Voir la source de Formule de Torricelli

[[Image:TorricellisLaw.svg|thumb|Schéma de principe : un fluide s'écoule par une ouverture située à la distance {{Formule|§=''h''}} du niveau de fluide.]]

Le '''principe de Torricelli''' est un principe de [[mécanique des fluides]] découvert par [[Evangelista Torricelli]] en 1643<ref name="Britannica"/>. Il établit que le carré de la vitesse d'écoulement d'un fluide sous l'effet de la pesanteur est proportionnel à la hauteur de fluide située au-dessus de l'ouverture par laquelle il s'échappe du cylindre qui le contient. Si on note {{Formule|§=''v''}} la vitesse d'écoulement, 

{{Formule|§=''h''}} la hauteur de fluide et {{Formule|§=''g''}} l'[[accélération de la pesanteur]], on a<ref name="Britannica" /> :

<math display="block">v^2= 2\,g\,h</math>

== Conséquences ==

Une conséquence immédiate est que la vitesse est indépendante de la [[masse volumique]] du liquide considéré. Le mercure ou bien l'eau s'écoulent donc à la même vitesse. On retrouve ainsi la loi de [[Galilée (savant)|Galilée]] sur la [[Chute libre (physique)|chute libre des corps]] transposée en hydrodynamique. Une autre conséquence de la formule de Torricelli est que plus la hauteur de liquide est importante, plus la vitesse d'éjection est élevée.

== Énoncé historique ==
En {{date|1644|en science}}, peu après la mort de [[Galilée (savant)|Galilée]] ({{date-|1564|en science}}-{{date-|1642|en science}}), [[Evangelista Torricelli|Torricelli]] ({{date-|1608|en science}}-{{date-|1647|en science}}) publie à [[Florence]] son ''{{langue|la|texte=de Motu aquarum}}''{{note|groupe=N|texte=Le ''{{langue|la|texte=de Motu aquarum}}'' de Torricelli appartient au {{nobr rom|livre II}} de son ''{{langue|la|texte=de Motu gravium naturaliter descendentium et projectorum}}'', celui-ci étant le deuxième des trois traités de ses ''{{langue|la|texte=Opera geometrica}}''{{sfn|Blay|1987|p=79, {{n.|1}}}}.}} dans lequel il énonce la [[Loi physique|loi]] dont il est aujourd'hui l'[[Éponymie|éponyme]]{{sfn|Blay|1985|p=330}}{{,}}{{sfn|Blay|1987|p=79}}{{,}}{{sfn|Blay|1992|p=51}}{{,}}{{sfn|Blay|2005}}. Le philosophe et historien des sciences [[Michel Blay]] en résume ainsi l'énoncé{{sfn|Blay|1985|p=330}}{{,}}{{sfn|Blay|1987|p=79}}{{,}}{{sfn|Blay|1992|p=51}}{{,}}{{sfn|Blay|2005}} : {{citation|la vitesse d'écoulement d'un [[liquide]] par le fond d'un réservoir percé est [[Proportionnalité|proportionnelle]] à la [[racine carrée]] de la hauteur séparant le trou de la surface libre du liquide.}}

Un énoncé en a également été donné par [[Descartes]] en 1643 dans une lettre à [[Christian Huygens]] :
{{citation|Les vitesses de sortie de l'eau par un trou placé en bas d'un cylindre sont en raison doublées des hauteurs de remplissage desdits cylindres<ref name="Descartes"/>.}}

== Démonstration ==
[[Image:Torricelli.png|thumb|Schéma de démonstration.]]
La formule de Torricelli se démontre à l'aide du [[théorème de Bernoulli]] appliqué à une ligne de courant.

Le principe de [[conservation de l'énergie]] totale veut que la variation de l'énergie potentielle du fluide stocké se transforme en énergie cinétique du fluide qui s'écoule.

