que ce n'est pas le cas de la somme.

L'écriture précédente doit être interprétée comme une [[série formelle]], car, le plus souvent, cette série est [[Série divergente|divergente]] ; la formule ne peut en général pas être exploitée directement sous cette forme. Toutefois, Euler avait déjà remarqué qu'on obtenait une précision numérique remarquable en tronquant la formule au plus petit terme de la série, ce qui fut précisé et expliqué par les travaux d'[[Émile Borel]]<ref>Voir [http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~faure/enseignement/M1_math_pour_physique/Documents/Article_de_F_Pham_Borel.pdf cette conférence de F. Pham]</ref>.

Par exemple :
<center><math>\underbrace{\sum_{k=0}^\infty\frac1{(z+k)^2}}_{=\psi_1(z)} \sim \underbrace{\int_0^\infty\frac1{(z+x)^2}~{\rm d}x}_{=1/z}+\frac1{2z^2}
+\sum_{j=1}^\infty \frac{B_{2j}}{z^{2j+1}}.\,</math></center>
Ici, le membre de gauche est égal à <math>\psi_1(z)</math>, c'est-à-dire à la [[fonction polygamma]] d'ordre 1 (appelée aussi fonction trigamma) définie à partir de la [[fonction Gamma]] : <math>\psi_1(z)=\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}\ln \Gamma(z)=\sum_{k=0}^\infty\frac1{(z+k)^2}</math>.

La formule d'Euler Maclaurin amène à un [[développement asymptotique]] de <math>\psi_1(z)</math>, lequel permet une estimation précise de l'erreur de la [[formule de Stirling]] pour la fonction Gamma :

<center><math>\ln\Gamma(z) = z\ln z - z - \frac12\ln {z} + \frac12\ln (2\pi) + \sum_{n=1}^N\frac{B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}+ R_N(z)</math>.</center>
<center><math>\Gamma(z) = \sqrt{\frac{2\pi}{z}}\,{\left(\frac{z}{e}\right)}^z \left(1 + O\left(\frac{1}{z}\right)\right).</math></center>

== Notes ==
{{Références|groupe=N}}
== Voir aussi ==
* [[Formule d'Abel-Plana]]

== Références ==
{{Références|taille=20}}

== Bibliographie ==
{{Légende plume}}
* {{Ouvrage|id=Bourbaki, FVR|auteur=[[Nicolas Bourbaki|N. Bourbaki]]|titre=[[Éléments de mathématique]]|titre volume=Fonctions d'une variable réelle|numéro chapitre=VI}}{{plume}}
* {{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Henri Cohen (mathématicien)|Henri Cohen]]|titre=Number Theory|vol=II|titre volume=Analytic and Modern Tools|éditeur=[[Springer-Verlag]]|année=2007}}{{plume}}
* {{Ouvrage|auteur=[[Paul Deheuvels]]|titre=L'Intégrale|éditeur=[[PUF]]|collection=mathématiques|année=1980}}{{plume}}
* [[Jean-Pierre Demailly]], ''Analyse numérique et équations différentielles'', [[Presses universitaires de Grenoble]]
* {{Ouvrage|auteur=[[Jean Dieudonné]]|titre=Calcul infinitésimal|éditeur=[[Hermann (éditions)|Hermann]]|lieu=Paris|année=1980}}{{plume}}
* {{Ouvrage|lang=en|prénom=G. H.|nom=Hardy|lien auteur1=G. H. Hardy|titre=Divergent Series|lien éditeur=Oxford University Press|éditeur=OUP|année=1949}}{{plume}}
* {{Ouvrage|auteur=Jean-Étienne Rombaldi|titre=Interpolation et approximation|éditeur=[[Vuibert]]|année=2005}}{{plume}}
* {{Ouvrage|auteur=[[Gérald Tenenbaum]]|titre=Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres|éditeur=[[Éditions Belin|Belin]]|année=2008}}{{plume}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse réelle]]
[[Catégorie:Théorème d'analyse|Euler-Maclaurin]]
[[Catégorie:Leonhard Euler]]