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{{homonymes|Faà di Bruno (homonymie)}}
En [[mathématiques]], et plus précisément en [[analyse (mathématiques)|analyse]], la '''formule de Faà di Bruno''' est une identité généralisant la [[Théorème de dérivation des fonctions composées|règle de dérivation des fonctions composées]] au cas des [[Dérivation itérée|dérivées d'ordre supérieur]]. Elle a été souvent attribuée au mathématicien italien [[François Faà di Bruno]], en 1855<ref>{{Article|lang=it|auteur=Faà di Bruno|titre=Sullo sviluppo delle funzioni|revue=Annali di scienze matematiche e fisiche|vol=6|année=1855|page=479|url={{Google Livres|ddE3AAAAMAAJ|page=479}}}}.</ref>, mais on en connaît des mentions plus anciennes<ref>{{article |langue=en|auteur=[https://risweb.st-andrews.ac.uk/portal/da/persons/alexander-duncan-davidson-craik%28ae3c0eae-5d5c-49d8-9282-06fc3d3ad724%29.html Alex D. D. Craik] |titre=Prehistory of Faà di Bruno's formula |journal=[[The American Mathematical Monthly|Am. Math. Monthly]]|volume=112 |année=2005 |pages=119–130|numéro=2 |jstor=30037410}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|lang=en|url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Johnson217-234.pdf|titre=The curious history of Faa di Bruno's formula|auteur=[http://www.conncoll.edu/directories/faculty-profiles/warren-johnson/ Warren P. Johnson]|revue=Am. Math. Monthly|vol=109|année=2002|page=217-234}} ([[prix Paul R. Halmos-Lester R. Ford]] 2003).</ref>, la première étant sans doute due, en 1800, à [[Louis François Antoine Arbogast]]<ref>{{Ouvrage |prénom1=Louis François Antoine |nom1=Arbogast |lien auteur1=Louis François Antoine Arbogast |titre=Du calcul des dérivations |éditeur=Levrault |lieu=Strasbourg |année=1800 |passage=43 |lire en ligne=http://docnum.u-strasbg.fr/cdm/ref/collection/coll7/id/40373}}.</ref>.

== La formule de dérivation de Faà di Bruno ==
La forme la plus connue de cette formule est sans doute
:<math>{d^n \over dx^n} f(g(x))=\sum \frac{n!}{m_1!\,1!^{m_1}\,m_2!\,2!^{m_2}\,\cdots\,m_n!\,n!^{m_n}} f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x)) \prod_{j=1}^n\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_j},</math>
où la somme parcourt tous les ''n''-uplets (''m''<sub>1</sub>, ..., ''m''<sub>''n''</sub>) vérifiant la contrainte : <math>1m_1+2m_2+3m_3+\cdots+nm_n=n.</math>

Pour pouvoir la retenir plus facilement, on l'énonce parfois
:<math>{d^n \over dx^n} f(g(x)) =\sum \frac{n!}{m_1!\,m_2!\,\cdots\,m_n!} f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x)) \prod_{j=1}^n\left(\frac{g^{(j)}(x)}{j!}\right)^{m_j}, </math>
forme dans laquelle on reconnaît la [[Série de Taylor|composition des séries de Taylor]], mais sous cette forme, l'interprétation combinatoire des coefficients discutée plus bas est plus difficile à percevoir.

Combinant les termes correspondant à la même valeur de ''m''<sub>1</sub> + ''m''<sub>2</sub> + ... + ''m''<sub>''n''</sub> = ''k'' et remarquant que ''m{{ind|j}}'' doit être nul pour ''j'' > ''n'' − ''k'' + 1, on arrive à une autre formule un peu plus simple, exprimée en fonction des [[Polynôme de Bell|polynômes de Bell]] ''B''<sub>''n'',''k''</sub>(''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''−''k''+1</sub>) :
:<math>{d^n \over dx^n} f(g(x)) = \sum_{k=1}^n f^{(k)}(g(x)) B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots,g^{(n-k+1)}(x)\right).</math>

== Forme combinatoire ==

La formule peut s'écrire sous la forme « combinatoire » suivante :

