Voir la source de Fractale

{{voir homonyme|Fractale (série télévisée d'animation)}}
[[Fichier:Mandel zoom 04 seehorse tail.jpg|vignette|Exemple de figure fractale (détail de l'[[ensemble de Mandelbrot]])|alt=Exemple de figure fractale (détail de l'ensemble de Mandelbrot).]]
[[Fichier:Julia (Fractal).png|vignette|[[Ensemble de Julia]] en <math>0.3+0.5i</math>.]]

Une figure '''fractale ''' est un [[Mathématiques|objet mathématique]] qui présente une structure similaire à toutes les [[Échelle (proportion)|échelles]].

C'est un objet géométrique « infiniment morcelé » dont des détails sont observables à une échelle arbitrairement choisie. En zoomant sur une partie de la figure, il est possible de retrouver toute la figure ; on dit alors qu’elle est « autosimilaire ».
 
Les fractales sont définies de manière paradoxale, un peu à l'image des [[Poupée russe|poupées russes]] qui renferment  une figurine plus ou moins identique à l'échelle près : les objets fractals peuvent être envisagés comme des structures [[gigogne]]s en tout point – et pas seulement en un certain nombre de points. Cette conception ''hologigogne'' (gigogne en tout point) des fractales implique cette définition récursive : un objet fractal est un objet dont chaque élément est aussi un objet fractal (similaire).

De nombreux phénomènes naturels – comme le tracé des lignes de côtes ou l'aspect du [[chou romanesco]] – possèdent des formes fractales approximatives.

== Historique ==
{{Section vide ou incomplète}} 
De nombreux exemples de fractales, comme le [[flocon de Koch]] ou le [[tapis de Sierpiński]] ont été découverts à la fin du {{S-|19}}, mais c'est [[Benoît Mandelbrot]] qui, en 1975, a attiré l'attention sur ces objets et leur omniprésence dans la nature<ref name="maths-et-tiques">{{lien web |titre=Les fractales |url=https://www.maths-et-tiques.fr/index.php/detentes/les-fractales |site=maths-et-tiques.fr |consulté le=2 octobre 2020}}.</ref>, créant à cette occasion l'adjectif « fractal » à partir de la racine latine ''{{Langue|la|fractus}}'', qui signifie « brisé », « irrégulier », et de la désinence « -al » présente dans les adjectifs « naval » et « banal » (pluriels : navals, banals, fractals) ; l'usage a ensuite imposé le substantif '''une fractale''' pour désigner une figure ou une équation de géométrie fractale<ref>« 50 ans après Einstein un savant élucide les mystères de l'univers », ''[[Science et Vie]]'' {{n°|936}}, septembre 1995, page 51.</ref>.

== Caractéristiques ==
[[Fichier:Von Koch curve.gif|vignette|redresse|Construction animée : [[flocon de von Koch|courbe de von Koch]].]]

Un objet fractal possède au moins l'une des caractéristiques suivantes :
* sa [[dimension de Hausdorff]] est strictement supérieure à sa [[dimension topologique]]. Cette caractéristique est généralement prise comme définition même d'un objet fractal. Pour exprimer la chose autrement, un réseau d'irrigation est un déploiement de lignes (« en [[1D]] ») qui offre des caractéristiques commençant à évoquer une surface (« en 2D »). La surface du poumon (« en [[2D]] ») est repliée en une sorte de volume (« en [[3D]] »). De façon imagée, les fractales se caractérisent par une sorte de dimension non entière. ([[Benoît Mandelbrot|Mandelbrot]] ne considère pas cette définition comme tout à fait satisfaisante<ref group=alpha>{{Ouvrage |langue=fr |auteur1=[[Benoît Mandelbrot]] |titre=Fractales, hasard et finance |éditeur=Flammarion |collection=Champs sciences |lieu=Paris |année= |année première édition=[[1997]] |réimpression=2009 |pages totales=246 |passage=56 |isbn=978-2-08-122510-7 |numéro chapitre=1.3 |titre chapitre=Principes d'échelle, distributions scalantes, dimensions fractales, et H}} : {{Citation bloc|Il est vrai que [mes textes de 77 et de 82] avaient eu l'imprudence de proposer, pour le concept de fractale, une « définition pour voir », ou « définition tactique ».  Ses défauts majeurs, vite apparus, me l'ont fait retirer dès le deuxième tirage [du texte de 82]. Mais elle persiste à être citée et à inquiéter. Je disais donc que l'ensemble E est fractal si […] <math>D_{HB} > D_T</math>.}}</ref>) ;
* il a des détails similaires à des échelles arbitrairement petites ou grandes ;
* il est trop irrégulier pour être décrit efficacement en termes géométriques traditionnels ;
* il est exactement ou statistiquement [[autosimilaire]], c'est-à-dire que le tout est semblable à une de ses parties<ref>''Le Trésor des paradoxes'', Philippe Boulanger et Alain Cohen, Éd. Belin, 2007.</ref>.

