Voir la source de Formule de Viète

{{2autres||la solution générale à une équation du second degré|Formule quadratique|la relation entre coefficients et racines d’un polynôme|Formules de Viète}}

[[Fichier:Viète's_formula.png|vignette|upright=2.5|Formule de Viète énoncée dans son ''Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII'' (1593)<ref>Seconde moitié de la {{p.|30}} : {{Google Livres|7_BCAAAAcAAJ|page=31|aperçu}}.</ref>.]]
En [[mathématiques]], la''' formule de Viète''' est le [[produit infini]] suivant des [[Radical imbriqué|radicaux imbriqués]] représentant le [[Pi|nombre {{math|π}}]] :
:<math>\frac2\pi=\frac{\sqrt2}2\;\frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}2\;\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\cdots</math>.
Elle est nommée d'après [[François Viète]], qui l'a publiée en 1593 dans son ''Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII''<ref name="beckmann">{{Ouvrage |langue=en |auteur1={{Lien|Petr Beckmann}} |titre={{Lien|A History of Pi}} |éditeur=The Golem Press |lieu=Boulder, CO |année=1971 |numéro d'édition=2 |pages totales=200 |passage=94-95 |isbn=978-0-88029-418-8 |math reviews=0449960 |lire en ligne={{Google Livres|XqqUUSyz138C|page=94}}}}.</ref>.

== Signification ==
À l'époque où Viète publiait sa formule, des méthodes d'[[Pi#Approximation de π|approximation de {{math|π}}]] étaient connues depuis longtemps. La méthode de Viète peut être interprétée comme une variation d'une idée d'[[Archimède]] d'approximation du [[périmètre]] d'un cercle par celui d'un polygone, utilisée par Archimède pour trouver l'approximation
: <math>\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}7</math>.
Cependant, en publiant sa méthode comme [[Formule (mathématiques)|formule mathématique]], Viète a formulé la première occurrence connue d'un produit infini en mathématiques<ref>{{Ouvrage |langue=en |prénom1=Michael J. |nom1=De Smith |titre=Maths for the Mystified : An Exploration of the History of Mathematics and Its Relationship to Modern-day Science and Computing |éditeur=Troubador Publishing |année=2006 |pages totales=203 |passage=165 |isbn=978-1-905237-81-4 |lire en ligne={{Google Livres|HlOVuklrQPAC|page=165}}}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|lang=en|auteur=Samuel G. Moreno|auteur2=Esther M. García-Caballero|titre=On Viète-like formulas|périodique={{Lien|Journal of Approximation Theory|texte=J. Approx. Theory}}|volume=174|année=2013|doi=10.1016/j.jat.2013.06.006|p.=90-112}}.</ref>, et le premier exemple d'une formule explicite pour la valeur exacte de {{math|π}}<ref name="morrison">{{Article|lang=en|auteur=Kent E. Morrison|titre=Cosine products, Fourier transforms, and random sums|périodique=[[The American Mathematical Monthly|Amer. Math. Month.]]|volume=102|numéro=8|année=1995|doi=10.2307/2974641|p.=716-724}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=Keith B. Oldham |auteur2=Jan C. Myland |auteur3=Jerome Spanier |titre=An Atlas of functions |sous-titre=with equator, the atlas function calculator |éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |lieu=New York, NY |année=2010 |passage=15 |isbn=978-0-387-48807-3 |lire en ligne={{Google Livres|UrSnNeJW10YC|page=15}}}}.</ref>. En tant que première formule représentant un nombre résultant d'un processus infini plutôt que d'un calcul fini, la formule de Viète a été considérée comme le début de l'[[analyse (mathématiques)|analyse mathématique]]<ref name="maor">{{Ouvrage |langue=en |auteur1=[[Eli Maor]] |titre=Trigonometric Delights |éditeur=[[Princeton University Press]] |année=2011 |pages totales=256 |passage=50, 140 |isbn=978-1-4008-4282-7 |lire en ligne=https://books.google.com/books?id=r9aMrneWFpUC&printsec=frontcover}}.</ref>, et plus largement comme {{Citation|l'aube des mathématiques modernes<ref name="borwein">{{Chapitre|lang=en|auteur=[[Jonathan M. Borwein]]|auteurs ouvrage=Nathan Sidoli et [[Glen Van Brummelen]]|titre ouvrage=From Alexandria, Through Baghdad: Surveys and Studies in the Ancient Greek and Medieval Islamic Mathematical Sciences in Honor of [[John Lennart Berggren|J.L. Berggren]]|éditeur=Springer|année=2013|isbn=9783642367359|lire en ligne=http://www.carma.newcastle.edu.au/jon/pi-2010.pdf|titre=The Life of Pi: From Archimedes to [[ENIAC]] and Beyond|doi=10.1007/978-3-642-36736-6_24|page=531-561}}.</ref>}}.