:<math>{d^n \over dx^n} f(g(x))=(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum_{\pi\in\Pi} f^{(\left|\pi\right|)}(g(x))\cdot\prod_{B\in\pi}g^{(\left|B\right|)}(x),</math> où

* π parcourt l'ensemble Π de toutes les [[Partition d'un ensemble|partitions de l'ensemble]] { 1, ..., ''n'' },

* « ''B'' ∈ π » signifie que la variable ''B'' parcourt la liste de tous les blocs de la partition π, et

* |''A''| désigne le [[Ensemble fini|cardinal]] de l'ensemble ''A'' (et donc |π| est le nombre de blocs de la partition π, et |''B''| est la taille du bloc ''B'').

== Explication sur un exemple ==
La forme combinatoire peut sembler inutilisable au premier abord, aussi nous allons montrer sur un cas concret à quoi elle ressemble :

:<math> \begin{align} (f\circ g)''''(x)  & = f''''(g(x))g'(x)^4  + 6f'''(g(x))g''(x)g'(x)^2 \\ & {} \quad+\; 3f''(g(x))g''(x)^2 +  4f''(g(x))g'''(x)g'(x) \\ & {} \quad+\; f'(g(x))g''''(x). \end{align} </math>

Quelle est la règle ?

:<math> \begin{align}   g'(x)^4  & & \longleftrightarrow & & 1+1+1+1  & & \longleftrightarrow & & f''''(g(x))  & & \longleftrightarrow &\quad & 1  \\  \\   g''(x)g'(x)^2  & & \longleftrightarrow & & 2+1+1  & & \longleftrightarrow & & f'''(g(x))  & & \longleftrightarrow & & 6  \\  \\ g''(x)^2  & & \longleftrightarrow & & 2+2  & & \longleftrightarrow & & f''(g(x))  & & \longleftrightarrow & & 3  \\  \\ g'''(x)g'(x)  & & \longleftrightarrow & & 3+1  & & \longleftrightarrow & & f''(g(x))  & & \longleftrightarrow & & 4  \\  \\ g''''(x)  & & \longleftrightarrow & & 4  & & \longleftrightarrow & & f'(g(x))  & & \longleftrightarrow & & 1 \end{align} </math>
Le facteur <math>g''(x)g'(x)^2</math>, par exemple, correspond à la partition 2 + 1 + 1 de l'entier 4 (puisque nous cherchons la dérivée d'ordre 4), et le facteur <math>f'''(g(x))</math> qui l'accompagne venant de ce qu'il y a trois termes dans cette partition ; enfin, le coefficient 6 résulte de ce qu'il y a exactement 6 partitions d'un ensemble à 4 éléments de la forme « une [[paire]] et deux [[Singleton (mathématiques)|singletons]] ».

== La combinatoire des coefficients de la formule ==

Les '''coefficients de Faà di Bruno ''' correspondant à ces comptes de partitions ont une forme explicite ; en effet, le nombre de partitions d'un entier ''n'' correspondant à la somme (la [[partition entière]])

:<math>\displaystyle n=\underbrace{1+\cdots+1}_{m_1} \,+\, \underbrace{2+\cdots+2}_{m_2} \,+\, \underbrace{3+\cdots+3}_{m_3}+\cdots</math>

est égal à

:<math>\frac{n!}{m_1!\,m_2!\,m_3!\,\cdots 1!^{m_1}\,2!^{m_2}\,3!^{m_3}\,\cdots}.</math>

Ces coefficients apparaissent aussi dans les [[Polynôme de Bell|polynômes de Bell]], utilisés dans l'étude des [[Cumulant (statistiques)|cumulants]].

== Deux cas particuliers ==

Si <math>f(x)=\mathrm{e}^x</math>, alors toutes les dérivées de ''f'' sont les mêmes, et sont facteurs communs de tous les termes de la formule. Quand ''g''(''x'') est une fonction génératrice de [[Cumulant (statistiques)|cumulants]], ''f''(''g''(''x'')) est une fonction génératrice de [[Moment (probabilités)|moments]], et le polynôme en les dérivées de ''g'' est le polynôme exprimant les moments en fonction des cumulants. Prenant <math>g(x)=-x^2</math>, on retrouve aussi de cette manière les [[polynôme d'Hermite|polynômes d'Hermite]].

