Voir la source de Formule de Moivre

{{Voir homonymes|Moivre}}
[[Fichier:Abraham de moivre.jpg|thumb|upright|[[Abraham de Moivre]] a donné son nom à la formule.]]
La '''formule de Moivre'''<ref group=alpha>Elle est parfois appelée « formule de de Moivre » pour se rapprocher de l'anglais ''Formula of De Moivre'' ou du consacré ''[[:en:De Moivre's formula|De Moivre's formula]]''. En revanche, l'usage nettement prépondérant en France et dans les pays francophones, notamment dans l'enseignement, est « la formule de Moivre » car aucune contrainte typographique n'impose de faire figurer la particule « devant les noms d’une syllabe, les noms de deux syllabes avec finale muette et les noms commençant par une voyelle ou un h muet », comme le rappellent les [[WP:TYPO#MAJUSCULES-PATRONYMES-FR|recommandations des conventions typographiques]] dérivées du ''[[Lexique des règles typographiques en usage à l'Imprimerie nationale|Lexique des règles typographiques en usage à l’Imprimerie nationale]]'' à sa {{p.|137}} ; un extrait de celles-ci figure en [[Discussion:Formule de Moivre#Archivage de la demande de renommage de « Formule de de Moivre » vers « Formule de Moivre »|page de discussion du présent article]].</ref> affirme que, [[pour tout]] [[nombre réel]] {{mvar|x}} et pour tout [[entier relatif]] {{mvar|n}} :

: <math>\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)^n=\cos(nx)+\mathrm i\sin(nx)\quad (1)</math>

Le nombre i désigne l'[[unité imaginaire]], c'est-à-dire le choix d'une [[racine carrée]] de –1. Elle porte le nom du [[mathématicien]] [[France|français]] [[Abraham de Moivre]], qui a utilisé une formule relativement proche dans ses écrits.

Cette formule met en relation les [[Nombre complexe|nombres complexes]] et les [[fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]] [[cosinus]] et [[sinus (mathématiques)|sinus]]. Parfois la formule est réécrite en remplaçant « {{formule|cos (''x'') + i sin (''x'')}} » par « {{formule|exp(i''x'')}} ».
C'est la [[formule d'Euler]]. En élevant les deux membres de cette formule à la puissance {{mvar|n}}, on démontre directement la formule de Moivre. C'est donc une démonstration qui est beaucoup plus simple que la [[démonstration par récurrence]] donnée [[#Démonstration|ci-dessous]].

== Interprétation géométrique ==
[[Image:Représentation graphique du plan complexe.png|thumb|upright=0.9|Représentation graphique de z dans le plan complexe, coordonnées cartésiennes et polaires.]]
Pour {{mvar|x}} réel, l'égalité « {{formule|cos{{2}}''x'' + sin{{2}}''x'' {{=}} 1}} » entraîne que le [[nombre complexe]] {{formule|''z'' {{=}} cos ''x'' + i sin ''x''}} a pour {{nobr|module 1.}} Dans le [[plan d'Argand]], les nombres complexes de {{nobr|module 1}} forment le cercle ''C'' de centre O et de {{nobr|rayon 1}} (le [[cercle unité]]). En particulier, le point M d'affixe {{mvar|z}} appartient à ''C''. Si I est le point {{nobr|d'affixe 1,}} l'angle (OI, OM) mesure {{nobr|{{mvar|x}} [[radian]]s}}. La formule de Moivre affirme que {{mvar|z{{exp|n}}}} est l'affixe du point N de ''C'' tel que l'angle orienté (OI, ON) mesure {{nobr|{{mvar|nx}} radians}}.

