Voir la source de Fréquence

{{Infobox Grandeur physique
| nom            = Fréquence
| image          = Sine waves different frequencies.svg
| légende        = [[Graphe d'une fonction|Graphe]] [[amplitude]] sur [[temps (physique)|temps]] de [[phénomène périodique|phénomènes périodiques]] [[monochromatique]]s de fréquences différentes : celui du bas a la plus haute fréquence et celui du haut, la plus basse.
| unités         = [[hertz]] (Hz)
| autres unités  = 
| symbole        = <math>f</math><br /><math>\nu</math> ([[Nu (lettre grecque)|nu]])
| unités de base = [[seconde (temps)|s]]{{-1}}
| dimension      =  {{dimension|kg=|m=|s=-1|A=|K=|mol=|cd=}}
| extensive      = 
| intensive      = oui
| conservative   = 
| nature         = scalaire
| expressions    = [[Phénomène périodique|<math>f = {1/T}</math>]]
<br/>
[[Vitesse angulaire|<math>\omega= 2 \pi f</math>]]
<br/>
<math>f=</math> [[célérité|<math>c</math>]] / [[Longueur d'onde|<math>\lambda</math>]]
}}
{{Voir homonymes}}
En [[physique]], la '''fréquence''' est le nombre de fois qu'un [[phénomène périodique]] se reproduit par [[unité de temps]]<ref>{{Ouvrage |prénom1=Richard |nom1=Taillet |prénom2=Loïc |nom2=Villain |prénom3=Pascal |nom3=Febvre |titre=Dictionnaire de physique |éditeur=De Boeck |lieu=Bruxelles |année=2013 |pages totales= |passage=297 |isbn=}}.</ref>. Dans le [[Système international d'unités]], la fréquence s'exprime en [[hertz]] (Hz).

{{énoncé
|Définition mathématique
|2=Lorsque le phénomène peut être décrit [[Mathématiques|mathématiquement]] par une [[fonction périodique]] du temps, c'est-à-dire une fonction ''F''(''t'') telle qu'il existe des [[constante]]s ''T<sub>i</sub>'' pour lesquelles, quel que soit ''t'', ''F''(''t''+''T{{ind|i}}'') = ''F''(''t''), alors la plus petite des valeurs positives de ces constantes ''T{{ind|i}}'' est la période ''T'' de la fonction, et la fréquence ''f'' est l'[[inverse]] de la période<ref>C'est la définition retenue par la [[Commission électrotechnique internationale]] ([http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=103-06-02 Electropedia 103-06-02], dépendant de [http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=103-06-01 103-06-01] pour la période.</ref> :
<center><math>f=\frac1{T}</math></center>}}

La notion de fréquence s'applique aux phénomènes périodiques ou non. L'[[analyse spectrale]] transforme la description d'un phénomène en fonction du temps en sa description en fonction de la fréquence.

Dans plusieurs domaines technologiques, on parle de [[fréquence spatiale]]. Dans cet usage, une dimension de l'espace prend la place du temps. S'il existe une variation périodique dans l'espace, la fréquence spatiale est l'inverse de la distance minimale à laquelle on retrouve la forme identique, par exemple, en [[imprimerie]], la [[linéature]]. On peut appliquer à l'espace les règles de l'analyse spectrale, comme on le fait dans les systèmes de [[JPEG|compression numérique des images]]. Dans le cas des ondes progressives, la fréquence spatiale ou [[nombre d'onde]] est le quotient de la fréquence par la [[vitesse d'une onde|vitesse de l'onde]].

La '''pulsation''' d'un phénomène périodique est la valeur de la [[vitesse angulaire]] qu'aurait un système en rotation de même fréquence : pour une fréquence {{mvar|f}}, la pulsation est donc <math>\omega=2\pi f</math>.