== Domaines de validité ==
Les figures fractales n'ont pas à satisfaire toutes les propriétés mentionnées ci-dessus pour servir de modèles. Il leur suffit de réaliser des approximations convenables de ce qui intéresse dans un domaine de validité donné (le livre fondateur de Mandelbrot ''Les Objets fractals'' en donne une grande variété d'exemples). La taille des [[alvéole pulmonaire|alvéoles]] du poumon, par exemple, taille à partir de laquelle celui-ci cesse de se subdiviser de façon fractale, est liée à la taille du libre parcours moyen de la molécule d'oxygène à température du corps.{{Référence souhaitée}}

La dimension utilisée est celle de [[dimension de Hausdorff|Hausdorff]], et on observe qu'elle correspond à une caractéristique nouvelle des surfaces irrégulières. On connait les plages de validité des dimensions de Hausdorff observées sur Terre pour les montagnes, les nuages, etc.

[[Fichier:Fractale de mandelbrot.png|vignette|upright=1.3|Figure fractale de Mandelbrot créée avec Python (Fractale au degré 20).]]

Des exemples de figures fractales sont fournis par les ensembles de [[ensemble de Julia|Julia, de Fatou]] et de [[ensemble de Mandelbrot|Mandelbrot]], la [[fractale de Lyapunov]], l'[[ensemble de Cantor]], le [[tapis de Sierpinski]], le [[triangle de Sierpinski]], la [[courbe de Peano]] ou le [[flocon de Koch]]. Les figures fractales peuvent être des fractales déterministes ou stochastiques. Elles apparaissent souvent dans l'étude des [[théorie du chaos|systèmes chaotiques]].

Les figures fractales peuvent être réparties en trois grandes catégories :
# Les [[système de fonctions itérées|systèmes de fonctions itérées]]. Ceux-ci ont une règle de remplacement géométrique fixe (l'ensemble de Cantor, le [[tapis de Sierpinski]], le [[triangle de Sierpinski]], la [[courbe de Peano]], le [[flocon de Koch]]) ;
# Les fractales définies par une [[relation de récurrence]] en chaque point dans un espace (tel que le plan complexe). Des exemples de ce type sont les [[ensemble de Mandelbrot|ensembles de Mandelbrot]] et la [[fractale de Lyapunov]] ;
# Les fractales aléatoires, générées par des [[processus stochastique]]s et non déterministes, par exemple les [[Terrain fractal|paysages fractals]].

De toutes ces figures fractales, seules celles construites par des systèmes de fonctions itérées affichent habituellement la propriété d'autosimilitude, signifiant que leur complexité est invariante par changement d'échelle.

Les fractales aléatoires sont les plus utilisées dans la pratique, et peuvent servir à décrire de nombreux objets extrêmement irréguliers du monde réel. Les exemples incluent des nuages, les montagnes, les [[turbulence]]s de liquide, les lignes des côtes et les arbres. Les techniques fractales ont aussi été utilisées dans la [[compression fractale]] d'images, de même que dans beaucoup de disciplines scientifiques.

