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La '''formule sommatoire de Poisson''' (parfois appelée '''resommation de Poisson''') est une identité entre deux [[Série (mathématiques)|sommes infinies]], la première construite avec une [[Fonction (mathématiques)|fonction]] <math>f</math>, la seconde avec sa [[Transformation de Fourier|transformée de Fourier]] <math>\hat f</math>.  Ici, {{math|''f''}} est une fonction sur la [[droite réelle]] ou plus généralement sur un [[espace euclidien]]. La formule a été découverte par [[Siméon Denis Poisson]]. 

Elle, et ses généralisations, sont importantes dans plusieurs domaines des [[mathématiques]], dont la [[théorie des nombres]], l'[[analyse harmonique]], et la [[géométrie riemannienne]].  L'une des façons d'interpréter la formule unidimensionnelle est d'y voir une relation entre le [[Spectre d'un opérateur linéaire|spectre]] de l'[[opérateur de Laplace-Beltrami]] sur le [[cercle]] et les [[Longueur d'un arc|longueurs]] des [[géodésique]]s périodiques sur cette courbe. La [[formule des traces de Selberg]], à l'interface de tous les domaines cités plus haut et aussi de l'[[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]], établit une relation du même type, mais au caractère beaucoup plus profond, entre spectre du Laplacien et longueurs des géodésiques sur les [[Géométrie différentielle des surfaces#Surfaces de courbure constante|surfaces à courbure constante]] négative (tandis que les formules de Poisson en [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]] {{math|''n''}} sont reliées au Laplacien et aux géodésiques périodiques des [[tore]]s, espaces de courbure nulle).

== Formule sommatoire de Poisson ==
=== Convention ===
Pour toute fonction <math>f</math> à valeurs [[Nombre complexe|complexes]] et [[Intégrale de Lebesgue|intégrable]] sur ℝ, on appelle [[Transformation de Fourier|transformée de Fourier]] de <math>f</math> l'application <math>\hat{f}</math> définie par
<center><math>\forall x\in\R\quad\hat{f}(x) = \int_{-\infty}^{\infty}  f(t){\rm e}^{-{\rm i}x t}~\mathrm dt.</math></center>

=== Théorème ===
Soient {{math|''a''}} un réel strictement positif et {{math|1=ω{{ind|0}} = 2π/''a''}}.

Si {{math|''f''}} est une fonction [[Continuité (mathématiques)|continue]] de ℝ dans ℂ et intégrable telle que
{{retrait|<math>\exists C>0\quad\exists\alpha>1\quad\forall x\in\R\quad|f(x)|\le\frac C{\left(1+|x|\right)^{\alpha}}</math>}}
et
{{retrait|<math>\sum_{m=-\infty}^{\infty}|\hat{f}(m\omega_0)|<\infty</math><ref>Pour que cette seconde hypothèse soit vérifiée, il suffit par exemple que {{math|''f''}} soit de [[Classe de régularité|classe C{{2}}]] et que {{math|''f {{'}}''}} et {{math|''f {{'}}{{'}}''}} soient intégrables.</ref>,}}
alors
<center><math>
\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(t + n a) = 
\frac1a\sum_{m=-\infty}^{\infty} \hat{f}(m \omega_0){\rm e}^{{\rm i}m \omega_0 t}.
</math></center>

=== Démonstration===
Le membre de gauche de la formule est la somme ''S'' d'une [[Suite et série de fonctions|série de fonctions]] continues. La première des deux hypothèses sur <math>f</math> implique que cette série [[convergence normale|converge normalement]] sur toute [[partie bornée]] de ℝ. Par conséquent, sa somme est une fonction continue. De plus, ''S'' est [[Fonction périodique|{{math|''a''}}-périodique]] par définition. On peut donc calculer les [[Série de Fourier#Coefficients complexes|coefficients complexes de sa série de Fourier]] :
{{retrait|<math>c_m=\frac1a\int_0^a S(t){\rm e}^{-\mathrm{i}m\omega_0t}~\mathrm dt=\frac1a\sum_{n\in\Z}\int_0^a f(t+na){\rm e}^{-{\rm i}m\omega_0t}~\mathrm dt,</math>}}
l'[[Théorème d'interversion série-intégrale|interversion série-intégrale]] étant justifiée par la convergence normale de la série définissant ''S''. On en déduit
{{retrait|<math>c_m=\frac1a\sum_{n\in\Z}\int_0^a f(t+na){\rm e}^{-{\rm i}m\omega_0(t+na)}~\mathrm dt=\frac1a\sum_{n\in\Z}\int_{na}^{(n+1)a}f(s){\rm e}^{-{\rm i}m\omega_0s}~\mathrm ds=\frac1a\int_{-\infty}^{\infty} f(s){\rm e}^{-\mathrm{i}m\omega_0s}~\mathrm ds=\frac1a\hat f(m\omega_0).</math>}}