== L'idée de répétition et le temps == 
La fréquence, dans ce qu'elle a de plus accessible intuitivement, mesure un phénomène périodique. Plus le phénomène est fréquent, plus sa fréquence est grande.
{{exemple|
Un [[Aviron (rame)|rameur]] fait avancer son bateau en plongeant ses rames dans l'eau dans un mouvement cyclique qui se répète régulièrement 40 fois par minute. « 40 fois par minute » est l'expression de la fréquence de ce mouvement périodique en cycles par minute.
}}
Inversement, pour mesurer le temps, on fait appel à des phénomènes périodiques qu'on sait stables.
{{exemple|
Une [[horloge]] à [[balancier]] fait avancer ses engrenages d'un pas égal à chaque oscillation d'un [[Pendule (physique)|pendule]].
}}
C'est ainsi que le [[Système international d'unités]] définit la [[Seconde (temps)|seconde]] comme {{citation|la durée de {{unité|9192631770|périodes}} de la radiation correspondant à la transition entre les niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de césium 133<ref>BIPM, [http://www.bipm.org/fr/si/si_brochure/chapter2/2-1/2-1-1/second.html  Définition de la seconde].</ref>}}.

En conséquence, on peut définir une fréquence comme le rapport entre deux unités de temps différentes, exprimée en général par le nombre d'unités de l'une pour une de l'autre<ref>{{article|prénom1=G.M.|nom1=Clemence|titre=Unités de mesure du temps et de la fréquence|périodique=Ciel et terre|volume=73|page=257-278|année=1957|passage=257|lire en ligne=http://adsabs.harvard.edu/full/1957C%26T....73..257C}}, indique les phénomènes périodiques ayant servi pour la définition de la seconde, avant cette réflexion sur les fréquences (p.&nbsp;258) ; cet auteur évoque aussi la mesure du temps par la décroissance exponentielle d'un phénomène, comme la désintégration d'un radionucléide. Cette mesure par rapport à un phénomène non périodique, bien qu'elle soit basée sur une conception fondamentale du temps, fournit cependant difficilement des unités précises, en raison de son caractère statistique.</ref>.

=== L'analyse spectrale ===
{{article détaillé|analyse spectrale}}
La décomposition en [[série de Fourier]] montre que tout signal décrivant un phénomène périodique peut se décomposer en une somme de sinusoïdes, dont la fréquence est un multiple entier de la fréquence du phénomène. La [[transformation de Fourier]] étend le concept de série de Fourier à des phénomènes non périodiques : elle permet de passer de la description d'un phénomène en fonction du temps à sa description en fonction des fréquences qu'il contient, appelée [[Spectre (physique)|spectre]] de fréquences, et inversement. La transformation de Fourier est un procédé mathématique qui suppose que la valeur qui décrit le phénomène est connue à chaque instant. De même, elle suppose que les valeurs de la fréquence peuvent être quelconques, de moins l'[[infini]] à plus l'infini. Elle connaît donc des fréquences négatives.

=== Relation entre temps et fréquence ===
Les phénomènes ont à la fois une extension dans le temps, entre un début et une fin, et une dimension fréquentielle, dans la mesure où ils se répètent périodiquement entre ce début et cette fin. On peut les décrire par l'évolution de leur amplitude dans le temps, ou par les fréquences de leur spectre.

Une description temporelle ne contient aucune information fréquentielle ; une description fréquentielle ne contient aucune information temporelle. La transformation suppose qu'on connaisse le signal à l'infini.

Pour décrire adéquatement un phénomène, on peut le découper dans le temps en segments dont on puisse déterminer à peu près le {{page h'|Spectre (physique)|spectre}}. La relation d'incertitude 
<center><math>\Delta t \cdot \Delta f \ge \frac1{4 \pi}</math></center>
décrit le fait que plus la durée ''<math>\Delta\ t</math>'' du segment est longue, et donc plus l'incertitude sur la durée est grande, plus l'incertitude sur la fréquence Δ''f'' est faible, et vice-versa<ref>{{article|langue=en|nom1=Gabor|prénom1=Dennis |lien auteur1=Dennis Gabor |titre=Theory of communication |sous-titre=Part 1: The analysis of information |périodique=Journal of the Institute of Electrical Engineering |lieu=London |volume=93-3 |numéro=26 |année=1946|passage=429-457|lire en ligne=http://www.csee.wvu.edu/~xinl/library/papers/physics/gabor1946.pdf |consulté le=09/09/2013}}. Lire aussi {{article|prénom1=Patrick|nom1=Flandrin|titre=Représentations temps-fréquence des signaux non stationnaires|périodique=Traitement du Signal|volume=6|numéro=2|passage=89-101|année=1989|lire en ligne=http://documents.irevues.inist.fr/handle/2042/1694?show=full|consulté le=15/12/2013}}.</ref>.