En utilisant sa formule, Viète a calculé {{math|π}} avec une précision de neuf chiffres après la virgule. Cependant, ce n'était pas l'approximation la plus précise de {{math|π}} connue à l'époque. En effet, le mathématicien perse [[Al-Kashi]] avait calculé {{math|π}} à une précision de neuf chiffres [[Système sexagésimal|sexagésimaux]], soit 16 chiffres décimaux, en 1424. Peu de temps après la publication de la formule par Viète, [[Ludolph van Ceulen]] a utilisé une méthode similaire pour calculer 35 décimales de {{math|π}}, qui n'ont été publiées qu'après la mort de van Ceulen en 1610.

== Interprétation et convergence ==
La formule de Viète peut être réécrite et comprise comme l'expression d'une [[Limite (mathématiques)|limite]]
: <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \prod_{i=1}^n \frac{a_i}2=\frac2\pi</math>
où <math>a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}</math>, avec <math>a_1=\sqrt2</math><ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=Pierre Eymard |auteur2=Jean-Pierre Lafon |titre=The Number <math>\pi</math> |éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]] |année=2004 |pages totales=322 |passage=44-46 |isbn=978-0-8218-3246-2 |lire en ligne={{Google Livres|qZcCSskdtwcC|page=44}} |numéro chapitre=2.1 |titre chapitre=Viète's infinite product}}.</ref>. Le concept de limite et les preuves rigoureuses de convergence ont été développés en mathématiques bien après l'œuvre de Viète ; la première preuve que cette limite existe n'a été donnée qu'en 1891, par [[Ferdinand Rudio]]<ref>{{Article|lang=de|auteur=F. Rudio|titre=Über die Konvergenz einer von Vieta herrührenden eigentümlichen Produktentwicklung|périodique=Z. Math. Phys.|volume=36, Historisch-literarische Abtheilung|année=1891|p.=139-140|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/loader/img/?PID=PPN599415665_0036%7CLOG_0069}}.</ref>.

[[File:Comparison pi infinite series.svg|vignette|upright=2|Comparaison de la vitesse de convergence de plusieurs séries infinies historiques donnant {{math|π}}.
''S<sub>n</sub>'' est l'approximation de π au ''nième'' rang. Chaque graphique étire d'un facteur horizontal 10 la zone ombrée du graphique précédent.
]]

La [[vitesse de convergence]] d'une suite régit le nombre de termes de l'expression nécessaires pour atteindre un nombre donné de décimales. Dans le cas de la formule de Viète, il existe une relation linéaire entre le nombre de termes et le nombre de décimales : le produit des {{mvar|n}} premiers facteurs donne une expression de {{math|π}} précise à environ {{Formule|0,6''n''}} décimales<ref name="kreminski">{{Article|lang=en|auteur=Rick Kreminski|titre={{math|π}} to Thousands of Digits from Vieta's Formula|périodique=[[Mathematics Magazine]]|volume=81|numéro=3|année=2008|jstor=27643107|p.=201-207}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|lang=en|auteur=T. J. Osler|titre=A simple geometric method of estimating the error in using Vieta's product for {{math|π}}|périodique=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology|volume=38|numéro=1|année=2007|doi=10.1080/00207390601002799|p.=136-142}}.</ref>.
Ce graphique compare les vitesses de convergence de plusieurs méthodes et montre la suprématie du [[produit de Wallis]], un produit infini plus tardif pour calculer {{math|π}}. Bien que Viète lui-même n'ait utilisé sa formule que pour calculer 9 décimales de {{math|π}},
une version modifiée de sa formule a été utilisée pour calculer des centaines de milliers de décimales de {{math|π}} <ref name="kreminski"/>.

== Formules proches ==
La formule de Viète peut être obtenue comme cas particulier d'une formule donnée plus d'un siècle plus tard par [[Leonhard Euler]]. Euler a découvert que
: <math>\frac{\sin x}x=\cos\frac x2\cdot\cos\frac x4\cdot\cos\frac x8\cdots</math><ref>Pour une démonstration, voir par exemple {{Note autre projet|Wikiversité|Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Convergence#Exercice 4|cet exercice corrigé|début=}}</ref>.
En posant {{Formule|''x'' {{=}} {{sfrac|π|2}}}} puis en calculant [[Table de lignes trigonométriques exactes#Division d'un angle en deux|chaque facteur du produit]], on obtient la formule de Viète.