D'après la seconde hypothèse sur <math>f</math>, la série des {{math|''c{{ind|m}}''}} est donc [[Convergence absolue|absolument convergente]]. En sommant la série de Fourier de ''S'', on obtient bien
{{retrait|<math>S(t)=\sum_{m\in \Z}c_m{\rm e}^{\mathrm{i}mt\omega_0}=\frac1a\sum_{m\in\Z}\hat f(m\omega_0){\rm e}^{\mathrm{i}mt\omega_0}.</math>}}

=== Convention alternative ===

Si l'on utilise les conventions suivantes :

<center><math> f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{F}(\nu){\rm e}^{-{\rm i}2\pi x\nu}~\mathrm d\nu,</math></center>


<center><math> \tilde{F}(\nu) = \int_{-\infty}^{\infty}  f(x){\rm e}^{+{\rm i}2\pi x\nu}~\mathrm dx,</math></center>

alors la formule sommatoire de Poisson se réécrit (avec {{math|1=''t'' = 0}} et {{math|1=''a'' = 1}})<ref>{{Ouvrage|titre=Analyse pour l'agrégation|prénom=Hervé|nom=Queffélec|prénom2=Claude|nom2=Zuily|numéro d'édition=4|lien éditeur=Éditions Dunod|éditeur=Dunod|année=2013|url=https://books.google.fr/books?id=HdrgAAAAQBAJ&pg=PA95|page=95-97}}.</ref> :

<center><math> \sum_{n\in\Z} f(n)=\sum_{m \in\Z} \tilde{F}(m).</math></center>

=== Sur les conditions de convergence ===

Une façon pratique de passer outre aux conditions de régularité imposées à la fonction {{math|''f''}} est de se placer dans le contexte plus général de la [[Distribution (analyse mathématique)|théorie des distributions]]. Si l'on note <math>\delta(x)</math> la [[distribution de Dirac]] alors si l'on introduit la distribution suivante :

<center><math>
\Delta (x) \equiv \sum_{n\in\Z}\delta (x-n),
</math></center>

une façon élégante de reformuler la sommation est de dire que <math>\Delta(x)</math> est sa propre transformée de Fourier.

== Applications de la resommation de Poisson ==

Les exemples les plus élémentaires de cette formule permettent de déterminer des sommes simples :

<center><math>
S \equiv \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^{2}} = \frac{\pi^2}6
</math>,</center>

ou bien encore :

<center><math>
S \equiv -\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^4}= \frac{7\pi^4}{720}
</math>.</center>

On les convertit en effet en [[série géométrique|séries géométriques]] qui peuvent être sommées exactement.

De façon générale, la resommation de Poisson est utile dans la mesure où une série qui converge lentement dans l'espace direct peut être transformée en une série convergeant beaucoup plus vite dans l'espace de Fourier (si l'on prend l'exemple de [[Fonction gaussienne|fonctions gaussiennes]], une [[loi normale]] de grande [[Variance (mathématiques)|variance]] dans l'espace direct est convertie en une loi normale de variance petite dans l'espace de Fourier). C'est l'idée essentielle qui sous-tend la [[sommation d'Ewald]].