Cette approche mathématique décrit avec précision des faits connus de l'expérience. Pour définir avec précision une fréquence, il faut observer l'oscillation pendant une longue durée. C'est ainsi que l'horloger, pour régler la fréquence du balancier, doit observer la pendule, qui compte ces oscillations, pendant une longue durée. En procédant ainsi, il obtient la moyenne de la durée des balancements, mais perd toute information sur les éventuelles irrégularités. Inversement, en observant le mouvement pendant une brève période, en soumettant l'horloge à divers mauvais traitements comme le remontage du ressort, des courants d'air ou des vibrations, il reconnaît leur conséquence éventuelle sur le balancement, mais n'acquiert aucune notion précise de sa fréquence. En [[acoustique musicale]], on a depuis longtemps remarqué qu'on ne peut définir la [[tonie]] des sons brefs. Identifier un [[ton (musique)|ton]] implique de discriminer précisément une [[fréquence fondamentale]], ce qui n'est possible qu'avec un minimum de temps d'écoute.

== Pulsation ==
{{Voir| Grandeur d'orientation| Vitesse angulaire| Espace réciproque}}

La pulsation d'un phénomène périodique est la valeur de la vitesse de rotation, ou [[vitesse angulaire]], qu'aurait un système en rotation de même fréquence. Pour une fréquence <math>f</math>, la pulsation est donc <math>\omega = 2\pi f</math>. Dans le [[Système international d'unités|Système international]], son unité est le [[radian par seconde]] ({{unité|rad/s}})<ref name="Dubesset 2000, p. 104">{{Harvsp|Dubesset|2000|p=104}} ([https://books.google.fr/books?id=6_rdRIKf67gC&pg=PA104#v=onepage&q&f=false en ligne]).</ref>.

La pulsation est parfois nommée « fréquence angulaire », par traduction littérale de l'anglais « ''angular frequency'' » : ce terme est fréquemment employé dans des ouvrages traduits d'auteurs anglophones et est déconseillé par de nombreux auteurs francophones<ref>{{Ouvrage |langue=fr |prénom1=Institut français du |nom1=pétrole |titre=Revue de l'Institut français du pétrole |éditeur=Institut Français du Pétrole. |année=1980 |pages totales= |isbn= |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=E0NWAAAAYAAJ&dq=fr%C3%A9quence+angulaire+d%C3%A9conseille |consulté le=2017-11-12}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|titre=IEC 60050 - International Electrotechnical Vocabulary - Details for IEV number 103-07-03: "angular frequency"|url=http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=103-07-03|site=www.electropedia.org|consulté le=2017-11-12}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage |langue=fr |prénom1=Michel |nom1=Dubesset |titre=Le manuel du Système international d'unités |sous-titre=lexique et conversions |éditeur=Editions TECHNIP |année=2000 |pages totales=169 |isbn=978-2-7108-0762-9 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=6_rdRIKf67gC&pg=PA68&dq=Fr%C3%A9quence+angulaire |consulté le=2017-11-12}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|titre=pulsation|url=http://www.granddictionnaire.com/ficheOqlf.aspx?Id_Fiche=8468411|site=www.granddictionnaire.com|consulté le=2017-11-12}}.</ref>.