Si <math>f(x)=1/x</math>, on a <math>f^{(n)}(x)=(-1)^nn!/x^{n+1}</math> ; on en déduit<ref>{{Harvsp|Feldmann|2013}}.</ref> la formule suivante pour la dérivée ''n''-ième de <math>1/g</math> :
:<math>(1/g)^{(n)}(x)=\frac{n!}{g^{n+1}(x)}\sum\frac{(-1)^{n-m_0}(n-m_0)!}{\displaystyle\prod_{i=1}^n(i!)^{m_i}\;m_i!}\prod_{i=0} ^n\left(g^{(i)}(x)\right)^{m_i}</math>
où <math>m_0=m_2+2m_3+\dots+(n-1)m_n</math> est tel que : <math>n=m_0+m_1+\dots+m_n=m_1+2m_2+\dots+nm_n</math>.

== Une version à plusieurs variables ==
Soit ''y'' = ''g''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>). Alors l'identité suivante est vraie, que les ''n'' variables soient distinctes, ou identiques, ou partitionnées en classes de variables indiscernables (l'exemple concret ci-dessous devrait rendre cela clair) :
:<math>{\partial^n \over \partial x_1 \cdots \partial x_n}f(y) = \sum_{\pi\in\Pi} f^{(\left|\pi\right|)}(y)\cdot\prod_{B\in\pi} {\partial^{\left|B\right|}y \over \prod_{j\in B} \partial x_j}</math><ref>{{article |langue=en|auteur=Michael Hardy|titre=Combinatorics of Partial Derivatives |journal=[[Electronic Journal of Combinatorics]]|volume=13 |numéro=1 |année=2006 |pages=R1 |url=http://www.combinatorics.org/Volume_13/Abstracts/v13i1r1.html}}.</ref>,
où, comme précédemment, π parcourt l'ensemble Π de toutes les partitions de { 1, ..., ''n'' }, ''B'' ∈ π signifie que ''B'' parcourt les blocs de la partition π, et |''A''| est le cardinal de l'ensemble ''A''. Une généralisation supplémentaire, correspondant au cas où ''Y'' est une variable vectorielle, est due à Tsoy-Wo Ma<ref>{{article |langue=en|auteur=Ma, Tsoy Wo|titre=Higher Chain Formula proved by Combinatorics |journal=Electronic Journal of Combinatorics |volume=16  |numéro=1  |année=2009 |pages=N21 |url=http://www.combinatorics.org/Volume_16/Abstracts/v16i1n21.html}}.</ref>.

=== Exemple ===

Les cinq termes de l'expression suivante correspondent aux cinq partitions de l'ensemble {1, 2, 3}, et dans chaque cas l'ordre de la dérivée de ''f'' est le nombre de sous-ensembles de la partition :

:<math>\begin{align}\frac{\partial^3}{\partial x_1\, \partial x_2\, \partial x_3}f(y) =& f'(y)\frac{\partial^3 y}{\partial x_1\, \partial x_2\, \partial x_3}\\
&{} + f''(y) \left( \frac{\partial y}{\partial x_1} \cdot\frac{\partial^2 y}{\partial x_2\, \partial x_3} +\frac{\partial y}{\partial x_2} \cdot\frac{\partial^2 y}{\partial x_1\, \partial x_3} + \frac{\partial y}{\partial x_3} \cdot\frac{\partial^2 y}{\partial x_1\, \partial x_2}\right)\\{} &+ f'''(y) {\partial y \over \partial x_1} \cdot{\partial y \over \partial x_2} \cdot{\partial y \over \partial x_3}.\end{align}</math>

Si les trois variables sont identiques, les trois facteurs de <math>f''(y)</math> le sont aussi, et l'on retrouve alors la formule classique à une seule variable.