== Interprétation géométrique ==
=== Définitions ===

Le cercle, ou tore ''T'' à une dimension, est une courbe compacte  qui peut se représenter comme l'[[Topologie quotient#Actions de groupes|espace quotient]] de la droite euclidienne ℝ par un sous-groupe discret ''a''ℤ du groupe des isométries :

<center><math>
T=\R/a\Z
</math>.</center>

=== Géodésiques périodiques ===

Les géodésiques périodiques du tore plat ont pour longueurs :

<center><math>l_n=na,\quad n\in\N.</math></center>

=== Spectre de l'opérateur de Laplace-Beltrami ===

Considérons l'[[opérateur de Laplace-Beltrami]] sur ''T'' : 

<center><math>\Delta u(x)=\frac{{\rm d}^2u(x)}{{\rm d}x^2}.</math></center>

Cherchons en particulier ses [[valeurs propres]] {{math|λ{{ind|''n''}}}}, solutions de l'équation aux valeurs propres :

<center><math>-\Delta u_n(x)=\lambda_n u_n(x).</math></center>

où les [[fonctions propres]] {{math|''u{{ind|n}}''}} sont dans <math>C^{\infty}(\R)</math> et vérifient la condition de périodicité :

<center><math> \forall p\in\Z\quad u_n( x + p a )=u_n(x). </math></center>

Ces valeurs propres forment un [[ensemble dénombrable]] qu'on peut ranger en une [[Suite monotone|suite croissante]] :
<center><math>0 = \lambda_0 < \lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots,\quad\lambda_n=\frac{4\pi^2n^2}{a^2}.</math></center>

== Généralisations ==

On peut facilement formuler une généralisation de cette formule en dimension {{math|''n''}}. Étant donné un [[Réseau (groupe)|réseau]] <math>\Lambda\subset\R^n</math> alors on peut définir le [[Réseau réciproque|réseau dual]] <math>\Lambda'</math> (comme formes dans l'[[espace dual|espace vectoriel dual]] à valeurs entières sur <math>\Lambda</math> ou via la [[dualité de Pontryagin]]).
Alors, si l'on considère la [[distribution de Dirac]] multidimensionnelle qu'on note encore <math>\delta (x)</math> avec <math>x\in\R^n</math>, on peut définir la distribution

<center><math>
\Delta_{\Lambda}(x)=\sum_{\lambda\in\Lambda}\delta (x-\lambda).</math></center>

Cette fois-ci, on obtient une formule sommatoire de Poisson en remarquant que la transformée de Fourier de <math>\Delta_\Lambda(x)</math> est <math>\Delta_{\Lambda'}(x)</math> (en considérant une normalisation appropriée de la transformée de Fourier).

Cette formule est souvent utilisée dans la théorie des [[fonction thêta|fonctions thêta]]. En [[théorie des nombres]], on peut généraliser encore cette formule au cas d'un [[groupe abélien]] [[groupe localement compact|localement compact]]. En [[analyse harmonique]] non-commutative, cette idée est poussée encore plus loin et aboutit à la [[formule des traces de Selberg]] et prend un caractère beaucoup plus profond.

Un cas particulier est celui des [[Groupe abélien fini|groupes abéliens finis]], pour lesquels la formule sommatoire de Poisson est immédiate ({{cf.}} [[Analyse harmonique sur un groupe abélien fini]]) et possède de nombreuses applications à la fois théoriques en [[arithmétique]] et appliquées par exemple en [[théorie des codes]] et en [[cryptographie]] ({{cf.}} [[Fonction booléenne]]).

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Poisson summation formula|53581550|type=n}}
{{Références}}

== Bibliographie ==
* {{en}} Matthew R. Watkins, [http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin//zeta/bump-poisson.htm « ''D. Bump's notes on the Poisson Summation Formula'' »] (page personnelle)
* {{MathWorld|nom_url=PoissonSumFormula|titre=Poisson Sum Formula}}

{{Portail|analyse|physique}}

[[Catégorie:Analyse harmonique]]
[[Catégorie:Méthode mathématique de la physique]]
[[Catégorie:Analyse complexe]]
[[Catégorie:Théorie analytique des nombres]]
[[Catégorie:Théorème d'analyse|Poisson, Formule Sommatoire]]