L'analogie avec un système mécanique en rotation est intéressante car la description mathématique est très similaire à celle d'une grandeur évoluant de façon sinusoïdale <math>
x=a\cos(\omega ~ t)=a\cos(2\pi f\,t)</math>, où <math>a</math> est l'amplitude, ''<math>\omega</math>'' la [[vitesse angulaire]], ''<math>f</math>'' la fréquence et ''<math>t</math>'' le temps. La différence avec une véritable vitesse de rotation est que le phénomène décrit n'est pas une rotation, mais une variation périodique ; la rotation n'est pas ici une rotation physique, mais est celle de la phase dans l'[[espace réciproque]]. 

Les [[coordonnées]] dans le plan d'un point décrivant un cercle de rayon <math>a</math> sont : 
<math>\begin{cases} x=a\cos(\omega ~ t)\\
y=a\sin(\omega ~ t) \end{cases}</math>

où <math>x</math> est l'[[Coordonnées cartésiennes|abscisse]] et <math>y</math> est l'[[ordonnée]]. 

Dans de nombreux domaines de la physique dont les phénomènes bénéficient d'une [[analyse spectrale]], il est intéressant d'encoder cette information dans un unique [[nombre complexe]] <math>z = x + \mathrm{i} y </math>. D'après la [[formule d'Euler]], ce nombre peut s'exprimer <math>z = a\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\omega \,t}</math>. Selon l'application, l'amplitude (la norme de <math>a </math>) a un sens physique ; dans d'autres, c'est la partie réelle de ''<math>z</math>'' qui peut porter l'information. Cette notation permet, sans être plus alourdie, d'inclure un cas plus général comportant un déphasage du signal en notant simplement que l'amplitude ''a'' de cette expression peut également être un nombre complexe qui possède un [[Argument_d'un_nombre_complexe|argument]] non-nul.

== Ondes ==
{{article détaillé|Nombre d'onde}}
Quand le phénomène périodique est une [[onde]], la fréquence temporelle et la longueur d'onde sont liées par la vitesse de propagation ([[célérité]]) de l'onde :
<center><math>f=\frac{c}{\lambda}</math></center>
où ''<math>f</math>'' est la fréquence de l'onde (en hertz), ''<math>c</math>'' la [[célérité]] de l'onde (en mètres par seconde) et <math>\lambda\,</math> la [[longueur d'onde]] (en mètres).
{{exemple|
On peut mesurer la période temporelle ''T'' d'une ondulation sur l'eau (des vagues) en se plaçant en un point de la surface de l'eau et en mesurant la durée nécessaire à une crête de vague (ou à un creux de vague) pour être remplacée par la crête suivante (ou le creux suivant) en ce point. Cette durée donne la période et en prenant son inverse, on obtient la fréquence de l'ondulation.

En mesurant la durée de trajet d'une crête entre deux points de distance connue, on peut mesurer la vitesse de propagation de l'onde.

La fréquence spatiale ou [[nombre d'onde]] est la distance entre deux crêtes.
}}

== Fréquence et énergie ==
{{article détaillé|Photon}}
Le [[rayonnement électromagnétique]] peut se définir soit en termes d'onde de propagation d'une perturbation électromagnétique à la [[vitesse de la lumière]], caractérisée par une fréquence et dont l'énergie dépend de l'amplitude, soit en termes de particules sans masse appelées [[photon]], se déplaçant à la vitesse de la lumière.

Dans ce contexte, on désigne la fréquence par la lettre grecque <math>
\nu</math> (''[[Nu (lettre grecque)|nu]]'').

L'énergie d'un photon est proportionnelle à la fréquence :
:<math>E = h\cdot \nu</math>
où <math>
h</math> est la [[constante de Planck]].

== Symboles et unités ==

En [[électromagnétisme]], [[physique quantique]] et [[Relativité restreinte|relativité]], on désigne la fréquence par <math>\nu</math>, la lettre [[Nu (lettre grecque)|nu]] de l'[[alphabet grec]]. On y parle aussi de fréquence pour la quantité <math>\omega=\frac{2 \pi}{T}</math>, avec la lettre grecque [[oméga]].

Dans la [[technologie]] et l'[[ingénierie]], on utilise plus couramment la lettre ''f'', et on appelle la grandeur 2π''f'' ''pulsation'' ou ''[[vitesse angulaire]]''. 