== Dimension fractale ==
[[Fichier:Julia set (highres 01).jpg|vignette|upright=1|[[Ensemble de Julia]].]]

La dimension d'une ligne droite, d'un cercle et d'une courbe régulière est de 1. Une fois fixés une origine et un sens, chaque point de la courbe peut être déterminé par un nombre, qui définit la distance entre l'origine et le point. Ce nombre est négatif s'il faut se déplacer dans le sens opposé à celui choisi au départ.

La dimension d'une figure simple dans le plan est de 2. Une fois un repère défini, chaque point de la figure peut être déterminé par deux nombres. La dimension d'un corps simple dans l'espace est de 3.

Une figure telle qu'une fractale n'est pas simple. Sa dimension n'est plus aussi facile à définir et n'est plus forcément entière. La dimension fractale, plus complexe, s'exprime à l'aide de la [[dimension de Hausdorff]].
{{Article détaillé|Dimension fractale}}

Quand la fractale est formée de répliques d'elle-même en plus petit, sa dimension fractale peut se calculer comme suit :

<center><math>d = \frac{\ln(n)}{\ln(h)}</math></center>

où la fractale de départ est formée de ''n'' exemplaires dont la taille a été réduite d'un facteur ''h'' (pour [[homothétie]]).

Quelques exemples :
* un côté du [[flocon de Koch]] est formé de ''n'' = 4 exemplaires de lui-même réduit d'un facteur ''h'' = 3. Sa dimension fractale vaut :
<math display=block>d= \frac{\ln(4)}{\ln(3)} \approx 1,2618595\ldots</math>
* le [[triangle de Sierpinski]] est formé de ''n'' = 3 exemplaires de lui-même réduit d'un facteur ''h'' = 2. Sa dimension fractale vaut :
<math display=block>d= \frac{\ln(3)}{\ln(2)} \approx 1,5849625\ldots</math>
* le [[tapis de Sierpinski]] est formé de ''n'' = 8 exemplaires de lui-même réduit d'un facteur ''h'' = 3. Sa dimension fractale vaut :
<math display=block>d= \frac{\ln(8)}{\ln(3)} \approx 1,892789\ldots</math>

Une liste beaucoup plus longue se trouve sous : [[Liste de fractales par dimension de Hausdorff]].

<gallery widths="200">
KochFlake.svg|Suite de constructions géométriques qui tend vers le [[flocon de Koch]].
Sierpinski triangle evolution.svg|Les cinq premières étapes de construction du [[triangle de Sierpiński]].
Animated Sierpinski carpet.gif|Évolution de la construction du [[tapis de Sierpiński]].
</gallery>

== Objets fractals dans la nature ==
[[Fichier:Romanesco broccoli (Brassica oleracea).jpg|vignette|gauche|upright=1|Le [[chou romanesco]], un exemple de forme fractale naturelle.]]
[[Fichier:Bransleys fern.png|vignette|upright=0.7|Une [[fougère]] fractale, modélisée en utilisant un [[système de fonctions itérées]].]]

Des formes fractales approximatives sont facilement observables dans la [[Régularités naturelles|nature]]. Ces objets ont une structure autosimilaire sur une échelle étendue, mais finie : les [[nuage]]s, les [[neige|flocons de neige]], les [[montagne]]s, les réseaux de [[rivière]]s, le [[chou-fleur]] ou le [[brocoli]], et les [[Vaisseau sanguin|vaisseaux sanguins]].

Les [[arbre]]s et les [[fougère]]s sont de nature fractale et peuvent être modélisés par ordinateur à l'aide d'algorithmes récursifs comme les [[L-System]]s. La nature récursive est évidente dans ces exemples ; la branche d'un arbre ou la fronde d'une fougère sont des répliques miniatures de l'ensemble : pas identiques, mais de forme similaire.