On considère une cuve remplie d'un liquide supposé parfait (non [[Viscosité|visqueux]]) et [[fluide incompressible|incompressible]] ([[masse volumique]] constante). Dans cette cuve est percé un trou de petite taille à une hauteur {{Formule|§=''h''}} en dessous de la surface libre du liquide. On note {{Formule|§=A}} un point choisi au hasard sur la surface libre du liquide et {{Formule|§=B}} un point pris au niveau du jet libre généré par le trou.

On suppose que le trou est assez petit pour que : 

* le diamètre du trou soit négligeable devant la hauteur {{Formule|§=''h''}} de liquide au-dessus du trou, de manière que {{Formule|§=''h''}} puisse être considéré comme constant au niveau du trou ;
* la surface {{Formule|§=''s''}} du trou soit négligeable devant la surface libre {{Formule|§=''S''}} du liquide ; la conservation du [[Débit (physique)|débit]] impose que <math>v_\text{A} S = v_\text{B} s </math>, d'où <math>v_\text{A} = \frac{v_\text{B} \, s}{S} \ll v_\text{B}</math> ; on peut donc considérer que la hauteur {{Formule|§=''h''}} ne varie pas au cours du temps, et que l'écoulement du liquide est permanent.

L'ensemble du liquide participant à l'écoulement, on peut relier les points {{Formule|§=A}} et {{Formule|§=B}} au travers d'une [[ligne de courant]].

En admettant enfin que le [[champ de pesanteur]] est uniforme à l'échelle de la cuve, il est alors possible d'appliquer le [[théorème de Bernoulli]] au niveau des points {{Formule|§=A}} et {{Formule|§=B}} :<math display="block">p_\text{A} + \rho \, g \, z_\text{A} + \frac{\rho \, v_\text{A}^2}{2} = p_\text{B} + \rho \, g \, z_\text{B} + \frac{\rho \, v_\text{B}^2}{2} \qquad [1]</math>

Or la pression au niveau de la surface libre du liquide {{Formule|§=''p''}}{{Ind|A}} et la pression au niveau du jet libre {{Formule|§=''p''}}{{Ind|B}} sont toutes deux égales à la [[pression atmosphérique]] {{Formule|§=''p''}}{{Ind|0}}. Par ailleurs on a vu que <math>v_\text{A} = \frac{v_\text{B} \, s}{S} \ll v_\text{B}</math>, donc on peut négliger la vitesse du liquide au point {{Formule|§=A}} : <math>v_\text{A} = 0</math>.  L'équation [1] devient alors :

:<math>p_0 + \rho \, g \, z_\text{A} + 0 = p_0 + \rho \, g \, z_\text{B} + \frac{\rho \, v_\text{B}^2}{2}</math>.

En simplifiant les pressions atmosphériques et la masse volumique, puis en isolant {{Formule|§=''v''}}{{Ind|B}}, on obtient la vitesse du liquide en sortie de la cuve : 

:<math>v_\text{B} = \sqrt{2 \, g \, (z_\text{A} - z_\text{B})} = \sqrt{2 \, g \, h}</math>.

En considérant les différentes hypothèses nécessaires à l'établissement de cette formule, l'analogie avec la chute libre doit être interprétée avec précaution.

''Remarque :'' la [[loi de Bernoulli]] n'avait pas encore été énoncée à l'époque où Torricelli propose cette loi. Cette démonstration n'est donc pas celle qui a pu le conduire au résultat.

== Torricelli est-il l'auteur de la loi qui porte son nom ? ==
[[Image:Bernoulli.jpg|thumb|Plus la hauteur de liquide est importante, plus la vitesse est grande.]]Antérieurement à la publication des travaux de Torricelli, [[Marin Mersenne|Mersenne]] a écrit de nombreuses lettres à [[Nicolas-Claude Fabri de Peiresc|Peiresc]] en 1634. En 1639, il semble que [[René Descartes|Descartes]] le félicite pour sa loi qui calque « par anticipation » celle de Torricelli. Ces écrits sont conservés aux Arts et Métiers à Paris.