Dans le [[Système international d'unités]] dit SI, l'unité de temps est la [[Seconde (temps)|seconde]] dont le symbole est s. La fréquence est alors en [[hertz]] dont le symbole est Hz (unité SI), et on a {{unité|1|Hz}} = 1 s<sup>-1</sup>.

Le hertz ne s'utilise que pour les signaux périodiques. Lorsque le compte d'occurrences par seconde concerne un phénomène aléatoire, on le note explicitement ; par exemple en [[physique statistique]] ou en [[thermodynamique]], on compte les « collisions par seconde ». Ainsi, le nombre de [[désintégration]]s d'un [[radionucléide]] par seconde, représentant son [[Activité (physique)|activité]], s'exprime en [[becquerel]]s, et non en hertz<ref>[[Bureau international des poids et mesures]] (BIPM) [http://www.bipm.org/fr/si/si_brochure/chapter2/2-2/table3.html Unités ayant des noms spéciaux…]</ref>.

En [[Mécanique (technique)|mécanique]], en [[médecine]], en [[musique]], et en général dans des domaines où la mesure de la fréquence ne sert qu'à des comparaisons, on exprime souvent la fréquence « par minute » : [[Tour par minute|tours par minute]] (voir [[vitesse angulaire]]), [[pouls]] en battements par minute, comme la graduation du [[métronome]].

== Applications ==
Dans le domaine de la physique ondulatoire on parlera d'une fréquence :

* d'[[oscillation]] [[mécanique (science)|mécanique]] ;
* de vibration (ressort, corde vibrante, vibration du réseau cristallin, vibration de molécules, etc.) ;
* d'oscillation acoustique dans le domaine audible (sonore) ou inaudible ([[infrason]]s, [[ultrason]]s, [[hyperson]]s, etc.) ;
* d'[[onde électromagnétique|oscillation électromagnétique]] ([[Spectre visible|lumière visible]], infrarouge, ultraviolet, etc.).

Dans le [[traitement du signal]] numérique, la [[fréquence d'échantillonnage]] détermine la [[bande passante]] admissible pour le système.

Dans les technologies numériques synchrones, les circuits communiquent entre eux en suivant un [[signal d'horloge]] dont la fréquence détermine les capacités de transfert du système, toutes choses étant égales par ailleurs.

=== Mesure de la fréquence ===
{{article détaillé|Fréquencemètre}}

Un [[fréquencemètre]] est un instrument de laboratoire destiné à mesurer la fréquence de signaux électriques périodiques simples. L'appareil détecte les occurrences d'une transition caractéristique de ces signaux, et compare leur fréquence à celle d'un oscillateur aussi stable que possible appelé ''base de temps'' :
* soit en comptant les occurrences dans un intervalle de temps correspondant à un nombre déterminé de périodes de la base de temps ;
* soit en comptant le nombre de périodes de la base de temps dans l'intervalle entre un nombre déterminé de transitions ;
* soit, indirectement, en mélangeant un signal dérivé des transitions caractéristiques à un autre, de fréquence proche, constitué à partir de la base de temps, et en mesurant ensuite, par l'un ou l'autre des moyens précédents, la fréquence des [[Battement (physique)|battement]]s qui s'ensuivent.

=== En musique ===
==== Tempo ====
{{Article connexe|Tempo}}
La musique se caractérise par un déroulement assez régulier dans le temps ; les notes reviennent à des instants particuliers. La fréquence de ces instants est déterminée par une grandeur appelée ''[[tempo]]'', qui est une fréquence exprimée en battements par minute.
==== Hauteur ====
{{Article connexe|Hauteur (musique)|Gamme naturelle}}
En [[musique]], les sons sont caractérisés par la [[Hauteur (musique)|hauteur]], une perception dont on a depuis l'Antiquité remarqué qu'elle correspond à la longueur des [[Onde sur une corde vibrante|cordes]] ou des [[Onde stationnaire dans un tuyau|tuyaux]] des instruments de musique, dont l'étude est à l'origine de l'[[acoustique]].