Spectaculaire est la géométrie proprement fractale des [[Cyme|plantes à cyme n-pare]] : de chaque nœud de la plante partent invariablement un axe floral principal terminé par une fleur et n axes secondaires qui chacun, à leur nœud suivant, reproduiront en plus petit le même schéma de construction. Ainsi, si la plante poussait à l'infini, elle serait à partir de chaque nœud une réplique exacte, à échelle décroissante, du pied entier.

La surface d'une montagne peut être modélisée sur [[ordinateur]] en utilisant une fractale : prenons un triangle dans un espace tridimensionnel dont nous connectons les milieux de chaque côté par des segments, il en résulte quatre triangles. Les points centraux sont ensuite déplacés aléatoirement vers le haut ou le bas, dans un rayon défini. La procédure est répétée, diminuant le rayon de moitié à chaque itération. La nature récursive de l'[[Algorithmique|algorithme]] garantit que le tout est statistiquement similaire à chaque détail.

Enfin, certains [[astrophysique|astrophysiciens]] ont remarqué des similitudes dans la répartition de la matière dans l'[[Univers]] à six échelles différentes. Les effondrements successifs de nuages interstellaires, dus à la gravité, seraient à l'origine de cette structure (partiellement) fractale. Ce point de vue a donné naissance au modèle de l'[[univers fractal]], décrivant un univers fondé sur les fractales.
{{clr}}

== Domaines d'application ==
Les domaines d'application des fractales sont très nombreux, on peut citer en particulier<ref>Le monde des fractales, Jacques Dubois & Jean Chaline</ref> :
* en [[biologie]], répartition des structures des plantes, bactéries, feuilles, branches d'arbres…
* en [[géologie]], étude du relief, côtes et cours d'eau, structures de roches, avalanches…
* en [[paléontologie]], [[loi de puissance]] des apparitions et extinctions d'espèces
* en [[Morphologie (biologie)|morphologie]] animale, structures des invertébrés, plumes d'oiseaux…
* en [[médecine]], structure des poumons, intestins, battements du cœur
* en [[météorologie]], nuages, [[Tourbillon (physique)|vortex]], [[banquise]], [[Vague scélérate|vagues scélérates]], [[turbulence]]s, structure de la [[foudre]]
* en [[volcanologie]], prévision d'[[Éruption volcanique|éruptions volcaniques]], tremblements de terre
* en [[astronomie]] avec la description des structures de l'[[univers]], cratères sur la [[Lune]], répartition des [[exoplanète]]s et des [[galaxie]]s…
* en [[sciences humaines]], évolution de la [[démographie]]
* en [[économie (discipline)|économie]] et [[finance]], évaluation de risques financiers<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=L.E. Calvet et A. Fisher|titre=Multifractal Volatility:Theory, Forecasting, and Pricing|lieu=Burlington, Massachusetts|éditeur=Elsevier - Academic Press|date=septembre 2008|isbn=9780121500139}}</ref>, tentative (inexacte) de prévision des [[krach]]s boursiers, ''(théorie du « [[Multifractale|multifractal]] »)''<ref group=alpha>[[Benoît Mandelbrot#La finance|Mandelbrot]], lorsqu'il a publié ''Une approche fractale des marchés'' (Odile Jacob, 2004), était très méfiant vis-à-vis de la recherche fondamentale appliquée à diverses prévisions économiques en rapport avec le Marché. Il avait vainement prévenu de leur fausseté.([http://www.maths-fi.com/LeMonde-Interview-Mandelbrot-18-10-09.pdf cf. interview dans le Monde])</ref>
* en [[électronique (technique)|électronique]], antennes larges bandes des téléphones portables
* en [[géographie urbaine]], pour l'analyse des formes urbaines
* en [[urbanisme]] et dans les domaines [[Centre d'études, de recherches et de formation institutionnelles|socio-politiques]]
* dans les [[Art]]s, [[Art fractal|arts graphiques]] bien sûr, mais aussi en [[littérature]], en [[musique]], au [[cinéma]]…
Tous ces domaines - et bien d'autres - peuvent bénéficier de la description et d'une modélisation en termes fractals des phénomènes associés.