La formule de Moivre s'appuie sur un résultat plus général concernant l'interprétation géométrique du produit de nombres complexes : si {{mvar|z}} et {{mvar|w}} sont deux nombres complexes de {{nobr|module 1}}, on place les points M et N d'affixes respectives {{mvar|z}} et {{mvar|w}}, et on obtient {{mvar|zw}} comme l'affixe du point P de ''C'' tel que {{nobr|(OI, OP) {{=}} (OI, OM) + (OI, ON)}}. On dispose alors de la formule générale :
:<math>\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)\left(\cos y+\mathrm i \sin y\right)=\cos(x+y)+\mathrm i\sin(x+y)\quad (2)</math>
qui (en développant le membre de gauche) équivaut aux [[Identité trigonométrique#Formules d'addition et de différence|formules d'addition pour le cosinus et le sinus]].

{{clr}}

== Historique ==
{{article détaillé|Histoire des nombres complexes}}
[[Fichier:Euler-USSR-1957-stamp.jpg|thumb|Timbre à l'effigie d'[[Leonhard Euler|Euler]].]]
La forme courante de la formule apparaît dans l'''Introduction à l'analyse infinitésimale''<ref>[[Leonhard Euler]], [http://eulerarchive.maa.org/pages/E101.html ''Introductio in analysin infinitorum'', vol. 1], chap. 8 (« De quantitatibus transcendentibus ex circulo ortis »), § 133.</ref> d'[[Leonhard Euler|Euler]] qui la démontre<ref>Énoncée plus que démontrée selon {{harvsp|Flament|2003|p=61}}.</ref>, pour tout entier naturel {{mvar|n}}, en 1748. Mais elle apparait de manière implicite<ref>{{harvsp|Schneider|1968|p=250}}.</ref> chez [[Abraham de Moivre]] à plusieurs reprises à partir de 1707<ref>Dès 1707, dans les ''Philosophical Transactions'', {{n°|309}}, art. 3, ''Résolution analytique de quelques équations de la {{3e}}, {{5e}}, {{7e|puissance}} et des puissances supérieures'' ({{Google Livres|bNDDAgAAQBAJ|page=444|aperçu}}), puis en 1730 dans ses ''Miscellanea Analytica'', Londres, {{p.|1-2}} et dans les ''Philosophical Transactions'' de 1738, {{n°|451}}, problème III ({{Google Livres|VMrPHF4AVsgC&|page=507|aperçu}}).</ref>, dans ses travaux sur les racines {{mvar|n}}-ièmes de nombres complexes. Les deux problèmes sont effectivement liés : écrire que {{formule|(cos ''x'' + i sin ''x''){{exp|''n''}} {{=}} cos(''nx'') + i sin(''nx'')}} est équivalent à dire que {{formule|cos ''x''  + i sin ''x''}} est une des [[Racine d'un nombre#Racines d'un complexe|racines {{mvar|n}}-ièmes]] du complexe {{formule|cos(''nx'') + i sin(''nx'')}}.

== Démonstration ==
On démontre (1) dans un premier temps pour {{formule|''n'' ≥ 0}} par récurrence sur {{mvar|n}}.
*  Pour {{formule|''n'' {{=}} 0}}, la formule est vraie puisque {{formule|cos(0''x'') + i sin(0''x'') {{=}} 1 + i×0 {{=}} 1}} et par convention, {{formule|''z''{{exp|0}} {{=}} 1}}.
*  Soit un entier {{formule|''k'' ≥ 0}}. Supposons la formule vraie pour {{mvar|k}}. Alors,
:<math>\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)^k=\cos(kx)+\mathrm i\sin(kx)</math>
Ce qui donne :
:<math>
\begin{alignat}{2}
    \left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)\\
                                      & = \left[\cos\left(kx\right) + \mathrm i\sin\left(kx\right)\right] \left(\cos x+\mathrm i\sin x\right) 
 \end{alignat}
</math>

Par la formule (2), il vient :
:<math>\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)^{k+1}=\cos((k+1)x)+\mathrm i\sin((k+1)x)</math>
Nous en déduisons que la formule est vraie au rang {{formule|''k'' + 1}}.