Descartes, Mersenne, [[Pierre Gassendi|Gassendi]] écrivent beaucoup jusqu'en 1643 et après. Les difficultés sont bien cernées : niveau d'eau constant, [[perte de charge]] en cas de rétrécissement, problème de la buse de sortie, et bien évidemment le jet d'eau et la loi de 1638 de Galilée ({{4e|journée}}). ''Hydraulica'' de Mersenne paraît en 1644 et Mersenne rencontre Torricelli en 1645. Si les [[vases communicants]] font remonter l'eau au niveau du lac, il est manifeste que le jet d'eau dirigé verticalement n'y remonte pas vraiment, et chacun voit bien ce que produit la modification de la buse dans un jet d'arrosage. La démonstration dépasse manifestement les physiciens de l'époque.

Postérieurement, en 1668, à l'[[Académie des sciences (France)|Académie des Sciences de Paris]], [[Christian Huygens]] et [[Jean Picard]], puis [[Edme Mariotte]] reprennent le problème.

En 1695, donc après [[Leibniz]] (1684), [[Pierre Varignon]] raisonne ainsi :
: « La petite masse d'eau {{Formule|§=''ρ S'' d''x''}} est éjectée par la force de pression {{Formule|§=''S ρ g h''}} avec une quantité de mouvement {{Formule|§=''ρ S'' d''x'' ''v''}} pendant le temps {{Formule|§=d''t''}} : soit {{Formule|§=''v''{{exp|2}} {{=}} ''g h''}} »
mais il y manque toujours le facteur 2. 

Cela dit, à l'époque la [[force vive]] se calculait {{Formule|§=''m v''{{exp|2}}}} ; elle a été renommée [[énergie cinétique]] et a pris la valeur {{Formule|§={{Sfrac|1|2}} ''m v''{{exp|2}}}} pour que sa dérivée soit <math>\frac{\mathrm{d} E_c}{\mathrm{d} t} = m \, \vec{v} \cdot  \frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{d} t} = \vec {p} \cdot \vec{a} = \vec{F} \cdot \vec{v}</math> à la suite des travaux de [[Gaspard-Gustave Coriolis]] et [[Jean-Victor Poncelet]] sur la période 1819-1839. 

En 1738, [[Daniel Bernoulli]] donne enfin la solution dans son ''Hydrodynamica''.
== Notes et références ==

=== Notes ===
{{Références|groupe=N}}

=== Références ===
{{Références
|références=
<ref name="Descartes">{{Ouvrage|titre=Ce que dit Descartes touchant la chute des graves: 1618 à 1646, étude d'un indicateur de la philosophie naturelle cartésienne |collection=Histoire des sciences |prénom1=Vincent |nom1=Jullien |prénom2=André |nom2=Charrak |éditeur=Presses Univ. Septentrion |année=2002 |ISBN=2859397523 |ISBN2=9782859397524 |pages=214 |passage = 193}}</ref>
<ref name="Britannica">''Torricelli’s theorem''. Encyclopædia Britannica. Encyclopædia Britannica Online. Encyclopædia Britannica, 2011. Consulté le 30 janvier 2011. [http://www.britannica.com/EBchecked/topic/600154/Torricellis-theorem Lire en ligne].</ref> 
}}

== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===
{{Légende plume}}
* {{Article | langue=fr | prénom=Michel | nom=Blay | lien auteur=Michel Blay | titre=Varignon et le statut de la loi de Torricelli | périodique=[[Académie internationale d'histoire des sciences|Archives internationales d'histoire des sciences]] | volume=35 | numéro=114-115 | année=1985 | pages=330-345 | oclc=5894334736 | libellé=Blay 1985 |plume=oui}}
* {{Chapitre | langue=fr | prénom=Michel | nom=Blay | lien auteur=Michel Blay | titre=La loi d'écoulement de Torricelli et sa réception au {{s-|XVII}} | auteur ouvrage=François de Gandt | titre ouvrage=L'œuvre de Torricelli | sous-titre ouvrage=science galiléenne et nouvelle géométrie | lieu=Nice | éditeur=[[Université Nice-Sophia-Antipolis|Université de Nice]], faculté des lettres et sciences humaines (diffusion [[Les Belles Lettres]]) | collection=Publications de la faculté des lettres et sciences humaines de Nice | série={{1re|série}} | numéro dans collection=32 | année=1987 | réimpression=1989 | numéro d'édition=1 | pages totales=247 | format livre={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}} et {{abréviation discrète|fig.|figure(s)}}, {{unité|22|cm}}, broché | isbn erroné=2-252-62032-X | isbn=2-251-62032-X | oclc=19995570 | bnf=35010175f | sudoc=001438921 | consulté le=9 août 2021 | passage=79-110 | libellé=Blay 1987 |plume=oui}}
* {{Chapitre | langue=fr | prénom=Michel | nom=Blay | lien auteur=Michel Blay | titre=Deux exemples de l'influence de l'école galiléenne sur les premiers travaux de l'Académie royale des sciences de Paris | auteurs ouvrage=Massimo Bucciantini et Maurizio Torrini ({{abréviation discrète|éd.|éditeur(s) et/ou éditrice(s) scientifique(s)}}) | titre ouvrage={{langue|it|texte=Geometria e atomismo nella scuola galileiana}} | nature ouvrage=acte du colloque tenu à Paris du {{date-|24 octobre- 1988-}} au {{date-|26 octobre 1988|compact=oui}} | lieu=Florence | éditeur=[[Leo S. Olschki (maison d'édition)|L. S. Olschki]] | collection={{langue|it|texte=Biblioteca di}} « {{langue|la|texte=Nuncius}} » | série={{langue|it|texte=Studi e testi}} | numéro dans collection=10 | année=1992 | numéro d'édition=1 | pages totales={{VII}}-213 | format livre={{abréviation discrète|fig.|figures}}, {{dunité|17|24|cm}}, broché | isbn=88-222-4008-1 | ean=9788822240088 | oclc=463614668 | bnf=35552806q | sudoc=012498661 | présentation en ligne=https://www.olschki.it/libro/9788822240088 | consulté le=10 août 2021 | passage=49-65 | libellé=Blay 1992 |plume=oui }}
* {{Article | langue=fr | prénom=Michel | nom=Blay | lien auteur=Michel Blay | titre=Les débuts de la science du mouvement des eaux | périodique=[[Les Génies de la science]] | numéro=22 : | titre numéro=La science au temps des mousquetaires | mois=février-mai | année=2005 | pages=110-119 | lire en ligne=https://www.pourlascience.fr/sd/histoire-sciences/les-debuts-de-la-science-du-mouvement-des-eaux-3414.php | accès url=payant | libellé=Blay 2005 |plume=oui }}
* {{Article | langue=fr | prénom=Antonio | nom=Nardi | titre=Théorème de Torricelli ou théorème de Mersenne | périodique=[[Les Études philosophiques]] | numéro=1-2 | titre numéro=Études sur Marin Mersenne | mois=janvier-juin | année=1994 | pages=87-118 | jstor=20848825 }}.
* {{Ouvrage | langue=la | prénom=Evangelista | nom=Torricelli | lien auteur=Evangelista Torricelli | titre=Opera geometrica ''(faux-titre)'' | traduction titre= | lieu=Florence | éditeur={{abréviation discrète|A.|Amadore}} Massi et {{abréviation discrète|L.|Lorenzo}} Landi | année=1644 | numéro d'édition=1 | pages totales=[1]-243 et [1]-151 | format livre={{abréviation discrète|fig.|figure(s)}} et {{abréviation discrète|tabl.|table(s)}}, in-4{{o}} | oclc=488408320 | bnf=314821714 | lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5657555p | accès url=libre | consulté le=9 août 2021 }}.

=== Articles connexes ===
{{Autres projets
 | commons=category:Torricelli's Law
}}
* [[Chute libre (physique)|Chute libre]]
* [[Théorème de Bernoulli]]

=== Liens externes ===
* {{Dictionnaires}}
* [http://fr.video.yahoo.com/watch/6080492/15796479   Une vidéo explicative sur la formule de Torricelli (lien erroné 18/10/2012)]

{{Portail|Physique}}

[[Catégorie:Rhéologie]]