On peut aussi déduire la formule de Viète de la formule suivante pour {{math|π}}, qui implique toujours des racines carrées imbriquées de 2, mais n'utilise qu'une seule multiplication<ref name="servi">{{Article|lang=en|auteur=L. D. Servi|titre=Nested square roots of 2|périodique=Amer. Math. Month.|volume=110|numéro=4|année=2003|doi=10.2307/3647881|p.=326-330}}.</ref> :
: <math>\pi = \lim_{k\to\infty} 2^{k} \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt2}}}}}}_{k\ \mathrm{symboles}\ \mathrm{racine}}</math>
De nos jours, de nombreuses formules similaires à celle de Viète impliquant des radicaux imbriqués ou des produits infinis de fonctions trigonométriques sont connues pour {{math|π}}, ainsi que pour d'autres constantes telles que le [[nombre d'or]]<ref>{{Article|lang=en|auteur=M. A. Nyblom|titre=Some closed-form evaluations of infinite products involving nested radicals|périodique=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#R|Rocky Mt. J. Math.]]|volume=42|numéro=2|année=2012|doi=10.1216/RMJ-2012-42-2-751|p.=751-758}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|lang=en|auteur=Samuel G. Moreno|auteur2=Esther M. García-Caballero|titre=On Viète-like formulas|périodique=J. Approx. Theory|volume=174|année=2013|doi=10.1016/j.jat.2013.06.006|p.=90-112}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|lang=en|auteur=Aaron Levin|titre=A geometric interpretation of an infinite product for the lemniscate constant|périodique=Amer. Math. Month.|volume=113|numéro=6|année=2006|doi=10.2307/27641976|p.=510-520}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|lang=en|auteur=Aaron Levin|titre=A new class of infinite products generalizing Viète's product formula for {{math|π}}|périodique=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#R|Ramanujan Journal]]|volume=10|numéro=3|année=2005|doi=10.1007/s11139-005-4852-z|p.=305-324}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|lang=en|auteur=Thomas J. Osler|titre=Vieta-like products of nested radicals with Fibonacci and Lucas numbers|périodique=[[Fibonacci Quarterly|Fibonacci Q.]]|volume=45|numéro=3|année=2007|p.=202-204}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|lang=en|auteur=Kenneth B. Stolarsky|titre=Mapping properties, growth, and uniqueness of Vieta (infinite cosine) products|périodique=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#P|Pac. J. Math.]]|volume=89|numéro=1|année=1980|doi=10.2140/pjm.1980.89.209|lire en ligne=http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.pjm/1102779384|p.=209-227}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|lang=en|auteur=Edward J. Allen|titre=Continued radicals|périodique=Mathematical Gazette|volume=69|numéro=450|année=1985|jstor=3617569|p.=261-263}}.</ref>.

== Démonstration ==
[[Fichier:Viète_nested_polygons.svg|vignette|Une suite de [[polygone régulier|polygones réguliers]] avec des nombres de côtés égaux à des [[Puissance de deux|puissances de 2]], inscrits dans un cercle. Les rapports entre les aires ou les périmètres des polygones consécutifs dans la suite donnent les termes de la formule de Viète.]]
Viète a obtenu sa formule en comparant les [[Aire (géométrie)|aires]] des polygones réguliers avec {{Formule|2<sup>''n''</sup>}} et {{Formule|2<sup>''n'' + 1</sup>}} côtés inscrits dans un cercle. Le premier terme du produit, <math>\frac{\sqrt2}2</math>, est le rapport des aires d'un carré et d'un [[octogone]], le deuxième terme est le rapport des aires d'un octogone et un [[hexadécagone]], etc. Ainsi, le produit se télescope pour donner le rapport des aires d'un carré à un cercle. Les facteurs du produit peuvent aussi être interprétés comme des rapports de périmètres de la même suite de polygones, en commençant par le rapport des périmètres d'un digone (le diamètre du cercle, compté deux fois) et d'un carré, le rapport des périmètres d'un carré et d'un octogone, etc<ref>{{Article|lang=en|auteur=Hansklaus Rummler|titre=Squaring the circle with holes|périodique=Amer. Math. Month.|volume=100|numéro=9|année=1993|doi=10.2307/2324662|p.=858-860}}.</ref>.

Une autre preuve est possible en utilisant, comme expliqué ci-dessus, la formule d'Euler.

== Références ==
{{Traduction/Référence|en|Viète's formula|785276721|type=n}}
{{Références}}

{{Portail|mathématiques|algèbre nouvelle et François Viète}}

[[Catégorie:Suite]]
[[Catégorie:Pi]]