D'après le principe de récurrence, il s'ensuit que la formule est vraie pour tous les [[Entier naturel|entiers naturels]].

Lorsque {{formule|''n'' < 0}}, nous considérons l'entier {{math|''m'' > 0}} tel que {{formule|''n'' {{=}} – ''m''}}. Ainsi

:<math>
\begin{alignat}{2}
     \left(\cos x + i\sin x\right)^{n} & = \left(\cos x + \mathrm i\sin x\right)^{-m}\\
                                       & = \frac{1}{\left(\cos x + \mathrm i\sin x\right)^{m}}\\
                                       & = \frac1{\cos mx + \mathrm i\sin mx}\\
                                       & = \cos\left(mx\right) - \mathrm i\sin\left(mx\right)\\
                                       & = \cos\left(-mx\right) + \mathrm i\sin\left(-mx\right)\\
                                       & = \cos\left(nx\right) + \mathrm i\sin\left(nx\right).
\end{alignat}
</math>

Ainsi le théorème est vrai pour tous les entiers relatifs {{mvar|n}}, [[c.q.f.d.]].

== Utilisations de la formule de Moivre ==

Cette formule est utilisée pour rechercher les puissances ''n''{{exp|ièmes}} de [[nombres complexes]] sous forme trigonométrique :
: <math>z^n= r^n(\cos(nx)+ \mathrm i \sin(nx)\,)</math>
ainsi que pour obtenir les formes de {{formule|cos(''nx'')}} et {{formule|sin(''nx'')}} en fonction de {{formule|sin(''x'')}} et {{formule|cos(''x'')}}.

Par exemple, pour avoir {{formule|cos(2''x'')}} et {{formule|sin(2''x'')}}, on égale :
: <math>(\cos(x)+\mathrm i\sin(x))^2 = \cos(2x)+\mathrm i \sin(2x)\ </math>

On a :
: <math>\cos^2(x)+2\cos(x)\sin(x)\mathrm i-\sin^2(x)\,</math><math>=\cos(2x)+\mathrm i \sin(2x)\,</math>
On identifie les parties réelles et imaginaires, pour obtenir les deux égalités suivantes :
: <math>\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)\,</math>
: <math>\sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)\,</math>

On dispose ainsi des formules trigonométriques de duplication.

=== Polynômes de Tchebychev ===
{{article détaillé|Polynôme de Tchebychev}}
[[Fichier:Chebyshev.jpg|thumb|upright|[[Pafnouti Tchebychev]].]]
La formule de Moivre donne :
:<math>\cos(nx)+\mathrm i\sin(nx)={\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)}^n=\sum_{p=0}^n {n \choose p}\cos^{n-p} (x)\mathrm i^{p}\sin^{p}(x)</math>
En prenant la partie réelle et en posant {{formule|''p'' {{=}} 2''k''}}, il vient :
:<math>\cos(nx)=T_n(\cos x)</math>
où {{mvar|T<sub>n</sub>}} est un polynôme de degré {{formule|''n''}}, appelé [[polynôme de Tchebychev]].
:<math>T_n(X)=\sum_{0\leq 2k\leq n} {n \choose 2k}(-1)^kX^{n-2k}(1-X^2)^k</math>

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{références|groupe=alpha}}

=== Références ===
{{références}}

== Bibliographie ==
* {{ouvrage|prénom1=Dominique|nom1=Flament|titre=Histoire des nombres complexes|sous-titre=Entre algèbre et géométrie|année=2003|éditeur=CNRS Édition}}
* {{ouvrage|lang=en|prénom1=David E.|nom1=Smith|titre=A source book in mathematics|volume=3|éditeur=Courier Dover Publication|année=1959}}
* {{article|lang=en|prénom1=Ivo|nom1=Schneider|titre=Der Mathematiker Abraham de Moivre (1667 - 1754)|périodique=Archive for History of Exact Sciences|jour=31|mois=12|année=1968|pages=177-317}}

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