=== Utilisations industrielles ===
[[Surface spécifique]] de Blaine : la finesse de broyage d'un [[ciment]] est exprimée en termes de surface spécifique (cm²/g) et mesurée par la [[Test de Blaine|méthode de Blaine]], dite de [[Perméabilité (fluide)|perméabilité]] à l'air, utilisant la [[loi de Darcy]], et la [[loi de Kozeny-Carman]] qui établit que la traversée d'un lit de [[granule]]s par un fluide est affectée par la surface spécifique des granules.

Ainsi, en calculant la durée que met un gaz sous pression à traverser un volume donné de granules, on en déduit la surface des granules. Plus le broyage est fin, plus la surface calculée est importante.

Cette expérience se produisant dans un volume déterminé, on peut imaginer obtenir une surface développée infinie en broyant toujours plus finement le ciment. Il s'agit là d'une utilisation industrielle d'un modèle expliqué par les mathématiques fractales (un objet de dimension {{mvar|n}} de mesure finie, borné par une frontière de dimension {{math|''n''-1}}, de mesure tendant vers l'infini).

=== Informatique ===

Méthodes informatiques de calcul
* [[Système de fonctions itérées]] (IFS).
* [[Jeu du chaos]]
* Système de Lindenmayer ou [[L-System]].
* Méthodes topologiques.
* [[Algorithme Diamant-Carré]]

== Galerie d'images ==
<gallery perrow="5" heights="180" widths="180">
Fichier:Mandelbrot set 5000px.png|[[Ensemble de Mandelbrot]].
Fichier:JSr07885.gif|Animation [[Continuité (mathématiques)|continue]] de l'[[ensemble de Julia]] pour la fonction quadratique <math>f_c(z)=z^2+c</math>.
Fichier:Fractal Sentinel SterlingW3165.jpg|Illustration fractale créée avec le générateur Sterling2.
Fichier:Quaternion Julia x=-0,75 y=-0,14.jpg|Quaternion Julia avec x=-0,75 et y=-0,14.
Fichier:Fractales.jpg|Motif fractal.
Fichier:GreenCircleFractal.png|Figure fractale circulaire.
Fichier:Menger-Schwamm-farbig.png|L'[[éponge de Menger]].
Fichier:RandomApollonianCircleFractal.svg|Image fractale circulaire générée par un code [[JavaScript]].
Fichier:Fractal tree.gif|Un arbre fractal peut être engendré par un [[triangle de Sierpiński]].
Fichier:Finite subdivision of a radial link.png|Fractale générée par une {{lien|finite subdivision rule}} pour un {{lien|langue=en|trad=alternating link|texte=nœud alterné}}.
Fichier:Mandelbrot sequence new.gif|Zoom dans l'ensemble de Mandelbrot.
</gallery>

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références| groupe=alpha}}

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets| commons=Category:Fractals| wikt=fractale}}