== Une version concernant les séries formelles ==
Si
{{Retrait|<math>g(X)=\sum_{\ell=1}^\infty{b_{\ell}\over\ell!}X^{\ell}\text{ et }f(X)=\sum_{n=1}^\infty{a_n\over n!}X^n\text{ et }g(f(X))=h(X)=\sum_{n=1}^\infty{c_n\over n!}X^n,</math>}}
alors le coefficient ''c''<sub>''n''</sub> (qui est la [[Série formelle#Dérivation de séries formelles|dérivée formelle]] ''n''-ième en 0 de la [[série formelle]] ''h'') est donné par :
{{Retrait|<math>c_n=\sum_{\pi=\left\{B_1,\,\dots,\,B_k\right\}}a_{\left|B_1\right|}\cdots a_{\left|B_k\right|} b_k</math>}}
(avec les mêmes conventions que précédemment : π parcourt l'ensemble des partitions de l'ensemble {1, ..., ''n''}, ''B''<sub>1</sub>,..., ''B''<sub>''k''</sub> sont les blocs de la partition π, et |''B''<sub>''j''</sub>| est le nombre d'éléments du ''j''-ème bloc pour ''j'' = 1,..., ''k'').

Cette version de la formule est particulièrement bien adaptée aux méthodes de l'[[Combinatoire|analyse combinatoire]]<ref>Voir la « formule de composition » dans {{Ouvrage|langue= anglais|auteur= [[Richard P. Stanley]]|titre= Enumerative Combinatorics |numéro d'édition= 7 |éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|lieu= Cambridge|année=1999<!--http://www.ams.org/journals/bull/2002-39-01/S0273-0979-01-00928-4/S0273-0979-01-00928-4.pdf-->|volume=2|isbn= 978-0-521-55309-4|numéro chapitre=5|lire en ligne={{Google Livres|zg5wDqT6T-UC|page=1}}|présentation en ligne=http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/}}.</ref>.

Elle se récrit :
{{Retrait|<math>c_n=\sum_{k=1}^nB_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1})b_k,</math>}}
où les ''B''<sub>''n'',''k''</sub>(''a''<sub>1</sub>,...,''a''<sub>''n''−''k''+1</sub>) sont des [[Polynôme de Bell|polynômes de Bell]].

Par exemple, pour tout entier ℓ ≥ 1 :
{{Retrait|<math>\left(\sum_{n=1}^\infty{a_n\over n!}X^n\right)^{\ell}=\sum_{n=\ell}^\infty B_{n,\ell}(a_1,\dots,a_{n-\ell+1}){\ell!\over n!}X^n,</math>}}
ou encore :
{{Retrait|<math>\left(\sum_{m=0}^\infty d_mX^m\right)^{\ell}=\sum_{k=0}^\infty B_{k+\ell,\ell}\left(\tfrac{d_0}{1!},\dots,\tfrac{d_k}{(k+1)!}\right){\ell!\over(k+\ell)!}X^k.</math>}}

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Faà di Bruno's formula|319824778|type=n}}
{{Références}}

== Voir aussi ==

=== Article connexe ===
[[Calcul ombral]]

=== Liens externes ===
* {{Lien web|prénom1=Denis|nom1=Feldmann|url=http://denisfeldmann.fr/PDF/faa.pdf|titre=La formule de Faà di Bruno|année=2013}}{{Commentaire biblio SRL|une démonstration (par récurrence) de la formule}}
* {{MathWorld|nom_url=FaadiBrunosFormula|titre=Faà di Bruno's Formula}}
* {{Lien arXiv|auteur=Vladimir V. Kruchinin|titre=Composition of ordinary generating functions|année=2010|version=v1|eprint=1009.2565}} (arXiv)
* {{Article|lang=en|revue=[http://www.naturalspublishing.com/ContentTB.asp?JorID=5 J. Anal. Number Theory]|vol=2|numéro=2|p.=1-8|année=2014|auteur=Vladimir V. Kruchinin|auteur2=Dmitry V. Kruchinin|titre=Composita and its properties|arxiv=1103.2582}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse réelle]]
[[Catégorie:Théorème d'analyse|Faa di Bruno (formule)]]
[[Catégorie:Dérivée]]