La [[théorie de la musique]] résume ces recherches en affirmant :
{{énoncé
|Définition Danhauser
|{{citation|La hauteur est le résultat du plus ou moins grand nombre de vibrations produites dans un temps donné : plus il y a de vibrations, plus le son est aigu<ref>{{Ouvrage |prénom1=Adolphe |nom1=Danhauser |lien auteur1=Adolphe Danhauser |responsabilité1=auteur |prénom2=H. |nom2=Rabaud |responsabilité2=révision |titre=Théorie de la musique |éditeur=Lemoine |année=1929 |année première édition=1870 |pages totales= |passage=note (a), p. 119 }} ''apud''  {{Ouvrage |langue=fr |prénom1=Pierre |nom1=Schaeffer |lien auteur1=Pierre Schaeffer |titre=[[Traité des objets musicaux]] |sous-titre=Essai interdisciplines |éditeur=Seuil |lieu=Paris |année=1977 |numéro d'édition=2 |année première édition=1966 |pages totales=713 |passage=164 |isbn=}}.</ref>.}}
}}
Les recherches [[psychoacoustique]]s ont montré le caractère schématique de cette définition<ref>{{harvsp|Schaeffer|1977}} ; {{chapitre|langue=fr|prénom1=Laurent|nom1=Demany|titre chapitre=Perception de la hauteur tonale|auteurs ouvrage=Botte & alii|titre ouvrage=Psychoacoustique et perception auditive|lieu=Paris|éditeur=Tec & Doc|année=1999}}.</ref>, mais la correspondance entre la [[fréquence fondamentale]] d'un son et la perception d'une hauteur est indiscutée.

Le [[solfège]] note les hauteurs sur la [[portée (musique)|portée]] ; on peut aussi indiquer une [[note de musique]] par son nom, avec éventuellement une [[Altération (solfège)|altération]], en précisant l'[[Octave (musique)|octave]].

Le [[diapason]] le plus courant fixe la fréquence du [[La 440|''la'' de la troisième octave]] à la [[fréquence fondamentale]] de {{unité|440|Hz}}.

Selon la théorie de la musique, les [[intervalle (musique)|intervalles musicaux]] correspondent à des rapports harmoniques, c'est-à-dire que le quotient des fréquences est proche de rapports de nombres entiers : l'octave correspond à un rapport 2, la quinte juste à un rapport de 3/2, la tierce majeure à un rapport de 5/4{{etc}} Pour la théorie de la musique, dans l'abstrait, un intervalle de douze quintes devrait être identique à un intervalle de sept octaves. Mais douze quintes correspondent à un rapport de fréquences de 3/2 à la puissance douze, soit 531441/4096, à peu près 129,7, alors que 7 octaves correspondent à un rapport 128. Les musiciens, pour aboutir aux [[gammes et tempéraments]] musicaux, procèdent à des petits ajustements que l'on peut exprimer en [[Cent et savart|cents ou en savarts]]. 

Les humains perçoivent les sons de quelques hertz à {{unité|16000|Hz}}, mais la plage dans laquelle une personne entraînée peut distinguer les [[hauteur (musique)|tons]] s'étend d'environ {{unité|20|Hz}} à environ {{unité|4500|Hz}}. Hors de ces limites, qui correspondent au [[Registre (musique)|registre]] du [[piano]], la sensation de hauteur est de moins en moins précise<ref>{{harvsp|Demany|1999|p=50}}.</ref>.

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Fonction périodique]]
* [[Phénomène périodique]]
* [[Signal périodique]]
* [[Vitesse angulaire|Pulsation]]
* [[Série de Fourier]]
* [[Transformée de Fourier]]
* [[Analyse harmonique (mathématiques)]]
* [[Analyse spectrale]]
* [[Densité spectrale de puissance]]
* [[Cepstre]]
* [[Pouls (musique)|Pouls]] (en musique)

=== Notes et références ===
{{Références}}

{{Portail|physique|musique}}

{{DEFAULTSORT:Frequence}}
[[Catégorie:Mécanique ondulatoire]]
[[Catégorie:Fréquence|*]]