=== Bibliographie ===
* {{en}} [[Michael Barnsley]], ''Fractals Everywhere'', {{Lien|langue=en|fr=Morgan Kaufmann}} {{ISBN|0-12-079061-0}}
* André Dauphiné, ''Géographie fractale'', Hermès-Lavoisier, 2011 {{ISBN|978-2-7462-3798-8}}
* {{en}} German A. Duarte, ''Fractal Narrative. About the Relationship Between Geometries and Technology and Its Impact on Narrative Spaces'', {{Lien|langue=de|fr=Transcript Verlag}}, 2014 {{ISBN|978-3-8376-2829-6}}
* Jacques Dubois et Jean Chalin, ''Le monde des fractales'', 2006, [[Éditions Ellipses]] {{ISBN|978-2-7298-2782-3}}.
* {{en}} {{Lien|langue=en|trad=Kenneth Falconer (mathematician)|fr=Kenneth Falconer (mathématicien)|texte=Kenneth Falconer}}, ''Fractal Geometry'', 1990, [[John Wiley & Sons]] {{ISBN|0-471-92287-0}}
* [[Pierre Frankauser]], ''La fractalité des structures urbaines'', [[Economica]], 1994
* {{en}} [[Benoît Mandelbrot]], ''{{lien|The Fractal Geometry of Nature}}'', 1982, [[W. H. Freeman]] {{ISBN|0-7167-1186-9}}. 
*''Les objets fractals. Forme, chance et dimension'', [[Groupe Flammarion|Flammarion]], {{2e|éd.}}, 1984
* {{en}} {{Lien|langue=de|fr=Heinz-Otto Peitgen}}, ''The Science of Fractal Images'', 1988, [[Springer Verlag|Springer]] {{ISBN|0-387-96608-0}}.
* {{en}} Heinz-Otto Peitgen, ''Fractals for the classroom'', New York, Springer, 1993
* D. Queiros-Conde, J. Chaline et J. Dubois, La Nature Trans-échelles, 2015, Ellipses
* Bernard Sapoval, ''Universalités et fractales'', Flammarion, coll. Champs
* {{Article| langue=fr| titre=L'infinie finesse des fractales carrées| auteur1=[[Jean-Paul Delahaye]]| périodique=[[Pour la science]]| numéro=559| date=mai 2024| pages=80-85| présentation en ligne=https://www.pourlascience.fr/sr/logique-calcul/l-infinie-finesse-des-fractales-carrees-26345.php}}

=== Articles connexes ===
{{début de colonnes|taille=20}}
* [[Autosimilarité]]
* [[Art fractal]]
* [[Benoît Mandelbrot]] (biographie et historique de sa découverte)
* [[Théorie constructale]]
* [[Dimension de Hausdorff]]
* [[Déterminisme]]
* [[Effet Droste]]
* [[Liste de fractales par dimension de Hausdorff]]
* [[Récursivité]]
* [[Modèle christallérien]]
* [[Pavage de Penrose]]
* [[Relativité d'échelle]]
* [[Univers fractal]]
* ''[[Les Mosaïques du temps#Mission fractale|Mission fractale]]'', une nouvelle de science-fiction de [[Michel Jeury]] (1980)
* [[Mise en abyme]]
* [[Rhizome (philosophie)|Théorie du Rhizome]] ([[déterritorialisation]])
{{fin de colonnes}}

=== Liens externes ===
* {{en}} Benoît Mandelbrot, [https://classes.yale.edu/fractals/ Cours sur les fractales]
* {{en}} [https://www.skytopia.com/project/fractal/mandelbulb.html « ''Mandelbulb: The Unravelling of the Real 3D Mandelbrot Fractal'' »] (fractales en 3D) sur ''skytopia.com''
* Explorateur de fractales en temps réel sur [https://www.mandelbrotandco.com Mandelbrot & Co]
* {{YouTube |id=7Pf6jZWguCc
|titre=Zoom MandelBox 3D
|langue=
|chaîne=Jacky Vert}}. Zoom vidéo au cœur d'un Mandelbox (exemple de fractale 3D).
* {{YouTube | id=QPGzGix54nE | titre=« Math Park - 07/02/15 - Xavier Buff, Où sont les zéros des polynômes ? »}}. Conférence à Math Park ([[institut Henri Poincaré]]) en {{date-|février 2015}} de [[Xavier Buff]] de l'[[institut de mathématiques de Toulouse]], ancien élève d'[[Adrien Douady]]. Dans cette conférence pour les lycéens, intitulée « Où sont les zéros des polynômes ? », Xavier Buff explique la [[méthode de Cardan]] appliquée à <math>x^3-3x+1=0</math> et étudie une fractale (vers 1:10:00).
* {{Bases}}
* {{Dictionnaires}}
* {{Autorité}}

{{Palette|Fractales}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Fractale| ]]
[[Catégorie:Motif]]